Asignatura: Álgebra Lineal

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN - BARCELONA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA – ELECTRÓNICA.
ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL
Facilitador : Alumno
Ramón Aray Gabriel Jesús Quijada Quiceno . C.I.
24.799.169
Seccion:EV
Barcelona, Marzo 2017
GaielQuijada

2. PÁG.
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………………… I
ESPACIO VECTORIAL……………………………………………………………………………………………01
EJEMPLOS DEL ESPACIO VECTORIAL…………………………………………………………………………..02
SUBESPACIO VECTORIAL ……………………………………………………………………………………….03
COMBINACIÓN LINEAL.............................................................................................................................04
DEPENDENCIA LINEAL……………………………………………………………………………………………05
INDEPENDENCIA LINEAL………………………………………………………………………………………….06
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL…………….………………………………………………………………….07
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO
VECTORIAL………………………………………………………………………….08
ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ………………………………………………..................................................09
RANGO DE UNA MATRIZ…………………………………………………………………………………………….10
TIPO DE MONOGRAFÍA………………………………………………………………………………………………11
ANEXO………………………………………………………………………………………………………………12
CONCLUSIÓN………………………………………………………………………………………………………..13

3. EN LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO VECTORIAL SE FUNDAMENTA UNA
PARTE MUY IMPORTANTE DE LA MATEMÁTICA: ES LA ASIGNATURA ÁLGEBRA
LINEAL HOY EN DÍA SE PUEDE DECIR QUE NO HAY PARTE DE LA
MATEMÁTICA QUE NO CONTEMPLE ESTA ESTRUCTURA, CUYO MODELO
MÁS SENCILLO ES EL DE LOS VECTORES LIBRES QUE SE ESTUDIA EN
FÍSICA Y GEOMETRÍA. AHORA BIEN, SI EN ESTA ESTRUCTURA SE TIENE EN
CUENTA SU ASPECTO FORMAL, SE PUEDE APLICAR A DIVERSAS
SITUACIONES NO NECESARIAMENTE GEOMÉTRICAS. EN FÍSICA, LLAMAMOS
VECTOR A UNA MAGNITUD ORIENTADA, SIGNIFICADO MUY PRECISO QUE
SIRVE PARA DIFERENCIAR DE OTRAS MAGNITUDES QUE SE LLAMAN
ESCALARES. EN MATEMÁTICAS, UN VECTOR ES UN ELEMENTO DE UN
ESPACIO VECTORIAL; DE ESTA FORMA RECIBEN EL NOMBRE DE VECTOR
TANTO LOS POLINOMIOS COMO LAS SUCESIONES ACOTADAS, O LAS
FUNCIONES CONTINUAS DEFINIDAS EN UN INTERVALO, ETC. TODOS ESTOS
ENTES MATEMÁTICOS RESPONDEN A UN ESTRUCTURA COMÚN: EL
ESPACIO VECTORIAL

4. Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma
de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o
R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío. Podríamos decir que un espacio vectorial es la
abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional , debe tomarse en cuenta que en el espacio
vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier
operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre
cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de
escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos
operaciones <conjunto, operación ,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es
un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar
como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada
elemento.
Cuerpo:
Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades
algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.
Sub cuerpo:
Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un
escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las
mismas que se han mencionado con anterioridad. Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y
producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial.
Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los
vectores de la Física.) Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

5. - 1) El espacio , formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un
espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un
escalar (real) de la forma habitual. n Se puede comprobar que se cumplen lasℜ
propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0). No es
un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos
(si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ). n ℜ
- 2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes
reales: P2 ={ ax2 + bx + c : a, b, c } Es un espacio vectorial real, pues podemos∈ ℜ
sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2 ; también podemos
multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2.
Veámoslo: Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 • + (b+b’) x + (c+c’)
que pertenece a P2. Producto por un escalar real: λ , λ( ax + bx + c) = λax2 • +∈ℜ
λbx + λc que pertenece a P2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades
requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0 0 K No es un espacio
vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser
un polinomio complejo que no pertenece a P2.
- 3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con
coeficientes reales. No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos
elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto,
consideremos los polinomios p = x3 +x2 +x+1 , q = –x3 +x2 +x+1 Pertenecen a G,
pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2 +2x+2 que no pertenece a G (su
grado no es 3).

6. Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como
un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V. Como V es un espacio vectorial, posee
unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S.
Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.
Definición: Subespacio. Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V
es un subespacio vectorial si contiene al vector K , y si al efectuar las operaciones de suma y
producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S. 0 (Se puede decir
que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.) Es decir: • 0 S . K •∈
Si v, w S entonces v + w S. • Si v S y λ es un escalar, entonces λv S. Ya no hace falta∈ ∈ ∈ ∈
comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que
sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las
propiedades de las operaciones en V). Por supuesto si para V utilizamos escalares reales,
también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.
Ejemplo de subespacios. 1) La recta x=y es un subespacio de . Está formado por los
vectores de la forma (a,a). 2 Contiene al vector (0,0). Además, es cerrado para la suma yℜ
producto por escalar: • Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la
recta. • Producto por un escalar: λ , λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento de la∈ℜ
recta.

7. Es una Expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de
determinados conjuntos, multiplicados entre sí. Combinación lineal Sea V un espacio
vectorial. Sean además u1, u2, . . . un V y k1, k2, . . . , kn R. La expresión:∈ ∈
# (8)
se llama combinación lineal del conjunto {u1, u2, . . un}. Debido a la propiedad de
cerradura de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, una combinación
lineal es un vector contenido en V. En algunas ocasiones es posible expresar a un vector
v V como combinación lineal de un conjunto arbitrario {u1, u2, . . . , un}:∈
# (9)
A partir de la Ecuación . (9) se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que se
resuelve para el conjunto {k1, k2, . . . , kn} de coeficientes de la combinación lineal. Tal
sistema de ecuaciones puede ser consistente o inconsistente. Cuando el sistema es
inconsistente significa que el vector v no puede ser expresado como combinación lineal
del conjunto dado; cuando es consistente, éste puede tener solución única o bien un
número infinito de soluciones, conduciendo a la existencia de grados de libertad. En las
siguientes subsecciones se analizan las condiciones en las que estas situaciones se
presentan.

8. Sea V un espacio vectorial. Sean además u1, u2, . . . , un V y k1, k2, . . . , kn∈
R. El conjunto {u1, u2, . . . , un}. es linealmente independiente si∈
Es decir, la única manera de obtener al vector cero como resultado de la
combinación lineal de un conjunto de vectores linealmente independiente es que
todos los coeficientes de la combinación lineal sean cero.

9. El conjunto será linealmente dependiente cuando la igualdad se cumpla y ∃
kj 6= 0, j {1, 2, . . . , n}. Esto implica que al menos uno de los vectores del∈
conjunto linealmente dependiente puede ser expresado como combinación
lineal de los demás. Sea el conjunto linealmente dependiente, donde
kj 6 = 0. Entonces:

10. Sea V un espacio vectorial. El conjunto {u1, u2, . . . , un V} es una base de∈
V si satisface las siguientes dos condiciones: 1. Es linealmente independiente.
2. Genera V. Esto significa que cualquier elemento de V puede expresarse
como combinación lineal del conjunto {u1, u2, . . . , un} y que ninguno de los
vectores u1,u2,. . .,un puede expresarse como combinación lineal de los otros.
Existe un número infinito de conjuntos que satisfacen las condiciones anteriores
y por lo tanto existe también un número infinito de bases para un espacio
vectorial dado.7 7Excepto para el espacio vectorial V = {0}, cuya única base es
el conjunto vacío, o
Ejemplos:
1) El conjunto n î = (1, 0, 0),ˆ = (0, 1, 0), kˆ = (0, 0, 1)o es una base para R3
2) El conjunto {a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1), c = (2, 3, 1)} es una base para R3

11. Las siguientes son definiciones equivalentes de la dimensión del espacio
vectorial V: Es el número de elementos de una base de V. Es el número
máximo de vectores en V linealmente independientes. Es el número mínimo de
vectores que generan V. La dimensión del espacio vectorial V se denota por
dimV = n.
Ejemplos:
1) dim Rn = n.
2) dim pn = n + 1.
3) dimMm×n = mn.

12. El espacio nulo de una matriz A de m x n, que se escribe Nul A, es el conjunto de todas las soluciones de
la ecuación homogénea Ax=0. En notación de conjuntos
Nul A={x: x está en R - n y Ax=0}
Cuando A tiene n columnas , las soluciones de Ax=0 pertenecen a R-n, y el espacio nulo de A es un
subconjunto de R-n. (2)
Ejercicio 1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones homogéneas
x1 -3x2 -2x3 =0
-5x1 +9x2 +x3 =0
El arreglo matricial de este sistema se escribe como Ax=0, donde
Y sea u :
Determine si u pertenece al espacio nulo de A. Calculamos Au
Como se satisface Au=0, entonces u está en Nul A

13. El rango de una matriz es el mayor de los ´ordenes de los menores no nulos que
podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número
de filas o de columnas. También se define el rango de una matriz como el numero
máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. esta segunda definición
nos va a permitir relacionar el concepto de rango con conceptos relativos a espacios
vectoriales. El cálculo del rango de una matriz es una cuestión importante a la hora
de estudiar sistemas de ecuaciones lineales. Además en teoría de control, el rango
de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u
observable. En este capítulo vamos a explicar cómo calcular rangos de matrices
reales y veremos de que modo podemos utilizar esta información para aplicarla a los
espacios vectoriales.

14. Monografía de investigación: Se realiza la investigación en torno a un tema
nuevo o poco abordado para conocer más sobre él y poder aportar algún
aspecto novedoso del mismo.

16. DESPUÉS DE HABER REALIZADO A PLENITUD ESTE TRABAJO SE HAN
RELACIONADO TODOS LOS TEMAS QUE SE HAN VISTO EN EL TRANSCURSO DEL
CICLO DE LA ASIGNATURA DE ÁLGEBRA LINEAL
SE HAN VISTO MAS DETALLADO Y CON MAS EXACTITUD LOS TEOREMAS Y
PROPIEDADES QUE HILAN TODOS LOS TEMAS PROPUESTOS POR ESTE TRABAJO Y
SE HA SE HA LLEGADO A LA CONCLUSIÓN DE TODOS LOS TEMAS ESTÁN
RELACIONADOS EN CIERTA FORMA YA QUE EN VARIOS DE ESTOS SE NECESITA
RECURRIR A LAS PROPIEDADES QUE SE HAN VISTO EN TEMAS ANTERIORES.
CON ESTO PODRÍAMOS DECIR QUE NOS HA ENSEÑADO A TENER UN AMPLIO
CRITERIO DE LA UTILIDAD DE TEMAS YA VISTOS EN NUESTRA CARRERA, YA QUE NO
PODEMOS OMITIR LAS ENSEÑANZAS PASADAS YA QUE ESTAS NOS FORMAN LAS
BASES PARA COMPRENDER Y ANALIZAR Y PODER PONER EN PRACTICA LOS TEMAS
FUTUROS. ESTE TRABAJO SE HA HECHO CON EL FIN DE COMPRENDER DE QUE NO
HAY QUE DEJARLO TIRADO Y HEMOS APRENDIDO ANTES YA QUE ESO NOS VA A
AYUDAR A SOLUCIONAR PROBLEMAS EN NUESTRO FUTURO, CITANDO EL DICHO
POPULAR SI NO APRENDEMOS DE NUESTROS ERRORES DEL PASADO LOS MISMO
NOS ESTARÁN ESPERANDO EN UN FUTURO.