Propedeutico de matematicas (Aritmética Básica Parte I)

I.S.C. Oscar Eduardo Roa Vela | Curso Propedéutico de Matemáticas 1 Febrero, 2012

INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL
Curso Propedéutico de Matemáticas
Tema 1: Aritmética
1. Números Reales.
2. Múltiplos y divisores.
3. Criterios de divisibilidad.
4. Números primos, compuestos y la unidad.
5. Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor.
6. Factorización.
7. Adición, substracción, multiplicación y división de números enteros.
8. Fracciones
9. Simplificación de fracciones.
10. Conversión de fracciones.
11. Operaciones con fracciones.
12. Leyes de exponentes y radicales.
13. Radicación y potenciación.
14. Operaciones básicas con radicales.
15. Razones y proporciones.


Números Reales
Números Naturales: N = {0, 1, 2, 3, ∞}

Números Enteros: Z = {-∞, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ∞} Zahlen

Números Racionales: Q = {a/b | a, b ∈ Z y b ≠ 0 } Quotient

Ejemplos:
½ -3/7 50 = 50/1 0.17 = 17/100 1/3 = 0.3

“Un número es racional si, y solo si, su expresión decimal es periódica”

Número Irracionales: I = {a/b | a, b ∉ Z y b ≠ 0 }

“Un número es irracional si, y solo si, su expresión decimal es NO periódica”

Ejemplos:

¶ = 3.14159… e = 2.718281….


Números Reales
Números Reales:

El conjunto R de los números reales es el conjunto formado por la unión del
conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales.

R = Q U {irracionales}

Z+=N
Z Z-
Q = a/b 0
a, b ∈ Z
b≠0 Fracciones
R
I = a/b
a, b ∉ Z
b≠0

Operaciones con Números Reales
Valor Absoluto. El Valor Absoluto de un número es siempre ese número pero con
signo positivo.

|+a| = a
|-a| = a

Ejemplo:

|+10| = 10
|-10| = 10


Suma de Enteros: Se da cuando lo signos de los operandos es el mismo, por lo tanto,
el signo del resultado será el mismo que el de los operandos.

Positivos Negativos

+a + ( +b ) = +c -a + ( –b )= -c

+2 +7 = +9 -2 + -7 = -9

+2 + (+7) = +9 -2 + (-7) = -9


Resta de Enteros: Se da cuando lo signos de los operandos es diferente, por lo tanto,
el signo del resultado será el del número con mayor magnitud en la operación

+a - b = ?c
-a +b = ?c

-2 +7 = +5

+2 -7 = -5


Multiplicación de Enteros: Un producto de números se representa por el carácter (.)
o por la ausencia de este, de igual forma los paréntesis representan a la
multiplicación. Para este proceso se utiliza la ley de los signos.

ab a.b a(b) (a)b (a)(b)

(+5) (-2) = -10
+5.-2 = -10

Ley de los signos -5 (-2) = +10
+.+ + 5(2) = +10

+.- -
-.+ -
-.- +

División de Enteros: Una división de número se representa mediante el carácter (/) y
si aplica la ley de los signos.

a/b

+27 / +9 = +3
-27 / -9 = +3

Ley de los signos -27 / +9 = -3
+.+ + +27 / -9 = -3

+.- -
-.+ -
-.- +

Propiedades con Números Reales
Reflexiva : Para todo número que tengamos será igual al él mismo

a=a

10 = 10
20 = 20
100 = 100
-90 = -90


Simétrica: Para todo número a que sea igual a b, si los invertimos siguen siendo
iguales.

a=b  b=a

x=2  2=x
x = 12  12 = x


Transitiva: Si a es igual a b y b es igual a c, por lo tanto, a es igual a c

a=b y b=c  a=c

x=2 , 2=y  x=y
x=y , y=z  x=z


Sustitución: Si a es igual a b, entonces si sustituimos el valor de a por b o viceversa
en cualquier expresión debe dar el mismo resultado.

Si a=b  (a) + c = d y (b) + c = d

a = 10, b = a, c=8

(a) + c = 18
(b) + c = 18


Transitiva de Orden:

Si a<b y b<c  a<c

a = 2, b = 4, c = 5

a<c


Tricotomía: Al comparar a con b se tiene que cumplir una sola condición.

a<b

a=b

a>b


Para la Suma y Multiplicación

Nombre Suma Multiplicación
Cerradura (a + b) = c (a . b) = c
Conmutativa a +b = b + a a.b=b.a
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) c = a (b . c)
Identidad a+0=a a.1=a
Inverso a + (-a) = 0 a (1/a) = 1
a≠0

Nombre Suma Multiplicación
Distributiva
por la Izquierda a (b + c) = a . b + a . c
por la Derecha (a + b) c = a . c + b . c


Simétrico de un número real
El Simétrico de un número real es buscar el opuesto del número.

El simétrico de 5 es -5

El simétrico de -8 es 8


Simplificación de Expresiones
Signos de Agrupación

( ) paréntesis

[ ] corchetes

{ } llaves


Simplificación de Expresiones con números reales

13 + (-2) + 5 = ?
13 -2 + 5 = ?
11 + 5 = 16

8 + (-5) + 7 + (-23) = ?
8 - 5 + 7 – 23 = ?
15 – 28 = -13

(-6) + (2)(-5) + 9/5-(-2) = ?
-6 +(-10) + 9 / 5 + 2 = ?
-16 + 9 / 7 = ?
-7/7 = -1

Eliminación de signos de agrupación

5 + (2 - 3) = ?
5–1=4

- ( -( -( -1 + 6 ) ) ) [30 – (2 + 6 -1)] + 9 = ?
- ( -( -( 5 ) ) ) [30 -7] + 9= ?
- ( -( - 5 ) ) 23 + 9 = 32
-( 5 )
-5 -11 – {2 + [5 – (6 – 7 + 3)] + 12 } – 1 = ?
-11 – {2 + [5 – 2] + 12 } – 1 = ?
-11 – {2 + 3 + 12 } – 1 = ?
-11 – 17 – 1 = -29


Eliminación de signos de agrupación por Jerarquía:
1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º. Calcular las potencias y raíces.
3º. Efectuar los productos y divisiones.
4º. Realizar las sumas y restas

(-2)2(-4)3-33(-1)2 2–5.3=?
(4)(-64)-27(1) 2 – 15 = -13
-256-27
-283 30 – 7 x 5 + 33 + 15 = ?
30 -7 x 5 + 27 + 15 = ?
160 / (-4)2 – 5 (-2)3 30 - 35 + 27 + 15 = ?
160/16 – 5 . -8 30 - 35 + 27 + 15 = ?
10 + 40 72 – 35 = 37
50

Fracciones
Operaciones con números racionales Numerador. Indica cuantas
partes del Entero se tomarán

2  Numerador
—
3  Denominador
Denominador. Indica en cuantas
partes de divide un Entero

5 Aquí el numerador es
menor que el denominador
Propias —
NO HAY ENTEROS
7
Fracciones Aquí el numerador es
7 mayor que el
denominador
Impropias. Son aquellas que se
convierten a fracciones mixtas
— SI HAY ENTEROS
5

Fracciones
Fracciones Equivalentes

2
—
4

Fracciones Equivalentes.

Numéricamente son diferentes

Pero toman la misma parte del entero

1
—
2


Fracciones
Simplificación de Fracciones. Llegar hasta la fracción irreducible no importa el signo
de la fracción si es positiva será positiva y si es negativa será negativa.
2 1
Fracción
—— Irreducible
4 2

12 6 3
Fracción
——— Irreducible
16 8 4

24 12 4
Fracción
——— Irreducible
42 21 7

Fracciones
Conversión de Fracciones

•De Mixta a Impropia. Se multiplica el denominador por el entero y al resultado se la
suma el numerador.

100 310
5 — = —
42 42

•De Impropia a Mixta. Se divide el denominador por el numerador y se toma el
resultado de la división como el total de enteros y el residuo como la parte
fraccionaria.

310 100
— = 7 —
42 42


Fracciones
Simplificación de Fracciones usando Factores.

•Buscar números que multiplicados te den los miembros de la fracción.

105 3 x 35 3x5x7 5
—  ———  ————  —
42 2 x 21 2x3x7 2


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