1. Universidada Nacional Experimental quot;SIMÓN
RODRIGUEZquot;
Semestre A-2009. Matemática I. Pro. Juan Enrique
Pérez
Conjuntos
Preguntas
1) Cuáles son los elementos de:
a) El conjunto de los dias de la semana
b) El conjunto de las estaciones del año
c) Los números impares menores de 11
d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20
e) Los números primos menores de 15
2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ()
b) y { o, p, q, x } ()
c) x { o, p, q, y } ()
d) Perú { países de Europa } ()
e) Amazonas { rios de América } ()
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos,
3)
infinitos?
a) A = { x / x es día de la semana} .....
b) B = { vocales de la palabra vals} .....
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} .....
d) D = { x / x es un habitante de la luna} .....
e) E = { x N / x < 15} .....
f) F = { x N y 5 < x < 5 } .....

2. g) G = { x N y x > 15} .....
h) H = { x N y x = x} .....
i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} .....
j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } .....
Preguntas
1) Cuáles son los elementos de:
a) El conjunto de los dias de la semana
b) El conjunto de las estaciones del año
c) Los números impares menores de 11
d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20
e) Los números primos menores de 15
2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ()
b) y { o, p, q, x } ()
c) x { o, p, q, y } ()
d) Perú { países de Europa } ()
e) Amazonas { rios de América } ()
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos,
3)
infinitos?
a) A = { x / x es día de la semana} .....
b) B = { vocales de la palabra vals} .....
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} .....
d) D = { x / x es un habitante de la luna} .....
e) E = { x N / x < 15} .....
f) F = { x N y 5 < x < 5 } .....
g) G = { x N y x > 15} .....
h) H = { x N y x = x} .....

3. i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} .....
j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } .....
Generales
(*): Muestre que el conjunto vacío es subconjuto de cualquier conjunto.
(*): Muestre que existen conjuntos X, Y, Z tales que X Y=X Z,yY Z.
(*): Para A, B y C conjuntos (A no vacío), A x B = A x C implica B = C.
(*): Sean A. B conjuntos. Para cada uno de los siguientes pares de conjuntos determine si son
iguales, si uno está contenido en el otro o si no son comparables:
a) P(A) ; A.
b) P( A) ; A.
c) P(A) ; P( A).
d) P(A x B) ; P(A) x P(B).
e) P(A B) ; P(A) P(B).
(*) ( f | C ) | D = f | ( C n D).
(*) Sean R, S relaciones de equivalencia. Entonces RoS es relación de equivalencia ssi RoS =
SoR. Dé un ejemplo donde RoS no sea de equivalencia.
(*) La relación < de Q no es de la forma A x B.
(*) Halle el campo de la relación T = {(x, y) en RxR : |x| + |y| = 1}.
(*) Toda estructura bien ordenada es no densa.
(*) El conjunto de órdenes lineales de N es equipotente a R.
(*) A subconjunto de R no enumerable. < el orden usual en R. Entonces (A x A) n (<) no es un
buen orden ni un orden discreto.
(*) (a) A es transitivo si para todos x, y: ( x en y, y en A) => (x en A)
(b) Defina S(x) = x u {x} (sucesor).
(b) Dado A, sea (AxA) = {(x,y) en AxA | x en y }).
(c) A es especial si [A es transitivo], [ (A, (AxA) ) es bien ordenado], [ (existe b tal que A =
S(b)) o (A = { }) ], y [ dado a en A (a no vacío), existe x tal que a = S(x)].
Pruebe que la propiedad ser especial es equivalente a la propiedad estar en N.

4. (*) Def: Un conjunto X es normal ssi X X. Muestre que esta propiedad se hereda hacia arriba
(todo conjunto con todos sus elementos normales es normal).
(*) Quite el símbolo = del léxico de la teoría de conjuntos, y agregue el axioma (a = b) x:
x en a <--> x en b). ¿Necesitamos añadir un axioma para recuperar todas las propiedades del
=?
(*) Sea (A, <) un conjunto enumerable totalmente ordenado sin elemento máximo. Muestre que
existe una función f :N A tal que para todo n, m, si n < m entonces f(n) < f(m), y para todo
a en A existe k en N tal que f(n) a.
Cardinales, biyecciones
(*): Para un conjunto A finito de cardinal N, ¿cuál es la cardinalidad de P(A) (el conjunto de
todos los subconjuntos de A)?
(*) f :N A sobreyectiva, para todo a en A, f ^(-1)[a] es finito. Entonces A es equipotente a
los naturales.
(*) Sea A = P(N) -- {{}, N}.
a) El conjunto de elementos maximales (resp. inclusión) de A y el conjunto de elementos
minimales (resp. inclusión) de A son cada uno equipotentes a N.
b) El conjunto Ramas(A) (resp inclusión) es equipotente a R.
[C es cadena o rama de la relación T ssi C es no vacío y (C x C) T es orden lineal ].
(*) [ Toda familia {An}n N enumerable de conjuntos finitos no vacíos tiene una función de
elección ] ssi [ toda familia {An}n N de conjuntos finitos es a lo sumo enumerable ].
(*) Un conjunto A es Dedekind-infinito si existe una función de A en A inyectiva y no
sobreyectiva. Muestre que A es Dedekind-infinito si y sólo si existe una función inyectiva de los
naturales en A.
(*) (a) Pruebe que el conjunto A = {S | S es subconjunto infinito de los naturales} es equipotente
a R.
N | f es biyección} es equipotente a R.
(b) Pruebe que el conjunto B = {f :N
Ordinales
R tal que (S, <) es isomorfo a
(*) Sea un ordinal enumerable. Entonces existe S .

5. Ejercicios resueltos
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se
puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
Ejercicios propuestos
1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i,
u, n, f, o}?
2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
14).- Obtener la diferencia AB si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

6. Nivel II
1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?
(1) (2) (3)
2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x I x es día de la semana}
b) B = { vocales de la palabra conjunto}
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }
3.- Demuestre con diagrama de Venn que
4.-Demuestre las leyes de De Morgan:
5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:
6.- En el diagrama de Venn que sigue rayar,
(1) ; (2)