Presentación de Espacios Vectoriales

1. Benjamin Salazar
C.I: 23734162
Octubre, 2017

2. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría
analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a
finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de
los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo
dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y
continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una
teoría más rica y elaborada.
En la estructura de espacio vectorial se fundamenta una parte muy importante de la matemática: el Álgebra Lineal
Hoy en día se puede decir que no hay parte de la matemática que no contemple esta estructura, cuyo modelo más sencillo es el de
los vectores libres que se estudia en física y geometría. Ahora bien, si en esta estructura se tiene en cuenta su aspecto formal, se
puede aplicar a diversas situaciones no necesariamente geométricas .En física, llamamos vector a una magnitud orientada,
significado muy preciso que sirve para diferenciar de otras magnitudes que se llaman escalares. En matemáticas, un vector es un
elemento de un espacio vectorial; de esta forma reciben el nombre de vector tanto los polinomios como las sucesiones acotadas, o
las funciones continuas definidas en un intervalo ,etc. Todos estos entes matemáticos responden a un estructura común: el
espacio vectorial
El presente trabajo tiene como finalidad ahondar en los conceptos que envuelven el estudio de los espacios vectoriales, tales como
su definición, sus propiedades, los elementos que la integran, etc. para de esta forma tener un conocimiento mas amplio del tema y
poder hacer una aplicación exacta.

3. Un espacio vectorial es una estructura matemática que se crea a partir de
un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales.
A los elementos de esta estructura se les llama vectores, sobre los cuales se
realizan dos operaciones, una suma interna que está definida para los elementos
del conjunto y una externa, que es el producto por un escalar y definida entre dicho
conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo.
Es decir: Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida
una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un
escalar, que denotaremos por ·.
Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio
vectorial)

4. Para verificar el espacio vectorial estas dos
operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas
que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de
números reales así como de los vectores en el espacio
euclídeo. Estas propiedades son las siguientes:
1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w
∈ V
2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V .
3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V .
4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v)
= 0.
5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀ a ∈ R, ∀
u, v ∈ V .
6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀ a, b ∈
R, ∀ v ∈ V .
7. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v
∈ V .
8. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀ v ∈ V .

5. Los ejemplos clásicos de espacios vectoriales reales son:
• Dado cualquier n ∈ N el conjunto
Rn = {(x1, ...xn) : x1, ..., xn ∈ R}
dotado de las operaciones suma y producto por escalares
usuales.
• El conjunto Mm×n(R) de las matrices con coeficientes
reales de orden m × n dotados de la suma y el producto
por escalares usuales.
• El conjunto P(R) de los polinomios de variable real con
coeficientes reales con la suma y el producto por escalares
usuales.

6. • El conjunto Pn(R) de los polinomios de grado a lo sumo n
con coeficientes reales con la suma y el producto por
escalares usuales.
• El conjunto Co (R) de las funciones continuas en R con la
suma y el producto por escalaresusuales.
• El conjunto Co ([a, b]) de las funciones continuas en un
intervalo cerrado [a, b] con la suma y el producto por
escalares usuales.

7. Un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio
vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio
vectorial con las mismas operaciones que V.
Es decir, sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial
V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas
en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

8. PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para
cada u y v en
H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es,
para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

9. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector
que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por
sendos escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de
otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Combinación lineal

10. Varios vectores libres del plano se
dice que son linealmente
dependientes si hay una
combinación lineal de ellos que es
igual al vector cero, sin que sean
cero todos los coeficientes de la
combinación lineal.
Varios vectores libres son linealmente
independientes si ninguno de ellos
puede ser escrito con una combinación
lineal de los restantes.
a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente
independientes tienen distinta dirección
y sus componentes no son
proporcionales.
Dependencia Independencia

11. En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un
conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede
obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las
operaciones en él definidas.
La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…,
vn forman base para Rn.
Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V
entonces todo vector v en V se puede expresar como:
 1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn
 2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

12. Si S = {v1, v2,…, vn} es una base de un espacio vectorial V,
entonces todo vector en V puede escribirse de una y solo una forma
como combinación lineal de vectores en S.
Para demostrar la unicidad (que en un vector dado puede
representarse sólo de una manera), se supone que u tiene otra
representación u= b1v1 + b2v2+…+bnvn. Al restar la segunda
representación de la primera se obtiene:
u-u = (c1-b1)v1 + (c2-b2)v2 +… + (cn-bn)vn = 0.
Sin embargo como S es linealmente independiente, entonces la
única solución de esta ecuación es la trivial,
c1-b1=0 c2-b2=0, …, cn-
bn=0.

13.  1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo
más pequeño posible).
 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de
S (lo más grande posible).
 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S
como combinación lineal de ella,
 de manera única para cada vector.

14. Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el
mismo número de vectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. Por tanto,
la dimensión es el máximo número de vectores independientes
que podemos
tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el
máximo rango que puede tener un
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho
espacio.

15. 1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión
2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de
dimensión 0.
2. La dimensión de un subespacio en ℜn , coincide con el número de parámetros libres en
su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)
3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T. Además, si
se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que
generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de
dicho conjunto es r, entonces dim S = r.
(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)

16. El espacio nulo de una matriz A es el conjunto solución del sistema homogéneo Ax = 0. Cuando se
escribe la solución general de este sistema en forma vectorial paramétrica se obtiene una
fórmula para la solución en la forma:
x = t1u1 + · · · + tkuk .
donde t1, . . . , tk son los parámetros, los cuales se corresponden con las variables libres del
sistema y con las columnas no pivote de A. Según esta fórmula, el espacio nulo de A está
generado por los vectores u1, . . . , uk : Nul A = Gen{u1, . . . , uk}.
Pero además, hemos visto ya que estos vectores son linelmente independientes porque la matriz
que forman tiene exactamente k pivotes. Por tanto, los u1, . . . , uk generan Nul A y son
independientes por lo que constituyen una base de Nul A.
Así pues: Para hallar una base del espacio nulo de una matriz A, basta hallar la solución general
del sistema homogéneo Ax = 0 y expresarla en la forma vectorial paramétrica (1). Los vectores
u1, . . . , uk obtenidos forman una base de Nul A.

17. El rango de una matriz es el número de líneas de esa matriz
(filas o columnas) que son linealmente independientes, es
decir, que no se puede establecer una combinación lineal
entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor
submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se
puede calcular el rango usando determinantes.

18. Si la matriz A no depende de parámetros, puede resultar muy cómodo utilizar operaciones elementales de fila
para conseguir una matriz equivalente E pero escalonada1 . El rango de la matriz A será simplemente el
número de entradas principales de la matriz escalonada E, o lo que es lo mismo, el número de filas no
nulas de la matriz escalonada E.
Si la matriz depende de parámetros, en general, no es aconsejable utilizar operaciones elementales de fila.
Pueden aplicarse las siguientes técnicas
a) Si la matriz A es cuadrada puede ser conveniente calcular det A, pues para aquellos valores del o de los
parámetros para los que det A 6= 0 sabemos que el rango de A coincide con el orden de la matriz
cuadrada A y para los valores de los parámetros para los cuales det A = 0 procedemos de acuerdo a lo
expuesto en el punto 1., si la nueva matriz no depende de parámetros, o podemos utilizar la técnica que
expondremos en el punto b).
b) Para calcular el rango de una matriz A no cuadrada cuyos elementos dependen de uno o más parámetros
podemos utilizar la técnica de ir orlando ciertos menores de la matriz y que podemos resumir del modo
siguiente: Se fija un menor de orden p, normalmente p = 2, con Mp no nulo3 . Si al añadir a Mp una fila fija
Fi con cada una de las restantes columnas de A que no están en Mp, todos los menores de orden p + 1
obtenidos de este modo son nulos, eso significa que la fila Fi es combinación lineal de las filas de A que
forman parte de Mp, luego podemos suprimir la fila F

19. Llegados a este punto, podemos hacer un recuento de los
conceptos investigados en el presente trabajo.
Un espacio vectorial es es una estructura matemática que se
crea a partir de un conjunto no vacío sobre el cual se
realizan dos operaciones, una suma interna y una externa, si
el espacio vectorial posee un subconjunto que satisfaga por
sí mismo la definición de espacio este se conoce como
subespacio vectorial

20. - https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
- http://www.monografias.com/trabajos82/espacio-vectorial/espacio-
vectorial.shtml
- https://definicion.de/espacio-vectorial/
- https://www.vitutor.com/analitica/vectores/vectores_espacio.html
- https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial
- https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespacios-vectoriales/
- https://www.geoan.com/vectores/dependencia.html
- http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf
- http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/V%20Transformaciones%20
Lineales/04%20rango%20y%20nulidad.htm
- https://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.html