1. 1
Estimados Alumnos:
Pongo en sus manos esta recopilación de ejercicios que he usado y otros nuevos para que
ejerciten el eje temático de “GEOMETRÍA”, que corresponde al 30% de la PSU, eje que para
muchos resulta complejo, por tanto tendrán una batería de 401 ejercicios de nivel PSU y algo
más. Creo no haber dejado materia alguna fuera de este material, por tanto imagino nada les
resultará novedoso en la PSU al respecto de geometría.
Debo dejar constancia que la motivación principal de este es ayudar de mejor forma a los
alumnos del Liceo Nacional, que por la realidad del año no han tenido una formación regular y
por tanto me nació esta manera de ayudarles a competir de mejor forma con todos aquellos que
han tenido un año normal. Obviamente este material me nace compartirlo con todos aquellos que
se están preparando para el ingreso a la universidad, y para mí el hecho de que alguno lo utilice
es el mejor pago a este trabajo.
A mis alumnos particulares las gracias por haberme indicado su falencias, las cuales son las
de la gran mayoría por tanto orientaron la confección de este, agradezco la ayuda de ellos en la
confección de las respuestas y las correcciones en los ejercicios que ahora ustedes disponen.
Como ellos también lo usarán, es que incluí ejercicios nuevos, entretenidos y desafiantes, por
tanto no me cabe duda que será un material de apoyo importante en la preparación de ellos y
ustedes.
Debo agradecer de manera especial a David Painequeo, con quien disfrute mucho tiempo
hablando y ejercitando geometría, que en la actualidad no hemos podido encontrarnos para seguir
gozando de esta parte de las matemáticas que nos gusta en demasía. Para ti en parte es parte de
este trabajo David.
Finalmente agradezco a mi pequeña, SAVANE, quien me acompaña siempre indicándome
que no puedo olvidar a muchos niños que pretenden llegar lejos y entrar a estudiar las carreras
que anhelan. Ella es la que me empuja a hacer distintas cosas por el mejor entendimiento de las
matemáticas, por tanto es a quien debo agradecer todo lo que hago por mejorar el nivel de la
ciencia, mi querida matemática.
Bueno, dejo en sus manos este material que me tuvo un buen tiempo entretenido en esta
parte de las matemáticas que me encanta, sin más dejo en sus manos 401 ejercicios para que lo
disfruten resolviéndolos como yo me entretuve haciéndolos.
Sixto Maulén y Savane Emegu
2011

2. 2
L1
L2
134º
xº
L1
L2
134º
xº
O A
B
C
R
T
J K
L
45º
Guía Ejercicios Nº 3
Geometría
1. En la figura Nº 1, L1 // L2, ¿Cuánto mide x?
A) 46º
B) 66º
C) 56º
D) 134º fig. 1
E) 67º
2. En un triángulo isósceles el ángulo interior distinto mide 40º, entonces uno de los ángulos
de igual medida, mide
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 140º
3. En la figura 2, OR y OT son bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente, si el
ángulo TOC mide 10º y el ángulo ROB mide 25º, entonces el ángulo AOT mide
A) 35º
B) 45º
C) 50º
D) 60º fig. 2
E) 70º
4. En la figura 3, el triángulo JKL es isósceles de base LJ, ¿cuánto mide el ángulo KLJ?
A) 22,5º
B) 25º
C) 35º
D) 45º fig. 3
E) 135º

3. 3
r
s
30º
80º
x
50º
x
4m
3m
m
A B
C D
3x - 10
2x
L1
L2
5. En la figura 4, r // s, ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 160º
B) 130º
C) 110º
D) 100º fig. 4
E) 80º
6. ¿Cuál es la medida del ángulo x en términos de m, en la figura 5?
A) m
B) 2m
C) 3m
D) 8m fig. 5
E) No se puede determinar
7. En la figura 6, AB // CD, si el ángulo CDB = 150º y el ángulo ABC = 25º, entonces ¿cuánto
mide el ángulo DBC?
A) 30º
B) 25º
C) 15º
D) 5º fig. 6
E) 0º
8. Si L1 // L2, entonces ¿cuánto mide x en la figura 7?
A) 16º
B) 20º
C) 30º
D) 45º fig. 7
E) 100º

4. 4
A B
C
p 2p
A B
C
m
2m
A B
D
C
CB
A
E
D
30º
80º
9. El triángulo ADC de la figura 8 es isósceles de base AD. La medida del ángulo BAD es 12º y
el ángulo ABC mide 20º, ¿cuánto mide el ángulo BCA?
A) 32º
B) 36º
C) 106º
D) 116º fig. 8
E) 132º
10. En la figura 9, ED // BC, ¿Cuánto mide el ángulo AED?
A) 45º
B) 65º
C) 70º
D) 100º fig. 9
E) 110º
11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto del triángulo ABC
de la figura 10?
I) El triángulo ABC es isósceles.
II) Si p = 60º, entonces es equilátero.
III) Si 2p = 90º, entonces el área del triángulo es
2
CB
2
.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Todas fig. 10
E) Ninguna
12. El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB (BC = CA), luego m =
A) 18º
B) 30º
C) 36º
D) 72º fig. 11
E) 108º

5. 5
P A
TO
M
EL
N
A B
C
D
E
F
13. ¿Cuántos triángulo hay en la figura 12?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) más de 6 fig. 12
14. En la figura 13, PATO es un cuadrado de área 20 cm2
. Los puntos L, E y N son puntos
medios de OM, MT y TO, luego el área achurada mide
A) 0,125 cm2
B) 1,25 cm2
C) 2 cm2
D) 4 cm2
fig. 13
E) 8 cm2
15. ¿Con cuál(es) de las siguientes informaciones se puede construir un triángulo?
I) Si se conocen sus tres ángulos interiores.
II) Si se conocen sus tres lados.
III) si se conocen dos de sus lados y el ángulo que forman dichos lados.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo II y III
D) Sólo I y II
D) I, II y III
16. En la figura 14, los ángulo CAB y ABC miden 70º y 40º, si AD es altura y CE bisectriz,
entonces la medida del ángulo DFE es
A) 125º
B) 115º
C) 55º
D) 35º fig. 14
E) 20º

6. 6
2yº
yº-10º
xº+30º
AO
B
P
L1 L2
L3
L4
110º
xº
17. En la figura 15, un paralelepípedo recto de base cuadrada (sombreadas) se ha extendido
en el plano, si el lado del cuadrado es 4 cm. y los largos de los rectángulos miden el doble
del lado del cuadrado, entonces el volumen del paralelepípedo es
A) 160 cm3
B) 128 cm3
C) 120 cm3
D) 64 cm3
fig. 15
E) 32 cm3
18. En un heptágono (polígono de 7 lados), ¿cuántas diagonales se puede trazar desde un
vértice?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
19. Si OP es bisectriz de AOB (figura 16), entonces xº =
A) 40º
B) 30º
C) 20º
D) 10º fig. 16
E) 5º
20. En la figura 17, L1 // L2 y L3 // L4, luego la medida de x es
A) 10º
B) 50º
C) 70º
D) 110º fig. 17
E) 170º

7. 7
120º
B C
A
E
F
21. Las medidas de dos lados de un triángulo son 12 cm y 13 cm, si el tercer lado tiene como
medida un número entero, ¿cuántos triángulos se pueden construir?
A) ninguno
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
22. En el triángulo de la figura 18, AF y CE son bisectrices de los ángulos respectivos, ¿Cuánto
mide el ángulo ABC?
A) 45º
B) 50º
C) 60º
D) 80º fig. 18
E) 100º
23. ¿Cuánto mide el ángulo que excede a su suplemento en 66º?
A) 66º
B) 123º
C) 133º
D) 132º
E) 144º
24. En la figura 19, ¿cuánto mide el ángulo ADC?
A) 163º
B) 153º
C) 88º
D) 75º fig. 19
E) 60º
25. Si los radios de los círculos son 10 cm. y 5 cm., entonces ¿cuál es el área de la figura
sombreada (figura 20)?
A) 25  cm2
B) 75  cm2
C) 100  cm2
D) 125  cm2
fig. 20
E) 175  cm2
10 cm
5 cm
20º
85º
72º
20º
A
D
C
B

8. 8
A M P B
O
P
A
B
x+30º
y-10º
2y
A B C D
E
F
x
r
s
70º
4x
3x
y
26. En la figura 21, M es el punto medio del segmento AB y P es un punto cualquiera entre M y
B, ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?
A) MP = PB
B) AM = 2·PB
C) PM =
PA PB
2

fig. 21
D) MP =
AB
2
E) BP = 2·MP
27. OP es bisectriz del ángulo AOB de la figura 22, ¿cuánto mide y?
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 50º fig. 22
E) 60º
28. En la figura 23; AB = BF = FA y CD = DE, ¿Cuánto mide el ángulo x?
A) 45º
B) 60º
C) 75º
D) 105º fig.23
E) 115º
29. Las rectas r y s son paralelas, figura 24, luego y =
A) 150º
B) 120º
C) 30º
D) 10º fig. 24
E) 7º

9. 9
A B
C D
E
A L
TOI
40º
A B
C
D
x
30. El triángulo ABC de la figura 25 es isósceles de base AB, CD es paralelo a AB y AD es
bisectriz del ángulo CAB, luego ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) AC = CD
II) CE = EB
III) AD  BC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Todas fig. 25
31. En el rectángulo ALTI de la figura 26 se ha inscrito el trapecio ALTO, si el largo del
rectángulo es el triple de su ancho y AI = IO, entonces, ¿qué parte del área del rectángulo
es el área del trapecio?
A) la mitad
B) los dos tercios
C) los tres cuartos
D) los cinco sextos fig. 26
E) los cinco octavos
32. En el triángulo ABC de la figura 27, las líneas punteadas son bisectrices de los ángulos
respectivos, ¿cuánto mide x?
A) 40º
B) 30º
C) 20º
D) 10º
E) No se puede determinar fig. 27
33. Un tablón de 3,2 metros se divide en tres trozas que están en razón 1 : 3 : 4. ¿Cuánto
mide cada trozo?
A) 40 cm. 100 cm. 100 cm.
B) 40 cm. 120 cm. 160 cm.
C) 60 cm. 120 cm. 140 cm.
D) 80 cm. 100 cm. 140 cm.
E) 10 cm. 30 cm. 40 cm.

10. 10
U P
A
M
L
30º
15º
P Q
R
MN
34. Al trazar la altura en un triángulo equilátero el menor ángulo que se forma mide
A) 20º
B) 30º
C) 60º
D) 90º
E) 120º
35. En el triángulo UPA se han trazado las alturas AM y AL, figura 28, ¿cuánto mide el ángulo
APL?
A) 10º
B) 15º
C) 30º
D) 45º fig. 28
E) 75º
36. En la figura anterior (figura 1), ¿cuánto mide el mayor ángulo formado por las alturas AM y
PL?
A) 30º
B) 60º
C) 120º
D) 145º
E) 150º
37. En el triángulo PQR de la figura 29, se han dibujado las bisectrices PM y QN si los ángulos
PQR y QRP miden 50º y 60º respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo QPM?
A) 35º
B) 40º
C) 45º
D) 50º fig. 29
E) 55º
38. En la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo PMR?
A) 75º
B) 85º
C) 95º
D) 105º
E) 135º

11. 11
L1
L2
L1
L2
x
20º
39. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide
1
5
del ángulo recto, luego
¿cuánto mide el otro ángulo agudo?
A) 18º
B) 36º
C) 60º
D) 72º
E) 82º
40. ¿En qué triángulo al trazar una altura no se forman dos triángulos congruentes?
A) Triángulo equilátero
B) Triángulo isósceles
C) Triángulo escaleno
D) Triángulo rectángulo isósceles
E) Triángulo isósceles obtusángulo
41. En la figura 30, L1 // L2, si las líneas punteados son bisectrices de los ángulos respectivos,
entonces el ángulo formado por las líneas punteadas mide
A) 90º
B) 75º
C) 60º
D) 45º fig. 30
E) No se puede determinar
42. Si dos ángulos son suplementarios y uno es cinco veces el otro, entonces el menor de ellos
mide
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 150º
E)
43. En la figura 31, L1 // L2, si la línea segmentada es bisectriz, entonces el ángulo x mide
A) 140º
B) 120º
C) 100º
D) 90º fig. 31
E) 40º

12. 12
A B
C E
D
44. Si dos ángulos exteriores de un triángulo miden cada uno 135º, entonces el triángulo es
A) Isósceles
B) Rectángulo isósceles
C) Escaleno
D) Obtusángulo
E) Acutángulo isósceles
45. El triángulo ABC de la figura 32 es isósceles de base CA, AE y BE son bisectrices de los
ángulos BAC y DBC respectivamente, si el ángulo ABC mide 80º, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) AB = BE
II) BEA 25º
III) DBE 50º
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) Todas fig. 32
46. En un triángulo rectángulo es falso que
A) La hipotenusa se opone al ángulo recto
B) Un cateto mide menos que la hipotenusa
C) La suma de las medidas de los catetos es mayor que la hipotenusa
D) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la resta de los cuadrados de los catetos
E) La mitad de la hipotenusa es igual a uno de los catetos
47. El paralelogramo que no es rectángulo ni rombo es
A) cuadrado
B) romboide
C) trapecio
D) trapezoide
E) deltoide
48. Si en un triángulo las medidas de dos sus lados son; 3 cm y 5 cm, entonces el tercer lado
no puede medir
A) 4 cm.
B) 5 cm.
C) 6 cm.
D) 7 cm.
E) 9 cm.

13. 13
49. Al efectuar una rotación de 180º al cuadrado se obtiene
A) B) C) D) E)
50. El triángulo ABC de la figura 33, es equilátero. Si ABC = 2 ABE, entonces el x =
A) 60º
B) 70º
B) 80º
C) 90º
D) 110º fig. 33
51. La figura 34 muestra la planta de una casa (vista de arriba) si a esta se le desea poner una
huincha adhesiva por todo el borde para que las hormigas no entren a la casa, ¿cuántos
metros de huincha se necesitan?
A) 29 m
B) 32 m
C) 42 m
D) 62 m fig. 34
E) 72 m
52. Si el perímetro de un triángulo equilátero aumenta de 100 a 169 cm, ¿en cuánto aumenta
cada lado?
A) 3 cm
B) 13 cm
C) 23 cm
D) 33 cm
E) 69 cm
x
A B
C
E
16 m
10 m
8 m
5 m

14. 14
L1
L2
20º
120º
xº
A B
C
D
E
T
50º
70º
A L
TO
R
E
53. ¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a una traslación de la figura original?
A) B) C) D) D)
54. En la figura 35. L1 // L2, luego xº =
A) 80º
B) 90º
C) 100º
D) 110º fig. 35
E) 120º
55. Los triángulos ABC y ADE son congruentes, si el ángulo BAE mide 90º, entonces el ángulo
TAB mide
A) 20º
B) 30º
C) 45º
D) 60º fig. 36
E) 80º
56. ALTO es rectángulo y los triángulo ARE y TER son equiláteros congruentes, luego ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? (figura 37)
I) ARTE es rombo
II) LRT 60º
III) OAE LTR  
A) Sólo I
B) Sólo I y II fig. 37
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna

15. 15
A B
C
D
E
F
L U
NA
Z
T
L1
L2
L3
49º
xº
57. El triángulo ABC es equilátero y se a rotado respecto del vértice C como lo muestra la
figura 38 de manera que CE es perpendicular a AB, luego es falso que:
A) DE es perpendicular a AC
B) El ángulo ACD mide 30º
C) CD = AB
D) DF = FE fig. 38
E) Todas son falsas
58. En la figura 39, LUNA es cuadrado y LUZ es un triángulo equilátero, ¿cuánto mide el ángulo
TZU?
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 75º
E) No se puede determinar fig. 39
59. En la figura 41. L3 es bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas L1 y L2, ¿cuánto
mide el ángulo x?
A) 96º
B) 98º
C) 84º
D) 82º
E) 49º fig. 41
60. En la figura 42, AOC + BOD = 230º, luego el COB mide:
A) 30º
B) 50º
C) 70º
D) 90º
E) Falta información fig. 42
C
B
O AD

16. 16
A B
C
D
35º
22º
60º
A B
C
D
E
F
A B
C
E
F
61. El triángulo ABD es rectángulo en B. En la hipotenusa AD esta el punto C tal que AC = CD y
AB = BC, ¿cuánto mide el ángulo DAB
A) 67,5º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
E) 22,5º
62. En el triángulo ABC se ha trazado la altura CD, figura 43, luego la suma de las medidas de
los ángulos CAD y BCD es
A) 55º
B) 68º
C) 90º
D) 113º
E) 123º fig. 43
63. En la figura 45, BD, DF, EF y AE son bisectrices, luego DFE 
A) 80º
B) 100º
C) 120º
D) 140º
E) No se puede determinar fig. 45
64. En la figura 46, AE y CE son bisectrices de los ángulos BAC y BCF respectivamente, si el
ángulo ABC mide 50º, entonces el ángulo AEC mide
A) 25º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) no se puede determinar fig. 46

17. 17
Y U
T
IN
G
65. En la figura 47, YUIN es cuadrado, los triángulo UTI y NGY son rectángulos isósceles, si los
ángulos en T y G son rectos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
falsa(s)?
I) GY // UN // TI
II) UNGY y NUTI son trapecios rectángulos
III) GT = 2·YU
A) Sólo I
B) Sólo II y III
C) Sólo III
D) I, II y III fig. 47
E) ninguna
66. En un triángulo ABC, A = 40º, B = 80º y C = 60º, luego es verdadero
A) CA > AB > BC
B) CA > BC > AB
C) BA > CA > BC
D) BA > BC > CA
E) BC > CA > AB
67. En un triángulo los ángulos exteriores están en razón 2 : 3 : 4, entonces ¿qué tipo de
triángulo es?
A) equilátero
B) isósceles
C) acutángulo
D) rectángulo
E) obtusángulo
68. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros tiene sus diagonales distintas perpendiculares y se
dimidian (dividirse en dos partes iguales)?
A) cuadrado
B) rectángulo
C) rombo
D) romboide
E) deltoide (trapezoide simétrico)

18. 18
L
N
A
BC
D
69. En el cuadrado de la figura Nº 48, L y N son los puntos medios de los lados, ¿qué parte del
cuadrado es el área achurada?
A)
1
4
B)
3
8
C)
3
16
D)
5
32
fig. 48
E)
5
8
70. Si dos triángulos son congruentes, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A) Tienen la misma forma.
B) Sus ángulos correspondientes son iguales.
C) Tienen el mismo perímetro
D) Tienen los mismos ejes de simetría
E) Ninguna
71. Si las medidas de dos ángulos consecutivos suman 72º, entonces ¿cuánto mide el
complemento del ángulo formado por las bisectrices de dichos ángulos?
A) 54º
B) 36º
C) 18º
D) 72º
E) 108º
72. En el triángulo de la figura 49, DA = AB, si ABC - ACB = 30º, entonces DBC =
A) 10º
B) 15º
C) 30º
D) 45º
E) 60º fig. 49

19. 19
1
2
3
4
x
73. Al respecto del triángulo equilátero se afirma que:
I) Tiene 3 ejes de simetría.
II) No tiene simetría central.
III) Al rotarlo 120º con respecto al ortocentro, coincide con la figura original.
De estas afirmaciones es(son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
74. En un mismo triángulo se han trazado las transversales de gravedad y las medianas, si el
área del triángulo formado por las tres medianas es a, luego el área de uno de los 6
triángulos que se forman al trazar las transversales es
A) a
B)
2
a
3
C)
3
a
4
D)
a
2
E) 3a
75. Al unir los puntos medios de un rombo se forma un cuadrilátero, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es la más precisa al respecto de dicho cuadrilátero?
A) es un rombo
B) es un rectángulo
C) es un paralelogramo
D) es un cuadrado
E) es un romboide
76. La figura 50 representa una sucesión de triángulos rectángulos, luego x =
A) 30
B) 5
C) 2 6
D) 20
E) 10 fig. 50

20. 20
100º
40º
x
A B
C
D
3
4
1
C D
E
A B
L1
L2
105º
130º
A B
C
77. ¿Cuánto mide el ángulo x (figura 51), si las rectas horizontales son paralelas?
A) 120º
B) 130º
C) 140º
D) 150º
E) 160º fig. 51
78. El cuadrilátero de la figura 52, tiene dos ángulos rectos, en los vértices B y D, ¿cuál es el
área de ABCD?
A) 8
B) 6 6
C) 8,5
D) 17
E) 12 2 6 fig. 52
79. En la figura 53, L1 // L2, si CD = AB, entonces es siempre verdadero que
A) AD BC
B) AC BD
C) AE EC
D) BC ED
E) AD BC fig. 53
80. Desde las 14:30 a las 14:50, el ángulo descrito por el horario de un reloj análogo es (no
considerando el sentido de rotación)
A) 5º
B) 10º
C) 15º
D) 20º
E) 25º
81. ¿Cuánto mide el ángulo CAB de la figura 54?
A) 45º
B) 55º
C) 135º
D) 125º
E) 235º fig. 54

21. 21
60º20º
A B
C
D
E
A B
C
M N
P
B C
A
D
E
82. En el triángulo ABC de la figura 55, se han dibujado la altura CD y la bisectriz AE, luego el
ACB 
A) 30º
B) 40º
C) 70º
D) 80º
E) 100º fig. 55
83. Los triángulos ABC y MNP de la figura 56 son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) AC = MP
II) ABC NPM
III) CAB PMN
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III fig. 56
84. Los triángulos de la figura 57, son isósceles con AB = AC = BD, si BD AC entonces los
ángulos ACB y ADB suman
A) 115º
B) 120º
C) 130º
D) 135º
E) no tiene solución única fig. 57

22. 22
x
A B
C
D
80º
85. Los cinco ángulos interiores de un pentágono están en una progresión aritmética (la
diferencia entre dos consecutivos, siempre es constante), si el menor mide 100º, entonces
el mayor de ellos mide
A) 104º
B) 108º
C) 116º
D) 120º
E) 124º
86. Tres lados de un cuadrilátero son iguales, si los dos ángulos interiores formado por dichos
lados miden 60º y 70º, entonces ¿cuánto mide el ángulo interior mayor del cuadrilátero?
A) 145º
B) 150º
C) 155º
D) 160º
E) 165º
87. En la figura 58, aparecen un hexágono regular y un cuadrado, luego el ángulo x mide
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) no se puede determinar fig. 58
88. En el triángulo ABC de la figura 59, se han dibujado las bisectrices AC y BD, luego el
ángulo ADB mide
A) 160º
B) 150º
C) 130º
D) 120º
E) 100º fig. 59

23. 23
m3m
2m
m 7m
A C
B
D
A B C
D
x
y
A B
C
E
D
F
GH
70º
50º
x
A B
C
D
25º
x
89. En la figura 60, AB = CD, luego m =
A) 10º
B) 15º
C) 18º
D) 20º
E) 9º fig. 60
90. En la figura 61, AB = BD = CD, luego la relación correcta es
A) y = 3x
B) y = 2x
C) x + y = 180º
D) x = y fig. 61
E) x + y = 90º
91. El triángulo ABC de la figura 62 es equilátero, si los ángulos EDF y FHG son iguales,
entonces la medida del ángulo GED es
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 60º
E) Falta información fig. 62
92. ¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 63?
A) 20º
B) 40º
C) 50º
D) 70º
E) 120º fig. 63
93. En el triángulo ABC de la figura 2 se verifica que; AC = CD = DB, luego la medida del
ángulo x es
A) 25º
B) 50º
C) 60º
D) 80º
E) No se puede determinar fig. 64

24. 24
110º
x
O
A B
E
C D
136º
122º
94. En la circunferencia de la figura 65, O es centro, ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 125º
B) 110º
C) 70º
D) 65º
E) 55º fig. 65
95. ¿En qué razón están las áreas de dos círculos, si sus radios son 5 cm y 10 cm?
A) 1 : 2
B) 1 : 4
C) 2 : 3
D) 1 : 25
E) 5 : 15
96. La altura de un cono es igual al radio de la base, luego el ángulo del sector circular que
corresponde al manto del cono es
A) 45º
B) 90º
C) Obtuso
D) Extendido
E) Cóncavo
97. En la figura Nº 66, AB // CD, luego  mide

A) 122º
B) 112º
C) 102º
D) 78º fig. 66
E) 58º
98. Tres rectas concurrentes (las tres se intersectan en el mismo punto) forman 6 ángulos
consecutivos, si dos de ellos miden 18º y 52º, ¿qué medida no corresponde a uno de los
ángulos que genera la figura?
A) 110º
B) 128º
C) 144º
D) 162º
E) 70º

25. 25
B Z Y C
X
A
W
L1
L2
99. El rectángulo ZYXW de la figura 67, esta inscrito en el triángulo ABC. Si BWZ = 22º y
CXY = 65º, entonces BAC =
A) 87º
B) 82º
C) 90º
D) 93º fig. 67
E) 97º
100. En la figura 68, las rectas L1 y L2 son paralelas, separadas d unidades, si la flecha se reflejó
primero con respecto a L1 y luego se reflejó con respecto a L2, entonces las dos reflexiones
sucesivas corresponde a
A) Una traslación de d unidades
B) Una rotación de -180º
C) Una traslación de 2d unidades
D) Una traslación de 3d unidades
E) Una rotación de 180º
fig. 68
101. En la figura 69, se muestra un adminículo mecánico en cual aparecen tres discos tangentes
exteriores unidos por sus centros mediante una barra fija, la rotación de uno de ellos se
transmite totalmente al otro (no resbalan), los diámetros de los discos son; 6 cm, 8 cm y
10 cm, si el disco menor se gira en el sentido de la flecha 120º, considerando el sentido de
rotación, el disco mayor gira
A) -120º
B) -90º
C) -72º
D) 72º fig. 69
E) 90º

26. 26
A E B
CD
64º
xº
I J
KL
O A
B
CD
102. En la figura 70, ABCD es un trapecio de bases AB y CD, si E es punto medio de AB,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de AECD y EBCD son iguales.
II) El área del triángulo DEC es la cuarta parte del trapecio ABCD
III) Las áreas de los triángulos AED y EBC son iguales
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III fig. 70
103. El cuadrilátero IJKL de la figura 7 es rectángulo, IK y JL son diagonales, entonces xº =
A) 26º
B) 36º
C) 44º
D) 64º fig. 71
E) 52º
104. En la figura 72, BO OD , OB bisectriz del ángulo COA, si AOD 140º , entonces COD 
A) 40º
B) 50º
C) 80º
D) 90º
E) 100º fig. 72
105. ¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 73?
A) 20º
B) 35º
C) 70º
C) 110º
D) 140º fig. 73
70º
x

27. 27
E D C
BA
F
x
y
a
b
c
d
L1 L2 L3
106. En la figura 74, la medida del a es:
A) 6,25
B) 1,666…
C) 6
D) 16,666…
E) 3,25 fig. 74
107. Un método para encontrar la altura de un objeto es colocar un espejo en el suelo y
después situarse de manera que la parte más alta del objeto pueda verse en el espejo.
¿Qué altura tiene una torre si una persona de 150 cm de altura observa la parte superior
de la torre cuando el espejo esta a 6 m de la torre y la persona esta a 120 cm del espejo?
A) 75 m
B) 7,5 m
C) 4,8 m
D) 3 m
E) 2 m.
108. En la figura 75, ABCD es paralelogramo, si E esta en la prolongación de CD, entonces,
es(son) falsa(s) las siguientes afirmaciones,
I) ABF es semejante al DEF
II) EFD es semejante al EBC
III) ABF es semejante al EBC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II fig. 75
D) Solo II y III
E) Sólo III
109. En la figura 76, L1 // L2 // L3, luego x + y =
A)
bd
ac
B)
db
ca


C)
d
c
fig. 76
D)
d
c
E)
cd
adbc 22

45º 45º
5 3
10
a
 

28. 28
A
B
A A
B
B
110. ¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión (simetría axial) del triángulo A al
triángulo B, con respecto a uno de los ejes coordenados?
I) II) III)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
111. El número de segmentos distintos necesarios para representar las alturas, transversales de
gravedad y bisectrices de un triángulo isósceles no equilátero es
A) 9
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
112. ¿Cuánto mide el ángulo x en el ABC de la figura77?
A) 20º 2 x
B) 30º
C) 50º
D) 60º
E) 70º 3 100º  fig. 77
113. El volumen de un cubo es igual al de un paralelepípedo recto, si el ancho del paralelepípedo
es igual a la arista del cubo y el largo es igual al doble de la arista del cubo, entonces la
altura del paralelepípedo recto es
A) la mitad de la arista del cubo
B) el doble de la arista del cubo
C) el cuádruplo de la arista del cubo
D) igual a la arista del cubo
E) igual a la diagonal del cubo

29. 29
L1
L2
70º 60º
m n
p
30º
40º
A L
O T
E
114. Los puntos de la figura 78 son los vértices de cuadrados de lado 1 cm., ¿cuál es el área de
la figura sombreada?
A) 30,0 cm2
B) 30,5 cm2
C) 31,0 cm2
D) 34,0 cm2
E) 36,0 cm2
fig. 78
115. En la figura 79, L1 // L2, luego al ordenar los ángulos; m, n y p de manera decreciente de
acuerdo a sus medidas, se obtiene
A) p, n, m
B) p, m, n
C) m, p, n
D) m, n, p
E) n, m, p fig. 79
116. En la figura 80, AT es la bisectriz del ángulo LAO del triángulo ALO, si OT es paralelo a AL,
entonces al ángulo ATO mide
A) 95º
B) 85º
C) 55º
D) 45º
E) 70º fig. 81
117. La reflexión del punto (-5, 4) respecto del punto (2, -4) da como resultado el punto
A) (9, -12)
B) (4, -5)
C) (-3, 0)
D) (-7, 8)
E) (-12, 12)
118. Si un paralelepípedo recto tiene por altura 5 cm. y un volumen de 100 cm3
, entonces al
suma de las áreas basales es
A) 10 cm2
B) 20 cm2
C) 30 cm2
D) 40 cm2
E) falta información

30. 30
I) II) III)
Patio
A B
C
D
aº
x
119. En la figura 82, CD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores, luego x =
A)
1
(90º aº)
2

B) 90º - aº
C) 180º - aº
D) 180º - 2aº
E)
1
(180º aº)
2
 fig. 82
120. ¿Con cuál(es) de las siguientes baldosas se puede cubrir completamente el patio, si todas
las figuras están formadas por cuadrados iguales?
A) Sólo con I
B) Sólo con II
C) Sólo con I ó II
D) Con I ó II ó III
E) Con ninguna
121. Si se quiere llegar del punto (1,2) al punto (-2,1) se debe hacer:
I) Una traslación de vector (-3,-1)
II) Una rotación de 90º respecto de (0,0)
III) Un simetría respecto del punto (0,
3
2
)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I o II
E) I o II o IIII

31. 31
a+10º
180º -2a
L1
L2
A C
TO
I
M
E
L
O
A B
C
D
O
A) B) C) D) E)
122. En la figura 83, L1 // L2, ¿cuál es la medida de a?
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 40º
E) no se puede determinar fig. 83
123. ACTO es rectángulo, MIEL es cuadrado TIC es triángulo isósceles de base CT, si el área
achurada mide 24 cm2
, entonces el área de ACTO es (figura 84)
A) 30 cm2
B) 36 cm2
C) 40 cm2
D) 48 cm2
E) no se puede determinar fig. 84
124. En la figura 85, CA // BD, si
3
2
C D
O C
 , entonces CA : BD como
A)
3
2
B)
3
1
C)
5
3
D)
5
1
E)
5
2
fig. 85
125. Al hacer una reflexión respecto de O de la figura se obtiene

32. 32
A B
C
D
E
A B
C
D
E
50º
H
126. Si el punto (-4,1) se rota 180º con respecto al punto (0,1) y después se refleja respecto
del origen (0,0), entonces el punto final resulta lo mismo que
A) reflejar el punto original respecto el eje y
B) rotar 45º el punto original respecto del punto (0,0)
C) reflejar el punto original respecto de la recta y = x
D) reflejar el punto original respecto de la recta y = -x
E) reflejar el punto original respecto de la recta y = 0
127. Si queremos determinar si el triángulo ABD inscrito en el pentágono de la figura 86, es
isósceles, necesitamos saber que:
(1) que el ángulo BCD mide 108º
(2) que el pentágono es regular
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional fig. 86
128. Cuatro rayos de origen común forman 4 ángulo que están en razón 2 : 3 : 5 : 8, ¿cuánto
mide el mayor de los ángulo?
A) 40º
B) 60º
C) 100º
D) 120º
E) 160º
129. Dos ángulos son tales que; ambos son suplementarios y el complemento de uno de ellos es
igual al suplemento del otro, luego el menor de ellos mide
A) 135º
B) 120º
C) 90º
D) 60º
E) 45º
130. En el triángulo ABC de la figura 88, H es ortocentro y D es punto medio de AB, luego el
ángulo CAE mide
A) 50º
B) 40º
C) 30º
D) 20º
E) 10º fig. 88

33. 33
S A
V
I
N
E
131. El triángulo de la figura 89 es equilátero, SI es altura, VA es simetral, luego el ángulo SEA
mide
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
E) 120º fig. 89
132. Al trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura desde
el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que
I) La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo.
II) La altura es perpendicular a la bisectriz trazada.
III) Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la bisectriz
trazada.
¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo III
D) I, II y III
E) ninguna
133. En la figura 89, ABCDE es un pentágono regular, entonces, ¿cuál de las afirmaciones es la
más completa respecto del cuadrilátero ABCF?
A) Es un cuadrilátero
B) Sus lados opuestos son iguales
C) Sus ángulos opuestos son iguales
D) Es un paralelogramo
E) Es un rombo fig. 89
A B
C
D
E F

34. 34
A) B) C)
D) E)
O
O
O
O
O O
A B
CD E
F
L1
L2
A
B
C
70º
xº
A M N
R
Q
P
55º
125º
aº
bº
134. ¿Qué figura muestra una rotación de 45º respecto al punto O?
135. En la figura 90, ABCD es rectángulo y FBE es triángulo equilátero, para encontrar el área
del rectángulo es necesario conocer:
(1) AF
(2) EC
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional fig. 90
136. En la figura 1, L1 // L2, si AB = BC, entonces x =
A) 30º
B) 35º
C) 37,5º
D) 40º
E) 45º fig. 91
137. En la figura 92, aº + bº =
A) 55º
B) 70º
C) 75º
D) 80º
E) 90º fig. 92

35. 35
A C
D
B E
L1
L2
x
100º
40º
x
A
B
C
D
P
B
Q
A
O O’
O
B C
A
138. En la figura 93, L1 // L2, el ángulo CAE mide 18º, si DE = 2·AB, entonces ¿cuánto mide el
ángulo x?
A) 18º
B) 36º
C) 42º
D) 54º
E) 72º fig. 93
139. El cuadrilátero de la figura 94 es un deltoide (DA = AB y BC = CD), luego el ángulo x =
A) 140º
B) 110º
C) 100º
D) 80º
E) 70º fig. 94
140. Las circunferencias de centros O y O’ son tangentes exteriores en Q, PB es tangente en B y
PA tangente en A, si PQ es tangente común y el ángulo APB mide 80º, entonces el ángulo
AQB mide
A) no se puede determinar
B) 140º
C) 120º
D) 100º
E) 90º fig. 95
141. En la circunferencia de la figura 96 de centro O, si el BAC 15º , entonces OBC 
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 75º
E) 80º fig. 96

36. 36
A
B
C
D
12
45º
x
A L
PE
K
U
T
142. Los segmentos dibujados dentro del cuadrado van desde un vértice al punto medio del lado
opuesto, como lo muestra la figura 97, si el lado del cuadrado es 1, entonces el área del
cuadrilátero ABCD es
A)
2
9
B)
1
4
C)
3
9
D)
1
8
E)
1
5
fig. 97
143. ¿Cuánto mide el ángulo x de la figura 98?
A) 45º
B) 30º
C) 60º 12 2
D) 75º
E) 105º fig. 98
144. En el cuadrilátero ALPE de la figura 99, AL // PE, EA es bisectriz del ángulo TAK y LE es
bisectriz del ángulo PLA, si AU = 9 cm y PE = 12 cm, entonces UP mide
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 4 cm
E) falta información para determinarlo fig. 99
145. Para conocer el área de un triángulo rectángulo isósceles, es necesario saber:
(1) la medida de uno de sus catetos
(2) la medida de la altura que intersecta a la hipotenusa
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

37. 37
A B
CD
E
22
3y+5
2x-6
35
M N
P
O
10
15
13
146. ¿Cuánto mide el ángulo que sumado con el triple de su complemento da como resultado
210º?
A) 60º
B) 40º
C) 30º
D) 20º
E) 10º
147. En la figura 100, los triángulos AED y CEB son congruentes, luego es falso que
A) AD // BC
B) y = 10
C) x = 14
D) DE = 15
E) BE = 12 fig. 100
148. ¿Cuánto suman los ángulos de la figura 101, marcados con arcos?
A) 180º
B) 270º
C) 360º
D) 720º
E) 900º fig. 101
149. El triángulo MNP de la figura 102 es isósceles de base NP, si MO = OP = PN, entonces la
medida del ángulo PMN es
A) 18º
B) 30º
C) 36º
D) 72º
E) No se puede determinar fig. 102
150. La circunferencia de la figura 103 está inscrita en el trapecio isósceles, luego el perímetro
del trapecio es
A) 12
B) 38
C) 50
D) 62
E) 150 fig. 103

38. 38
M N
PQ
T
A B
C
DE
F
R A
TO
I
N
151. El complemento de un ángulo es 30º, luego su suplemento es
A) 60º
B) 90º
C) 100º
D) 150º
E) 120º
152. El triángulo MNQ de la figura 104 es equilátero, el triángulo MNP es rectángulo en N, si
3
3MN
NP  , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) MP es perpendicular a NQ
II) El ángulo QMP mide 30º
III) T es punto medio de NQ
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III fig. 104
153. El hexágono ABCDEF de la figura 105 es regular, ¿qué parte del área de él esta achurada?
A)
6
1
B)
5
1
C)
4
1
D)
3
1
E)
2
1
fig. 105
154. En el rectángulo RATO de la figura 106, AN y OI son perpendiculares a la diagonal RT,
luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsa(s)?
I) TA N es semejante al RTO
II) TIRIA N
2

III) RTRITA
2

A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) ninguna fig. 106

39. 39
A
B
C
155. El poliedro de la figura 107 es un prisma cuyas bases son rombos de diagonales 12 y 6
cm., si la altura del prisma es el doble de la diagonal mayor, entonces su volumen es
A) 1.728 cm3
B) 864 cm3
C) 648 cm3
D) 432 cm3
E) Ninguna de la anteriores fig. 107
156. En la figura 108, se ha dibujado un cubo, luego el seno del ángulo ABC es
A) 3
B)
3
3
C)
2
3
D)
3
2
E) depende de la arista del cubo fig. 108
157. El perímetro de un triángulo es 11 cm, si sus lados son todos números naturales , ¿cuál
es el mayor valor que puede tomar uno de sus lados?
A) 7 cm
B) 6 cm
C) 5 cm
D) 4 cm
E) 3 cm
158. Un cuadrado y un rectángulo tienen igual área. Si el ancho del rectángulo es la mitad
del lado del cuadrado, entonces el largo del rectángulo es:
A) El doble del lado del cuadrado
B) El triple del lado del cuadrado
C) Igual al lado del cuadrado
D) La mitad del lado del cuadrado
E) El cuádruplo del lado del cuadrado

40. 40
A B
C
D
EF
40º
G
60º
M N
P
R
159. La razón de las áreas de dos círculos concéntricos es 1 : 3, si el radio del menor es r,
entonces la diferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es
A) 2r
B) 2 r
C) 4r
D) 8r
E) ( 3 1) r
160. Los triángulo ABC y DEF de la figura 109 no son congruentes, D y G son puntos medios de
los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE =
A) 80º
B) 70º
C) 60º
D) 65º
E) no se puede determinar fig. 109
161. El triángulo MNP de la figura 110 es rectángulo en P, si MR = RN, entonces ¿cuál(es de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) NR = RP
II) PR es bisectriz de NPM.
III) Si NRP 50º , entonces MPR 25º .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III fig. 110
162. El triángulo achurado de la figura 111, está inscrito en un octógono regular, ¿qué tipo de
triángulo lo representa mejor?
A) equilátero
B) isósceles
C) isósceles acutángulo
D) isósceles rectángulo
E) rectángulo fig. 111

41. 41
R
S
P
T
O
163. En la circunferencia de centro O de la figura 112, TP es tangente en P, SPR 30º , ¿cuánto
mide el ángulo PRS?
A) 150º
B) 120º
C) 90º
D) 60º
E) 30º fig. 112
164. En un triángulo de lados 20, 21 y 29, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita?
A) 4
B) 7 3
C) 5
D) 5 3
E) 6
165. Las tres circunferencias de la figura 113, son tangentes entre si y tangentes a la recta, las
dos mayores tienen igual radio y la menor tiene radio 3, entonces el radio de las mayores
es
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) ninguno de las anteriores fig. 113
166. Los lados de un triángulo están en la razón 4 : 6 : 11, ¿qué tipo de triángulo es?
A) rectángulo
B) obtusángulo
C) isósceles
D) acutángulo
E) no existe tal triángulo

42. 42
D C
B
A
10
9
19
5
50ºx
A B
C
I
30º
30º
V A
N
E
S
167. En el cuadrilátero de la figura 114, una medida posible de la diagonal AC es
A) 9
B) 10
C) 13
D) 15
E) 20 fig. 114
168. En la figura115, I es el incentro del triángulo ABC, ¿Cuánto mide el ángulo x?
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 60º
E) No se puede determinar fig. 115
169. El triángulo VAN de la figura 116 es equilátero, si el ángulo ENS mide 15º, entonces el
ángulo EAS mide
A) 15º
B) 25º
C) 30º
D) 45º
E) 50º fig.116
170. Al aumentar la longitud de los lados de un cuadrado, su área aumenta en un A %. ¿Cuál es
la medida del lado del cuadrado original?
(1) A = 25
(2) el área final es 125 2
cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

43. 43
P
Q R
4
6
C A
D
B
171. En la figura 117, todos los lados interiores al ángulo PQR son iguales, si dicho ángulo mide
18º, ¿cuántos triángulos isósceles se pueden formar?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) infinitos fig. 117
172. De un polígono regular de vértices A, B, C, D, … se sabe que el ángulo ACB mide 10º,
luego ¿cuántas diagonales diferentes pasan por el centro de el?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 18
173. En la circunferencia de la figura 118, las cuerdas miden 6 cm. y 8 cm., si ellas están a una
distancia de 1 cm., entonces el radio de la circunferencia mide
A) 2 cm.
B) 3 cm.
C) 4 cm.
D) 5 cm.
E) no se puede determinar fig. 118
174. El triángulo ABC es rectángulo en A, si AD es altura (figura 119), entonces BC =
A)
26
3
B) 52
C)
10 3
3
D)
8 13
3
E)
13
3
fig. 119

44. 44
b
2
b
O
A
B
C
A B
C
M
P
TQ
175. El área del triángulo isósceles de la figura 120 es b. Si uno de sus lados iguales es b,
entonces su perímetro es
A) b + 4
B) 2b – 4
C) 3b
D) 2b + 4
E) 4 fig. 120
176. El complemento de un ángulo es 36º, ¿cuánto mide el suplemento de dicho ángulo?
A) 54º
B) 116º
C) 126º
D) 136º
E) 154º
177. El triángulo de la figura 121 es escaleno, AT es bisectriz, MP es simetral y AT = TB, si el
ángulo AQM mide 65º, entonces el ángulo BCA mide
A) 115º
B) 105º
C) 95º
D) 75º
E) 25º fig.121
178. En la circunferencia de centro O de la figura 122, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) falsa(s)?
I) ACO CAO
II) BOA 2 BCA 
III) BOC 2 BOA 
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo III
E) Ninguna fig. 122

45. 45
A B
CD
A B
CD
M
N
P
Q
3
2
3
1 2
A
B
C
A’
B’
C’
x
y
179. El rectángulo de la figura 123, tiene por ancho 5 cm. y por largo 7 cm., si los cuadrados
achurados tienen área de 1 cm2
, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El perímetro de la figura sombreada es 8 cm. mayor que el perímetro del
rectángulo.
II) El área achurada es
8
35
del área del rectángulo.
III) Al sacar 2 cuadrados achurados, el perímetro de lo achurado sería igual al del
rectángulo.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Todas fig. 123
180. En el cuadrado ABCD de la figura 124 se ha inscrito el rectángulo MNPQ. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) AMQ CPN  
II) NPC MNB 
III) MNB PQD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III fig. 124
181. El triángulo ABC de la figura 125, se ha reflejado respecto del eje y obteniéndose el
triángulo A’B’C’, si los vértices A y C del triángulo ABC están en los ejes, entonces ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) C = C’
II) Ambos triángulos son congruentes.
III) ABC A'B'C'
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III fig. 125

46. 46
A B
CD
E
A
B
C
M
N
P
L
-1
2
3 x
y
182. Si dos triángulos son congruentes, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A) Tienen la misma forma.
B) Sus ángulos correspondientes son iguales.
C) Sus lados homólogos son iguales.
D) Tienen el mismo perímetro
E) Sus áreas están en razón 1 es a 2.
183. En la figura 126, ABCD es trapecio isósceles, AC y BD son sus diagonales, ¿cuál(es) de los
siguientes pares de triángulos son congruentes?
I) ABC y BAD 
II) AED y BEC 
III) ABE y DCE 
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III fig. 126
184. En la figura 127, el ABC es simétrico (reflejo) con el MNP respecto de la recta L,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) MA  L
II) MN // AB
III) MB = NA
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III fig. 127
185. La flecha sombreada achurada se traslada como lo muestra la figura 128, luego el vector
de la traslación mostrada es
A) (-2,0)
B) (4,-2)
C) (-4,2)
D) (0,-2)
E) (-4,-2) fig. 128

47. 47
A B C D
I) II) III)
L1 L2 L3
1
2
3
12 x y
186. Las figuras; A, B, C y D son; cuadrado, rombo, triángulo equilátero y trapecio isósceles
respectivamente. Luego si las ordenamos en orden creciente de acuerdo al número de ejes
de simetría tenemos
A) D, C, B, A
B) A, C, B, D
C) D, B, C, A
D) D, C, A, B
E) A, B, C, D
187. La figura I) está formada por 5 cuadrados congruentes, la figura II) es un cuadrado y la
figura III) es un triángulo equilátero. ¿En cuál(es) de ella(s) al rotarlas 90º respecto de su
centro, la figura resultante coincide con la inicial?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo III
E) Ninguna
188. En la figura 129, L1 // L2 // L3, luego x + y =
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20 fig. 129

48. 48
A B
C
O
A
B
C
O
60º
2
A B
CD E
F
189. ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto del perímetro y el área de un círculo cuando su
radio se duplica?
A) El perímetro y el área se duplican.
B) El perímetro se cuadriplica y el área se duplica
C) El perímetro y el área aumentan.
D) El área aumenta en mayor proporción que el perímetro.
E) El perímetro se duplica y el área se cuadriplica.
190. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 130, el CAB 5 ABC  , luego
CAB 
A) 75º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
E) 15º fig. 130
191. En la figura 131, ¿cuál es la medida del radio de la circunferencia de centro O?
A) 4
B)
4
3
3
C)
2
3
3
D)
1
3
3
E) 2 fig. 131
192. En el paralelogramo ABCD de la figura 132, si AB = 15, CE = 5 y EF = 3 entonces el área
del paralelogramo ABCD es
A) 144
B) 120
C) 80
D) 60
E) Ninguna de las anteriores fig. 132

49. 49
L
193. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos es  y
5
cos
13
  , entonces
tg sen   =
A)
96
65
B)
13
65

C)
131
65
D)
12
5
E)
5
13
194. En una circunferencia de diámetro 8 10 cm., una cuerda esta a una distancia de 4 cm. del
centro, ¿cuál es la medida de la cuerda?
A) 12 cm.
B) 16 cm.
C) 20 cm.
D) 24 cm.
E) 30 cm.
195. Al rotar el triángulo equilátero de lado 6 (figura 133) en torno a la recta L, se genera un
volumen de
A) 27 
B) 54 
C) 81 
D) 162 
E) Otro valor fig. 133
196. Se desea embaldosar un patio cuadrado de 2m de lado, luego ¿con cuál de las siguientes
baldosas no podrá cubrirse completamente el patio si no se puede transformar ninguna de
las baldosas?
A) baldosas cuadradas de lado 50 cm.
B) baldosas rectangulares de 20cm. por 25 cm.
C) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm y 10 cm.
D) baldosas de forma de triángulo equilátero de lado 20 cm.
E) baldosas rectangulares de 40 cm. por 8 cm.

50. 50
A B
CD F
E
A C
P
Q
R
T
O
197. En el cuadrilátero ABCD de la figura 134, AC es diagonal que intersecta a BF en E, luego el
ABE es semejante al CFE si:
(1) ABCD es paralelogramo.
(2)
AE BE
EC EF

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional fig. 134
198. En la circunferencia de centro O de la figura 135, PQRT es rombo, el área achurada se
puede determinar si:
(1) AC = 20
(2) AT = TO = OQ = QC = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional fig. 135
199. El complemento del complemento de un ángulo de 5º es
A) 5º
B) 10º
C) 15º
D) 45º
E) 85º
200. ¿En qué triángulo el ortocentro está en la circunferencia circunscrita a él?
A) equilátero
B) isósceles acutángulo
C) obtusángulo
D) rectángulo
E) en ningún triángulo

51. 51
O
B
CD
A
L
A B
C D
E
F
201. En la figura 136, FCD FAB y CAE BAE , luego ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) AC = CD
II) CE = EB
III) CBA BCD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III fig. 136
202. En un triángulo escaleno al trazar del mismo vértice; la altura, la bisectriz, la transversal
de gravedad y la simetral, ¿cuántos triángulos se forman en total?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 12
E) no se puede determinar
203. En la figura 137, L es tangente en B a la circunferencia de centro O. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones hace(n) que DC sea paralelo a L?
I) BC DB
II) BC CD DB 
III) CBA DCB
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III fig. 137
204. ¿Cuántos triángulos se forman al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice en un
dodecágono (12 lados) regular?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
E) más de 12

52. 52
L
A) B) C) D) E)
I) II) III)
205. ¿Cuál es el cuadrilátero que tiene 4 ejes de simetría?
A) el rombo
B) el rectángulo
C) el deltoide (trapezoide simétrico)
D) el trapecio isósceles
E) el cudrado
206. ¿Cuál es la mejor figura que representa una reflexión respecto a L de la figura original?
207. Dos triángulos equiláteros iguales se unen por un lado. Después todas las esquinas de la
figura obtenida se juntan en el centro. ¿Qué figura se obtiene?
A) un triángulo
B) un cuadrado
C) un rectángulo
D) un hexágono
E) un rombo
208. ¿Con cuál o cuáles de los triángulos se puede cubrir completamente el pentágono de la
figura?
A) Sólo con I
B) Sólo con II
C) Sólo con III
D) Con I y con III
E) Con I y II

53. 53
A D B
F
C
E
209. Los triángulos ADE y ACB son congruentes (figura 138), ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) falsa(s)?
I) CF = FD
II) DFB CFE  
III) F es punto medio de ED y BC
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) todas fig. 138
210. En la figura 139, la circunferencia mayor está inscrita al cuadrado mayor y pasa por los 4
vértices del cuadrado menor, la circunferencia menor está inscrita al cuadrado menor,
luego ¿en qué razón están los radios de las circunferencias?
A) 1 : 2
B) 2 : 3
C) 1 : 2
D) 2 : 2
E) no se puede determinar fig. 139
211. En la figura 140, ABCD es rombo, E es un punto de BC tal que
t
r
EC
BE
 , entonces las área
del triángulo ABE y el rombo ABCD están en una razón de
A)
)tr(2
r

B)
)tr(2
t

C)
2
tr
t







D)
2
tr
r







fig. 140
E)
2
t
r






A B
CD
E

54. 54
A B
C
D
E
F
G
212. Si F es el punto medio de AC (figura 141), entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)  FDG es isósceles.
II)  ABC es semejante con  BED.
III) G es punto medio de ED.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Ninguna fig. 141
213. Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC, se han dibujado triángulos equiláteros, como lo
muestra la figura 142. Si F y G son los puntos medios de AC y AE respectivamente,
entonces
BD
FG
=
A)
2
1
B) 1
C)
2
3
D)
4
1
E) no se puede determinar fig. 142
214. Si en la figura 143, los lados de los cuadrados están en razón 4 : 3 : 2, entonces si el área
no achurada es 17 cm2
, entonces el lado del cuadrado mayor es
A) 1 cm.
B) 2 cm.
C) 3 cm.
D) 4 cm.
E) 8 cm. fig. 143
215. En la circunferencia de centro O y radio r (fig. 144), se ha inscrito el  PQR. Entonces la
longitud del segmento PQ esta representada por

A) r·sen 
B) r·cos 
C) 2r· sen 
D) 2r· cos 
E)
2
sen·r 
fig. 144
B C
D
A
E
F
G
P Q
R
.O

55. 55
L
216. Al rotar la figura sombreada en torno a la recta L, el cuerpo engendrado es similar a:
A) D)
B)
C) E)
217. Para teselar un cuadrado con una pieza esta puede tener la forma de un:
I) triángulo equilátero
II) rectángulo
III) pentágono regular
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
218. Si se quiere saber el seno de un ángulo, se requiere
(1) conocer los lados del triángulo rectángulo donde está el ángulo en cuestión.
(2) conocer el coseno del mismo ángulo.
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por si sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
219. En la circunferencia de la figura 145, las cuerdas AB y CD son perpendiculares, para
encontrar el diámetro de la circunferencia es necesario conocer
(1) m
(2) n
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 145
E) Se requiere información adicional.
A B
D
C
E2 6
m
n

56. 56
a
a
a
a
45º
25º
x
p
q
r
s
A
D
BC
2
16
220. En la figura Nº 146, se muestran un rectángulo y un romboide traslapados, el área
achurada en términos de a es
A) 2
a
B)
2
a
2
C) 2
2a
D) 2
3a fig. 146
E) No se puede determinar
221. En la figura 147, p q y r s , luego el ángulo x mide
A) 25º
B) 90º
C) 115º
D) 155º
E) 165º fig. 147
222. El suplemento de un ángulo es 130º y el complemento del otro es 40º, entonces la
diferencia entra las medidas de ellos es
A) 0º
B) 10º
C) 20º
D) 50º
E) 90º
223. En el triángulo rectángulo en C de la figura 148, se ha trazado la altura CD, que divide a la
hipotenusa en dos segmentos; AD = 2 y DB = 16, luego el perímetro del triángulo ABC
mide
A) 24 4 14
B) 18 2 7 12 2 
C) 36
D) 24 12 2
E) 16 2 14 fig. 148
224. La suma de las medidas de las tres transversales de gravedad es
A) Igual al perímetro del triángulo
B) Igual a la mitad del perímetro del triángulo
C) Mayor que el perímetro del triángulo
D) Menor que el perímetro del triángulo
E) Igual a un tercio del perímetro del triángulo

57. 57
225. Para ubicar el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo se deben trazar
A) dos medianas
B) dos bisectrices
C) dos alturas
D) dos simetrales
E) dos transversales de gravedad
226. En la figura 149, ABCD es paralelogramo y ADE = EDC = BCD. Sabiendo que
AD = 5 y DC = 6, ¿cuánto, mide el perímetro del trapecio EBCD?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21 fig. 149
227. En la circunferencia de la figura 150, CD es altura. Para que D divida aureamente al
diámetro AB, AD es igual a
A) a
B) b – a
C) a · b
D)
a
b
fig. 150
E) a 5
228. El trapecio de la figura 151 es isósceles, luego, es(son) verdadera(s) la(s) siguientes
afirmación(es)
I) AE : ED = AB : CD
II)  BEC   AED
III)  ABE  CDE
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III fig. 151
D) Sólo I y III
E) I, II y III
229. Tres cuadrados de lados; 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente (fig. 151), si se colocan
uno al lado del otro, entonces ¿cuál es el área sombreada?
A) 100 cm2
B) 90 cm2
C) 120 cm2
D) 80 cm2
E) 240 cm2
fig. 151
A E B
CD
A B
C
D
ab
O
A B
CD
E

58. 58
A
B
C
D
E F
GH
230. Si con un triángulo isósceles de área 5 se forma un rombo, entonces el producto de las
diagonales es
A) 5
B) 10
C) 12
D) 20
E) 40 `
231. En la figura 152, ABCD es paralelogramo, F esta en la prolongación de AD. Si EF = 32 y GF
= 24, entonces BE es igual a
A) 4
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16 fig. 152
232. En la figura 153,  DBC isósceles de base DB, AD · AB =
A)
2
1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5 fig. 153
233. En el cuadrado ABCD de la figura 154, se han prolongado las diagonales de manera tal que
EA = AC = CG y FB = BD = DH, si el lado del cuadrado es a, entonces el área del octógono
AFBGCHDE es
A) 2
a
B) 2
2a
C) 2
3a
D) 23
a
2
E) no se puede determinar fig. 154
A B
C
GD
F
E
A D B
C
2
1 1
40º

59. 59
L1 L2
A) B) C) D) E)
234. La figura que mejor representa la reflexión de la flecha con respecto a L1 y luego respecto
de L2 es
235. Si el punto  2,2 3 se rota 30º con respecto al origen (0,0), el punto resultante es
A) (0,2)
B) (0,4)
C) (4,0)
D) (2,0)
E)  2, 2 3 
236. Un patio cuadrado se desea embaldosar, si este mide 5 metros de lado, ¿con cuál de las
siguientes baldosas no se podrá embaldosar completamente, sin cortar ninguna baldosa?
A) baldosas cuadradas de 50 cm. de lado.
B) baldosas rectangulares de 50 cm. por 25 cm..
C) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm. y 25 cm..
D) baldosas cuadradas de 40 cm. de lado.
E) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 25 cm. y 12,5 cm..
237. Si
3
tan
4
  , entonces el perímetro del triángulo rectángulo que tiene el ángulo  y cuya
hipotenusa mide 50 cm. mide
A) 100 cm.
B) 110 cm.
C) 120 cm.
D) 70 cm.
E) no se puede determinar

60. 60
238. La figura 155 muestra parte de un cubo, el corte sombreado es un triángulo formado por
las diagonales de las caras, si el cubo original tiene arista 1 cm, entonces el volumen del
cuerpo resultante es
A)
1
2
cm3
B)
1
3
cm3
C)
2
3
cm3
D)
5
6
cm3
fig. 155
E)
1
6
cm3
239. Si el volumen de un cilindro es V y el área del manto (superficie curva que lo envuelve) es
S, entonces el volumen expresado en términos del radio y la superficie del manto es
A) V S r 
B)
2S
V
r

C)
S
V
2r

D)
r
V
2S

E)
Sr
V
2

240. Para saber el número de lados de un polígono convexo se necesita saber
(1) El número de diagonales que se pueden dibujar en él.
(2) La suma de los ángulos exteriores.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

61. 61
a
a
b
B
C
A
D
E
24º
36º
L1
L3
L2
24º
xº
M N
P
T Q
40º 30º
x
241. En la figura 156, aparecen tres cuadrados dentro de un rectángulo, dos de ellos de lado a y
el otro de lado b, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área achurada es 2 2
2a 2ab b 
II) El perímetro de la zona sombreada es 12a
III) El perímetro del rectángulo es 8a + 2b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III fig. 156
242. En la figura 157, CDB 6º   y BEC 12º  , luego ¿cuánto mide el ángulo CAB?
A) 3º
B) 9º
C) 39º
D) 18º + 2
E) 2 18º  fig. 157
243. ¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 158, si L1 // L2 y 1 3L L ?
A) 24º
B) 64º
C) 66º
D) 76º
E) 114º fig. 158
244. En el triángulo MNP de la figura 159, PT es altura y PQ es bisectriz, ¿cuánto mide el ángulo
x?
A) 0º
B) 5º
C) 15º
D) 35º
E) falta información para determinarlo fig. 159

62. 62
10
6
x
2 6
A B
CD
E
F
245. Sea un triángulo ABC de lados a, b, c y alturas ha, hb y hc, luego
I) aha = bhb = chc
II) Si a > b > c  ha < hb < hc
III) ha : hb : hc = a : b : c
Es(son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
246. ¿Cuál es el valor de x en la figura 160?
A) 10
B) 1,5
C) 7,5
D) 4,5
E) 6,5 fig. 160
247. En al rectángulo ABCD de la figura 161, el ángulo en C es trisectado por CE y CF, luego el
área de dicho rectángulo es
A) 108 3 36
B) 6 3
C) 18 3 2
D) 151
E) 120 fig. 161

63. 63
A
B
C
F G HO
5
15
13A B
C
D
E
A B C
DEFG
C D B
A
F
E
248. En la figura 7, AF // BG // CH, si OA : AB : BC = 2 : 4 : 1, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) 2 · GH = FG – OF
II) Los triángulos OFA y OHC son semejantes.
III) AF : BG = 2 : 4
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I. II y III fig. 162
249. En la figura 163, ¿cuál es el seno del ángulo ACB?
A) no se puede determinar
B)
5
13
C)
12
13
D)
13
15
E)
15
26
fig. 163
250. Los triángulos ABF y BCE de la figura 164 son congruentes, ACDG es rectángulo. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) EFB BCE  
II) El área del AFG más el área de EDC es igual al área del ABF .
III) ABEF es paralelogramo.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III fig. 164
251. En el triángulo ABC e la figura 165, se han trazado las alturas AD y BF, si AD = 8, BD = 6 y
CD = 4, entonces ED =
A)
1
2
B)
5
2
C) 2
D)
5
2
E) 3 fig. 165

64. 64
x
y
z
A
B
S E
L
I
M
F
8
24
252. La figura 166, presenta un cono recto invertido, de diámetro 8 cm y altura 24 cm y dentro
de él una esfera de radio 1 cm, si la esfera es no puede descender más por el interior del
cono, entonces ¿a qué distancia del vértice del cono queda el centro de la esfera?
A) 2,3 cm
B) 6,0 cm
C) 8,0 cm
D) 37 cm
E) 2 37 cm fig. 166
253. El cubo de la figura 167 tiene el punto de intersección de las diagonales en el origen del
sistema coordenado, si las caras del cubo son paralelas a los planos xy, yz y zx, además
las coordenadas del vértice A(1,1,1), entonces las coordenadas del vértice B son
A) (-1,-1,-1)
B) (-1,-1,0)
C) (-1,1,-1)
D) (1,-1,-1)
E) (-1,-1,1) fig. 167
254. El pentágono SELIM de la figura 168, está formado por un cuadrado y un triángulo
equilátero de igual lado, el triángulo ELF es equilátero de igual lado que el pentágono
SELIM, si el perímetro del pentágono es 40 cm., entonces el área del triángulo achurado es
A) 32 cm2
B) 24 cm2
C) 20 cm2
D) 18 cm2
E) no se puede determinar fig. 168

65. 65
50º
A
B
C
D
E
A
B
C
D
255. En la circunferencia de la figura 169, los arcos AB y BD son iguales, ¿cuánto mide el ángulo
BCD?
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 60º
E) 80º fig. 169
256. El pentágono SELIM de la figura 168, ¿cuántos ejes de simetría tiene?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 1
E) 0
257. Para embaldosar un patio de forma de rombo, las baldosas de forma de rombo a usar de
manera de no cortar ninguna deben cumplir con:
I) la medida de su lado debe ser divisor de la medida del lado del patio.
II) sus diagonales deben ser perpendiculares.
III) deben tener los mismos ángulos interiores que el patio a embaldosar.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
258. Un cubo se a cortado como lo muestra la figura 170, si A, B, C y D son los puntos medios
de las aristas del cubo original, si lo cortado tiene un volumen de 8 cm3
, entonces la arista
del cubo mide
A) 4 cm.
B) 6 cm.
C) 8 cm.
D) 2 2 cm.
E) 4 2 cm. fig. 170

66. 66
L
A) B) C) D) E)
1 cm
259. Si se disponen de varios rectángulos cuyo largo mide el cuádruplo del ancho, entonces el
menor número de rectángulos que permiten formar un cuadrado es
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
260. ¿Cuál de las siguientes figuras representan mejor a la reflexión de la figura achurada
respecto de la recta L?
261. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero de la figura 171?
A) 2 cm2
B) 3 cm2
C) 4 cm2
D) 5 cm2
E) (1 5) cm2
fig. 171
262. ¿Cuál de los siguientes polígonos tiene menor número de ejes de simetría?
A) triángulo equilátero
B) rectángulo
C) triángulo isósceles
D) hexágono regular
E) trapecio rectángulo

67. 67
O
M
N
L
A
B
P R
EU
A
T
P S
U
I
40º
263. Si se tiene un octógono regular (8 lados) y se quiere teselar el plano con otro polígono
regular, este puede ser un
A) triángulo equilátero
B) cuadrado
C) pentágono regular
D) hexágono regular
E) heptágono regular
264. La circunferencia de centro O es tangente interior a la mayor, LB y LA son tangentes en M
y N respectivamente a la circunferencia de centro O, figura 172. Para encontrar la longitud
del arco AB, se requiere
(1) La longitud del arco MN y el radio de la
circunferencia mayor.
(2) El radio de la menor, la medida del ángulo MON el
radio de la mayor.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 172
E) Se requiere información adicional
265. El cuadrilátero ARTU (figura 173) esta inscrito en el cuadrado PREU, ¿en qué razón están
las áreas de ARTU y PREU?
(1) PA : AR = UT : TE = 4 : 1
(2) el lado del cuadrado mide 5 cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional fig. 173
266. Para obtener la medida del ángulo ISU en la figura 174, se requiere conocer que:
(1) el triángulo PSU es rectángulo en S
(2) SI es altura
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional fig. 174

68. 68
4x
3x
5x
6x
2x
A
B
C
D
E
F
G
T
SR
P
x
x
26º
40º
110º
aº 2aº
267. ¿Cuánto mide el ángulo CAB, en la figura 175?
A) 54º
B) 108º
C) 120º
D) 144º
E) 162º fig. 175
268. En un triángulo isósceles el ángulo interior menor es la cuarta parte del mayor, el mayor
de los ángulos interiores puede medir
A) 145º
B) 120º
C) 100º
D) 30º
E) 20º
269. Un rayo de luz nace del punto S (figura 176), se refleja en un espejo en el punto P, y llega
al punto T, para que PT sea perpendicular a RS, x debe medir
A) 32º
B) 37º
C) 45º
D) 26º
E) 38º fig. 176
270. En el diagrama de la figura 177, ¿cuánto mide a?
A) 50º
B) 65º
C) 70º
D) 105º
E) 110º fig. 178

69. 69
A
CB
X
D
Y
20º
xº
xº
20º
70º
B C
A
GE
F
aº
bº
cºdº
A B
C
D
E
F
271. El triángulo ABC de la figura 178 es rectángulo en B, AX = AD y CY = CD, la medida del
ángulo XDY es
A) 35º
B) 40
C) 45º
D) 50º
E) 60º fig. 178
272. Los triángulos ABC y AED son equiláteros (figura 179), si el ángulo DAC mide 15º,
entonces el ángulo DFB mide
A) 120º
B) 105º
C) 95º
D) 85º
E) 45º fig. 179
273. En el triángulo de la figura 180, xº =
A) 15º
B) 20º
C) 30º
D) 35º
E) 50º fig. 180
274. ¿Cuánto miden la suma de las medidas de los ángulos; aº, bº, cº y dº?
A) 360º
B) 440º
C) 540º
D) 720º
E) 900º fig. 181

70. 70
40º
100º130º 150º
xº yo
A B
C
D
275. En un triángulo, uno de los ángulos interiores es tres veces otro y el tercero mide 20º más
que la suma de los dos anteriores, ¿cuáles son las medidas de los ángulos?
A) 5º, 15º, 160º
B) 10º, 30º, 140º
C) 20º, 60º, 100º
D) 25º, 75º, 80º
E) 30º, 60º, 90º
276. Al trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura desde
el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que
I) La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo.
II) La altura es perpendicular a la bisectriz trazada.
III) Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la bisectriz
trazada.
¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo III
D) I, II y III
E) ninguna
277. En la figura 182, el triángulo ABC es rectángulo en C y el triángulo ABD es isósceles de
base AD, luego cuál de las afirmaciones es falsa.
A) ADB DAB
B) BD > AC
C) BD > BC
D) DA  BA
E) AC + CB < AB + BD fig. 182
278. Las medidas de los ángulos x e y en la figura 183 miden respectivamente
A) 40º y 20º
B) 20º y 40º
C) 30º y 60º
D) 30º y 40º
E) los dos miden 30º fig. 183

71. 71
128º
xº 2xº
Q R
TP
A
B
m
3m
2m
x
C B
D
E
F
A
279. En la figura 184, PT es paralela a QR, la medida del PQR es
A) 116º
B) 122º
C) 138º
D) 144º
E) 168º fig. 184
280. El triángulo ABC de la figura 185 es isósceles de base CB, si BC = CD = DE = EF = FA,
entonces la medida del ángulo BAC
A) 10º
B) 20º
C) 25º
D) 36º
E) 18º fig. 185
281. La medida del ángulo x en la figura 186 se puede conocer si:
(1) se conoce el ángulo en A
(2) se conoce el ángulo en B
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
fig. 186

72. 72
bº
aº
xº
A
B
C
D
E
282. Los ángulos exteriores de un cuadrilátero están en razón 2 : 3 : 5 : 8, luego el menor
ángulo interior mide
A) 20º
B) 40º
C) 60º
D) 100º
E) 160º
283. ¿Qué cuadrilátero no tiene ningún ángulo interior igual a otro ángulo interior?
A) cuadrado
B) rectángulo
C) trapecio isósceles
D) deltoide
E) trapezoide no simétrico
284. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) No existe cuadrilátero de diagonales distintas y perpendiculares.
II) Sólo los rectángulos tienen sus diagonales iguales.
III) En todos los paralelogramos las diagonales son iguales.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) ninguna
285. En el cuadrilátero de la figura 187, AE y CE son bisectrices, si aº > bº entonces xº =
A) aº - bº
B)
aº bº
2

C)
aº
bº
2

D)
bº
aº
2

E)
aº bº
2

fig. 187

73. 73
M N
PQ R
T E
LA
M
ab
K
E
R
Y
L U
PA
286. En la figura 188, TELA es rectángulo, si el ángulo a es el doble del ángulo b, entonces
es(son) verdadera(s) las siguientes proposiciones
I) AT = ML
II) El triángulo TAM es equilátero.
III) LAM isósceles de base AL.
IV) TE = 2·AT
A) Sólo I y II
B) Sólo I y III
C) Sólo IV
D) Sólo I, II y III fig. 188
E) todas
287. MNPQ es paralelogramo cualquiera (figura 189), R es punto medio de PQ, luego si MN
= 2 · NP ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) MNR es isósceles
II) NPR es equilátero
III) MNR es rectángulo
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III fig. 189
288. En la figura 190, KERY es rombo, LUPA es rectángulo y los puntos E e Y son puntos medios
de LU y PA respectivamente, si el ángulo ERY mide 50º entonces el ángulo KEL mide
A) 130º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
E) 25º fig. 190

74. 74
A B
C
D
E
F
G
A B
CD
P
Q xº
A B
CD
289. En el rectángulo de la figura 191, AE es bisectriz del BAD , EF es perpendicular a la
diagonal BD, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) Si EAC 15º , entonces BCG es equilátero
II) CAB BCF
III) ACE es isósceles
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III fig. 191
290. En la figura 192, ABCD es cuadrado, DAPQ es rombo, si P esta en la prolongación de la
diagonal CA, entonces xº =
A) 17,5º
B) 22,5º
C) 45º
D) 90º
E) 135º fig. 192
291. En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la figura 193, AD = BD, si DCB 110º y
CBD 30º , entonces ADB 
A) 80º
B) 90º
C) 100º
D) 110º
E) 120º fig. 193

75. 75
70º
xº
15º
V A
NE M
O
T
292. El cuadrilátero de la figura 194 es cóncavo, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
respecto a él es(son) falsa(s)?
I) Sus ángulos interiores suman 360º.
II) Sus ángulos exteriores suman 360º.
III) Se pueden trazar dos diagonales en el.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III fig. 194
293. La diferencia entre los ángulos interiores distintos de un deltoide es 20º y la suma de ellos
es 140º, luego la medida de los ángulos que son iguales es
A) 60º
B) 80º
C) 110º
D) 220º
E) otra medida
294. En rectángulo VANE de la figura 195, se ha inscrito el triángulo equilátero AMO, si el ángulo
VAE mide 15º, entonces el ángulo OTE mide
A) 75º
B) 85º
C) 95º
D) 120º
E) 125º fig. 195
295. Sobre los lados del triángulo de la figura 196, se han dibujado dos cuadrados congruentes,
entonces la medida del ángulo x es
A) 110º
B) 120º
C) 130º
D) 140º
E) 160º fig. 196

76. 76
L
E S
T
O
A
N
G
A
B C
D
E
FG
H
A
B
C
D
296. El polígono ABCDEFGH de la figura 197 es un octógono regular, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) falsa(s)?
I) ACE es rectángulo isósceles.
II) Desde H se pueden trazar 5 diagonales.
III) AF es perpendicular a EF.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) ninguna fig. 197
297. En la figura 1198, ANGLE es pentágono regular, SEAT es cuadrado y OAT es triángulo
equilátero, la medida del ángulo TON es
A) 39º
B) 99º
C) 117º
D) 139º
E) 151º fig. 198
298. En el cuadrilátero de la figura 199, AD = DC y CB = BA, si el ángulo ADC es el doble del
ángulo DAB y el cuádruplo del ángulo ABC, entonces el ángulo DCB mide
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 160º fig. 199

77. 77
D
C
B
A
E
P
120º
80º
x
G
E F
A B
CD
299. En el polígono de la figura 200, AB // PC, AP // BC, si AP y CP son bisectrices de los
ángulos interiores respectivos, entonces el ángulo x mide
A) 60º
B) 100º
C) 120º
D) 140º
E) 160º fig. 200
300. Para conocer ¿cuántos lados tiene un polígono convexo?, es necesario:
(1) Saber la suma de los ángulos interiores.
(2) la medida de un ángulo exterior.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
301. En la figura 201, el triángulo DBG es equilátero si
(1) ABCD es rectángulo y BFGE es cuadrado.
(2) DC es bisectriz del ángulo BDG.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
fig. 201

78. 78
O
A
B
C
D
A
B
C
E
F
30º
15º
O
A B
C
D
302. En la circunferencia de centro O de la figura 1, CA AB y D es punto medio, luego el
CBD mide
A) 15º
B) 30º
C) 40º
D) 45º
E) 60º
fig. 202
303. El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro O (fig. 203), si CD es bisectriz
del ángulo BCA, luego el ángulo BAD mide
A) 15º
B) 22,5º
C) 25º
D) 45º
E) 60º fig. 203
304. En la figura 204, ¿cuánto mide el arco BC?
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
E) 15º fig.204

79. 79
C
A
B
D
E
A
B
O
O’
O”
O O’M N
P
305. En la figura 205, BE y CE son bisectrices de los ángulos ABD y ACD respectivamente, si
ABE 25º , entonces ACD 
A) 25º
B) 35º
C) 40º
D) 50º
E) No se puede determinar fig. 205
306. Las dos circunferencias de la figura 206 son congruentes, si MN contiene a los centros O y
O’, entonces el ángulo NPM es igual a
A) 90º
B) 110º
C) 120º
D) 135º
E) 140º fig. 206
307. En la figura 207, las tres circunferencias son secantes entre si, cada una de ellas contienen
a los centros de las otras dos, luego AOB =
A) Falta información para determinarlo
B) 60º
C) 90º
D) 120º
E) 150º fig. 207

80. 80
V
A
S
I
M
25º
T
R
OP
T
R
O
P
U
308. El triángulo TRO tiene uno de sus vértices en el centro O de la circunferencia de la figura
208, si TP = OR y TR es tangente a circunferencia en R, entonces el arco menor RP mide
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 75º
E) no se puede determinar fig. 208
309. En el cuadrilátero VASI de la figura 209, el ángulo exterior SIM mide lo mismo que el
ángulo VAS, luego VSI =
A) 25º
B) 45º
C) 50º
D) 55º
E) No se puede determinar fig. 209
310. Sean; P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 y P8 los vértices de un octógono regular, luego el ángulo
formado por los vértices P2P4P8 mide
A) 45º
B) 90º
C) 135º
D) 180º
E) 215º
311. El cuadrilátero PTRU de la figura 210 está inscrito en la circunferencia de centro O. Si
UPT 2 TRU  y PUR 3 PTR  , entonces el cuadrilátero es
A) trapecio
B) romboide
C) trapezoide
D) trapezoide simétrico (deltoide)
E) trapecio escaleno fig. 210

81. 81
O
F E
G
M
NP
A
BC
D
E
F
30º
H
I
J
K
312. En la figura Nº 211, la circunferencia de centro O esta inscrita al triángulo FEG, si M, N y P
son los puntos de tangencia, FM = 5 cm. y NG = 9 cm., entonces FG =
A) 14 cm.
B) 10 cm.
C) 7,5 cm.
D) 4 cm.
E) falta información para determinarlo fig. 211
313. Las cuerdas AB, FC y ED de la figura 212 son paralelas, ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) falsa(s)?
I) EF FA
II) DFC CAB
III) DEB EBA
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo III
D) I, II y III
E) ninguna fig. 212
314. El triángulo HJK de la figura 213 es isósceles de base HK, si KI = IJ, entonces el arco IK
mide
A) 30º
B) 45º
C) 75º
D) 120º
E) 150º fig. 213

82. 82
A
B
C
D
315. En la figura 214 la circunferencia menor es tangente a la mayor en A, si AB es diámetro de
la mayor y contiene al diámetro de la menor, entonces para que AD sea igual a DC, debe
suceder que
(1) El radio de la mayor sea igual al diámetro de la menor.
(2) El ángulo BAC mida 30º.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional fig. 214
316. Para que un cuadrilátero este inscrito en una circunferencia debe cumplir con que
(1) tenga dos lados paralelos
(2) tenga dos ángulos interiores opuestos suplementarios.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
317. Los puntos A, B, C y D son colineales tales que AB = 6 cm, BC = 2 cm, AC = 8 cm y BD =
1 cm. Dadas estas condiciones, una posible disposición de esos puntos es
A) ADBC
B) ABCD
C) ACBD
D) BACD
E) BCDA
318. En un triángulo ABC, los ángulos en los vértices B y C miden 50º y 70º respectivamente.
La bisectriz trazada desde el vértice A, forma con el lado BC dos ángulos que están en la
razón
A) 1 es a 2
B) 2 es a 3
C) 3 es a 4
D) 4 es a 5
E) 5 es a 6

83. 83
A B
C
M N
30
1210
x
A B
C
Q
R
P
20
x
8
10
A B
C
A’ B’
C’
D
D’
319. En la figura 215, MN es paralelo a AB, entonces x =
A) 25
B) 28
C) 30
D) 18
E) 12 fig. 215
320. En la figura 216 los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, AD y A’D’ son bisectrices,
luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) ACB A'C'B' fig. 216
II)
AC AD
A'C' A'D'

III) ADC A'D'C'
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) I, II y III
E) ninguna
321. En la figura 217, ABC es semejante con QPR , luego x =
A)
20
7
B) 14
C) 16
D) 22
E) 25 fig. 217
322. ¿En qué razón están las áreas de los triángulos de la figura 217?
A) 25 : 2
B) 25 : 7
C) 22 : 1
D) 22 : 4
E) 25 : 4

84. 84
10
6
x
A B
O
2
x
C
D
16
4
C O
NI
T
323. ¿Cuál es el valor de x en la figura 218?
A) 10
B) 1,5
C) 7,5
D) 4,5
E) 6,5 fig. 218
324. En la figura 219, CONI es un rectángulo, si OT es perpendicular a CN, entonces es falso
A) CT : TO = 4 : 1
B) CN = 4 17
C) ICN TOC
D) NT : TO = 4 : 1
E) OT2
= NT · TC fig. 218
325. El diámetro CD es perpendicular a la cuerda AB, figura 219, si CD = 10, entonces x =
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10 fig. 219
326. Si un segmento de 24 cm. es dividido interior y exteriormente en la razón 5 es a 1,
entonces la distancia entre los puntos de división interior y exterior es
A) 6 cm.
B) 10 cm.
C) 12 cm.
D) 20 cm.
E) 24 cm.
327. En un triángulo de lados 5, 12 y 13, la bisectriz del mayor ángulo interior agudo divide al
triángulo en dos triángulos de áreas P y Q, si P < Q, entonces
P
Q

A)
1
3
B)
5
13
C)
6
13
D)
1
2
E)
7
13

85. 85
6
3
A
B
A B
C
L
O
E
328. Dos circunferencias tienen sus radios en razón 3 es a 2, si la mayor tiene un perímetro de
12 , luego el área de la menor es
A) 36
B) 24
C) 18
D) 16
E) 81
329. Las dos circunferencias de la figura 220 son tangentes a la recta, si A y B son los puntos de
tangencia y la distancia entre los centros es 15, entonces AB =
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 18 fig. 220
330. En la figura 221, los triángulos ABC y LOC son rectángulos y semejantes, si sus
hipotenusas son AB y LO, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
falsa(s)?
I) E es punto medio de CB y LO.
II) (LO + CO)(LO – CO) = AL · LB
III) El triángulo LEC es equilátero.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo III
E) ninguna fig. 221
331. Si los lados de dos octógonos semejantes están en razón 3 : 5 y el área del menor es 18
cm2
, entonces el área del mayor es
A) 5 cm2
B) 15 cm2
C) 30 cm2
D) 50 cm2
E) 75 cm2

86. 86
A B
CD M
16
N
P E
LO
C
U
A
332. En la figura 222, L1 //L 2 //L 3 luego x mide
A) 10
B) 16
C) 18
D) 15,5
E) 20 fig. 222
333. Si la sombra generada por un árbol es 12 m. y por un poste cercano a el es 8 m., entonces
sus alturas pueden ser
árbol poste
A) 36 m. 16 m.
B) 24 m. 8 m.
C) 48 m. 24 m.
D) 15 m. 10 m.
E) 10 m. 6 m.
334. En la figura 223, PELO y CUAL son cuadrados, las medidas de sus lados son 4 cm. y 3 cm.
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I) PL es perpendicular a LU
II) Los perímetros de los triángulos PEL y LUA están en razón 4 : 3
III) El área del triángulo LOP es al área cuadrado CUAL como 16 es a 9
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo III
D) I, II y III
E) ninguna
fig. 223
335. ABCD es paralelogramo, N es el punto de intersección de los segmentos AM y DB, si M es
punto medio de DC y AN = 16 (figura 224), entonces MN =
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) Falta información para determinarlo fig. 224
8
12
x
2
3
L1
L 2
L 3

87. 87
A B
C
T
40
8
6
24
C
D
A
B
A R
TE
M
A B
CD
G
E
F
336. En la figura 225 AT es bisectriz del ángulo BAC, luego AB =
A) 30
B) 28
C) 26
D) 24
E) 22 fig. 225
337. En el rectángulo ARTE de la figura 226, RM es perpendicular a la diagonal AT, si RT =
1,3 m. y TM = 0,5 m., entonces la menor distancia que hay entre el vértice E y la diagonal
AT es
A) 12 m.
B) 1,2 m.
C) 0,12 m.
D) 1 m.
E) 0,8 m. fig. 226
338. Los cuadriláteros ABCD y BEFG son rectángulos, el triángulo ABF es isósceles de base AF,
GD es perpendicular a AF, si AD : DC = 1 : 4, entonces ¿en qué razón están las áreas de
los rectángulos ABCD y BEFG? (figura 227)
A) 1 : 16
B) 15 : 16
C) 17 : 16
D) 5 : 4
E) ninguna de las anteriores fig. 227
339. En la figura 228 CD es diámetro de medida 26, entonces el coseno del ABC es
A)
5
13
B)
12
13
C)
1
2
fig. 228
D)
3
2
E) no se puede obtener pues ABC no es rectángulo

88. 88
T E
R
A
240. ¿En qué triángulo el coseno de un ángulo y el seno del mismo ángulo son iguales?
A) en un triángulo de 30º, 60º y 90º
B) en un triángulo rectángulo escaleno
C) en un triángulo equilátero
D) en un triángulo rectángulo isósceles
E) en ningún triángulo
341. En la figura 229, ET es tangente en T a la circunferencia, si TE = 2 · ER y RA = 5, entonces
ER =
A) 5
B)
5
3
C)
3
5
D)
5
4
E) ninguna fig. 229
342. Un segmento está dividido en razón áurea si:
(1) su medida se expresa con una raíz cuadrada de cinco.
(2) si el mayor trozo es media proporcional.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
343. Si en un triángulo rectángulo se traza la altura desde el ángulo recto y esta divide a la
hipotenusa en dos segmentos en razón 1 : 3, entonces para determinar la hipotenusa si
(1) El cateto mayor mide 12
(2) La altura es múltiplo de 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

89. 89
A B
C
D
E F
GH M
N
344. ¿Cuál es el volumen de un prisma de base cuadrada de área 25 cm2
y sus caras laterales
son rectángulos de perímetro 40 cm?
A) 1.000 cm3
B) 500 cm3
C) 400 cm3
D) 375 cm3
E) 200 cm3
345. Una esfera está inscrita en un cubo. ¿Cuál es la razón entre el área de la esfera y el área
del cubo?
A)
2
3

B)
6

C)
4
3

D)
12

E)
8
3

346. En la figura 230, ABCDEFGH es paralelepípedo recto, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) MN // FB
II) MN // BE
III) AH // BG
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III fig. 230
347. La figura 231 muestra un paralelepípedo recto de base cuadrada inscrito en un cilindro, ¿en
qué razón está el volumen del paralelepípedo y el cilindro?
A)
2

B)
4

C)
8

D)
2

E)
8

fig. 231

90. 90
L
A) B) C)
D) E)
L
M
N
O
P
348. ¿Cuál es el área total de una pirámide de base cuadrada de arista 4 cm. y cuyas caras
laterales son triángulos equiláteros?
A) 64 cm2
B) 16 4 3 cm2
C) 16 12 3 cm2
D) 16 16 3 cm2
E)
32
2
3
cm2
349. Al rotar el trapecio ABCD respecto a la recta L, ¿qué cuerpo representa mejor el volumen
engendrado?
350. ¿Cuál de las rectas en la figura 232, no sería eje de simetría?
A) L
B) M
C) N
D) O
E) P fig.232

91. 91
L
L
L L
L L
A) B) C)
D) E)
351. Al respecto de polígonos regulares se hacen las siguientes afirmaciones:
I) Los polígonos de una cantidad par de lados tienen por ejes de simetría las
diagonales que son bisectrices y las rectas que pasan por los puntos medios de los
lados opuestos.
II) En los pentágonos no hay eje de simetría que contenga a los puntos medios de los
lados.
III) El hexágono tiene igual cantidad de ejes de simetría que lados.
Es(son) falsa(s):
A) Solo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I. II y II
E) ninguna
352. ¿Cuál de las alternativas representa mejor la reflexión de la figura principal respecto a L?
353. El punto de coordenadas (1,2) se traslada 5 unidades a la derecha horizontalmente y luego
se le refleja con respecto al origen (0,0), resultando el punto
A) (-6,-2)
B) (-2,-6)
C) (-6,2)
D) (2,-6)
E) (6,2)

92. 92
AB
CDE
1
2
M
N
12
3
x
y
2
2
-2
-2
354. La figura 233 muestra una mesa de billar, B es el punto medio entre la bola 2 y M, C es el
punto medio entre la bola 1 y N, si queremos que la bola 1 choque a la bola 2 y no existe
ningún efecto, en que puntos del borde puede rebotar para lograr el impacto
A) Sólo en A
B) Sólo en B
C) Sólo en E
D) Sólo en C
E) Sólo en A y en D
fig. 233
355. El paralelogramo 1 de la figura 234 se ha transformado, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El paralelogramo 2 es una reflexión de 1 respecto al eje y.
II) El paralelogramo 3 es una reflexión del 2 respecto al eje y.
III) El paralelogramo 3 es una rotación de 180º respecto al punto (0,0) del
paralelogramo 1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
fig. 234
356. ¿Con cuál de las siguientes figuras no se puede teselar el plano?
A) triángulo equilátero
B) triángulo escaleno
C) cuadrado
D) trapecio isósceles
E) dodecágono regular

93. 93
I) II) III)
357. Un patio rectangular se desea embaldosar, si dicho patio tiene medida de 2 m. por 3 m.,
entonces se podrá embaldosar con
I) Baldosas cuadradas de 50 cm. de lado.
II) Baldosas de rectangulares de 1 m. por 1,5 m.
III) Baldosas cuadradas de 75 cm. de lado.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo III
E) I, II y III
358. Las tres figuras siguientes se generan de polígonos regulares (líneas punteadas), en las
cuales se ha modificado cada lado con la misma figura. ¿En cuál(es) de ellas se genera(n)
una baldosa que tesela el plano?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
359. Un hexágono regular se puede teselar con un triángulo equilátero si
I) El lado del triángulo es igual al del hexágono.
II) La medida del lado del triángulo es un divisor de la medida del lado del hexágono.
III) La medida del lado del hexágono es
3
4
de la medida del lado del triángulo.
¿Con cuál(es) de las condiciones es posible la teselación?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I o II
E) I o II o III

94. 94
360. Una muralla rectangular se la quiere cubrir con azulejos triangulares, estos azulejos son
triángulos rectángulos. El maestro no puede cortar los azulejos, entonces para poder cubrir
la muralla estos deben cumplir con
I) Ser triángulos rectángulos isósceles de lado igual al máximo común divisor del largo
y ancho de la muralla.
II) Un cateto debe ser divisor del ancho y el otro cateto divisor del largo.
III) Un cateto debe ser el doble del otro.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I o II
E) I o II o III
361. Si un cuadrado cuyos vértices son; (1,1), (1,3), (3,1) y (3,3), se rota 90º respecto al
origen (0,0), entonces las coordenadas de la intersección de las diagonales del cuadrado
transformado son
A) (-2,2)
B) (2,-2)
C) (-3,3)
D) (3,-3)
E) ninguna de las anteriores
362. Si una esfera está inscrita en un cilindro, entonces podemos conocer el volumen de la
esfera si
(1) conocemos el volumen del cilindro
(2) conocemos el radio del cilindro
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
363. Se desea embaldosar un piso cuadrado de un baño, si disponemos de varios tipos de
baldosas cuadradas, ¿cuál debemos escoger para no cortar ninguna de ellas?
(1) aquella que su lado sea divisor del lado del baño
(2) aquella cuyo lado es el más grande
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

95. 95
A MN
12 cm. 8 cm.
M N
P
T
R
x
y
z
A
C
B
A B
C
DE
O
364. El segmento AM se ha dividido interiormente como lo muestra la figura 235, ¿cómo se debe
desplazar N para que la razón entre AN y NM se invierta?
A) 4 cm. hacia la derecha
B) 4 cm. hacia la izquierda
C) 2 cm. hacia la derecha
D) 2 cm. hacia la derecha
E) 8 cm. hacia la izquierda fig. 235
365. En el triángulo MNP de la figura 236, RTP MNP , NP = 10, TR = 2, MN = 5, MT = 7 y
PT = 4, si RN = x, entonces la proporción que permite encontrar RN es
A)
2 x
5 10

B)
5 x
2 10

C)
10 x 11
10 4


D)
10 x 2
11 5


E)
10 x 10
11 4

 fig. 236
366. Las caras del cubo de la figura 237, están sobre los planos xy, yz y zx, las coordenadas del
punto A son (0,2,0), luego la distancia entre los vértices B y C son
A) 3
B) 2 2
C) 3 2
D) 2 3
E) 4 fig. 237
367. En la circunferencia de centro O de la figura 238, AE // CD, AB y CD son diámetros, si
AEC 20º , entonces BOD 
A) 20º
B) 40º
C) 60º
D) 70º
E) 90º fig. 238

96. 96
A B
C
D
E
O F
D G C
F
BA
E
A
B
368. En la circunferencia de centro O de la figura 15, AE = EO = OF = FB, si CF = 2, ¿cuál es el
área del círculo?
A)
16
3

B)
4
3

C) 4
D) 3
E) falta información para determinar el área fig. 239
369. Una caja de zapatos se desea forrar completamente, si las medidas de las aristas son; 20
cm., 30 cm. y 40 cm., entonces ¿cuál es área a forrar?
A) 5.200 cm2
B) 2.400 cm2
C) 3.000 cm2
D) 2.800 cm2
E) Ninguna de las anteriores
370. El cuadrado de la figura 240 tiene un área de 121 cm2
, E es el centro del cuadrado, GEF
= 90º y FC = 3. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero GEFC?
A) 18 cm2
B) 25,5 cm2
C) 81 cm2
D)
1
62
8
cm2
E)
1
30
4
cm2
fig. 240
371. En la figura todos los puntos están separados horizontal y verticalmente 1 cm., si los
puntos A y B son los vértices de un triángulo isósceles, entonces ¿cuántos de los puntos
dibujados pueden ser el tercer vértice del triángulo?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3 fig. 241

97. 97
P A
TO
E F
M
N
A B
CD
O
M N
P
Q
372. Si definimos como ejes de simetrías principales a aquellos que unen dos vértices opuestos
y los denominamos con la letra “a” y a los ejes de simetrías que unen los puntos medios de
lados opuestos los nombramos como ejes secundarios y los denominamos por “b”. Si
aparecen tantas letras como ejes de simetría, entonces a que figura corresponde (a,a,b,b)
A) un rectángulo
B) un rombo
C) un trapecio isósceles
D) un cuadrado
E) un deltoide
373. En la figura 242, PATO es cuadrado, EF y NM son paralelas a los lados del cuadrado, si los
cuadriláteros achurados son cuadrados, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) Los perímetros de los cuadriláteros achurados y no achurados son iguales.
II) El área achurada corresponde a la mitad del cuadrado PATO.
III) El perímetro de los cuadriláteros achurados es igual al del cuadrado PATO.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III fig. 242
374. En el rectángulo de la figura 243, AC = 2·BC, si AC = 4 cm., entonces el área del
rectángulo es
A) 4 cm2
B) 2 3 cm2
C) 8 cm2
D) 16 cm2
E) 4 3 cm2
fig. 243
375. En la circunferencia de centro O de la figura 244, MN  PQ, luego ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Los arcos QN y NP son iguales.
II) M dimidia al arco PQ.
III) OQ = QN
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III fig. 244

98. 98
K A
S
PE
R
U
L
T
I
M
O
O
B L
I
G
E
60º
A B
C
D
E
376. El hexágono KASPER de la figura 245 es regular, luego ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) ULTIMO es hexágono regular.
II) El triángulo TIP es equilátero.
III) Los triángulos KER y PIE son semejantes.
IV) El área del RIE es
2
3
del área del KAS .
A) Sólo I y II
B) Sólo II y III
C) Sólo I, II y III
D) Sólo I, II y IV
E) todas fig. 245
377. Si un segmento se divide en una razón 3 : 8 y tiene por medida un número entero de cm.,
entonces ¿cuál de las alternativas siguientes es siempre verdadera?
A) la medida de todo el segmento es múltiplo de 11
B) la medida del segmento termina en cifra par
C) el trazo mayor es múltiplo de 5
D) el segmento queda dividido aéreamente
E) la menor medida de todo el segmento es 8 cm.
378. El pentágono BLIGE es inscrito en la circunferencia de centro O, figura 246, luego la suma
de las medidas de los ángulos LIG y GEB es
A) 150º
B) 185º
C) 190º
D) 210º
E) 250º fig. 246
379. En la figura 247, los triángulos ABC y ADE son rectángulo en B y D respectivamente, si BE
es perpendicular a AC, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se verifican?
I) sen DAE sen BED
II) cos EBD sen CBE
III) tg AED tg EBA
A) todas
B) Sólo I
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) ninguna fig. 247

99. 99
I) II) III)
20º
A
B
C
D
E
F
50º
G
380. Los vértices de un rectángulo son A(0,0), B(3,0), C(3,2) y D(0,2), si el rectángulo se rota -
90º respecto del vértice C, entonces las coordenadas del nuevo vértice D son
A) (3,5)
B) (1,5)
C) (3,-1)
D) (-2,0)
E) (1,2)
381. ¿Con cuál(es) de las siguientes piezas se puede teselar el rectángulo grande?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
382. En la circunferencia de la figura 248, F es el punto medio del arco DA, ¿cuánto mide el
ángulo FGA?
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 50º
E) 10º fig. 248

100. 100
3
4
5
V
A
N
E
L O
383. La figura 249 es un paralelepípedo recto de aristas 3 cm., 4 cm. y 5 cm., luego su diagonal
mide
A) 5 2 cm.
B) 5 cm.
C) 41 cm.
D) 25 cm.
E) 34 cm. fig. 249
384. La pirámide de la figura 250 tiene base cuadrada y una de las caras en el plano xz, si las
coordenadas de A es (2,2,0) y las del vértice B son (1,0,2), entonces el volumen de la
pirámide es
A)
3
8
B) 4
C) 8 fig. 250
D) 6
E) 3
385. En el triángulo LON está inscrito el rombo VANE, figura 251, si LN = 12 m, LO = 8 m y
ON = 6 m, entonces el lado del rombo mide
A) 2 m
B) 3 m
C) 4 m
D) 5 m
E) 8 m fig, 251
x
y
z
A
B

101. 101
A BE E’
A) B) C)
D) E)
O
386. El triángulo ABC está formado por los puntos A(8,3), B(4,1) y C(-5,4). ¿Cuál es la medida
de la altura que llega al lado AB?
A) 3 5
B) 5 5
C) 7 5
D) 4 5
E) 2 5
387. El segmento AB de la figura 252 se ha dividido interiormente y exteriormente en la razón 3
: 2,los puntos de división interior y exterior son E y E’, si AB = 5, entonces EE’ =
A) 8
B) 12
C) 20
D) 48
E) 60 fig. 252
388. Una pirámide tiene su base cuadrada de lado 12 cm. y su altura de 8 cm. llega al punto de
intersección de las diagonales del cuadrado. ¿Cuál es la suma de las áreas de todas sus
caras laterales?
A) 30 cm2
B) 40 cm2
C) 60 cm2
D) 120 cm2
E) 240 cm2
389. Al reflejar el cuadrilátero sombreado respecto del punto O, se obtiene

102. 102
A B
CD
C A
TO
I
N
A
B C D
E
M
390. En una circunferencia se a inscrito un cuadrado, los arcos AB, BC, CD y DA se han reflejado
respecto de los lados respectivos del cuadrado, generando la figura 253, si el área de la
circunferencia es x y la del cuadrado es y, entonces el área achurada es
A) x – y
B) 2x – y
C) 2x – 2y
D) 2y – x
E) 3x – y fig. 253
391. El rectángulo CATO de la figura 254, tiene por medidas de lados 4 cm. y 2 cm., los
triángulos TIA y TON son equiláteros, luego NI mide
A) 2 cm.
B) 32 cm.
C) 2 5 2 3 cm.
D) 4 32  cm.
E) otro valor fig. 254
392. El triángulo ABC de la figura 255 es equilátero, si AM = MB = 5 y CD = 6, entonces AE =
A)
76
11
B)
77
11
C)
78
11
D)
79
11
E)
80
11
fig. 255

103. 103
A B
O
P
Q
S E
T
U
R
A
B
P
393. En un trapecio sus bases miden 4 y 6 cm., sus diagonales se intersectan de manera los
menores segmentos determinados en cada una de ellas miden 2 y 3 cm. La medida de la
diagonal mayor es
A) 3 cm.
B) 4 cm.
C) 4,5 cm.
D) 5 cm.
E) 7,5 cm.
394. El triángulo ABO es rectángulo en O, OA = a y OB = b, si AP = PQ = QB = x (figura 256),
entonces x =
A) ab a b 
B) a b 2ab 
C) 2 2
a b
D) a b 2ab 
E) ab a b  fig. 256
395. En la figura 257, el triángulo SET es equilátero de lado 8, TU es altura, si R es punto medio
de TU, entonces ER =
A)
1
2
B)
3
2
C) 7
D) 2 7
E)
2
2
fig. 257
396. La figura 258, muestra una barra rígida AB apoyada sobre un triángulo equilátero de lado 1
m, si AP = 1,2 m. y PB = 1,8 m., entonces cuando el extremo B toca el piso, ¿a qué altura
del piso queda el extremo A?
A) 3 m.
B)
3
3
m.
C)
6 3
5
m.
D)
5 3
6
m. fig. 258
E) 2 2 m.

104. 104
5
3
A
B
397. El ángulo interior distinto de un triángulo isósceles mide 120º, si el lado mayor mide 12
cm., entonces el perímetro del triángulo en centímetros es
A) 36
B) 18
C) 4(2 3 3)
D) 4( 3 12)
E) 2( 3 6)
398. El trapecio de la figura 259 tiene una altura 4, ¿cuál es la diferencia de las áreas de los
triángulos achurados?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 fig. 259
399. Con 4 palitos de fósforos se forma un cuadrado de a cm2
y p cm. de perímetro. Si a + p =
21, entonces la medida de cada palito es
A) 1 cm.
B) 2 cm.
C) 3 cm.
D) 4 cm.
E) 5 cm.
400. Las tres circunferencias de la figura 260 son tangentes entre sí, la cuerda AB es tangente a
las dos circunferencias menores y mide t, si r es el radio de la mayor, entonces el área
achurada es igual a
A)
2
r
8

B)
rt
8

C)
2
t
8

D)
2
(t r)
8
 
E) ninguna de las anteriores fig. 260

105. 105
401. Un trapecio isósceles tiene su base mayor igual a 6 cm. y altura 2 cm. Una circunferencia
tiene por radio la base menor del trapecio. Si el área del trapecio es igual al 62,5· 1
 % del
área de la circunferencia, luego el perímetro del trapecio en cm es
A) 6 6
B) 6 5
C) 5 5
D) 2(6 6)
E) 2(5 5)
Sixto Maulén y Savane Emegu
2011

106. 106
RESPUESTAS
Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave
1 A 41 A 81 B 121 D
2 D 42 A 82 D 122 A
3 D 43 A 83 E 123 D
4 A 44 B 84 D 124 E
5 D 45 E 85 C 125 E
6 B 46 D 86 A 126 E
7 D 47 B 87 B 127 B
8 B 48 E 88 C 128 E
9 D 49 A 89 A 129 E
10 E 50 C 90 A 130 E
11 D 51 D 91 A 131 C
12 C 52 C 92 E 132 B
13 C 53 D 93 D 133 E
14 B 54 C 94 A 134 C
15 C 55 B 95 B 135 C
16 A 56 D 96 C 136 B
17 B 57 E 97 C 137 B
18 D 58 C 98 C 138 B
19 D 59 D 99 A 139 E
20 C 60 B 100 C 140 B
21 B 61 B 101 D 141 D
22 C 62 E 102 D 142 E
23 B 63 C 103 A 143 E
24 A 64 A 104 A 144 C
25 B 65 E 105 C 145 D
26 C 66 A 106 A 146 C
27 D 67 E 107 B 147 E
28 D 68 C 108 E 148 E
29 A 69 C 109 E 149 C
30 A 70 D 110 B 150 C
31 D 71 A 111 B 151 E
32 C 72 B 112 D 152 E
33 B 73 E 113 A 153 D
34 B 74 B 114 B 154 E
35 B 75 B 115 D 155 B
36 E 76 A 116 C 156 B
37 A 77 A 117 A 157 C
38 B 78 B 118 D 158 A
39 D 79 E 119 E 159 E
40 C 80 B 120 A 160 A

107. 107
Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave
161 D 201 D 241 E 281 D
162 D 202 D 242 C 282 A
163 E 203 E 243 C 283 E
164 E 204 B 244 B 284 E
165 D 205 E 245 D 285 E
166 E 206 D 246 C 286 D
167 D 207 C 247 A 287 C
168 C 208 D 248 C 288 E
169 A 209 C 249 C 289 E
170 C 210 C 250 E 290 C
171 C 211 A 251 E 291 C
172 B 212 C 252 D 292 D
173 D 213 A 253 C 293 C
174 A 214 D 254 A 294 A
175 D 215 C 255 B 295 D
176 C 216 C 256 D 296 E
177 B 217 B 257 C 297 B
178 D 218 D 258 A 298 C
179 E 219 D 259 B 299 B
180 E 220 A 260 E 300 A
181 E 221 D 261 E 301 E
182 E 222 A 262 E 302 B
183 C 223 D 263 B 303 D
184 D 224 D 264 C 304 D
185 B 225 D 265 A 305 D
186 C 226 A 266 C 306 C
187 C 227 A 267 B 307 C
188 D 228 E 268 B 308 C
189 E 229 D 269 A 309 A
190 A 230 D 270 C 310 A
191 C 231 E 271 C 311 C
192 A 232 D 272 B 312 A
193 A 233 C 273 A 313 B
194 D 234 B 274 C 314 E
195 B 235 B 275 C 315 A
196 D 236 D 276 B 316 B
197 D 237 C 277 D 317 A
198 C 238 D 278 E 318 D
199 A 239 E 279 A 319 A
200 D 240 A 280 B 320 D

108. 108
Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave
321 E 361 A
322 E 362 D
323 C 363 A
324 D 364 B
325 A 365 D
326 B 366 D
327 B 367 B
328 D 368 A
329 C 369 A
330 D 370 E
331 D 371 A
332 C 372 D
333 D 373 D
334 C 374 E
335 C 375 D
336 A 376 E
337 A 377 A
338 C 378 A
339 B 379 A
340 D 380 C
341 B 381 D
342 E 382 A
343 A 383 A
344 D 384 A
345 B 385 C
346 D 386 A
347 D 387 B
348 D 388 D
349 A 389 A
350 B 390 D
351 B 391 C
352 C 392 E
353 A 393 E
354 E 394 B
355 D 395 D
356 E 396 D
357 C 397 C
358 D 398 D
359 D 399 C
360 D 400 C
401 E