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Vector unitario:Se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como (selee "r vector" o "vector r"). ...
Desigualdad del triángulo:La desigualdad es un teorema de geometría euclidiana que establece      En todo triángulo la sum...
teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente ya sea en ℝ² o ℝ³ (aunquetambién es válida para ℝn). La figura de la ...
En geometría euclidiana, sólo se obtiene el caso límite de igualdad cuando eltriángulo (aunque degenerado) tenga altura h=...
puede generalizarse el concepto a algunos espacios no euclidianos (con soloreemplazar el concepto de recta por el de línea...
Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior,sumando primero dos y a la suma, añadirle un terc...
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial esuna forma bilineal, hermítica y definida...
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo realA           •            B           =            |A...
Ángulos entre dos vectoresLa expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno delángulo existente entr...
Propiedades del producto escalar1. Conmutativa:2. Distributiva respecto a la suma vectorial:3. Asociativa respecto al prod...
Norma o Módulo de un vectorSe define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métricoconsiderado.Se ...
Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales      En el espacio vectorial     se suele definir el produ...
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Suma de vectores y multiplicación por un escalar:Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:X + Y = (x1 , x2) + ...
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Cuerpo:Es el conjunto de números y operaciones cualesquiera que deben obedecer lasdiez propiedades algebraicas que mencion...
Envolvente Lineal:Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado porLin(v1, v2, ..., vn) y se...
sería convención lineal de cada fila de B, esto cumple ciertos teoremas ypropiedades:         atrices equivalentes por fil...
Si un conjunto S={v1, v2, ..., v3}, k>=2 es linealmente dependiente si solo si por lomenos uno de los vectores vj puede ex...
Ejemplo: si S = { v1, v2, ..., vn } genera a V, entonces S es una base de VRango de una matriz y sistema de ecuaciones lin...
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Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de lascomponentes del vector.Si por ejemplo el vector V t...
Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada unade ellas.                              Un ve...
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  1. 1. República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior. Instituto Universitario Tecnológico de Ejido (IUTE) Ejido Edo. Mérida : Integrante: Nublis Casanova C.I 16654044 Pnf. Informática Sección “A” ALGEBRA LINEAL Prof. Judith Rodríguez
  2. 2. Vector unitario:Se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como (selee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una breve ( ) tambiénes común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual esrepresentar el vector en la dirección del vector en la forma .DefiniciónHabiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo yhabiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos enesta sección una definición simbólica de vector unitario. Sea el vector v ∈ ℝn. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante si y solamente si el módulo de v es igual a 1.O en forma más compacta: Desigualdad triangular:
  3. 3. Desigualdad del triángulo:La desigualdad es un teorema de geometría euclidiana que establece En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados 1 cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados comoespacios vectoriales.Camino euclidiano de mínimo recorridoDesigualdad del triángulo tendiendo hacia la igualdad mientras reduce su altura.En geometría euclidiana (y en algunas otras geometrías) la desigualdad triangulares un teorema importante acerca de las medidas y las distancias. Siguiendo engeometría euclidiana, dicha desigualdad en triángulos rectángulos, es unaconsecuencia del teorema de Pitágoras, y para los triángulos en general unaconsecuencia de la ley de los cosenos, aunque ésta puede ser probada sin esos
  4. 4. teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente ya sea en ℝ² o ℝ³ (aunquetambién es válida para ℝn). La figura de la derecha muestra tres ejemplosprogresivos partiendo de una clara desigualdad (triángulo más alto) hastaacercarse tanto como se quiera a la igualdad (triángulo más bajo). Advierta que selogra tanta más aproximación a la igualdad, cuanto más se aproxima el vértice Z(el opuesto al lado z) a cualquier punto del segmento que conforma al lado z de labase del triángulo, y esto con total independencia del camino que se utilice.El teorema de la desigualdad triangular solo menciona los casos de desigualdad(no podría ser de otra manera debido a su enunciado) y así evita el tratar con elcaso límite de si tres vértices colineales siguen o no definiendo un triángulo, (aúnsi se conviene en que sí, estaríamos ante un caso de figura geométricadegenerada y éstas conducen en general a soluciones espurias, aunqueparticularmente en éste caso, no es así).Siendo h la altura del triángulo y tomando límite con , la polémica se soslayay se adquiere el derecho a extender la fórmula inicial a una más general.Si (x, y, z) son las respectivas denominaciones de los lados de un triángulocualquiera y h la altura correspondiente al lado z, entonces podremos reconocerdos casos:1) Aceptado h>0. Implica quedarnos con las tres desigualdades tradicionales delteorema:2) Aceptado h≥0. En éste segundo caso logramos tres desigualdades másgenerales que las del teorema porque incluyen el caso que más nos interesa, elcual es el caso límite de igualdad:
  5. 5. En geometría euclidiana, sólo se obtiene el caso límite de igualdad cuando eltriángulo (aunque degenerado) tenga altura h=0 (sobre el lado que se adenominado z) y además el vértice Z pertenezca al segmento xy (o sea al lado z),llegando entonces los tres vértices, a ser colineales, como se muestra en elejemplo (línea base).Como el vértice Z puede estar en cualquier lugar (del plano al que pertenece eltriángulo), pero en la desigualdad triangular solo se logra el caso límite deigualdad3 cuando dicho vértice se encuentra en un lugar tal que pertenece alsegmento constituyente del lado z, y como por otra parte la mínima longitud quepuede tener la suma x+y cumpliendo con ser mayor o igual a la longitud del lado zes justamente la longitud del lado z, se concluye entonces que para el caso límitede x+y=z estamos ante una longitud de mínimo recorrido posible entre los vérticesX e Y de z, (en definitiva entre dos puntos cualquiera, por ser z un lado genérico),lo cual demuestra que la línea recta es el camino de menor longitud posible entreellos.Por todo lo anterior es posible afirmar que: En geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.Es importante registrar que la desigualdad triangular elucídela en ℝ² o ℝ³ es unaidea de gran simplicidad. Luego en matemáticas más avanzadas se podrá ver quela “idea” de la desigualdad (ya no triangular) se puede generalizar también apolígonos de cuatro o más lados. Luego sabiendo que los polígonos al tender sunúmero de lados a infinito ( ) se convierten en curvas, en las que aún valeuna versión con similitudes a la “idea” de desigualdad. Además en algunos casos
  6. 6. puede generalizarse el concepto a algunos espacios no euclidianos (con soloreemplazar el concepto de recta por el de línea geodésica).Suma de vectores:Con los vectores podemos realizar una serie de operaciones. Una de ellas es lasuma. Podemos realizar la suma de vectores desde dos puntos de vista:matemática y gráfica.Suma de vectores matemática:Para realizar la suma matemática de vectores, lo único que tenemos que hacer essumar las respectivas componentes de los vectores sumandos, obteniendo así, elvector suma. Veamos un ejemplo:(3, 2, -5) + (2, 1,3) = (3+2, 2+1, -5+3) = (5, 3, -2)Suma gráfica de vectores:Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método delparalelogramo". Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela alvector B y viceversa. Ambas paralelas y los dos vectores, determinan unparalelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen deambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el gráficoque va a continuación:
  7. 7. Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior,sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Perotambién podemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vectorigual en módulo, dirección y sentido que el segundo. A continuación de éste,colocamos un vector equivalente al tercero y así sucesivamente. Finalmente,unimos el origen del primer vector con el extremo del último que colocamos y, elvector resultante es el vector suma.Puedes probar este método en el applet que viene a continuación, sumandofuerzas:Para manejarlo, elige en la lista desplegable rotulada con "Number of Forces", elnúmero de vectores que deseas sumar. A continuación, pulsa en "Find outResultant" y observarás el proceso de suma de los vectores. Pulsando en "ClearConstruction", limpias todo y puedes repetir el proceso. Producto escalarEn matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno,interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dosvectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Estaoperación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional:longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalarpuede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, yen general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espaciosvectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espaciosprehilbertianos.
  8. 8. El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial esuna forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede consideraruna forma cuadrática definida positiva.Un producto escalar se puede expresar como una aplicación donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre elque está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones: 1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha: 2. Hermeticidad: , 3. Definida positiva: ,y si y sólo si x = 0,Donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilinealse convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.También suele representarse por o por .Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar sedenomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, sedice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es unespacio euclídeo.Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido,de la siguiente manera: .
  9. 9. Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo realA • B = |A| |B| cos(θ).|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como elproducto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar esEsta definición de carácter geométrico es independiente del sistema decoordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.Proyección de un vector sobre otroPuesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre ladirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, seráDe modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como elproducto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
  10. 10. Ángulos entre dos vectoresLa expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno delángulo existente entre los vectores:Vectores ortogonalesDos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entresí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores sonortogonales.Ya que él .Vectores paralelos o en una misma direcciónDos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman esde 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, porlo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.ObservaciónUna importante variante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio-tiempo de Minkowsky, es decir, dotado del producto escalar: .
  11. 11. Propiedades del producto escalar1. Conmutativa:2. Distributiva respecto a la suma vectorial:3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:Expresión analítica del producto escalarSi los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianasrectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios{i, j, k} tenemos:El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
  12. 12. Norma o Módulo de un vectorSe define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métricoconsiderado.Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.Efectuado el producto escalar, tenemos:De modo quePor componentes, tomando la base canónica en formada por los vectoresunitarios {i, j, k}De modo que
  13. 13. Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales  En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:  En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:Siendo el número complejo conjugado de  En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos realesDonde tr (A) es la traza de la matriz B y AT es la matriz traspuesta de A.  En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos complejosDonde tr(A) es la traza de la matriz B y A * es la matriz traspuesta conjugada de A.  En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:  En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
  14. 14. Dado tal que :GeneralizacionesFormas cuadráticasDada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorialpuede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeomediante la fórmula:Dónde: Es una base del espacio vectorialPuede comprobarse que la operación anterior satisface todas laspropiedades que debe satisfacer un producto escalar.Tensores métricosSe pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedadesde Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente decero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. Enestos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del desegmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, semodifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual
  15. 15. introduciendo un tensor métrico , tal que la restricción del tensora un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a lavariedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir apartir de su vector tangente de la siguiente manera:Diferencia de R1, R2, R3 y RN….Espacio euclidiano o Espacio vectorial:Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, también conocido porespacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n númerosreales ejemplo (a1, a2,..., en) donde los vectores Rn se clasifican así:R1 = espacio unidimensional, línea recta real.R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.Operaciones Básicas con Vectores en R2:
  16. 16. Suma de vectores y multiplicación por un escalar:Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:X + Y = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) y la multiplicación por un escalarse define H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2).Las propiedades que cumple la suma de vectores son la misma que cumplían lasestructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, laasociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:La de cierre bajo la multiplicación Hx,La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,La asociativa (HI)x = H(Ix),y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x.Operaciones Básicas con Vectores en Rn:Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operacionesbásicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicaciónpor un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-esimos vectoresejemplo:Para suma de vectoresX + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).Para multiplicación de un vector por un escalar
  17. 17. H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicascon vectores en R2.El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U+ 0 = 0,0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.Espacios Vectoriales:Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades oaxiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichaspropiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial esun espacio no vacío.Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades deun espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial nose especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector ycualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación porun escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre sería unespacio vectorial.Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores,un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es iguala las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espaciovectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicaciónpor un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento queactúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
  18. 18. Cuerpo:Es el conjunto de números y operaciones cualesquiera que deben obedecer lasdiez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas deespacios vectoriales.Sub cuerpo:Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y lamultiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espaciodeterminado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionadocon anterioridad.Sub espacio vectorial:Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es unsub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma ymultiplicación por un escalar definidas en V.Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de lasuma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elementoneutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación porun escalar.Combinación Lineal:Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u uncuerpo h.Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.
  19. 19. Envolvente Lineal:Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado porLin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un subconjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene aS, necesariamente Lin S es complemento de W.Conjuntos Generadores:Si todo vector es un espacio vectorial puede ser expresado como combinaciónlineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinación lineal esun conjunto generador de un espacio vectorial..En otras palabras si u1, u2, ..., un generan u entonces u pertenecen a V si existenescalares c tal que:V = c1u1 + c2v2 + ... + cnun entonces V es una combinación lineal de u1, u2, ...,u3 .Espacio fila y Espacio Columna de una Matriz:Si A es una matriz m x n en un cuerpo K cualquiera, las filas de A pueden servistas como vectores de Kn llamado espacio fila de U denotado por f - Lin A.Así haciendo la matriz transpuesta esto quiere decir que si las columnas lashacemos vectores de Km estos generan un sub espacio de Km llamado espaciocolumna de A denotado c-Lin A.Si hacemos operaciones elementales entre fila a A y obtenemos una matriz Bpodemos decir que B es que cada fila de B es una combinación lineal de cada filade A por lo que el espacio fila de B esta contenido al espacio fila de A y asíviceversa, o sea, si efectuamos operaciones entre fila a B obtenemos A y esto
  20. 20. sería convención lineal de cada fila de B, esto cumple ciertos teoremas ypropiedades: atrices equivalentes por filas tienen el mismo espacio fila.tienen las mismas filas no nulas.filas.Conjuntos Generadores e Independencia Lineal:Si todo vector puede expresarse como combinación lineal de vectores en unconjunto S entonces el conjunto S es un conjunto de un espacio vectorial.Dependencia e Independencia Lineal:Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solución notrivial esto quiere decir que la combinación lineal denotado así: c1v1 + c2v2 + c3v3= 0 , ósea que tiene una solución única.Para comprobar la independencia Lineal.Sea S = {v1, v2, ..., vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial Ventonces partiremos de la ecuación vectorial c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (que es lamisma que combinación lineal don de c son escalares) se escribe un sistemahomogéneo de ecuaciones lineales en variable c1, c2, ..., ck . después se haceGauss-Jordán a la matriz aumentada para diagonal izarla si la solución de ladiagonalizacion tiene solamente solución trivial c1, c2, c3 entonces S eslinealmente independiente.
  21. 21. Si un conjunto S={v1, v2, ..., v3}, k>=2 es linealmente dependiente si solo si por lomenos uno de los vectores vj puede expresarse como una combinación lineal delos demás vectores S.Base y Dimension:En un conjunto S={v1 ,v2, ..., vk} es un espacio vectorial V este se denomina Basesi cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito devectores entonces V es de dimensión finita y en caso contrario es de dimensióninfinita.Base y Dependencia Lineal:Si un conjunto finito S={ v1 , v2, ..., vn } es una base de un espacio vectorial V sitodo conjunto que contiene más de n vectores de V es linealmente dependiente.Numero de Vectores de una Base:Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base Vtiene n vectores.Dimensión de un Espacio Vectorial:Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es ladimensión de esa base y se denota dim(V) = n.Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de vectoreslinealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una basedel sub-espacio y la dimensión del mismo es el número de vectores que hay en labase.Para ver que una base en un espacio n-dimensional:Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjuntode vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de V.
  22. 22. Ejemplo: si S = { v1, v2, ..., vn } genera a V, entonces S es una base de VRango de una matriz y sistema de ecuaciones lineales:Sea una matriz Am x n = entonces sus n-adas corresponden a lasFilas de la matriz, ejemplo: (a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (am1,am2,..., amn) estas series son los vectores fila de A y los vectores columnas de Acorresponden a las columnas de la matriz ejemplo: (a11, a21, ..., am1), (a12, a22,..., am2), ..., (a1n, a2n, ..., amn).El espacio fila y el espacio columna son sub-espacios de Rn generado por losvectores fila y espacio columna de A.Veremos a continuación que los espacios fila y espacio columna compartenmuchas propiedades veremos primero el espacio fila, considerando que dosmatrices son equivalentes por fila si la segunda matriz se obtiene por operacioneselementales entre fila esta tienen el mismo espacio fila, también hay queconsiderar que la matriz no se modifica sus columnas por las operacioneselementales entre filas, pero si pueden modificar sus filas.Si la matriz equivalente B esta en forma escalonada entonces esta constituye unconjunto independiente.Y la base para el espacio fila de una matriz: si la matriz A es igual en fila a lamatriz B entonces en esta ultima los vectores fila B son diferentes de cero estaforma una base para el espacio fila.Si A es una matriz m x n entonces el espacio renglón y el espacio columna soniguales.Para poder resolver la ecuación lineal utilizaremos la notación matricial Ax = B quese utiliza para representar ecuaciones lineales.
  23. 23. = la solución de éste sistema nos permite ver el conjunto solución, esta soluciónse escribe como n-adas y se denomina: vectores solución para un sistemahomogéneo se utiliza la notación matricial Ax = 0 es un espacio Rn esta soluciónse denomina espacio solución del sistema también se llama espacio nulo de a. Ladimensión de este sistema se denomina nulidad de A.Para la dimensión de un sistema homogéneo (Ax = 0) en una matriz A m x n y surango r entonces la dimensión seria n-r (nulidad - rango) = n.Un sistema homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax= 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = B donde B " 0 este no essub-espacio ya que el vector cero no es solucion.Si Xp es una solución particular del sistema homogéneo entonces todo el sistemase expresa como X = Xp + Xn donde Xh sería la solución del sistema homogéneoAx = 0.Para ver el número de soluciones de las ecuaciones lineales se tomara en cuentatres reglas:quiere decir si el rango de la solución de la matriz A es igual al del rango de lamatriz aumentada en B es igual a n entonces tiene una única solución. el rango (A) = rango [A | B]<n tiene esta soluciones infinitas.Para las ecuaciones lineales con matrices cuadradas: Si A es una matriz n x ncumple las siguientes condiciones: A es invertible.
  24. 24. ientes.Coordenadas y cambio de base:Siendo B={ v1, v2, ..., vn} una base de un espacio vectorial y x un vector en V querepresentándose como combinación lineal ( x = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ) siendolos escalares c. Se denomina como coordenadas x con respecto B en el vector Rndenotado así xB = ( c1, c2, ..., cn ).Cambio de base.Partiendo de una base B a una base B se tiene que hacer una multiplicación poruna matriz p-1 y está la obtenemos sacando la inversa de la base B esto sería P-1y multiplicando P-1 por B obtenemos B y viceversa. Producto de un escalar por un vectorEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la mismadirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo delvector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también elsentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vectororiginal.
  25. 25. Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de lascomponentes del vector.Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:V = (x, y)k V = k (x, y) = (kx, ky)Ejemplo:V = (2,1)k=2k V = 2 (2, 1) = (4, 2)Ejemplo:V= (2, 2)k = -1k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)
  26. 26. Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada unade ellas. Un vector canónico:Es aquel que se ajusta a una norma generalmente admitida como la mejor de lasposibles) porque es única y exclusiva para cada espacio vectorial, siendo escogidade entre todas las bases posibles como se escoge un representante canónico enuna clase de equivalencia por ser el más sencillo y simplificado de todos ellos.Un vector canonico, facilita una interpretación intuitiva del sistema de coordenadascaracterístico de un sistema cartesiano, de tal suerte, que para posicionar unpunto en la recta, el plano o el espacio, las coordenadas nos informan de ladistancia real en unidades, así facilita la lectura de posiciones y representaciónmétrica en el entorno del espacio vectorial y con ello, sus aplicaciones directas a lageometría y a la física, entre otras importantes ciencias puras y aplicadas.
  27. 27. Coseno director: En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector = (x, y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.EjemploDeterminar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).

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