presentación sobre las funciones de varias variables

1. FUNCIONES DE
VARIAS
VARIABLES
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Ingeniería de sistemas
-Materia: MATEMATICA III
-Sección: “A”
Nombres:
Juan Ordaz C.I:30.132.423

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Las funciones de varias variables son las mismas que otras variables y todas tienen la misma
definición de función. La diferencia es que una variable dependiente estará controlada por
múltiples variables independientes. Las funciones que usan tres variables (a menudo
llamadas z = f (x, y)) son muy comunes. Dado que el valor de z depende no solo del valor de
xoy, sino también del punto de coordenadas correspondiente al valor de z, la idea de la
relación es más complicada.
El problema es que no se pueden graficar todas las funciones de todas las variables. De
hecho, el número máximo de variables que se pueden dibujar son tres variables. ¿por
qué? Bueno, porque en dimensionalidad, no se pueden observar más de tres variables
interactuando entre sí, o al menos no hay interacción gráfica. El siguiente es un ejemplo
de una función compuesta por tres variables:
Casi de manera impulsiva, tiende a trazar una función para
observar su comportamiento y comprenderlo con mayor
claridad. La función de múltiples variables no es inmune a
esto.

3. INTRODUCCION
La asignatura de Ampliación de Matemáticas para el grado de ingeniería, estudia entre otros
apartados, la integración múltiple (integrales dobles e integrales triples), Geometría Diferencial
(estudio de curvas y superficies) y las integrales de linea y de superficie. Para una correcta
comprensión de estos temas es necesario poseer un conocimiento, si no profundo, sí escogido, de
la teoría de funciones de varias variables. Para trabajar con los dominios de este tipo de funciones
necesitaremos una pequeña iniciación a la topología del espacio euclídeo que nos permita conocer
los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, interior de un conjunto, ..., que tanto aparecen
en toda la bibliografía que el alumno va a encontrar de la asignatura. A lo largo de estos temas
serán muy frecuentes los casos en que sea necesario derivar funciones de varias variables y, más
precisamente, derivar la composición de funciones de este tipo.

4. Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones de
tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son
funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables
como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por
ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto
coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.
Rango y dominio
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal
y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la
función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que
toma la función z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos
variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las
variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactuan
estas variables. Por ejemplo:

5. Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables
pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera
formal de escribirlo es:
De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en
realidad son todos los reales, pues nunca se indefine:
En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que
toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el
gráfico del dominio es el siguiente:

6. Sistema de coordenadas01 Un ejemplo corriente es el
sistema que asigna longitud y
latitud para localizar
coordenadas geográficas. En
física, un sistema de
coordenadas para describir
puntos en el espacio recibe el
nombre de sistema de
referencia.
02
En geometría, un sistema de
coordenadas es un sistema
que utiliza uno o más
números (coordenadas) para
determinar unívocamente la
posición de un punto u objeto
geométrico. El orden en que
se escriben las coordenadas
es significativo y a veces se
las identifica por su posición
en una tupla ordenada;
también se las puede
representar con letras, como
por ejemplo «la coordenada-
x». El estudio de los sistemas
de coordenadas es objeto de
la geometría analítica,
permite formular los
problemas geométricos de
forma "numérica".2

7. Sistema de coordenadas cartesianas
En un espacio elucídelo un sistema
de coordenadas cartesianas se define
por dos o tres ejes ortogonales
igualmente escalados, dependiendo
de si es un sistema bidimensional o
tridimensional (análogamente en
𝑅 𝑛
se pueden definir sistemas n-
dimensionales).
El valor de cada una de las
coordenadas de un punto (A) es
igual a la proyección ortogonal del
vector de posición de dicho punto
(𝑟𝐴 = 0𝐴) sobre un eje determinado:
𝑟𝐴 = 0𝐴 = (𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴, 𝑧 𝐴)
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el
origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el
origen de coordenadas (O) y un vector (𝑖) tal que:
𝑖 = 1,0,0 , 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑖 = 1
El valor de la coordenada x de un punto es
igual a la proyección ortogonal del vector
de posición de dicho punto sobre el eje x.
𝑥 𝐴 =
0𝐴 . 𝑖
0𝐴 . 𝑖
=
0𝐴
0𝐴
. 𝑖

8. Sistema de coordenadas log-polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición
del plano se determina por un ángulo y una distancia.
Sistema de coordenadas polares
Es un sistema de coordenadas donde un punto se
identifica con dos números, uno para el logaritmo de la
distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las
coordenadas logarítmicas están estrechamente
conectadas con las coordenadas polares, que
generalmente se usan para describir dominios en el
plano con algún tipo de simetría rotacional.

9. Sistema de coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para
representar los puntos de un espacio elucídelo
tridimensional. Resulta especialmente útil en
problemas con simetría axial. Este sistema de
coordenadas es una generalización del sistema de
coordenadas polares del plano elucídelo, al que se
añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros
dos. La primera coordenada es la distancia existente
entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que
forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos,
mientras que la tercera es la coordenada z que
determina la altura del cilindro.
Sistema de coordenadas esféricas
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de
coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos
tridimensionales. Este sistema de coordenadas
esféricas está formado por tres ejes mutuamente
ortogonales que se cortan en el origen. La primera
coordenada es la distancia entre el origen y el punto,
siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar
para alcanzar la posición del punto.

10. Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A RECTANGULARES:
x = qCos ߮
x = rSen8Cos ߮
y = qSen߮
y = rSen8Sen ߮
z = rCos8
z = rCos8
Con q = rSen8
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A ESFÉRICAS:
Con q = rSen8

11. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A RECTANGULARES:
x = qCos ߮ y = qSen ߮ z = z
q = ƒx2 + y2
Tan−1 |y|
x
=
180° − Tan−1 |y|x
180° + Tan−1 |y|x
360° − Tan−1 |y|
x
z = z
RANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A CILÍNDRICAS:TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A CILÍNDRICAS
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A ESFÉRICAS:
$ =$
TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS ESFÉRICAS A
CILÍNDRICAS :
q = rSen8 $ = $ z = rCos(8)

12. Ejemplos
Ejercicio 1. Hallar el dominio de la función f (x, y) = x/y.
RESOLUCIÓN. Su dominio, claramente, será D = {(x, y) ∈ R2 : y ƒ= 0}, es decir, todo el plano menos la
recta y = 0.
Ejercicio 2. Determinar el dominio de la función
z =
xy
x2 + y2
RESOLUCIÓN. Es el conjunto 𝑅2
{(0, 0)}, es decir, todo el plano menos el origen de coordenadas.
Ejemplo 3.- Sea f (x, y) =
y + 4x 2 - 4
a) Calcular el dominio de f. b) Represéntelo gráficamente c) Calcule f (2,0), f −
2
2
2 y f(1,-1)

13. Solución
a) La función está bien definida y es un número real cuando el radicando es mayor o igual a cero, esto es:
y + 4x 2 - 4 ³ 0
Así que el dominio es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que:
y + 4x 2 ³ 4 .
Más formalmente escribimos:
Dom f = {(x, y) / y + 4x 2 ³ 4}
b) Este conjunto se puede representar en el plano. Es una región del plano limitada por la curva y + 4x 2 - 4
= 0 . Primero se traza la curva y + 4x 2 - 4 = 0 . Reescribiéndola como y = 4 - 4x 2 , la identificamos como
una parábola abriendo hacia abajo y con vértice en (0,4). Para determinar la región completamente
podemos proceder de dos maneras.
Primer procedimiento: Es claro que nuestra región es el conjunto de puntos (x,y) que satisface la
desigualdad y + 4x 2 ≥4 . Este conjunto lo podemos ver como la unión de todas las curvas y + 4x 2
= d con d ≥ 4 .
Entre ellas están y + 4x 2 = 4 ; y + 4x 2 = 5 , y + 4x 2 = 6 , y + 4x 2 = 7 y todas las intermedias y que
están por encima de éstas. Haciendo el gráfico de todas estas curvas podemos visualizar el dominio de
la función, vea la figura a la derecha

14. Segundo procedimiento: Una vez que hemos
establecido que el dominio es una de las dos
regiones del plano limitada por la curva y + 4x 2
= 4 , podemos tomar un punto de prueba en el
plano que no esté en la curva.
Claramente (0,0) no está sobre la curva.
Evaluamos la desigualdad y + 4x 2 - 4 ³ 0 en este
punto, si satisface la desigualdad entonces la
región que contiene el punto de prueba es el
conjunto solución, esto es, es el gráfico del dominio
de la función, si no satisface la desigualdad
entonces el conjunto solución a la desigualdad es
la otra región.
Como 0 + 4 × 02 - 4 ³ 0 no se satisface entonces el dominio es la región limitada por la curva y + 4x 2 = 4
que no contiene el (0,0), como efectivamente ya deducimos con el otro procedimiento, vea la figura como
efectivamente está rayada la región que no contiene el punto (0,0).
c) La evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable.
Por ejemplo para obtener el valor f (2,0) sustituimos el valor de x por 2 y el de y por 0. Así

15. 𝑓 2,0 = 0 + 4 2 2 − 4 = 12 = 2 3
𝑓 −
2
2
, 2 = 2 + 4 −
2
2
2
− 4 = 0
𝑓 1, −1 = −1 + 4 . 1 2 − 4 = 1 no es real
Efectivamente la función no está definida en (1,-1) . Vea el
gráfico dado en b) y chequee que efectivamente este punto
no está en el dominio.
Remarcamos que con el primer procedimiento
demostramos que la solución de una desigualdad en
dos variables tiene como representación gráfica a una
de las dos regiones delimitadas por la curva dada por
la igualdad. El segundo procedimiento es más expedito
en determinarla.
En ocasiones nos referiremos al dominio de una función como su representación gráfica, recuerde que
realmente el dominio es un conjunto de pares ordenados que pueden ser representados en el plano.
Ejemplo 2.- Encuentre el dominio de la siguiente función y represéntelo gráficamente.
a) f (x, y) = ln(4 - 2 y + x) ; b) h( x, y) =
𝑥
𝑥+𝑦
Solución: a) Para que la función esté bien definida y sea un número real se tiene que cumplir que
4 - 2 y + x > 0 , entonces:
Dom f ={(x, y) / 4 - 2 y + x > 0}

16. Sabemos que la representación gráfica de esta región del plano es un semiplano por ser una desigualdad
lineal. Para determinar el semiplano rápidamente, primero graficamos la recta 4 - 2 y + x = 0 ,
punteada pues los puntos sobre la recta no satisface la desigualdad
luego tomamos un punto de
prueba fuera del la recta, si
este punto satisface la
desigualdad el semiplano es
donde está este punto, en caso
que no se cumpla la
desigualdad el conjunto
solución es el otro semiplano.
El punto escogido es de nuevo (0,0) porque está fuera de la curva 4 - 2 y + x = 0 . Como el punto
(0,0) satisface la desigualdad 4 - 2 y + x > 0 , entonces el dominio de la función es el semiplano que
contiene el origen. De nuevo insistimos, se ha dibujado la recta 4 - 2 y + x = 0 en forma punteada
para indicar que ella no pertenece al dominio de la función.

17. b) Para que la función esté bien definida y sea un número real se tiene que cumplir que
x + y ≠ 0 y x ≥ 0
Dom h = {(x, y) / x + y ≠ 0 y x ≥ 0}
La primera restricción es todo el plano salvo la recta x + y = 0
La segunda restricción es el semiplano donde la variable x es no negativa, esto es el semiplano a la
derecha del eje x . Buscamos la intersección o parte común de estos dos subconjuntos de 𝑅2
determinar el dominio de la función.

18. Ejemplo 3.- Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones
a) f (x, y) = 2 - x - 2 y ; b) f (x, y) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2
Solución
Graficamos la ecuación z = 2 - x - 2 y que corresponde a un plano, con intersecciones con los ejes
x, y y z en 2,1 y 2 respectivamente.
Graficamos la ecuación z = 4 − 𝑥2 − 𝑦2
ella es la mitad de la esfera x 2 + y 2 + z 2
=4 con coordenada z positiva

19. Simetría
La simetría (del griego őύν "con" y μέτροv "medida") es un rasgo característico de formas
geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con
su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios
Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos:
• De rotación. Es el giro que experimenta todo motivo de manera repetitiva hasta que finaliza
consiguiendo la posición idéntica que tenía al principio.
• De abatimiento. En este caso lo que se logra es dos partes iguales de un objeto
concreto tras llevarse a cabo un giro de 180º de una con respecto a la otra.
• De traslación. Este es el término que se utiliza para referirse al conjunto de
repeticiones que lleva a cabo un objeto a una distancia siempre idéntica del eje y
durante una línea que puede estar colocada en cualquier posición.
• De ampliación. Se emplea para dejar patente que dos partes de un todo son
semejantes y es que tienen la misma forma pero no un tamaño igual.
• Bilateral. Es la que permite que se obtenga un retrato bilateral que tiene
como espina dorsal un eje de simetría. A los lados de este aparecen formas
iguales a la misma distancia de él que serán las que permitan crear ese
citado retrato.

20. BIBLOGRAFIA
https://totumat.com/2020/03/31/funciones-en-varias-variables/
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
https://pro.arcgis.com/es/pro-app/help/mapping/properties/coordinate-systems-and-projections.htm
https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/es/SSLVMB_sub/statistics_mainhelp_ddita/vis_
workbench/graphboard_coordinates.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa
https://www.youtube.com/watch?v=mNh-0nMN3Tw
https://www.youtube.com/watch?v=qDr0R7hIjts
https://www.youtube.com/watch?v=OXe6ep-q-QM
https://www.youtube.com/watch?v=74jviHXFfIs