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C u r s o : Matemática 
Material N° 13 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13 
UNIDAD: GEOMETRÍA 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
DEFINICIÓN 
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, 
de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean de igual medida. 
EJEMPLOS 
C 
1. En la figura 1, LMN  HIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML, 
respectivamente, son 
A) JIH y IJH 
B) IJH y JIH 
C) IHJ y JIH 
D) IJH y IHJ 
E) HIJ y HJI 
I 
2. Los triángulos ABC y DEF de la figura 2, son escalenos rectángulos en B y en F, 
respectivamente. Si ABC  DFE, entonces ¿cuál de las opciones siguientes es 
verdadera? 
A) BC  DF 
B) AC  FE 
C) ABC  FDE 
D) CAB  EDF 
E) DE  AB 
R 
A B 
P Q 
AB  PQ 
AC  PR 
CB  RQ 
A  P 
B  Q 
C  R 
ABC  PQR  
L 
M 
N 
J 
H 
fig. 1 
A 
B C 
D 
F 
E fig. 2
3. Los triángulos PQR y TNM de la figura 3, son escalenos. Si PQR  TNM, entonces 
¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa? 
2 
A) PQ  TN 
B) PR  TM 
C) QR  NM 
D) QRP  NMT 
E) PQR  TMN 
4. En la figura 4, si CAB  PRQ, entonces ¿cuál es el valor de x? 
A) 4 
B) 7 
C) 12 
D) 15 
E) Falta información 
5. Si ABC  PQR, AB = 3x + 2 y PQ = 5x – 8, ¿cuál es el valor de AB ? 
A) 5 
B) 10 
C) 15 
D) 17 
E) 18 
6. Los triángulos RST y XWZ de la figura 5, son isósceles congruentes en ese orden, de 
base RS y XW , respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) 
verdadera(s)? 
I) TSR  ZXW 
II) STR  ZXW 
III) SRT  WZX 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) Sólo II y III 
X 
7. Los triángulos ABC y DBE de la figura 6, son congruentes en ese orden, entonces la 
suma de los trazos del contorno es 
A) 21 cm 
B) 19 cm 
C) 18 cm 
D) 17 cm 
E) 16 cm 
R 
P Q 
fig. 3 
M 
T 
N 
P 
A 
B 
C 
Q R 
fig. 4 
7 
10 
15 
x + 3 
A D 
B 
E 
5 cm 
3 cm 
fig. 6 
C 
R 
S 
T 
W Z 
fig. 5
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen 
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos 
adyacentes a ese lado. 
 LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen 
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos 
respectivamente iguales. 
 LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus 
 LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando 
tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de 
esos lados respectivamente iguales. 
3 
tres lados respectivamente iguales. 
EJEMPLOS 
 
 
b b’ 
b a 
C’ 
A’ B’ 
c’ 
C’ 
 
b‘ a’ 
A’ B’ 
C 
C’ 
 
b b’ b < c 
1. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de 
ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes? 
I) II) III) 
A) Sólo en I 
B) Sólo en II 
C) Sólo en III 
D) Sólo en II y III 
E) En ninguna de ellas 
c 
 
C 
A B 
c’ 
 
C’ 
A’ B’ 
C 
A c B 
c’ 
 
A c B c’ 
A’ B’ 
 
C 
A c B
2. ¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es (son) congruente(s)? 
I) II) III) 
4 
A) Sólo II 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
3. En la figura 1, los triángulos PRQ y RTS se forman con los trazos PT y QS, que se 
intersectan en R, entonces para demostrar que PQR  STR, es necesario saber que 
A) PRQ  SRT 
B) PR = RS y PQ = ST 
C) QR = RT y PR = RS 
D) QPR  TSR 
E) PQ = ST 
4. El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB , CD  AB . Entonces, ¿cuál(es) 
de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes? 
I) ADE  BDE 
II) AEC  BEC 
III) ADC  BDC 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) I, II y III 
fig. 2 
C 
E 
A D B 
15 
10º 150º 
20º 15 
150º 
5 
7 
30º 
5 
7 
30º 
115º 
12 
30º 
150º 
12 
65º 
P 
Q 
R 
S 
T 
fig. 1
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO 
 ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su 
H = ORTOCENTRO (punto de 
intersección F de las alturas) 
5 
C 
H 
E 
A D 
B 
prolongación. 
EJEMPLOS 
1. En la figura 1, el ABC es equilátero y el DEA es rectángulo isósceles CE es altura, 
entonces  +  +  = 
A) 105º 
B) 120º 
C) 135º 
D) 150º 
E) 165º 
A B 
2. En el MNO de la figura 2, H es el ortocentro. El ángulo MNO mide 40º, entonces el 
ángulo PHQ mide 
A) 120º 
B) 130º 
C) 140º 
D) 150º 
E) Ninguno de los anteriores 
M 
N 
O 
Q fig. 2 
H 
P 
 
 
 
C 
E 
fig. 1 
D
BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. 
 
 
  
6 
EJEMPLOS 
C 
  
I 
1. En la figura 1, CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuál es la medida del ángulo x? 
A) 10º 
B) 20º 
C) 50º 
D) 60º 
E) 110º 
B 
70º 
fig. 1 
D 
2. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos 
triángulos 
A) isósceles congruentes. 
B) acutángulos congruentes. 
C) isósceles acutángulos congruentes. 
D) escalenos rectángulos congruentes. 
E) isósceles rectángulos congruentes. 
I = INCENTRO (punto de 
intersección de las bisectrices) 
A B 
x 
60º 
A C
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado 
opuesto. 
7 
G = CENTRO DE GRAVEDAD 
(punto de intersección de las 
transversales de gravedad) 
F 
A D 
B 
C 
G 
E 
C 
F E 
G 
A D B 
fig. 2 
OBSERVACIONES: - Si ABC es rectángulo en C, entonces CD = AD = DB. 
- G divide a cada transversal en la razón 1 : 2. 
Es decir: AG = 2GE 
CG = 2GD 
BG = 2FG 
EJEMPLOS 
1. En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE  BE . La medida del 
ángulo x es 
A) 40° 
B) 70° 
C) 80° 
D) 90° 
E) no se puede calcular. 
2. En el triángulo equilátero de la figura 2, se trazan las transversales de gravedad. 
Entonces, es FALSO afirmar que 
A) AEC  AEB 
B) ECG  DBG 
C) FCG  DBG 
D) AGD  CGE 
E) AGD  CGB 
x 
B C 
A 
E 
70º 
fig. 1
 SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del 
C 
8 
triángulo. 
EJEMPLOS 
O 
1. En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS. ¿Cuál es la medida del x? 
A) 139º 
B) 90º 
C) 51º 
D) 49º 
E) 41º 
C 
49º 
2. En el MNO de la figura 2, C es el circuncentro, AC y BC son simetrales donde el 
ángulo OMN mide 40º y el ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo ACB mide 
A) 140º 
B) 130º 
C) 120º 
D) 110º 
E) 100º 
x 
49º 
A B 
fig. 1 
D 
R 
S 
M 
N 
O 
C 
A B 
fig. 2 
O = CIRCUNCENTRO 
(punto de intersección 
de las simetrales) 
A B
 MEDIANA: Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del 
9 
FE // AB 
FD // BC 
DE // AC 
C 
F E 
A D B 
triángulo. 
EJEMPLOS 
1. En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el 
x? 
A) 35º 
B) 45º 
C) 50º 
D) 55º 
E) 60º 
2. En el triángulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces la suma de 
las medidas de los ángulos MON y ONM es 
A) 140º 
B) 135º 
C) 130º 
D) 125º 
E) 120º 
fig. 1 
P D 
E 
Q 
R 
55º x 
B 
N 
O C 
M 
A 
75º 50º 
fig. 2 
ADF  DBE  FEC  EFD
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO 
 En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al 
C 
 
  
30 30 
30 
10 
lado distinto. 
 En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a 
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares. 
EJEMPLOS 
C 
30 30 
F E 
G 
30 
1. En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al 
vértice C. Si 2hc = AB , entonces se forman dos triángulos 
A) equilátero congruentes. 
B) escalenos rectángulos congruentes. 
C) isósceles rectángulos congruentes. 
D) acutángulos congruentes. 
E) escalenos no congruentes. 
2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 1, E es punto medio de AB y BD es 
bisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto mide el suplemento de (x + y)? 
A) 150º 
B) 120º 
C) 90º 
D) 60º 
E) 30º 
A D B 
C 
y 
D 
x 
fig. 1 
A E B 
CD = hc = tc = bc = sc 
AC  BC 
AB  BC 
A 
D B
3. En el triángulo PQR de la figura 2, si SRP  PQS y PS es transversal de gravedad, 
11 
D 
O 
L 
G 
J 
H 
F 
I 
S 
40º fig. 5 
entonces la medida del RSP es 
A) 60º 
B) 90º 
C) 100º 
D) 110º 
E) 120º 
4. El ABC es isósceles de base AB (fig. 3). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es) 
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
I) BEC  ADC 
II) ADB  EAB 
III) BAE  ABD 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) Sólo I y III 
5. El triángulo DEF de la figura 4, es isósceles de base DF . Si R es punto medio de DF y 
EFD = 50º, ¿cuánto mide el ángulo REF? 
A) 25º 
B) 30º 
C) 40º 
D) 50º 
E) 80º 
R 
6. El triángulo GOL de la figura 5, es isósceles de base GO , H es el ortocentro y 
OLG = 40º. ¿Cuánto mide el IHJ? 
A) 140º 
B) 120º 
C) 100º 
D) 70º 
E) 50º 
R 
P Q 
fig. 2 
C 
E 
A B 
fig. 3 
fig. 4 
D E
RESPUESTAS 
12 
DMTRMA13 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 7 
1 y 2 B D E C D A C 
3 y 4 C D C E 
5 C C 
6 B D 
7 D E 
8 B C 
9 B C 
10 y 11 C E B E C A 
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25 congruencia de triángulos y elementos secundarios

  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 13 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13 UNIDAD: GEOMETRÍA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean de igual medida. EJEMPLOS C 1. En la figura 1, LMN  HIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML, respectivamente, son A) JIH y IJH B) IJH y JIH C) IHJ y JIH D) IJH y IHJ E) HIJ y HJI I 2. Los triángulos ABC y DEF de la figura 2, son escalenos rectángulos en B y en F, respectivamente. Si ABC  DFE, entonces ¿cuál de las opciones siguientes es verdadera? A) BC  DF B) AC  FE C) ABC  FDE D) CAB  EDF E) DE  AB R A B P Q AB  PQ AC  PR CB  RQ A  P B  Q C  R ABC  PQR  L M N J H fig. 1 A B C D F E fig. 2
  • 2. 3. Los triángulos PQR y TNM de la figura 3, son escalenos. Si PQR  TNM, entonces ¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa? 2 A) PQ  TN B) PR  TM C) QR  NM D) QRP  NMT E) PQR  TMN 4. En la figura 4, si CAB  PRQ, entonces ¿cuál es el valor de x? A) 4 B) 7 C) 12 D) 15 E) Falta información 5. Si ABC  PQR, AB = 3x + 2 y PQ = 5x – 8, ¿cuál es el valor de AB ? A) 5 B) 10 C) 15 D) 17 E) 18 6. Los triángulos RST y XWZ de la figura 5, son isósceles congruentes en ese orden, de base RS y XW , respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) TSR  ZXW II) STR  ZXW III) SRT  WZX A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III X 7. Los triángulos ABC y DBE de la figura 6, son congruentes en ese orden, entonces la suma de los trazos del contorno es A) 21 cm B) 19 cm C) 18 cm D) 17 cm E) 16 cm R P Q fig. 3 M T N P A B C Q R fig. 4 7 10 15 x + 3 A D B E 5 cm 3 cm fig. 6 C R S T W Z fig. 5
  • 3. POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS  ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.  LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.  LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus  LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. 3 tres lados respectivamente iguales. EJEMPLOS   b b’ b a C’ A’ B’ c’ C’  b‘ a’ A’ B’ C C’  b b’ b < c 1. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes? I) II) III) A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) Sólo en II y III E) En ninguna de ellas c  C A B c’  C’ A’ B’ C A c B c’  A c B c’ A’ B’  C A c B
  • 4. 2. ¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es (son) congruente(s)? I) II) III) 4 A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 3. En la figura 1, los triángulos PRQ y RTS se forman con los trazos PT y QS, que se intersectan en R, entonces para demostrar que PQR  STR, es necesario saber que A) PRQ  SRT B) PR = RS y PQ = ST C) QR = RT y PR = RS D) QPR  TSR E) PQ = ST 4. El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB , CD  AB . Entonces, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes? I) ADE  BDE II) AEC  BEC III) ADC  BDC A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III fig. 2 C E A D B 15 10º 150º 20º 15 150º 5 7 30º 5 7 30º 115º 12 30º 150º 12 65º P Q R S T fig. 1
  • 5. ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO  ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su H = ORTOCENTRO (punto de intersección F de las alturas) 5 C H E A D B prolongación. EJEMPLOS 1. En la figura 1, el ABC es equilátero y el DEA es rectángulo isósceles CE es altura, entonces  +  +  = A) 105º B) 120º C) 135º D) 150º E) 165º A B 2. En el MNO de la figura 2, H es el ortocentro. El ángulo MNO mide 40º, entonces el ángulo PHQ mide A) 120º B) 130º C) 140º D) 150º E) Ninguno de los anteriores M N O Q fig. 2 H P    C E fig. 1 D
  • 6. BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.     6 EJEMPLOS C   I 1. En la figura 1, CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A) 10º B) 20º C) 50º D) 60º E) 110º B 70º fig. 1 D 2. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos triángulos A) isósceles congruentes. B) acutángulos congruentes. C) isósceles acutángulos congruentes. D) escalenos rectángulos congruentes. E) isósceles rectángulos congruentes. I = INCENTRO (punto de intersección de las bisectrices) A B x 60º A C
  • 7. TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. 7 G = CENTRO DE GRAVEDAD (punto de intersección de las transversales de gravedad) F A D B C G E C F E G A D B fig. 2 OBSERVACIONES: - Si ABC es rectángulo en C, entonces CD = AD = DB. - G divide a cada transversal en la razón 1 : 2. Es decir: AG = 2GE CG = 2GD BG = 2FG EJEMPLOS 1. En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE  BE . La medida del ángulo x es A) 40° B) 70° C) 80° D) 90° E) no se puede calcular. 2. En el triángulo equilátero de la figura 2, se trazan las transversales de gravedad. Entonces, es FALSO afirmar que A) AEC  AEB B) ECG  DBG C) FCG  DBG D) AGD  CGE E) AGD  CGB x B C A E 70º fig. 1
  • 8.  SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del C 8 triángulo. EJEMPLOS O 1. En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS. ¿Cuál es la medida del x? A) 139º B) 90º C) 51º D) 49º E) 41º C 49º 2. En el MNO de la figura 2, C es el circuncentro, AC y BC son simetrales donde el ángulo OMN mide 40º y el ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo ACB mide A) 140º B) 130º C) 120º D) 110º E) 100º x 49º A B fig. 1 D R S M N O C A B fig. 2 O = CIRCUNCENTRO (punto de intersección de las simetrales) A B
  • 9.  MEDIANA: Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del 9 FE // AB FD // BC DE // AC C F E A D B triángulo. EJEMPLOS 1. En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el x? A) 35º B) 45º C) 50º D) 55º E) 60º 2. En el triángulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces la suma de las medidas de los ángulos MON y ONM es A) 140º B) 135º C) 130º D) 125º E) 120º fig. 1 P D E Q R 55º x B N O C M A 75º 50º fig. 2 ADF  DBE  FEC  EFD
  • 10. ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO  En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al C    30 30 30 10 lado distinto.  En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares. EJEMPLOS C 30 30 F E G 30 1. En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al vértice C. Si 2hc = AB , entonces se forman dos triángulos A) equilátero congruentes. B) escalenos rectángulos congruentes. C) isósceles rectángulos congruentes. D) acutángulos congruentes. E) escalenos no congruentes. 2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 1, E es punto medio de AB y BD es bisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto mide el suplemento de (x + y)? A) 150º B) 120º C) 90º D) 60º E) 30º A D B C y D x fig. 1 A E B CD = hc = tc = bc = sc AC  BC AB  BC A D B
  • 11. 3. En el triángulo PQR de la figura 2, si SRP  PQS y PS es transversal de gravedad, 11 D O L G J H F I S 40º fig. 5 entonces la medida del RSP es A) 60º B) 90º C) 100º D) 110º E) 120º 4. El ABC es isósceles de base AB (fig. 3). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) BEC  ADC II) ADB  EAB III) BAE  ABD A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III 5. El triángulo DEF de la figura 4, es isósceles de base DF . Si R es punto medio de DF y EFD = 50º, ¿cuánto mide el ángulo REF? A) 25º B) 30º C) 40º D) 50º E) 80º R 6. El triángulo GOL de la figura 5, es isósceles de base GO , H es el ortocentro y OLG = 40º. ¿Cuánto mide el IHJ? A) 140º B) 120º C) 100º D) 70º E) 50º R P Q fig. 2 C E A B fig. 3 fig. 4 D E
  • 12. RESPUESTAS 12 DMTRMA13 Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 B D E C D A C 3 y 4 C D C E 5 C C 6 B D 7 D E 8 B C 9 B C 10 y 11 C E B E C A Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/