1. secuencia 3
Expresiones
algebraicas
y modelos geométricos
Propósito de la sesión. Obtener equivalencias
algebraicas entre expresiones lineales,
En esta secuencia reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas
empleando al rectángulo como modelo
equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos
geométrico.
Organización del grupo. Se sugiere que SESIóN 1 EXPRESIONES EQUIVALENTES
trabajen en parejas y que se organicen Para empezar
momentos de intercambio grupal. En primer año aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el área de dis-
tintas figuras geométricas. Por ejemplo, para un rectángulo de altura a y base b obtuvis-
Propósito de la actividad. Que los alumnos te la expresión ab.
recuerden, a partir de un ejemplo sencillo, el tipo De igual manera, la expresión 4b representa el área
de un rectángulo que mide 4 unidades de altura
de situaciones en las que utilizaron expresiones (a = 4) y b unidades de base.
algebraicas durante el primer grado de la 4
secundaria. A partir de la expresión algebraica
Recuerda que:
que se propone para el cálculo del área de un
ab = a ×b
mismo rectángulo, los alumnos tratarán de
4b = 4 ×b
obtener expresiones equivalentes. b
Sugerencia didáctica. Dedique a esta actividad
Los siguientes rectángulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El área de cada uno
sólo el tiempo necesario para que los alumnos se puede calcular usando la expresión 4b. Calcula las áreas usando esta expresión.
recuerden cómo se obtiene el área de cualquier
rectángulo (base por altura) y cómo se puede
expresar algebraicamente el área de un
rectángulo que mide 4 de altura y b de base. 4 cm 4 cm 4 cm
Enfatice que en este momento no van a expresar
las unidades de medida.
b = 2 cm b = 3 cm b = 6 cm
Área = Área = Área =
46
Eje Propósitos de la secuencia
Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo
Sentido numérico y pensamiento algebraico. de modelos geométricos.
Tema Sesión Propósitos de la sesión Recursos
Significado y uso de las operaciones.
Antecedentes
Expresiones equivalentes
Durante el primer grado de la educación 1 A partir del rectángulo como modelo geométrico, Interactivo
secundaria los alumnos aprendieron a obtener expresiones algebraicas equivalentes.
identificar expresiones algebraicas equivalen-
tes en el contexto del cálculo de áreas y
perímetros de figuras. En esta secuencia
trabajarán con expresiones algebraicas más
complejas que las de primer grado, pues
Más expresiones equivalentes
implican operaciones combinadas y el uso de Video
A partir de una expresión algebraica obtener otros
paréntesis. Se espera que los alumnos logren 2 “Más expresiones equivalentes”
equivalentes apoyándose en el rectángulo como
reconocer y obtener ese tipo de expresiones a Interactivo
modelo geométrico.
través de la resolución de problemas en los
que se utilizan modelos geométricos.
82 Libro para el mae s t r o

2. MATEMÁTICAS II Propósito del interactivo. Obtener expresiones
algebraicas equivalentes para indicar el área de
En esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan disitintas un rectángulo.
formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las
unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros.
Sugerencias didácticas. Con el interactivo se
pueden resolver las actividades I y II del libro del
Consideremos lo siguiente Recuerden que:
alumno. La primera parte ayuda a que los
alumnos obtengan el área de un rectángulo como
De las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el área del rectángulo Para indicar qu
enmarcado en rojo? e un número la suma de dos expresiones. La segunda actividad
multiplica a un
a exp ayuda a mostrar que el área del rectángulo se
se usan los parén resión
tesis:
5 (b + 3) = 5 × puede obtener utilizando diferentes expresiones.
(b + 3)
En la tercera actividad usted puede modificar el
nivel de dificultad de las expresiones propuestas
4 para obtener el área del rectángulo. Permita que
los alumnos exploren los diferentes ejercicios que
se les presentan en el interactivo.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
a 2 descubran que hay varias expresiones que sirven
para calcular el área de un rectángulo.
a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2)
Sugerencia didáctica. Antes de que los
Comparen sus respuestas y comenten:
alumnos respondan la pregunta, revise con ellos
la información que se presenta en el recuadro:
¿Cómo saben cuáles son correctas y cuáles no?
es importante que los alumnos se familiaricen
con el uso de los paréntesis para expresar una
Manos a la obra multiplicación; coménteles que aun cuando la
I. Contesten las siguientes preguntas. utilización del signo × es correcta, como se
a) ¿Cuál es la medida de la altura del rectángulo enmarcado en rojo?
muestra en el mismo recuadro, lo mejor es
utilizar sólo los paréntesis para evitar
altura =
4 confusiones.
b) Escriban una expresión que represente la medida de la base de este rectángulo. Respuestas. Los incisos a, b y d son los correctos.
base = a+2 Posibles errores. Es probable que los alumnos
identifiquen únicamente las expresiones
c) ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la 4(a + 2) y 4 a + 8 y que no consideren la del
base?
inciso c). También puede suceder que algunos
4(a + 2) alumnos opinen que la expresión 4 a + 2 es
altura × base =
correcta. Si esto sucede, permítales que en este
momento contesten lo que ellos consideren, más
adelante tendrán la oportunidad de revisar sus
respuestas y de corregir, si es necesario.
47
3
Sugerencia didáctica. Anote las expresiones
algebraicas en el pizarrón y pregunte al grupo
Propósito de la actividad. Las actividades I y cuáles consideraron correctas y cuáles no. Es
II dan elementos que permiten establecer que muy probable que haya respuestas distintas, por
las expresiones 4(a + 2) y 4 a + 8 sí permiten lo que conviene que anime a los alumnos a que
calcular el área del rectángulo. Aquellos alumnos expresen por qué consideran que alguna
que ya las habían identificado podrán constatar expresión es correcta o no. Usted puede registrar
sus respuestas, y lo que no, tendrán oportunidad algunas de sus ideas en el pizarrón para,
de corregirlas. posteriormente, volver a ellas y que los alumnos
vean si estuvieron en lo correcto o si es
necesario que corrijan algunas de sus respues-
tas. No es necesario que en este momento todos
lleguen a la respuesta correcta, podrán hacerlo
más adelante.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 83

3. secuencia 3
ii. Realicen lo siguiente.
a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde oscuro:
b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde claro:
c) Observen que el área del rectángulo enmarcado en rojo es la suma del área del
rectángulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresión que represen-
te el área del rectángulo enmarcado en rojo a partir del área de los rectángulos
verde claro y verde oscuro:
Comparen sus respuestas.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
reconozcan la expresión 2(a + 2) + 2(a + 2) iii. En la siguiente figura, la superficie del rectángulo enmarcado en rojo se dividió con
como una expresión algebraica que sí permite una línea horizontal.
calcular el área del rectángulo.
2
2
a+2
a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris oscuro:
2(a + 2)
b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris claro:
2(a + 2)
c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresión que represente el área
del rectángulo enmarcado en rojo:
2(a + 2) + 2(a + 2)
48
84 Libro para el mae s t r o

4. MATEMÁTICAS II Propósito del interactivo. Obtener expresiones
algebraicas equivalentes para indicar el área de
IV. Dividan el rectángulo de abajo y usen esa división para encontrar otra expresión al-
gebraica que represente su área. un rectángulo.
Sugerencias didácticas. Permita que los
alumnos exploren las diferentes formas en que
se pueden dividir los rectángulos. Pídales que
escriban las expresiones con las que se
4
determinaría el área del rectángulo. Si es
necesario recuérdeles que para obtener el área
del rectángulo original hay que sumar el área de
a+2 todos los rectángulos en los que se dividió.
Posibles dificultades. Probablemente algunos
Área =
alumnos no sepan cómo usar las dos expresio-
Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.
nes (de los incisos a y b) para calcular el área
del rectángulo enmarcado en rojo (inciso c).
Existen varias expresiones algebraicas que representan el área de un rectángulo Anime primero a los alumnos para que
de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) comenten cómo resolvieron el inciso c); es
representan su área.
probable que algunos hayan escrito (a + 2) ×
2 + (a + 2) × 2, dígales que esta expresión es
V. Contesten las siguientes preguntas: la misma que 2(a + 2) + 2(a + 2), pero que es
mejor no utilizar el signo × para evitar
a) ¿Cuánto vale la expresión 4(a + 2), si a = 3?
confusiones.
b) ¿Cuánto vale la expresión 4a + 8, si a = 3?
Si aún hay dificultades, puede decirles que la
c) ¿Cuánto vale la expresión 2(a + 2)+2(a + 2), si a = 3?
suma de las áreas de los rectángulos gris oscuro
y gris claro es igual al área del rectángulo
VI. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8
y 2 (a + 2) + 2 (a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna. enmarcado en rojo. Posteriormente, lea junto
con los alumnos la información del recuadro y
a 4(a + 2) 4a + 8 2(a + 2)+2(a + 2) pídales que regresen al apartado Consideremos
2(4 + 2) + 2(4 + 2) = 2(6) + 2(6) = lo siguiente para que revisen sus respuestas, y
4 4(4+2)=4(6)=24 4(4) + 8 = 16 + 8 = 24 12 + 12 = 24
2(4.5 + 2) + 2(4.5 + 2) = 2(6.5) + 2(6.5)=
en caso de que sea necesario, las corrijan.
4.5 4(4.5 + 2) = 4(11) = 44 4(4.5)+8=18+8=26
13 +13 = 26
2(5 + 2) + 2(5 + 2) = 2(7) + 2(7) =
5 4(5 + 2) = 4(7) = 28 4(5) + 8 = 20 + 8 = 28 14 + 14 = 28
5.5 4(5.5 + 2) = 4(7.5) = 30 4(5.5) + 8 = 22 + 8 = 30 2(5.5 + 2) + 2(5.5 + 2) = 2(7.5) + 2(7.5)=
15 + 15 = 30
6 4(6 + 2) = 4(8) = 32 4(6) + 8 = 24 + 8 = 32 2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32
49
Propósito de la actividad. Que los alumnos Sugerencia didáctica. Para mayor rapidez pida
ejerciten la sustitución de valores en una a las parejas que se organicen y que se dividan
expresión algebraica. las columnas, pero que hagan los cálculos paso
a paso como en los ejemplos. Antes de que
empiecen, usted puede revisar con todo el grupo
alguno de los ejemplos ya resueltos, haga
énfasis en que primero se resuelve la operación
que está indicada entre paréntesis. Mientras los
alumnos terminan, usted puede reproducir la
tabla en el pizarrón para que posteriormente
puedan compararse los resultados.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 85

5. Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos s e c uencia 3
que completen la tabla en el pizarrón,
Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten:
escribiendo únicamente el resultado; en caso de
¿Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan?
que haya diferencias en algún resultado, pida al
Por ejemplo, ¿coincidirán para a = 163.25?
alumno que lo registró que escriba el desarrollo
completo de las cuentas, para que el grupo
pueda identificar si hubo algún error o no. A lo que llegamos
Las expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan
Para el valor de 163.25, una vez que los el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el área
alumnos hayan expresado su hipótesis, pídales del mismo rectángulo, por lo que se puede escribir:
que la verifiquen sustituyendo el valor de a en 4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2)
cada una de las expresiones. Para que esto sea A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.
más rápido, unos alumnos pueden usar la
primera expresión, otros la segunda y otros la Vi. Completen la siguiente tabla.
tercera, y después comparan sus resultados.
a 4a + 2
4
Propósito de la actividad. Que los alumnos 4.5 4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20
constaten que la expresión 4 a + 2 no sirve para 5
calcular el área del rectángulo, pues el valor que 5.5
se obtiene con ella no coincide con el de todas 6
las demás.
La expresión 4a + 2 no representa el área de un rectángulo de lados que miden 4 y
(a + 2), ¿por qué?
Sugerencia didáctica. Si observa que los
alumnos tienen dificultades para responder a
esta pregunta, invítelos a comparar los
Lo que aprendimos
1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectángulo, con distintas divisiones de su
resultados que se obtienen con esta expresión, superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresión algebraica que repre-
con los que se obtuvieron en la otra tabla con sente su área a partir de la división que se propone.
las demás expresiones. Una vez que se hayan
dado cuenta de que es errónea, pídales que
regresen al problema inicial y que revisen si la 3
habían elegido como correcta o no. También
puede recuperar alguna de las ideas que los
alumnos expresaron en el problema inicial b+2
respecto a si esta expresión era correcta o no.
Expresión: 3(b +2)
50
Sugerencia didáctica. Comente al grupo que
cuando se multiplica por 1 no es necesario
escribirlo, por ejemplo, 1 × b se escribe
únicamente b. Esto debe considerarse particular-
mente para el tercer caso.
Una vez que los alumnos hayan concluido,
pídales que elijan un valor para b y que lo
sustituyan en las expresiones que elaboraron,
para verificar que efectivamente obtienen el
mismo resultado en todas ellas.
86 Libro para el mae s t r o

6. MATEMÁTICAS II
1
3
2
b 2 b+2
Expresión:
3 b + 6 ó 3 b + 3(2) Expresión:
2( b + 2) + ( b + 2)
2
2. Encuentren dos expresiones equivalentes que repre-
sentan el área del rectángulo gris oscuro a partir de la
figura que se propone.
3
3 c–6 ó 3 c–(2×3) =
3(c–2) Incorporar al portafolios. Algunos alumnos
Expresión 1 Expresión 2 podrían creer que deben calcular el área del
c
rectángulo enmarcado en rojo. Acláreles que se
trata del rectángulo gris oscuro; asímismo, si lo
Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo
resultado al sustituir los valores c = 3, 3.5, 4, 4.5 y algún otro valor que elijan.
considera necesario, puede orientarlos
señalando que (c–2) representa la medida de la
Expresión 1 Expresión 2 base del rectángulo gris oscuro.
c
3
3.5
4
4.5
3. Dividan la figura de la derecha en rectángulos de me-
nor área y encuentren dos expresiones equivalentes
que representen el área de la figura completa.
a
a(a + 2) =
a 2 + 2a
a+2
51
Sugerencia didáctica: Si los alumnos tienen
dificultades, usted puede sugerirles dividir la
figura usando una línea horizontal.
Una vez que hayan escrito las expresiones,
recuérdeles que para simplificar la notación se
acostumbra escribir a 2 en lugar de a × a.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 87

7. Propósito de la sesión. Obtener expresiones secuencia 3
algebraicas equivalentes a otra usando el
modelo geométrico del rectángulo. SESIóN 2 MÁS EXPRESIONES EQUIVALENTES
Para empezar
Organización del grupo. Se sugiere que los En la sesión 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un
alumnos trabajen en parejas y que el apartado rectángulo. En esta sesión aprenderás a obtener expresiones equivalentes a partir de
otra dada.
Lo que aprendimos se resuelva individualmente.
Consideremos lo siguiente
Propósito de la actividad: Introducir al Para cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresión equivalente.
alumno a las dificultades que tiene la obtención a) 3(x +2) = b) 2(2x + 4) =
de expresiones equivalentes.
Posibles dificultades. Algunos alumnos Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrarlas.
podrían requerir de la representación del
rectángulo para comprender mejor las Manos a la obra
expresiones equivalentes. Si es así, sugiérales i. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 3(x+2)
que intenten dibujar un rectángulo que les
ayude.
Expresión Rectángulo
3(x+2)
Sugerencia didáctica. Pida a algunas parejas
que presenten al grupo las expresiones
equivalentes que escribieron. En caso de que
algunos alumnos no estén de acuerdo con
algunas de las respuestas, invítelos a que den
sus argumentos. Si no logran identificar o
corregir sus respuestas, en las siguientes
actividades tendrán la oportunidad
de hacerlo.
Dividan la superficie del rectángulo anterior en varios rectángulos pequeños. Encuentren
las expresiones que corresponden al área de cada uno de los rectángulos pequeños y
anótenlas:
3(x+2) = 3 x+6
Comparen sus respuestas. Comenten cómo dividieron la superficie del rectángulo grande
y cómo encontraron el área de cada uno de los rectángulos pequeños.
52
Propósito del interactivo. Obtener expresiones Propósito de la actividad. Que los alumnos
algebraicas equivalentes para indicar el área de logren encontrar una expresión equivalente a la
un rectángulo. expresión 3(x+2).
Respuesta.
3
x 2
88 Libro para el mae s t r o

8. MATEMÁTICAS II
II. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 2(2x + 4), divídanlo
en rectángulos más pequeños y encuentren sus áreas.
Expresión Rectángulo
2(2x + 4)
2(2x + 4) = 4x + 8
Comparen sus respuestas y comenten: ¿son equivalentes las expresiones que obtuvieron?
¿Por qué? Sugerencia didáctica. Si los alumnos presentan
dificultades para resolver, pídales que primero
III. Usen la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a x 2 + 2x. intenten estimar las medidas de los segmentos
marcados usando expresiones algebraicas.
x x2 2x
x 2
x 2 + 2x =
x(x+2)
53
Posibles dificultades. Esta es la primera vez
que se estudia una expresión con coeficiente
distinto de 1 en la literal, los alumnos no
conocen un rectángulo que sirva para ello, sin
embargo se espera que puedan lograrlo
apoyándose en su experiencia adquirida con la
expresión 3(x + 2).
Respuesta.
2
x x 4
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 89

9. Descripción del video. El video formaliza los secuencia 3
conceptos vistos a lo largo de la secuencia en
relación con las expresiones algebraicas A lo que llegamos
equivalentes a partir de modelos geométricos. Más expresiones equivalentes
Se utilizan los recursos visuales para mostrar
Cuando se quiere encontrar una expresión equivalente a otra dada, puede ser útil cons-
las equivalencias algebraica y geométricamente. truir un rectángulo cuya área se represente con la expresión. Por ejemplo, para la expre-
Por tal razón se recomienda su uso al final sión dada 3(2x + 1) se puede construir un rectángulo que mida 3 unidades de altura y
de la secuencia. 2x+1 unidades de la base:
1
1
1
x x 1
Dividiendo este rectángulo en piezas de menor área se puede ver que la expresión 6x+3
también sirve para calcular su área, y por lo tanto es equivalente a la expresión 3(2x+1) .
Lo que aprendimos
1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresión equivalente a
ésta.
a) 3(2x+3) = 6 x+9 b) x (2x+4) = 2 x 2+4x
2. Para cada uno de los siguientes rectángulos anota las medidas de sus lados en los es-
pacios marcados, y después usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes
que representen su área.
a)
5 5a 15
a 3
5 a+15 =
5(a+3)
54
90 Libro para el mae s t r o

10. MATEMÁTICAS II
b)
a a2 4a
a 4
a 2+4 a = a(a+4)
Incorporar al portafolios. Si lo considera
3. Ayúdate de la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a la expresión necesario, sugiera a los alumnos calcular el área
b 2+3 b+2 de cada pieza y luego sumar todas las áreas.
(b + 1)(b + 2) =
1
b
b 1 1
Para saber más
Sobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos
consulta:
http://www.interactiva.matem.unam.mx
Ruta: Álgebra Una embarrada de álgebra Binomio al cuadrado
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora
(PUEMAC), UNAM.
55
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 91

11. Propósito del programa integrador. Presentar secuencia 4
datos del grado como unidad de medida y explicar
la posición relativa de dos rectas en el plano y los
ángulos que se forman. Ángulos
Propósito de la sesión. Identificar a los ángulos
como una herramienta para resolver problemas.
Utilizar el transportador para medir ángulos. En esta secuencia determinarás la medida de ángulos usando tu
Organización del grupo. Se sugiere que los transportador, y deducirás algunas medidas sin usarlo.
alumnos trabajen individualmente y que se
organicen momentos para comentarios grupales.
Descripción del video. Se hace un repaso SESIóN 1 MEDIDAS DE ÁNGULOS
histórico de la medición de ángulos y el uso del Para empezar
sistema sexagesimal. Se pone énfasis en la
El grado como unidad de medida
asociación que tiene la medición de los ángulos
La regularidad de los fenómenos naturales y astronómicos interesó a hombres de todos
con la medición del tiempo. Se dan hipótesis de por los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilónica, estimaron la duración del año
qué la circunferencia está dividida en 360 grados. en 360 días. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra,
dividieron en 360 partes la trayectoria en la que veían moverse al Sol, haciendo corres-
Sugerencia didáctica. Comente con los estudiantes ponder a cada parte un día y una noche. Es probable que de esta división se derive la
las características de cada uno de los ángulos división de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.
mostrados. Por ejemplo, ¿cuáles son los lados en Los siguientes son algunos ángulos que encontrarás frecuentemente en tus secuencias
cada uno?, ¿cuál es la dirección del giro?, ¿cuál es el de geometría. Observa sus medidas y sus nombres.
ángulo es mayor? ¿cuál es el ángulo menor?
270º
Posibles dificultades. Para resolver el problema,
los alumnos necesariamente tienen que utilizar el 180º 360º
transportador. Pueden presentar dificultades o
90º
errores como los siguientes:
• Colocar el transportador en posición incorrecta.
• Confundir el sentido del giro y tomar medidas Ángulo recto Ángulo llano Ángulo entrante Ángulo perigonal
que no corresponden (sobre todo con los Son los ángulos que
miden más de 180º
transportadores semicirculares). y menos de 360º
Otra dificultad puede ser interpretar mal las
instrucciones. Usted puede ayudarlos a compren-
derlas preguntando: ¿alguien ha entendido de qué Consideremos lo siguiente
se trata el problema? ¿Cuál es el punto de partida? En el baúl de su papá, Jaime encontró un viejo pergamino en el que se indica cómo
¿Hacia qué dirección debe mirar la persona en el y dónde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al te-
soro estaban claras, pero una mancha de agua borró el mapa. Sigue las indicaciones y
punto de partida? ¿Y luego hacia adónde gira?, ayúdale a Jaime a reproducir el mapa. Supón que un paso es igual a un centímetro.
etcétera. Debe tener cuidado en no mostrarles en
este momento la solución, sino únicamente
ayudarlos en caso de que tengan dudas con
algunas instrucciones. Lo interesante será ver cómo 56
colocan el transportador, cómo miden los ángulos
y el resultado que obtienen finalmente.
Eje Propósitos de la secuencia
Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos,
Forma, espacio y medida.
utilizando el grado como unidad de medida.
Tema
Sesión Propósitos de la sesión Recursos
Formas geométricas.
Medidas de ángulos
Antecedentes Video
Identificar a los ángulos como una
1 “El grado como unidad de medida”
Desde la escuela primaria los alumnos han herramienta para resolver problemas.
trabajado con ángulos: los identifican, los miden Interactivo
Utilizar el transportador para medir ángulos.
mediante diversos recursos, y los usan como
Programa integrador 3
criterio para caracterizar determinadas figuras.
En el primer grado de la secundaria los ángulos Ángulos internos de triángulos
fueron un auxiliar importante para el estudio de Descubrir propiedades de los triángulos a
ciertas nociones, como la simetría y la bisectriz, 2 Interactivo
así como para la caracterización de los polígonos partir de la medición de ángulos.
regulares. Deducir medidas de ángulos.
En este grado se pretende que los alumnos
formalicen sus conocimientos y que a partir de Deducción de medidas de ángulos
ellos, elaboren deducciones sencillas que les Deducir la medida de ángulos a partir de las
permitan resolver situaciones en las que tienen
que calcular la medida de un ángulo. Así mismo, 3 características y propiedades de las figuras.
se promueve la habilidad para medir ángulos Hacer generalizaciones sobre medidas de
utilizando el transportador.
ángulos a partir de casos particulares.
92 Libro para el mae s t r o

12. MATEMÁTICAS II
Para encontrar el cofre tienes
que llegar a la meseta del Cerro
Colorado y caminar hasta el
monolito que ahí encuentres.
Luego, tienes que sentarte en el
monolito viendo hacia al Este,
gira 60º al Norte y camina de
frente 3 pasos. En ese punto clava
una estaca. Regresa al monolito y
siéntate viendo al oeste. Gira 150º
al sur y camina de frente 4 pasos,
en este punto clava otra estaca.
El cofre está enterrado justo a la
mitad de la distancia entre las dos
estacas.
Propósito del interactivo. Mostrar el uso del
transportador y ejercitar su uso.
Sugerencias didácticas. El interactivo presenta
Comparen sus mapas y comenten cómo hicieron para reconstruirlos. un transportador que por su tamaño y fácil
manejo puede ayudar a mostrar la manera
Manos a la obra correcta de medir los ángulos a todo el grupo.
I. Encierra con un círculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de ma- Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón
nera correcta para medir el ángulo. a medir los ángulos presentados en el
interactivo.
1 2 3
Propósito de la actividad. Que los alumnos
reflexionen sobre el uso del transportador para
medir ángulos.
4 5 Respuesta. Las ilustraciones 2 y 3 son las
correctas. En las ilustraciones 1, 4 y 5 el
transportador está mal colocado.
57
estaca 1
3
60º
cofre
4
150º
estaca 2
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 93

13. Sugerencia didáctica. Es importante que los secuencia 4
alumnos argumenten por qué consideran que
Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del trans-
unas respuestas son correctas y otras incorrec- portador en las ilustraciones. Comenten ¿en la ilustración de abajo se está midiendo de
tas. Es posible que alguno de ellos haya utilizado manera correcta el ángulo?
una de las erróneas; invítelos a comentar las
dificultades que tuvieron al utilizar el transpor-
tador en el problema inicial.
Respuesta. La medición no es correcta, pues se
ii. ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con las indicaciones del mapa para determi-
está haciendo una lectura errónea en el nar el lugar de la primera estaca?
transportador.
estaca 1
estaca 1
Respuestas. De izquierda a derecha, el primer
ángulo no mide 60°, y la longitud del lado
debería ser de 3 cm; el segundo ángulo sí monolito
monolito
cumple con las indicaciones; en el tercero el
giro se hizo en sentido contrario, y en el cuarto
monolito
ángulo el punto de partida está mal orientado, estaca 1
pues tendría que estar dirigido hacia el este, no
al oeste.
estaca 1
3 monolito
Sugerencia didáctica. Es probable que algunos Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ángulos. Veri-
alumnos hayan cometido errores similares a los fiquen sus mapas. Si es necesario, háganlos otra vez.
que se presentan, por ello es importante que
expresen sus argumentos sobre cuál ángulo A lo que llegamos
cumple con las condiciones establecidas, de esa Al medir un ángulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vértice
manera será posible que quienes hayan tenido del ángulo. La marca que corresponde a 0° debe coincidir con un lado del ángulo.
errores o dudas, puedan corregirlos.
115º 115º
Sugerencia didáctica. Cerciórese de que todos
los alumnos tengan clara la forma correcta de
medir ángulos usando el transportador. Para ello,
dibuje un ángulo en el pizarrón y, si cuenta con
58
un juego de geometría grande, pida a un alumno
que pase a mostrar cómo se mide; también
pueden hacerlo en el cuaderno con cualquier
ángulo que ellos tracen.
94 Libro para el mae s t r o

14. MATEMÁTICAS II Propósito del interactivo. Mostrar el uso del
transportador y ejercitar su uso.
III. A continuación se presenta una forma de medir ángulos mayores de 180º.
Sugerencias didácticas. Pida a los alumnos
que pasen al pizarrón a medir los diferentes
ángulos que presenta el interactivo.
D
Sugerencia didáctica. Generalmente los
E
estudiantes cuentan con transportadores de
180°, por lo que es importante apoyarlos
para medir un ángulo cuya medida es mayor
que 180°.
F
Prolonga uno de los lados del ángulo marcado de forma que la prolongación lo divi-
da en dos ángulos.
a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos que se formaron? 180º y 100º
b)
¿Cuánto mide el ángulo marcado originalmente? 280º
Comparen sus respuestas y comenten: ¿habrá alguna otra manera de medir un ángulo
mayor que 180º? ¿Cuál?
IV. Recuerda que un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo pun-
to inicial. A las semirrectas se les llama lados del ángulo. Al punto inicial se le llama
vértice.
vértice
lado
lado
59
Respuesta. Otra forma es midiendo el
complemento de 360° del ángulo que se
quiere medir.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 95

15. s e c uencia 4
Anota en los cuadritos los números del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los si-
guientes ángulos.
1 4 2
5 3
Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos
para que expliciten que la longitud de los lados
Comparen sus respuestas. Comenten:
de un ángulo no influye en la medida de éste.
a) ¿En qué se fijaron para comparar los ángulos?
b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?
A lo que llegamos
La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. Por
ejemplo, el ángulo azul y el ángulo verde miden 100º.
60
96 Libro para el mae s t r o

16. MATEMÁTICAS II Incorporar al portafolios. Considere el primero
y el segundo problema para el portafolios. Para
Lo que aprendimos el primer problema hay dos posibilidades
1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vértice. correctas para cada ángulo, de acuerdo con la
Construye los ángulos que se piden, utiliza tu transportador.
dirección que los alumnos decidan darle al giro.
Q
En caso de que los alumnos muestren errores en
la resolución de estos problemas, revise con
ellos nuevamente la forma correcta en que se
E
miden los ángulos usando el transportador
R
(apartado A lo que llegamos), y pídales que
120º 210º 70º
midan y construyan ángulos de manera similar a
las actividades de este apartado.
2. Usa tu transportador y determina cuánto miden los ángulos marcados.
Respuestas. El ángulo morado mide 150° y el
azul 100°.
3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para
observarla mientras escuchaban la explicación del guía. Las figuras muestran la for-
ma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica
quién tiene el mayor ángulo.
Respuesta. El estudiante que está en medio de
¿Cuál de todos tiene el mayor ángulo para ver la pintura completa?
todos los demás.
61
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 97

17. Propósitos de la sesión. Descubrir propiedades secuencia 4
de los triángulos a partir de la medición de
ángulos. Deducir medidas de ángulos. SESIÓN 2 ÁNGULOS INTERNOS DE TRIÁNGULOS
Para empezar
Organización del grupo. Los alumnos pueden Un ángulo se puede representar por medio de una letra mayúscula asignada a su vértice.
resolver individualmente y comparar sus Por ejemplo, el siguiente ángulo se puede representar como D.
respuestas con todo el grupo.
Sugerencia didáctica. Antes de que los
alumnos traten de construir los triángulos,
pídales que intenten anticipar una respuesta. Es
posible que la mayoría piense que las tres D
opciones pueden ser las medidas de los ángulos
de un triángulo, pues es probable que no sepan
o que no recuerden que la suma de los ángulos
Consideremos lo siguiente
¿Cuáles de las siguientes ternas son las medidas de los ángulos internos de un triángulo?
internos de un triángulo debe ser de 180º. En Construye el triángulo correspondiente. Utiliza el segmento aB como uno de los lados.
caso de que algún alumno sí utilice ese a) 30°, 60°, 70°
conocimiento para poder anticipar en qué caso
sí es posible construir un triángulo, invítelo a
que comente al grupo sus argumentos. En este
momento evite decir quién tiene la razón,
invítelos a que construyan los triángulos para
que verifiquen sus respuestas.
a B
Respuesta. La terna del inciso c) es la que
¿Pudiste construir el triángulo?
funciona para construir el triángulo.
Justifica tu respuesta
b) 50°, 70°, 120°
a B
¿Pudiste construir el triángulo?
Justifica tu respuesta
62
98 Libro para el mae s t r o

18. MATEMÁTICAS II
c) 50°, 60°, 70°
A B
¿Pudiste construir el triángulo?
Justifica tu respuesta
Propósito de la actividad. Que los alumnos
Comparen sus respuestas y comenten cómo construyeron sus triángulos.
identifiquen que las medidas de los ángulos
internos son características importantes para
Manos a la obra determinar la posibilidad de que un triángulo
I. La siguiente figura muestra una construcción incompleta en la que se intenta cons- exista o no. Gradualmente irán identificando que
truir el triángulo con la terna de medidas 30º, 60º y 70° y con el segmento NM como la suma de los ángulos internos de un triángulo
uno de sus lados. Completa la construcción.
debe ser de 180º.
a) Con tu transportador mide el tercer
ángulo interno de este triángulo.
¿Cuánto mide?
70º
b) ¿Cuánto suman las medidas de los 30º
ángulos internos de este triángulo?
N M
Comparen sus respuestas.
II. En la siguiente figura se intenta construir un trián-
gulo con la terna 50°, 70° y 120° como medidas
de sus ángulos internos y con el segmento QR
como uno de sus lados. Completa la construcción.
¿Pudiste construir el triángulo?
120º
Justifica tu respuesta
Q R
63
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 99

19. secuencia 4
Comparen sus construcciones y comenten:
a) Si el ángulo en el vértice Q mide 50°, ¿cuánto mide el tercer ángulo interno?
b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos internos que midan 70° y 120°?
Propósito de la actividad. Que los alumnos ¿Por qué?
observen el ángulo que se forma al juntar los
tres ángulos internos de un triángulo, para que iii. Dibuja un triángulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ángulos internos de un
color distinto. Corta el triángulo en tres partes de manera que en cada parte quede
con ello se pueda mostrar que la suma de los uno de los ángulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vértices en un
ángulos internos de un triángulo es igual a punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes
y que no dejen huecos entre ellas.
180°.
Sugerencia didáctica. Es posible que los
alumnos obtengan respuestas cercanas a 180°,
usted puede aprovechar para que los alumnos
reflexionen sobre la posibilidad de que haya ¿Cuánto mide el ángulo que se obtiene al pegar los tres ángulos del triángulo que
dibujaste?
errores cada vez que hacemos mediciones, y que
esos errores son aceptables siempre y cuando
Comparen sus respuestas y comenten:
las diferencias sean mínimas.
¿Creen que si dibujan otro triángulo, la medida del ángulo formado al pegar sus tres
ángulos internos sea la misma? ¿Por qué?
Sugerencia didáctica. Aproveche la diversidad
de triángulos que los alumnos construyeron para
64
que concluyan que en todos los triángulos la
suma de las medidas de sus ángulos internos
es igual a 180°. Es recomendable trabajar con
ellos esta conjetura antes de leer el apartado
A lo que llegamos.
100 Libro para el mae s t r o

20. MATEMÁTICAS II Propósito del interactivo. Practicar el uso del
transportador, comprobar que la suma de los
IV. Mide los ángulos internos de los siguientes triángulos. Anota las medidas en la tabla.
ángulos interiores de los triángulos es 180°.
A
P Deducir las medidas de los ángulos interiores de
R otros triángulos.
Sugerencias didácticas. Pida a algunos
alumnos que midan los ángulos interiores de los
triángulos presentados en el interactivo,
H
X Q mientras los demás llenan la tabla que se
muestra. Se pretende que los alumnos concluyan
B que la suma de los ángulos interiores del
C triángulo es 180°. Con esta información pida a
los alumnos que llenen las tablas que se
presentan en el interactivo.
J
W
Y I
Suma de las
medidas de los
Triángulo Ángulo Ángulo Ángulo
tres ángulos
internos
ABC A=
WXY W=
PQR
HIJ J=
A lo que llegamos
La suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo
es igual a 180º.
65
Posibles errores. Es probable que los números
que anoten en la quinta columna no sean
exactamente 180º, pues son posibles algunos
errores en la medición.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 101

21. secuencia 4
Lo que aprendimos e:
1. Los triángulos equilateros tienen sus tres ángulos Recuerda qu
gulos
internos iguales. Sin usar transportador, contesta la Se llaman trián
Sugerencia didáctica. A partir de los pregunta. equiláteros aq
uellos
s tres
resultados obtenidos anteriormente, comente ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de que tienen su
s.
lados iguale
con los alumnos cómo pueden deducir la cualquier triángulo equilátero?
medida de los ángulos internos de un triángulo
equilátero (la medida es de 60°).
Propósitos de la sesión. Deducir la medida de
SESIóN 3 DEDUccIóN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
ángulos a partir de las características y
Para empezar
propiedades de las figuras.
¿Sabías que en todos los triángulos isósceles
e:
Hacer generalizaciones sobre medidas de
dos de sus ángulos internos son iguales? Recuerda qu
eles
ángulos isósc
Verifica esta propiedad en los siguientes trián- Se llaman tri n
ángulos, a partir de casos particulares. gulos isósceles y pinta del mismo color los án- los triángu los que tiene
ales.
gulos que sean iguales. dos lados igu
Organización del grupo. Los alumnos pueden
resolver de manera individual y comparar sus
resultados con todo el grupo.
Sugerencia didáctica. El triángulo rojo es un
triángulo equilátero; comente con los alumnos
que el triángulo equilátero cumple con la
propiedad de los triángulos isósceles, pues dos
de sus ángulos son iguales. Los triángulos
equiláteros son de la familia de los isósceles.
A continuación se presentan varios problemas sobre medidas de ángulos.
66
102 Libro para el mae s t r o

22. MATEMÁTICAS II
Lo que aprendimos
Otra forma de representar ángulos es con tres letras mayúsculas, una para el vértice y
dos para un punto de cada lado del ángulo. Así, el ángulo
R
T
S
se representará como TSR. Observen que la letra correspondiente al vértice se coloca
en medio de las otras dos.
1. El pentágono regular está inscrito en un círculo de centro O y radio OA.
C
O
B A
Sin utilizar instrumentos de medición responde: ¿cuánto mide ABC? Respuesta. 180º
Comparen y comenten sus respuestas.
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto mide el ángulo central del pentágono?
b) ¿Qué tipo de triángulo es OAB?
c) ¿Cuánto miden OAB y OBA?
d) OBA = OBC ¿por qué?
67
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 103

23. Sugerencia didáctica. Es importante que estos secuencia 4
ejercicios se realicen sin utilizar instrumentos de
2. En los siguientes triángulos isósceles se marcó la medida del ángulo formado por los
medición. lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ángulos faltantes y anótalas
en el triángulo correspondiente.
113º
72º
45º
100º
Incorporar al portafolios. Elija el problema 3
o el 4 para la evaluación. Aclare a los alumnos
que no deben utilizar el transportador para
resolver los siguientes problemas, pues pueden
54º 80º 67.5º 33.5º 40º
hallar el valor de los ángulos estableciendo
relaciones entre las características de las figuras
y los conocimientos que han elaborado durante
esta sesión. 3. Determina el valor de los ángulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que
utilizaste para determinar el valor de cada uno.
Respuestas.
Hexágono: El ángulo mide 120°. El hexágono
puede dividirse en 6 triángulos. La medida del
ángulo central, y de los otros ángulos, es de 60°
por tratarse de triángulos equiláteros.
Pentágono: El ángulo mide 150°, pues se forma
con la suma de los 90° del ángulo del
rectángulo y los 60° del triángulo.
Pentágono formado
Hexágono regular por un rectángulo y un
triángulo equilátero
68
104 Libro para el mae s t r o

24. MATEMÁTICAS II Respuesta. Mide 130°. En caso de que algún
alumno ponga una medida menor, es probable
4. Sin utilizar instrumentos de medición, determina la medida de los ángulos marcados
con rojo en las ilustraciones. que considere, de manera errónea, que como la
representación del ángulo rojo es menor que la
N del ángulo gris, entonces el ángulo debe ser más
R
pequeño. En ese caso, aclare a los alumnos que
º
50
ese no es un buen criterio para comparar
ángulos, en cambio, hay información pertinente
S en la que pueden apoyarse para determinar la
medida del ángulo, en este caso, la medida del
otro ángulo: 180° – 50° = 130°.
M O
T
RST = MNO =
Para saber más
Sobre ángulos y cómo interactuar con ellos consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htm
Ruta 1: El transportador de ángulos
Ruta 2: Ángulos complementarios y suplementarios
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
69
L i b r o p a ra e l m a e s t r o 105

25. Propósito del programa integrador. Presentar secuencia 5
datos del grado como unidad de medida y explicar
la posición relativa de dos rectas en el plano y los
ángulos que se forman. Rectas y ángulos
Propósito de la sesión. Profundizar en el
estudio de las rectas paralelas al aprender a
trazarlas con regla y compás y poder definirlas
correctamente. ¿Cómo se llaman las rectas que no se cortan?, ¿y las que sí se cortan?;
Organización del grupo. Se sugiere trabajar cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos, ¿cómo se
en parejas todas las actividades de la sesión, relacionan sus medidas?
y llevar a cabo intercambios de respuestas y Este tipo de preguntas son las que podrás contestar cuando termines
comentarios con todo el grupo. de estudiar esta secuencia.
Materiales. Instrumentos geométricos: regla,
escuadras, transportador y compás. sesión 1 Rectas que no se coRtan
Propósito de la actividad. El estudio de las Para empezar
rectas paralelas inicia en tercer grado de Desde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos,
educación primaria, en donde una forma de ¿lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los
dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Después pega la
trazar rectas paralelas es el doblado de papel. hoja en tu cuaderno.
Utilizar nuevamente ese recurso es una manera
familiar y “tangible” de abordar el estudio de
una noción que será ampliada y enriquecida en
el transcurso de esta secuencia.
Posible dificultad. No saber medir adecuada-
mente la distancia entre un punto y una recta, por
lo que es importante que les recomiende leer con
atención la nota del “Recuerden que”. Esta idea la
practicaron en primer grado (al medir la distancia
de puntos simétricos al eje de simetría y al medir
alguna de las alturas de un triángulo). Se espera Consideremos lo siguiente
que la escala no represente una dificultad. Consideren que la recta roja representa una carretera y que
Posibles procedimientos: 1 cm representa 1 km. La casa de Lety está situada a 2 km de la
Recuerden que: carretera del lado donde está el punto azul, señala con puntos
a
• Marcar los puntos al “tanteo”, aproximando los un punto a un
La distancia de perpendicular cinco lugares donde podría estar la casa de Lety.
2 centímetros. recta se mide sobre la
recta.
• Marcar puntos a 2 cm de la recta pero sin del punto a la
conservar la perpendicularidad. Pueden darse Observen:
cuenta del error al tratar de trazar una recta,
pues los puntos no quedarán alineados.
• Marcar los puntos usando la escuadra para
medir los 2 cm de cada punto a la recta.
• Para los alumnos que tienen una idea clara de
que las paralelas son rectas que conservan la
70
misma distancia entre sí, es probable que tracen
la paralela a 2 cm (lo saben hacer con las
escuadras) y ubiquen diez puntos de ella. Este
procedimiento es el óptimo.
Eje Propósitos de la secuencia
Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar
Forma, espacio y medida.
definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que
Tema se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
Formas geométricas. Sesión Propósitos de la sesión Recursos
Antecedentes
Rectas que no se cortan
Los alumnos han trabajado con las nociones de Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al Interactivo
1
ángulo y de rectas paralelas y perpendiculares desde aprender a trazarlas con regla y compás y poder Aula de medio
la escuela primaria y en el primer grado de la definirlas correctamente.
Programa integrador 3
secundaria. En ese último grado trazaron
perpendiculares y paralelas y midieron ángulos para
Rectas que se cortan
resolver situaciones relacionadas con las nociones de
Profundizar en el estudio de las rectas perpendicu-
simetría, mediatriz y bisectriz, así como para
2 lares al aprender a trazarlas con regla y compás, Interactivo
construir diversas figuras geométricas. Se espera que
poder definirlas correctamente y distinguirlas de
en el segundo grado, además de reconocer esos
las rectas oblicuas.
tipos de rectas y las clases de ángulos, identifiquen y
describan sus propiedades, establezcan relaciones Relaciones entre ángulos
entre ellos y elaboren argumentos para validar tales Identificar y definir a los ángulos opuestos por el Video
propiedades y relaciones; asimismo, que sean 3 vértice y a los adyacentes. Descubrir las relaciones “Parejas de rectas”
capaces de aplicar esas nociones para resolver entre las medidas de los cuatro ángulos que se Interactivo
ciertos problemas. forman cuando dos rectas se cortan.
106 Libro para el mae s t r o