5º álgebra

Índice

ÁLGEBRA – 5 to AÑO DE SECUNDARIA
Pág.

T E M A 1 Numeros Complejos........................................................................... 2

Clasificación.................................................................................................................................. 2

Representación de complejos......................................................................................................... 3

T E M A 2 Análisis Combinatorio....................................................................... 10

Factorial de un número.................................................................................................................. 10

Números combinatorios................................................................................................................. 18

Permutación, combinación y Variación............................................................................................ 18

Binomio de Newton....................................................................................................................... 22

T E M A 3 logaritmos......................................................................................... 27

T E M A 4 Funciones Exponenciales y logarítmicas.......................................... 37

Función Exponencial...................................................................................................................... 37

Función Logarítmica...................................................................................................................... 41

T E M A 5 Matrices y Determinantes................................................................. 43

Definición .................................................................................................................................... 43

Álgebra de Matrices....................................................................................................................... 47

Determinantes.............................................................................................................................. 53

T E M A 6 Calculo Diferencial............................................................................ 60

Funciones..................................................................................................................................... 60

Límites ...................................................................................................................................... 64

Derivadas..................................................................................................................................... 80

Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI

Tema nº 01: números complejos
Capacidades:
 Identificar el conjunto de los números complejos.
 Clasifica correctamente a los números complejos.
 Representa de diversas maneras a los números complejos.
 Opera con números complejos.
 Resuelve problemas con números complejos.

Desarrollo del Tema:
Cantidades Imaginarias
Ejemplo: i
47
= i 4(1 1 )+ 3 = i 3 = −i
Se obtienen al extraer raíz de índice par a
i −1 0 = i − 3(4)+ 2 = i 2 = −1
un número negativo.

−2 ; 4
−7 ; 6
−4
Ejemplo : ; ... etc. Observación: Es conveniente recordar las
siguientes propiedades aritméticas.
Unidad Imaginaria °
(a + r)n = a+ rn
Definición: La unidad imaginaria se
°
(a − r)n = a+ rn (n → p ar)
obtiene al extraer raíz cuadrada de -1, se
representa de la siguiente manera : °
(a − r)n = a− rn (n → im p ar )
−1 = i Ejemplo :

también se define como : 1112 1112 1112
91 0 (4 o +1 )1 0 4 o +1 1 0 o +1
i =i =i = i4 =i
i2 = −1

Números Complejos
Potencias de la Unidad Imaginaria Son aquellos números que tienen la forma :

i1 = i Z = a + b i = (a ; b ); a , b ε R
i = −1
2
donde :
i = −i
3
a = Re (Z ) s e lla m a , p a r te re a l d e Z
i4 = 1 b = Im (Z ) s e lla m a p a r te i m a g i n a r i a d e Z
Propiedades :
CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS
i4 n = 1 ; n ε Z
1.
Complejos Conjugados
(Z)
Ejemplo : i 480
=i 4(1 20 )
=1 Son aquellos que sólo difieren en el signo
de la parte imaginaria.
+k Ejemplo :
i4 n = ik ; (n ; k ε Z )
2.
Z = 3 +4 i ; su conjugado es : Z = 3 − 4i

Ecuación Segundo Año

Z = a + bi
Complejos Opuestos (Zop)
Son aquellos que sólo difieren en los signos
Gráfica del Complejo
de la parte real e imaginaria,
Cada complejo es un punto en el plano,
respectivamente.
para ubicarlo se le representa en el
llamado plano complejo, Gaussiano o
Ejemplo :
de Argand, el cual está formado por un
Z = 5 - 2i ; su opuesto es : Zop = −5 + 2 i
eje vertical (eje imaginario) y un eje
horizontal (eje real).
Complejos Iguales:
Ejemplo :
Son aquellos que tienen partes reales e
Z1
imaginarias, respectivamente, iguales. Graficar : = 3 + 4i
Ejemplo : Z2
= 5 - 3i
De la igualdad : a + bi = 8 - 11i
En el plano Gaussiano :
tenemos : a = 8; b = -11
Im
Complejo Nulo:
E je i m a g i n a r i o
Son aquellos que tienen su parte real e
imaginaria, respectivamente, iguales a
4 Z 1 = (3 ; 4 )
cero.
Si : a + bi es nulo ⇒a + bi = 0
Luego : a = 0; b = 0
5
Re
Complejo Imaginario Puro O rig e n 3
Es aquel cuya parte real es igual a cero y su E je re a l
parte imaginaria distinta de cero. -3 Z 2 = (5 ; -3 )
Si : a + bi es imaginario puro ⇒ a=0

Observación : Cada complejo se
Complejo Real representa por un punto en el plano al
Si un complejo es real, entonces su parte cual se le llama afijo del complejo.
imaginaria igual a cero :
Si : a + bi es real ⇒b =0 II. Representación Polar o
Trigonométrica :
Representación de los Complejos En este caso, el complejo adopta la
I. Representación Cartesiana o forma :
Geométrica
En este caso, el complejo está
Z = ρ (C o s θ + i S e n θ )
representado de la forma: ρ→
Donde : módulo; r > 0

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
3


θ → argumento; 0 ≤ θ < 2 π 
* ρ = a2 + b 2
* a = ρ C os θ

Gráfica del Complejo * b = ρ S en θ
En este caso, se utiliza el sistema de 
 b
coordenadas polares el cual está * θ = ArcT g
 a
formado por un punto fijo llamado polo
y una semirecta que parte del polo, a + bi = ρ C os θ + (ρ S en θ) i
llamado eje polar. El módulo ( ρ ) es la
a + b i = ρ (C o s θ + iS e n θ)
distancia del polo al punto que
representa el complejo y el argumento Para transformar de cartesiana a polar
se calcula y . En el caso inverso, se
(θ) el ángulo positivo medido en sentido
calcula el valor de la función
antihorario desde el eje polar hasta el
trigonométrica.
radio vector O Z .
Graficar : Z = 5(Cos40° + iSen40°)
Aplicación :
En el sistema de coordenadas polares :
1. Transformar : Z = 3 + 4i
Z (5 ; 4 0 º )

ρ = 5 *
ρ = 32 + 4 2 = 5
4
40º θ = ArcT g = 53°
O * 3
p o lo e je p o la r ⇒ 3 + 4i = 5 (C os 53 ° + i S en 53°)

Relación entre la Representación 2. Transformar : Z = 6 (Cos37°+ i
Cartesiana y Polar Sen37°)
Sea el complejo : Z = a+b i (a, b >0) Z = 6(Cos37°+ i Sen37°)
Im 4 3
Z = 6( + i )
Z 5 5
b
24 1 8
ρ Z= + i
O ri g e n E je re a l p o s i ti v o 5 5
θ
a Re
III. Representación de Euler
P o lo E je p o la r En este caso, se tiene :

En la figura sombreada : e x p re s a d o e n
ra d ia n e s
ρ (C o s θ + i S e n θ) = ρ e iθ
Se cumple :


iθ
C o s θ + iS e n θ = e
d) Radicación :
Siendo: e = 2,71828.... (base de los En general se asume que la raíz
logaritmos Naturales). adopta la forma (a+bi) ; luego a y b
Asimismo : se hallan por definición de

iθ radicación.
a + b i = ρ (C o s θ + iS e n θ) = ρ e
Ejemplo : 5 +1 2i

OPERACIONES CON COMPLEJOS 5 + 1 2 i = a + bi
I. Operaciones en forma cartesiana Elevando al cuadrado
a) Adición y multiplicación
5 + 1 2 i = a2 − b 2 + 2 abi
Se utilizan las mismas reglas
Igualando :
algebraicas.
Ejemplo : (3+i)(3+2i) - (5-4i) 5 = a2 − b 2 ; 1 2 = 2 ab
Resolución : Resolviendo :

9 + 6i + 3i + 2 i 2 − 5 + 4i
= 9 + 6i + 3i − 2 − 5 + 4i a = 3
 ⇒ 5 + 1 2 i = 3 + 2i
= 2 + 1 3i b = 2

a = −3
b) División  ⇒ 5 + 1 2 i = −3 − 2 i
b = −2 
Se multiplica el numerador y
denominador por el complejo
Observación :
conjugado de este último.
* (1 ± i) = 2i
2 + 3i
Z= 1 +i
Ejemplo : 3+i =i
* 1 −i
2 + 3i 3 − i 6 − 2 i + 9i − 3i 2
Z= . = 1 −i
3+i 3−i 9 − i2 = −i
* 1 +i
6 + 7i + 3 9 + 7i 9 7
Z= = = + i
9 − (−1 ) 10 10 10 Operaciones en forma polar
a) Multiplicación :

c) Potenciación : En este caso, los módulos se

Se utiliza el teorema del binomio. multiplican y los argumentos se

Ejemplo: suman.
Z1 = ρ1 (C os θ1 + i S en θ1 )
(2 i + 3)2 = 4i 2 + 1 2 i + 9
= −4 + 1 2 i + 9 Z 2 = ρ2 (C os θ2 + i S en θ2 )
= 5 + 1 2i
⇒ Z1 Z 2 = ρ 1 ρ 2 [C o s (θ1 + θ 2 ) + i S e n (θ1 + θ 2 )]

5


n
Nota : observa que z tiene "n"
b) División :
valores.
En este caso, los módulos se dividen
Ejemplo :
y los argumentos se restan.
Hallar las raíces cúbicas de la
Z1 = ρ1 (C os θ1 + i S en θ1 )
unidad.
Z 2 = ρ2 (C os θ2 + i S en θ2 ) 3
1 = 3 1 + 0i = 3 C os 0° + i S en 0°
Z ρ1  0° + 2 k π   2 kπ 
⇒ 1 = [ C o s (θ1 − θ 2 ) + i S e n (θ1 − θ 2 )] 3
1 = C os   + i S en  0° + 
Z 2 ρ2  3   3 

k = 0, 1, 2
c) Potenciación : 3
k=0 → 1 =1
En este caso, el exponente eleva al
módulo y multiplica al argumento. 1 3
3 − + i= w
[ρ (C os θ + i S en θ)]n = ρn [C os n θ + i S en n θ] k=1 → 1 = 2 2

1 3
3 − − i = w2
d) Radicación : k=2 → 1 = 2 2
En este caso, se aplica la fórmula de Raíces cúbicas de la unidad :
De Moivre.
Sea : Z = r(Cosq + iSenq) 1; w; w2 .
donde :
 θ + 2kπ θ + 2kπ 
n
Z = n ρ C o s ( )+ iSen( )
 n n  * w3 = 1

k = 0 , 1 , 2 , ..... , (n -1 )
* 1 + w + w2 = 0

ejercIcIos propUesTos

1) Calcular : 3) Simplificar :

−2 − 8 + −1 2 − 1 2 − − 3600 −1 i 28 + i 321 + i 49 + i 50 + i1 7
Z=
a) 76 b) -76 c) 44
i1 921 + i1 932 − i1 960 + i1 973 − i 2003
d) -44 e) 50 a) i b) -i c) 1
d) -1 e) 1 - 1

2) Reducir :
4) 04. Reducir :
i +i +i
4 9 16
V= −i J = i + i 2 + i 3 + i 4 + ... + i 2003
2−i +i 5 10
−i 15
a) 1 b) 2 c) -1
a) 1 b) 2 c) 3i
d) i e) 2i
d) 2i e) 4i


5) Hallar la suma "A" de números es un complejo real. Calcular : "n".
complejos : a) -3/8 b) 9/8 c) 9

A = (1 + i) + (2 + i 2 ) + (3 + i 3 ) + (4 + i 4 ) + ... + (4n + i 4 n ) d) 9/4 e) 3/4

a) n (2n+1) b) 2n (4n+1)
11)Hallar "n", si el número siguiente es
c) 0 d) n(4n+1) e) 2n(4n-1)
imaginario puro :

6) Calcular : 3 − 2 ni
4 − 3i
1112 15 16 1 9 20
91 0 1 31 4 1 71 8
V=i +i +i a) -1 b) -2 c) -3
a) 0 b) 1 c) 3 d) -4 e) -5
d) 3i e) -3i
12) Sabiendo que :

a + 2i
z=
7) 07. Si : b − 3i ; es un número real.

(ni 1 2 + i1 3 ) ( 2 i + n ) = a2 + bi ; { a ; b ; n } ⊂ R w=
b + (a + 8) i
a + bi ; es un número
b 2
(n − a2 ); (i = − 1 )
imaginario puro. Indique : a - b.
Calcular : n
a) -12 b) 10 c) 24
a) 2/3 b)3/2 c) 6
d) 8 e) -10
d) 1/3 e) 3

{ z1 ; z 2 } ⊂ C
13) Si : , calcular :
8) Si : a2 + bi = m + ni
5 z1 + z 2 2 z − 3z 2
Im ( ) − Im ( 1 )
{a; b; m; n} R; además : i = −1 3z1 + 4 z 2 3z1 + 4 z 2
2

m 2
b a) -3 b) -1 c) 1
+
Calcular : a + n
2 2 mn d) 3 e) 0

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 14) Si "i" es la unidad imaginaria, al
efectuar la siguiente operación :

9) Calcular "n", si se cumple : 2 (1 + i)1 6 − (1 − i)1 6
3 (n + i) + 5 (n + 3i) = 3 7 (a + 2 ai ) a) 0 b) 1 c) -256
d) 512 i e) 256
n ε R ∧ aε R
Si :
a) -3/8 b) 9/8 c) 9
15) Calcular el valor de : 2i
d) 9/4 e) 3/4
a) 1 + i b) 1 - i c) -1 - i
d) -1 + i e) a ó c
3 (n + i) + 5 (n + 3i)
n εR ∧z =
10) Si : 1 + 2i
16)Determinar el módulo de :

7


(7 + 3i)( 5 − 3i) z = (1 + i)2 + (1 + 2 i)2 + (1 + 3i)2 + ... + (1 + ni )2
Z=
(−5 + 2 i)( 6 − i)
n ε Z+
;
a) 1 b) 2 c) 2
n (n + 1 ) n (2 n + 5 )
d)
2 7 e) 14 a) 2 b) n c) 3

n (n + 1 ) n
(2 n + 5 )(1 − n )
Z1 = 2 + 5 i ∧ Z 2 = 1 − i d) 6 e) 6
17) Sea :

 Z 
58  2 2  zε C
| Z |  23) Si : , resolver :
Determinar :  1 
|z| - z = 3 + i
a) 3 + i b) 5 - i c) 4
d) 2 - 2i e) 4i Indique : z−1

2 (7 + 1 2 i)−1 6 (7 − 24 i)−1
a) b)

18)Determinar el módulo de : 7 (6 − 4i)−1 −1
c) d) − 3(4 + 3i)
Z = ((1 + i)4 + 4i)((1 − i)4 − 4i)( 3i + 1 ) 7 (6 − 28 i)−1
e)
a) 2 b) 8 c) 32
d) 64 e) 128
24)Sean : |z|= 2; |w| = 3.

K =| z + w | 2 + | z − w | 2
19)Hallar "n". Hallar :
a) 36 b) 26 c) 34
8 + (1 − i)6 = n (1 + i); n ε R ; i = − 1
d) 18 e) 22
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e)10
25)Indique el módulo de :

20)Hallar el módulo del complejo "Z", si al (2 + 2 i)(1 + 3i)
W=
dividirlo entre 5+i y al cociente sumarle (1 − i)( 7 + 3i)
2, se obtuvo 3-i.
a) 1 b) 2 3 c) 2

a) 13 b) 2 13 c) 3 13
d) 2 2 e) 2
d) 4 13 e) 5 13

26)Sabiendo que : m, n, x, y R.
Z1 ; Z 2 ε C m + ni = x + yi
21) Sean : . Reducir : Además :
| z1 + z 2 | 2 − | z1 − z 2 | 2 Hallar el equivalente de :
R e (z1 . z 2 ) + R e (z1 . z 2 )
n2
a) 1 b) 1/2 c) 2 K=
m y 2 + y4
d) 3 e) 1/3
a) 6 b) 4 c) 8
d) 12 e) 10
22)Indique la parte real de :


3
a + bi = m + ni ; { a ; b ; m ; n } ⊂ R z3 = 4C os 5 ° + 4iS en 5 °
27) Si :
a) 4 i b) -1/2 c) 1/4
d) i/2 e) 1
además : . i = −1

(m 3 − a)(b + n 3 ) w 1 = − S en 20° − i C os 20°
34) Sea :

Calcular : m 3n 3 Arg (w 1 )
hallar :
a) 3 i b) 1 c) -3 a) 190° b) 250° c) 240°
d) 340° e) 200°
d) -3 i e) 3
35)Efectuar :
C : z2 + 2 | z | = 0 −4i
28) Resolver en :  1 +i 
 
Indique : Re(3z) - Im(z).  2 
 
a) -3 b) 9 c) 1
a) e
−π
b) e − π /2 c) e π /2
d) -2 e) 2
d) e
2π
e) eπ
2 i− i+5 i
29) Efectuar :
36) Un número real "x", que satisface la
a) 1 + i b) 1 - i c) i ecuación:
−1 + i
(S enx + i C osx )4 = S enx − iC osx es :
2i 2
d) e)
π π
30)Hallar "Z", si cumple : a) 1 0 b) − π c) 2
1 1
+ =
6
∧ | Z| = 5 π
Z Z 25
d) 5 e)
π
5
a) 3 - 4i b) 4 - 3i c) 3 + 4i
1 3
5 5 z=− + i
+i 37) Si : 2 2
d) 3 − 4i e) 3
Calcular : . z− 3 + z3
31)Llevar a su forma trigonométrica : 2 e πi 2 e 2 πi 2 e 2 πi
a) b) c)
z = -3 - 4i 2π
i
32)Llevar a su forma exponencial : −1 + 3 i e 3
d) e)
−4+4 3i
4π 2π 38)Reducir :
4π
i i i π π
16e 3 4e 3 4e 3 i − i
a) b) c) e4 +e 4
4π 2π
L = π π
i i i − i
d)
8e 3
e)
8e 3 e4 −e 4

33)Efectuar : a) 1 b) -1 c) i
d) -i e) e
z15 z3
K = 2
4
z3 39) Proporcionar un equivalente de : ii .

sabiendo que : a) e − π /4 b) e
− π /2
c) eπ
z1 = 2 (C os 1 0° + i S en 1 0°) d) e
3 π /2
e) Hay 2 correctas

z 2 = 8 C is20° 40)Hallar el módulo de "z" que verifica :

9


eπ
e =
z 4 (1 + i)
4

Análisis Combinatorio Quinto Año

Tema nº 02 : análIsIs combInaTorIo
Capacidades:
 Define correctamente el factorial de un número.
 Opera con factoriales.
 Opera con números combinatorias.
 Diferencia entre permutación, combinación y variación.
 Resuelve problemas con variación, permutación , combinación y binomio de Newton.

Desarrollo del Tema:

FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se denomina factorial de un número entero y positivo al producto indicado desde la unidad en forma
consecutiva, hasta el número dado. Al factorial de un número se puede representar por cualquiera de los
dos símbolos: ! ó

Si el factorial es “n”m su factorial se representa por:

n!
Se lee: Factorial del número “n” o “b” factorial.
n

Por definición:
n! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. X n

n! = n = n x (n – 1) x (n – 2) – (n x 3) x … 2 x 1
Ejemplos:
2! = 2 = 1x2=2
3! = 3 = 1x2x3=6
4! = 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 7 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040

OBSERVACIONES
1. Los factoriales sólo están definidos para cantidades enteras y positivas, así:
5! = 5 ¡ factorial de 5  (si existe)
(-3)! = -3 ¡ factorial de (-3)  (no existe)
-4! = - 4 ¡ factorial de 4  (si existe)
6! 6
= ¡ un medio de factorial de 6  (si existe)
2 2

11

1 1 1
 != ¡ factorial de  (no existe)
 3 3 3

( 2 ) != 2 ¡ factorial de 2  (no existe)
2. El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor.
Ejemplo:
Sea: 6! = 6 =1x2x3x4x5x6

6! = 6 = 5 x 6  6! = 6 = 6x 5

También: 6! = 6 =1x2x3x4x5x6

6! = 6 = 4  6! = 6 =5x6x 4

O también: 6! = 6 = 1x2x3x4x5x6

6! = 6 = 3  6! = 6 =4x5x6x 3

Noten que en los tres casos, todos ellos son iguales a 6! Y a su vez el número contenido en
el factorial y los que están fuera de él son sus consecutivos posteriores a él.
Ejemplo 1: Escribir 12! en función del Ejemplo 2: Escribir 20! en función del
factorial de 9 factorial de 16
Solución: Solución:
12! = 9! X 10 x 11 x 12 20! = 16! X 17 x 18 x 19 x 20

Ejemplo 3: Escribir (x+5)! en función Ejemplo 4: Escribir (x-2)! en función del
del factorial de (x+2) factorial de (x-4)
Solución: Solución:
(x+5)! = (x+2)! (x+3) (x+4) (x+5) (x-2)! = (x-4)! (x-3) (x-2)

3. Por Convención: 0 = 0! = 1 ; y por definición: 1 = 1! = 1
Lo que no implica que no podrá hacerse: 0 = 1  0 = 1 porque los dos conceptos
tienen diferente punto de partida en cuanto a su definición.
Demostrar que: 0! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n y que esta igualdad cumple para todo número entero
positivo a partir de la unidad.
n!
Acomodando la expresión, obtenemos: = ( n − 1)!
n
Reemplazando será:
1!
N=1  = (1 − 1)!  ∴ 1 = 0! l . q . q . d.
1


Demostrar que: 1! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n
n!
Es decir: = ( n−)!¡ damos a “n” valor de 2, obteniendo:
n
2! 2
= (2 − 1)! ⇒ = 1! ⇒ 1 = 1! l.q.q.d.
2 2

4. De lo anterior, si:
 a=0
a! = 1 ó
 a=1

Ejemplo:
Dar la suma de los posibles valores de “x” en: (x – 3)! = 1
Solución:
x–3=0  x=3
(x – 3)! = 1 ó
x–3=1  x=4

∴ La suma de los posibles valores de “x” será: 3 + 4 = 7

5. Si: a = b  a=b ∀ a, b ∈ N (∀ = para todo)

Ejemplo: Determina el valor de “x” si: x – 1 = 24
Solución:
Tal como se presenta la igualdad, no es posible el despeje directo de “x” para ello es
recomendable desdoblar el 24 en factores de forma consecutiva veamos:
x–1=1x2x3x4
x–1=4

RECOMENDACIONES
En factoriales las siguientes operaciones no se cumplen:
I) (n + m)! ≠ n! + m! III) (n x m)! ≠ n! x m!
Ejemplo: Ejemplo:
(3+2)! ≠ 3° + 2! (3 x 2)! ≠ 3! X 2!
5! ≠6+2 6! ≠ 6 x 2
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
120 ≠ 8 720 ≠ 12

u n!
II) (n – m)! ≠ n! – m! IV)   !≠
m m!
Ejemplo: Ejemplo:

13

(4-2)! ≠ 4° - 2!

 6  6!
 ! ≠
 3  3!
720
2! ≠ 24 -2 2! ≠
6
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
2 ≠ 22 2 ≠ 120

prácTIca De clase

1) Determina el valor de M, sabiendo que: 11) Resuelve la ecuación:
13! ( x − 3)!+( x − 2)!
M = = 120
9! x 4! ( x − 1)
2) Halla: 12. Simplifica:
6! x 4! ( n!!+1)!−nn!!!
S= R=
8! (n!!−1)!
3) Halla el valor de: 13. Halla el valor de.
10! x5! 12! 15! 11! x6!
E= a) b) c)
12! x3! 10! 13! x 2! 9!
4) Simplifica: 14. Calcula el valor de:
n!
R= + n( 2 − n)  5! x 4! 10 
(n − 2)! R= − !
 (4!) − (3!)
2 2
3
5) Calcula el valor de:
15. Resuelve:
 8! x 7! 25 
P= (2 x + 1)!
 (7!) 2 − (6!) 2 − 6 !
 = 72
  (2 x − 1)
6) Halla el valor de: 16. a) ¿Qué valor tiene “k”?
n! 1 (n + 1)! Si: k! x 7 x 8 x 9 x 10 = 10!
E= − +
(n + 1)! (n + 1) n! b) ¿Qué valor tiene “n”?
7) Reduce: Si: (n-3)! X 9 x 19 x 11 x 12 = 12!
n[ n!−1)!]
P= 11!
( n − 1)! 17. Determinar el valor de: M =
8) Halla el valor de:
( 7!)( 4!)
Q = (n+2)! – (n+1)!
R=
( 6!)( 4!)
18. CALCULAR:
9!
9) Resuelve la ecuación:
( x − 2)!( x + 1)! ( x + 2)! = 6
19. Calcular “X”:
( x − 1)! x! x!
10) Resuelve la ecuación:


(3x + 1!)!
= 42 R=
( n + 1)! − n!
20. Calcular:
(3x − 1)! ( n − 1)!

prácTIca DomIcIlIarIa

1. Reduce: E = (n+2)! – 2(n+1)! ( n + 1) − n!
a) (n-2)! b) (n+3)! c) n(n+1) 8. Reduce: R =
(n − 1)!
d) n(n+1) e) n! (n+1)
1
a) n b) n2 c) 2n d) e) n3
7!−2 + 5! n2
2. Reduce: M =
6!−10 x 4!
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 (n + 2)!
9. Calcula el valor de “n”: =6
n!
1 a) 1 b) 2 c) 3 d4 e) 5
3. El valor de: ; es:
4!+3!
1 4 1 1 1 (n + 3)!
10. Calcula el valor de “x” . = 10
a) b) c) d) e) 3 (n + 1)
7! 5! 4.3! 5!
N.A. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Indica la solución entera de la ecuación
1 1
4. Efectúa: − (x-1)! + (x! + (x+1)! = 5880
n! ( n + 1)! a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2
n n +1 n −1
a) b) c)
n! n! (n + 1)! 12. Efectúa:

n 1 (13!) 2 13!
d) e) −
(n + 1)! n)(n + 1)! (12!) + 2(12!11!) + (11!)
2 2
10!+11!
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
( x − 1)!( x + 2) 5
5. Resuelve: = 13. Calcula el valor de “x”:
x 3 (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!!)24
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

m!(n + 1)! 14. El valor de:
6. Simplifica: E =
(m + 1)!n! 5
; es:
n −1 n +1 m +1 5!+4!+3!
a) b) c)
m +1 m +1 n +1 5 6 3
a) b) c)
m +1 m 12! 5! 4!
d) e)
n −1 n 4
d) e) N.A.
5!
11!+10!+9!
7. Simplifica: R =
121.8! ( x − 1)!( x + 2) = 5
15. Calcular:
a) 8 b) 9 c) 12 d) 24 e) 36 x! 3

PERMUTACIONES

15

Son los diferentes arreglos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto,
las permutaciones se diferencian entre sí sólo por el orden de sus elementos y lo
representamos de la siguiente manera:
n(n+1) (n+2) (n+3) … 3.2.1
Pn = n!

Ejemplo:
1. ¿Cuántas maneras diferentes pueden formar una fila de 5 soldados?
Pn = n!
P5 = 5!
P5 = 120

Ejemplo : Halla todas las permutaciones posibles de las cifras del número 437.
Solución.-
Las permutaciones se obtienen cambiando de lugar las cifras.
Así: 437; 473; 347; 374; 743; 734.
En total tenemos 6 permutaciones diferentes.
Si llamamos P3 al número total de permutaciones de 3 elementos, se comprende que:
P3 = 1 x 2 x 3 = 3! = 6

Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse Angel, Beto, Carlos y Daniel en
una fila de 4 asientos?
Solución.-
Sea P4 el número de maneras distintas en que pueden sentarse A, B C ∧ D. Como intervienen
todos los elementos se trata de una permutación. Luego: P4=4! = 1x2x3x4 = 24

En general: El total de permutaciones diferentes que se pueden obtener con “n” elementos
se designa por Pn y el igual a n!
Pn = n!

Ejemplo : 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada?
Las 6 personas pueden ordenarse empezando por una mujer (M) o empezando por un
hombre (H)
Así: M H M H M H ó HMHMHM
Permutaciones de los H : P3 = 3! Permutaciones de los H : P3 = 3!
Permutaciones de las M : P3 = 3! Permutaciones de las M : P3 = 3!

Como cada trío de mujeres se combinan con un trío de hombres para armar una fila de 6,
aplicamos el principio de multiplicación. 3! X 3!
Por lo tanto el total de formas de sentarse será: 3! X 3! + 3! X 3! = 72 maneras diferentes.


Ejemplo : Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el
resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si
queremos que los de matemática siempre deben ir juntos?
Designamos por M1, M2 y M3 a los libros de matemática y por F1, F2 y F3 a los libros de
física. Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma:

i) M1 M2 M3 F1 F2 F3 F4  # de formas = 3! X 4!
ii) F1 M1 M2 M3 F2 F3 F4  # de formas = 3! X 4! Total:
iii) F1 F2 M1 M2 M3 F3 F4  # de formas = 3! X 4! = 4 (3! X 4!)
iv) F1 F2 M3 M1 M2 M3 F4  # de formas = 3! X 4! = 576 formas diferentes
v) F1 F2 F3 F4 M1 M2 M3  # de formas = 3! X 4!

PERMUTACIÓN CIRCULAR.- En este caso no hay primero ni último elemento por
encontrarse en línea cerrada para hallar el número de permutaciones de n elementos.
A
F B n-1

Pcn = (n − 1)!
E C
D
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrían sentarse Blancanieves y los 7 enanos
alrededor de una mesa circular?
PcN = (n − 1)!
Pc8 = (8 − 1)°!= 7° = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040
Ejemplo: ¿de cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda
7 personas?
Solución: n = 7  Pc(7) = (7-1)!  Pc(7) = 6! = 720

PERMUTACIÓN POR REPITENCIA.- Consiste en efectuar permutaciones con elementos
repetidos, si el conjunto tiene “n” elementos, n, es de una clase, n2 son de 2° clase y nk
son de k clases. La permutación por repitencia se obtiene por la forma siguiente:
n!
Pkn =
n1!n 2 !...n k !
Ejemplo: ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
casacas?
Solución.-
Vemos que se tiene una permutación por repetición donde se repite las letras C(2 veces),
A(3 veces), S(2 veces).

17

Luego:n = 7 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2
7! 7 x 6 x 7 x 4 x3
Pkn = = Pkb = 210 palabras
2!3!2! 2 x3! x 2
Ejemplo : Calcula el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden formar
permutando las letras de cada una de las siguientes palabras: i) manzana; ii) Alfalfa,
iii)catarata
Solución: i) MANZANA
MNAZANA
MZANAAN } Palabras diferentes
.
.
etc.
Total elementos: n=7
Elementos repetidos: A  3 veces
N  2 veces
7! 3! x 4 x5 x 6 x7
Total permutaciones: P3; 2 = = = 420
7

3! x 2! 3! x1.2

ii) ALFALFA
ALFAFAL
AFLAFLA } Palabras diferentes
.
.
Etc.
Total elementos: n = 7
Elementos repetidos: A3
L2
F2
Total permutaciones:
7! 5040
P372, 2 =
, = = 210
3! x 2! x 2! 6 x 2 x 2

Ejemplo : Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 franjas verticales. Si se
dispone de tres franjas de tela de color blanco y dos de color rojo. ¿Cuántas opciones
diferentes hay para escoger el modelo de la bandera?
Solución.- Diseño de la bandera

Total permutaciones:
5! 3! x 4 x5
2 franjas rojas P352 =
, = = 10
3! x 2! 3! x1
3 franjas blancas
Total elementos: n = 5


Elementos repetidos: B  3
R2

Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden obtener en una fila 7 bolas de
billar (de igual forma y tamaño), si 2 son rojas, 4 amarillas y una blanca?
7! 4! x5 x6 x7
Solución: P2 , 4 = = = 105
7

2! x 4! 2 x4

n
VARIACIONES.- Vm , son los diferentes arreglos que se pueden formar con parte de los

elementos de un conjunto formado de 2 en 2, 3 en 3, las variaciones se diferencian entre sí
por el orden se sus elementos o por uno o más de sus elementos.
El número de variaciones que pueden obtenerse de n elementos tomados de m y n se
representa por:

Vm = n(n − 1)(n − 2)...n − m + 1
n

n!
Vm =
n

(n − m)!
Ejemplo: Halla el número de variaciones en:
9! 9! 9 x8 x7 x6 x5 x 4!
a) V5 = = = = 15120
9

(9 − 5) 4! 4!
7! 7! 7 x6 x5 x 4!
b) V3 = = = = 210
7

(7 − 3)! 4! 4!
m! m!
c) Vm = = = m!
n

)(m − n)! 1

COMBINACIONES
Son las diferentes variaciones que se puede hacer en todos o parte de los elementos de un
conjunto. Las combinaciones se calculan por la siguiente forma:
n!
Cm =
n

n!(n − m)!

NÚMERO COMBINATORIO
PROPIEDADES
1. Todo número combinatorio cuyo índice es 1, 2s igual al índice superior.
n! n(n − 1)!
C1n = = =n
1!(m − 1)! n(n − 1)!
2. Todo número combinatorio cuyos índices son iguales, es igual a 1.
n! n! n!
Cn =
n
= = =1
n!(n − n)! n!0! n!

19

3. La suma de 2 números combinatorios de igual índice superior, e índices inferiores
consecutivos es igual al número combinatorio, cuyo índice superior es igual al índice
superior común aumentado en 1 unidad y de índice inferior igual al mayor de estos.
n! n!
C m + C m +1 =
n n
+
m!(n − m)! (m + 1)![n − (m + 1)]!
n! n!
= +
m!(m − n − 1)!(n − m) (m + 1)m!(n − (m − 1)!
n!  1 1 
=  n − m + n + 1
m!(n − m − 1)  
n! m+2+n−m
=
m!(n − m − 1)  (n − m)(m + 1) 
 
n! (n + 1)
=
m!(n − m − 1) (n − m)(m + 1
n!(n + 1)
=
m!(m + 1)(n − m − 1)!(n − m)
(n + 1)!
=
(m + 1)!(n − m)!
= C m + C m +1
n n
= C m+1
n
+1

NÚMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS
Son 2 números combinatorios de igual índice superior y la suma de sus índices inferiores es
igual al índice superior común.

C kn ∧ C sn , donde k + 5 = n
n!
C kn =
k! ( n − k )
n! n!
C sn = C sn =  Ck = Cs
n n
s!(n − s) (n − k )!k!


ejercIcIos propUesTos
15! 13)Tres niños, ¿de cuántas formas
1) C 4 =
15

4!(15 − 4)! distintas pueden sentarse en 5
sillas?
20!
2) C17 =
20
14)5 viajeros llegan a una ciudad en la
17!(20 − 27)!
que hay 7 hoteles. ¿De cuántas
90!
3) C
90
86 = maneras podrían alojarse en hoteles
86!(90 − 86)!
diferentes?
4) ¿De cuántas maneras se pueden
15)¿De cuántas maneras podemos
elegir y disponer de un escaparate 3
formar en columna de a uno a 5
partes de calzado de un conjunto?
alumnos?
5) ¿Cuántas maneras diferentes de 4
16)¿Cuántos números de 4 cifras se
cifras se pueden formar con los
pueden formar con los dígitos del 1
nueves dígitos 1, 2, 3, ….. 9?
al 4?
6) ¿Cuántas ordenaciones diferentes
17)¿Cuántas permutaciones de 7
pueden formarse tomando 5 letras
elementos se pueden formar con las
de la palabra gástrico?
letras de la palabra NÁUTICO?
7) En una fiesta hay 5 chicas y 10
18)¿Cuántas palabras diferentes se
chicos. ¿De cuántas maneras
pueden formar con todas las letras
podrían bailar?
de la palabra POPA?
8) ¿De cuántas formas distintas se
19)¿De cuántas maneras pueden
pueden sacar 3 banderines de una
cambiar de posición los jugaror5es
caja que contiene 6 banderines?
de básquet, si uno de ellos no
9) En una empresa se necesitan un
cambia?
supervisor, un tornero, un carpintero
20)¿Cuántas palabras diferentes se
y con conserje, y previo concurso
pueden obtener con las letras de la
han quedado 9 personas. ¿De
palabra COCCIÓN?
cuántas maneras pueden escogerse
21)¿De cuántas maneras pueden
las personas requeridas.
sentarse 5 personas en una mesa
10)Vamos a colocar un “trébol de la
redonda contando de un solo
suerte” (4 hojas) con un color
sentido?
distinto para cada hoja. Si tenemos
22)Un entrenador tiene a su cargo 7
una caja con 6 colores distintos. ¿De
deportistas. ¿de cuántas maneras
cuántas formas podemos colorear al
pueden distribuir a los citados
trébol?
deportistas en dos competencias:
11)¿Cuántos equipos diferentes de
cinco en natación y dos en atletismo.
básquet podemos formar si
23)En un campeonato de bulbito han
contamos con 8 jugadores que
participado 7 equipos. ¿De cuántas
pueden jugar en cualquier lugar?
maneras pueden quedar ubicados?
12)Con 6 banderas de diferente color,
24)¿Cuántos conjuntos imitadores del
¿cuántas señales distintas de 2
famoso trío “Los panchos” se
banderas se pueden hacer?

21

podrían formar a partir de un grupo 34)¿De cuántas maneras se pueden
de 12 aficionados? distribuir 5 hombres y 3 mujeres en
25)¿Cuántos equipos de básquet una fila de 8 asientos, si las mujeres
podríamos formar a partir de un no deben sentarse juntos?
conjunto de 12 jugadores’ 35) De una ciudad A a otra B hay 6
26)Cerebrito debe contestar de 10 caminos diferentes y de la ciudad B
a C hay 4 caminos diferentes. ¿de
preguntas en un examen. ¿De cuantas maneras se puede hacer un
cuántas maneras puede cerebrito viaje redondo de A a C pasando por
B?
escoger las 7 preguntas?
36) Maria tiene 5 pantalones y 3 blusas.
27)En el problema anterior: ¿de cuantas maneras distintas
Si las 2 primeras fueron obligatorias, puede ponerse un pantalón y una
blusa?
¿de cuántas maneras podrían escoger 37) Determinar el valor de m en la
expresión: V2 = 20
m
las preguntas?
28)En la figura cada línea representa un 38) ¿De cuantas maneras pueden
sentarse en una banca de 6
camino. ¿De cuántas maneras
asientos, 4 personas?
distintas se puede ir de la ciudad A a 39) Una persona posee 3 anillos
la ciudad C? distintos. ¿De cuantas maneras
puede colocarse en sus dedos de la
mano derecha, colocando solo un
anillo por dedo, sin contar el pulgar?
40)Una señora tiene 10 amigas de
29) ¿Cuántos números pares de 3 dígitos
confianza. ¿De cuantas maneras
se pueden formar con los dígitos: puede invitar a 6 de ellas a cenar?
41) Resolver : C 2 + C 6 = 28
x x
1;2;5;6;7;8∧9; si:
a) Los dígitos del número pueden 42)¿De cuantas maneras distintas se
pueden sentar 5 alumnos en 5
repetirse. asientos unipersonales?
b) Los dígitos del número no se 43)¿De cuantas maneras distintas se
repiten. pueden sentar 5 alumnos en 5
asientos unipersonales ubicados
30)En una carreta participan 7 atletas. alrededor de una mesa?
¿De cuántas maneras distintas 44) ¿Cuantos números mayores de 6000
se podrán formar con las siguientes
pueden llegar a la meta, si llegan
cifras: 2;5;6;3?
uno a continuación del otro? 45)¿Cuantas banderas tricolores
31)En una fila de sillas se sientan 5 diferentes de franjas horizontales se
pueden confeccionar si se disponen
mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas 7 colores distintos?
maneras se pueden ordenar si las 46)¿Cuantas palabras se pueden formar
con las letras de la palabra LIBRO?
mujeres deben estar juntos y los
47) La primera división de la liga de
hombres también? fútbol de huacho consta de 25
32)¿De cuántas maneras diferentes se equipos.¿cuanto partidos se deben
jugar para completar la primera
pueden ubicar 9 damas en una fila
rueda?
de 9 asientos, si Mirian y Andrea 48)¿De cuantas maneras se pueden
siempre deben estar juntas? ubicar 6 personas en un auto si solo
una de ellas sabe manejar?
33)¿Cuántas permutaciones diferentes 49) De un total de x personas se pueden
se pueden realizar con las letras de formar 21 grupos de 5. Determinar
la palabra BANANA? el valor de “x”


BINOMIO DE NEWTON
FORMA GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON
Deducción del Binomio de Newton
BINOMIO DESARROLLO SUMA DE COEIFC.
(x+1) = x + a 21
(x+1)2 = x2 + 2ax + a2 22
(x+a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 23
(x+2)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 24
(x+a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a + 10x2a3 + 5xa4 + a5 25
…………………………. ..
…………………………. ..
2n
Generalizamos y podemos llegar a:
n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3
(x+a)n = xn + nxn-1 a + n a + x a
1 .2 1 .2 .3
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n − 4 4
+ x a + ... + a n (I)
1.2.3.4
Observamos lo siguiente:
Bases del binomio: x ∧ a
Exponentes del binomio: n
El desarrollo del binomio: El segundo miembro
Luego:
a) El desarrollo es un polinomio homogéneo con respecto a x, a, donde el grado de
homogeneidad corresponde al exponente n.
b) Siempre el desarrollo contiene un término más que el exponente n.
c) El primer término del desarrollo contiene a x elevado al exponente n; disminuyendo los
exponentes de x de uno en uno hasta cero.
d) El segundo término contiene a la base a elevado a la unidad, aumentado el valor de su
exponente en cada exponente n.
e) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
f) El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del término anterior
multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de la primera base y
dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno.
g) La suma de los coeficientes de un binomio (x+a) se da por 2n.

EL BINOMIO DE NEWTON USANDO NÚMEROS COMBINATORIOS
En la forma general (I) vemos que los coeficientes de cada término se dan como:
n n −1 n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) 4−3 3
(x+a)n = 1.xn + .x a + .x a + x .a
1 1.2 1.2.3
…. 1.an

23

n( n − 1) 4 n(n − 1)(−2)
Donde: C o = 1; C1 ; C 2 = ; C3 = … Cn = 1
n n n n

1.2 1.2.3
Sustituyendo estos valores en la forma general, tendremos el desarrollo del binomio de
Newton con números combinatorios.
( x + 1) n = C on x n * C1n x n −2 a 2 + C 3n x n −3 a 3 + ...C n = a n
n

Ejemplo:

1) (m+n)7 = C 0 = m + C1 m n + C 2 m n + C 3 m n + C 4 m n + C 5 m n + C 6 mn + C 7 n
7 7 7 6 7 5 2 7 5 3 7 5 4 7 2 5 7 6 7 7

Así (m+n)7 = m7 +7m6n + 21m5n2 + 35m4n3 + 21m3n5 + 7mn6 + n7

FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR GENERAL K
n − k +1
n
TK = C k −1 . X .a k −1
Ejemplo 1: Halla el término quinto de (2a + b2)11
Solución.-
n = 11; k = 5; x = 2a ; a = b2
11− 5+1
Luego:
11
T5 = C 5−1 .( 2a ) .(b 2 ) 5−1
T5 = 330 . 128ª7b2  T5 = 42240ª7b8

Ejemplo 2: Encuentra el 6° término de (x-3y)10
10 − 6 +1
10
T6 = C 6 −1 .( x) .(3 y ) 6− 2
T6 = 252x5 – 243y5  T6 = -61236x5y5

Ejemplo 3: Halla el término que contiene x6 en el desarrollo de (x-3)14.
Solución.- Por fórmula del término general.
14 − k +1
14
Tk = C x −1 .x .( −3) k −1 = C k −1 .(−3) k −1
14

Como el exponente de x debe ser 6.
15 – k = 6  k = 9 (el término buscado es el de lugar 9).
15− 9
Luego: T9 = C 9 −1 .x
14
.(−3) 9−1
14! 6 14 x13 x12 x11x9 x8 6 8
T9 = .x .( −3) 8 ⇒ T9 = .x .3
8!6! 8 x! x 2 x3 x 4 x5 x6
T9 = 39 . 7 . 11 . 13 . x6

prácTIca De clase

1. Halla el desarrollo de: (2x + 3y)5 2) resuelve: ( x + 3) 6

3. Calcula el tercer término del desarrollo 4) Calcula el sétimo término del desarrollo de:
de: (2x + 3)5 (x + 1/x)9

5. Calcula el término central del desarrollo 6) Calcula el término central del desarrollo de:
de: (a + 2b)8 (x + 1/x2)10


7. Halla el término que contiene a “x8” en 8) Halla el valor de “x” de tal manera que la
el desarrollo de: (x+y)13 suma del 3° y 5° términos en el desarrollo de
(x+1)4 sea igual a 25.
9. Obtén los siguientes desarrollos:
a) (x-2y)5 b) (1+3a)7 c) (1-b)11 10) Determina el término indicado en el desarrollo
Correspondiente:

11) Determina el coeficiente numérico del a) 7° término en: (x-y)11
Término indicado: b) 5° término en: (a+b)21
10
1 1
a) 2° término en (2x-y) 4
c) 10° término en:  − 
a b
b) 3° término en (3a+4b)6
10 5
 x2 y2   2 1
c) 9° término en:  −
 y  12) En el desarrollo de  3x −  , determine:
 x   x

a) El coeficiente numérico del cuarto término.
b) El término que contiene x4.
c) El término independiente de x.

13) Encuentra los 3 primeros términos en el
desarrollo de: ( 2x + 3 ) 10 17) Hallar el valor de x de tal manera que
la suma del 3ro y 5to término en el
desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 25
14) Calcula el producto de los coeficientes
numéricos del primero y del último término A) ±1 B) ±2
del desarrollo de: (1+3x2)6. C) ±3 D) ±4 E) 5
15) Calcular el término central del
desarrollo de: 18) El último término en el desarrollo de:

 1 
10 ( x − 3y ) 5
x+ 2  A) − 15 y
5
B) − 15 y
5
 x 
C) − 15 y D) − 15 y E) − 15 y
5 5 5
252
A) 252 x 5 B)
x5
252 19) Cual es el coeficiente de x14 en el
C) D) 252 x 8
desarrollo de:
x3 ( x2+x3 ) 6
E) 252 x A) 12 B) 18
C) 15 D) 21 E) 24
16) Hallar el término que contiene a x8 en
el desarrollo de: 20) El 5to término del desarrollo de:
(x + y) 13 7
 1 1 
A) 1287 x y
8 3
B) 1287 x y
8 8
 2 + 2
x
8 5 8 6 8 10  y 
C) 1287 x y D) 1287 x y E) 1287 x y
prácTIca DomIcIlIarIa

1. El último término en el desarrollo de: 3. El coeficiente numérico del 2° término
(x-3y)5 es: en el desarrollo de (2a+b)5 es:
a) -15y5 b) 15y5 c) 243y5 a) 16 b) 32 c) 80
d) -243y5 e) -243xy5 d) 10 e) 50
4. El término central en el desarrollo de:
2. El coeficiente numérico del 8° término 7
 y
 3x −  , es:
11
del desarrollo de (2-x) es:
a) 330 b) -330 c) 5280  2
d) -5280 e) Otro valor

25

2835 4 3 − 2835 4 3 10. ¿Qué lugar ocupa el término del
a) x y b) x y 120
8 8  1
desarrollo binomial de:  x +  que es
945 3 4 − 945 3 4  x
c) x y d) x y
16 16 de grado 100.
e) no hay término central. a) 15 b) 14 c) 13
d) 12 e) 11
5. El término independiente de “x” en el
4 11)Hallar el 4to término de:
 1 
desarrollo de  x − 2  es el: ( 2 x 2 + 3y 4 ) 5
 x  4 4
a) 2° término b) 3° término A) 1080 x y 1080x 4 y10
B)
4 12 4 12
c) 4° término d) último término C) 1080x y D) x y E) 1080 x y
e) No hay término independiente de “x”
12) Hallar el 6to término de: (3x 2 + 2 y 3 ) 7
6. Halla el valor de “x” de tal manera que Ver cual es el grado absoluto.
el coeficiente del 3° y 5° términos en el A) 20 B) 21
desarrollo de: (2x-1)5 sea igual a 72. C) 23 D) 22 E) 10
a) x=±2 b) x=±4 c)
x=±3 13) Hallar el tercer término del desarrollo
d) x=±5 e) x=±6 de: ( x 4 + 3 y 5 )10
A) 405x 2 y 32 B) 405x 16 y 32
7. ¿Qué valor debe tener “n” para que el
32 2 16 16
cuarto término del desarrollo de: C) 405x y D) 405x y
n 4 4
2 x  E) 405x y
 +  , sea el término
x 2 14) Hallar el término central de:
independiente. Cita el coeficiente del
término que sigue al término de grado
(x 2 − y 3 )8
cero. A) 70 x 4 y 8 B) 70 x 8 y 8
25 15 15 8 12
C) 70 x y
12 8
D) 70 x y
a) b) c)
4 2 4 3 4
E) 70 x y
24 25
d) e)
5 2 15) Hallar el término central de: (a 3 − b 3 ) 4
8. El término central en el desarrollo de: A) 6a 6 b 6 B) 6a 4 b 4
(2x-y)6 es: C) 6a 3 b 3 D) 6a 4 b 5 E) 6a 5 b 4
a) -60x2y4 b) 60x2y4
3 3
c) 160x y d) -160x3y3 16) Hallar el término central de: (3a − b ) 6
e) No hay término central
A) − 540a 3 b 3 B) − 540a 4 b 4
9. Halla el término anterior al C) − 540b 2 D) − 540a 2 E) − 540b 6
independiente de “x” en el desarrollo del
siguiente binomio de Newton: 17) Hallar el término de lugar 5 en:
13
 x
3 2
1  (x 2 + y 3 ) 6
 +2 
 2 x A) 15x y
2 3
B) 15x y
4 12
  12 3 12 12
715 15
13 453 1513 C) 15x y D) x y E) 15x y
a) x b) x
16 15
18)Hallar el término de lugar 10 en:
c) 720x1/2 d) 360x1/4 e)
485x3 ( x 2 − y 3 )10
10 4 10 6
A) x y B) 85x y
10 16 12
C) 48x y D) 56 x y E) N.A.


19)Calcular el término central del desarrollo 20)Calcular el tercer término del desarrollo
de: de:
(a + 2b ) 8 (2 x + 3) 5
A) 1120a 2 b 2 B) 1120a 4 b 4 A) 720 x 2 B) 720 x 31
C) 1120a 3 b 3 D) 1120a 8 b 8 E) N.A. C) 720 x 3 D) 720 x 9 E) 720 x

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