Geometria 5°

Nivelación Escolar 2015
5º Secundaria - Geometría Pág. 1
TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN:
Es aquella figura geométrica formada al
unir tres puntos no colineales mediante
segmentos de recta.
ELEMENTOS
Vértices: A, B, C
Lados: 𝐴𝐵̅̅̅̅, 𝐵𝐶̅̅̅̅ 𝑦 𝐴𝐶̅̅̅̅
NOTACIÓN:  ABC
Ángulos Internos: , , 
Ángulos Externos: x, y, z
PERÍMETRO: 2p = a + b + c
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
1.
2.
3.
PROPIEDADES AUXILIARES
A.
B.
C.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
I. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
a) Triángulo Rectángulo: Si tiene un
ángulo recto
b) Triángulo Oblicuángulo: Es aquel
triángulo que no tiene ángulo recto.
Los triángulos Oblicuángulos se
dividen en: Triángulo Acutángulo y
Triángulo Obtusángulo.





x
x
y
z


A
B
C



x


a
b
x
y


A
B
C
a
b
c



x
y
z
x =  +  + 
 +  = a + b
 +  = x + y
 +  = 90°
 +  +  = 180º
x =  + 
x + y + z = 360º

Pág. 2 5º Secundaria - Geometría
 Triángulo Acutángulo: Es aquel
triángulo que tiene sus tres ángulos
agudos.
,  y  < 90°
 Triángulo Obtusángulo: Es aquel
triángulo que tiene un ángulo obtuso,
es decir mayor que 90°.
 > 90°
II. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS
a) Triángulo Escaleno: Si tiene sus
lados diferentes.
a  b
b  c
c  a
b) Triángulo Isósceles: Si tiene un par
de lados iguales.
a  b
c) Triángulo Equilátero: Si tiene sus tres
lados iguales.
RELACIÓN DE CORRESPONDENCIA
En todo triángulo al mayor lado se le opone
el mayor ángulo y viceversa.
a > c   > 
RELACIÓN DE EXISTENCIA
En todo triángulo un lado cualquiera siempre
es menor que la suma de los otros dos pero
mayor que su diferencia.
Tal que: a > b > c
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. Las medidas de los ángulos internos de
un triángulo están formando una
progresión aritmética. Calcule la medida
de uno de ellos
A) 80 B) 70 C) 60
D) 75 E) 65
02. En la figura m̅ // n̅ , calcule el valor de x.
A) 20 B) 30 C) 40
D) 50 E) 60
03. Del gráfico calcule el valor de x.



ac
 
a
bc
a
bc
a – c < b < a + c

a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 35
04. En el gráfico mostrado α > θ, calcule el
valor entero de x.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
05. Dos lados de un triángulo miden 4 y 6. Si
el tercer lado del triángulo mide el doble
de lo que mide uno de los otros dos,
calcule el perímetro de dicho triángulo.
A) 14 B) 18 C) 16
D) 22 E) 18 ó 22
06. En un triángulo dos de sus lados miden 4
y 10, calcule la medida del tercer lado
del triángulo si es el triple de uno de los
otros dos.
A) 12 B) 30 C) 14
D) 16 E) 20
07. En la figura entre que valores puede
variar x.
B
D
A C
6 10
x
12 19
A) 4 < x < 31 B) 4 < x < 28
C) 7 < x < 16 D) 6 < x < 14
E) 5 < x < 20
08. El perímetro de un triángulo es 20,
calcule la suma de los valores enteros
que puede tomar la medida de uno de
sus lados.
A) 20 B) 44 C) 35
D) 36 E) 45
09. Del gráfico mostrado calcule el valor de
x, si a + b = 150.
A) 75 B) 30 C) 40
D) 50 E) 35
10. A partir del gráfico calcule: x + y + w + z
A) 100 B) 150 C) 180
D) 400 E) 200
11. En el triángulo ABC: BC > AB > AC;
calcule el menor valor entero que puede
tomar m∢A
A) 46 B) 60 C) 31
D) 91 E) 61
12. En el lado AB de un triángulo ABC se
ubica el punto M y en AC el punto N,
de modo que MN=5, AN=7 y
m∢MNC=m∢B. ¿Cuántos valores
enteros puede tomar AM?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
20°
x°
α°
α°θ°
2θ°
θ°
θ°
y°
x° w°
100°
z°

13. En un triángulo ABC: m∢BCA>m∢BAC.
Calcule el máximo valor entero de AC,
siendo AB=5.
A) 6 B) 8 C) 9
D) 10 E) 7
14. Las medidas de los ángulos interiores de
un triángulo son (x-y), (2y-x) y (x+y).
Calcule el mínimo valor entero de y.
A) 17 B) 29 C) 44
D) 46 E) 59
15. Calcule el valor de x.
A) 30 B) 45 C) 60
D) 75 E) 50
16. Calcule el valor de x, si α + θ = 80.
A) 10 B) 18 C) 20
D) 40 E) 16
17. Del gráfico mostrado calcule el valor de
θ.
A) 80 B) 60 C) 50
D) 40 E) 70
18. En la figura mBED=20, calcule el valor
de x.
A) 10 B) 15 C) 20
D) 30 E) 40
19. En el gráfico AB>BC, calcule el máximo
valor entero de x.
A C
B90°-x°
4x°
A) 17 B) 8 C) 11
D) 10 E) 9
20. En el triángulo ABC se conoce que
BC=11(AB) y AC=120. Calcule el valor
entero de AB.
A) 7 B) 9 C) 11
D) 13 E) 12
θ°α°
3x°
2x°
θ°
90°-α°
40°
β°
3β°
4α°
θ°θ°
α°α°
3x°
x°
Las matemáticas
es la madre
de todas las ciencias.

CUADRILÁTEROS
Definición: Es aquel polígono de cuatro
lados. Se clasifican según el paralelismo de
sus lados en tres tipos, trapezoides, trapecios
y paralelogramos.
TRAPEZOIDE
DEFINICIÓN:
Es el cuadrilátero convexo que no tiene
lados paralelos.
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO:
Denominado también trapezoide
bisósceles, es cuando una diagonal es
mediatriz de la otra diagonal.
PROPIEDADES QUE SE CUMPLEN EN
TODO CUADRILATERO
1.
 +  +  +  = 360º
2.
x + y + w + z = 360º
3.
 +  = x + y
4.
5.
6.
 +  = x + y
TRAPECIO
DEFINICIÓN:
Es el cuadrilátero que tiene dos lados
paralelos a los cuales se les denominan
bases.
A
B
C
D












w
z
x
y


xy


x y
2
DmAm
x
ÙÙ
+
=
2
AmCm
x
ÙÙ
-
=
A
B
D
C
M N
H
AB no es // CD
BC no es // AD
A
B
C
D
x




 
A
B
C
D
x
 





Elementos:
Bases :BC̅̅̅̅ 𝑦 AD̅̅̅̅
Altura :BH̅̅̅̅
Mediana :MN̅̅̅̅̅
CLASIFICACIÓN
Trapecio escaleno Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Propiedades
Si: BC// AD
1.
2.
3.
4.
6. En un Trapecio isósceles
7. En un trapecio isósceles
8.
PARALELOGRAMOS
Es todo cuadrilátero que tiene sus dos pares
de lados opuestos paralelos.
2
ADBC
MN
+
=
2
BCAD
PQ
-
=
2
ba
x
+
=
2
ABCD
x
-
=
A
B C
D
m
a
x
 
b
A
B C
D
O
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
==
Ð=ÐÐ=Ð
=
=
ODBO;OCAO
DmBm;CmAm
ADBC;AD//BC
CDAB;CD//AB
 

180º 



A
B C
D
M N
A
B
D
C
P Q
A
B
C
D
a
b
x
A B
C D
x
P Q
A
B C
D







2
ba
m
2
ba
x
+
=
-
=
A
B
C
D
E
Se forma un
paralelogramo
Se traza una
paralela a un
lado

Observación:
* Todo cuadrilátero que tenga dos lados
opuestos paralelos y congruentes,
entonces es un paralelogramo.
CLASIFICACIÓN
ROMBOIDE: Es el paralelogramo en el cual
dos ángulos consecutivos y dos lados
consecutivos son diferentes.
 +  = 180°
RECTÁNGULO: Es el paralelogramo
equiángulo.
AC = BD
ROMBO: Es el paralelogramo equilátero.
CUADRADO: Es el paralelogramo
equiángulo y equilátero a la vez.
A
B C
D
45º
A
B C
D
a
aa
a
45º
45º
45º
45º
45º
45º
45º
A
B C
D




A
B C
D
a
b
O

b
a
A
B
C
D
a





 
a
a a
Si: BC// AD y BC = AD
 ABCD: Paralelogramo
AC BD
AC  BD
AC BD
AC = BD = a
2
Gracias a la memoria
se da en los hombres
lo que se llama
experiencia.

01. En el gráfico, calcular el valor de x.
a) 75 b) 72 c) 90
d) 60 e) 54
02. En un paralelogramo ABCD: BD=AD y
m∢A=2(m∢CBD). Calcular m∢C.
a) 36 b) 45 c) 60
d) 72 e) 54
03. Dado un rectángulo ABCD, en BD se
ubica el punto E y en la prolongación de
CE se ubica el punto F de modo que
CE=EF. Si BE=13 y ED=5, calcular AF.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 7,5 e) 9
04. En la figura ABCD y EFGD son cuadrado,
calcular el valor de x.
x°
CB
A D G
E F
a) 90 b) 75 c) 60
d) 45 e) 150
05. En el interior del rectángulo ABCD se
ubica el punto P, tal que m∢APD=90 y
m∢PAD=60. Si AD=8 3 y CD=10,
calcular la distancia de P a BC .
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
06. En el lado CD de un rombo ABCD se
ubica el punto M tal que BM y AC se
interseca en N. Si NC=CM=3 y MD=2,
calcular m∢CBM.
a) 37 b) 34,5 c) 53
d) 26,5 e) 36,5
07. En la figura ABCD es un rectángulo,
HE=EC, BE=3 y ED=7. Calcular AH.
B
C D
A
H
E
a) 3 b) 4 c) 4,5
d) 5 e) 6
08. En el cuadrilátero ABCD: AB=BC=CD,
m∢A=80 y m∢D=40. Calcular m∢B.
a) 100 b) 90 c) 80
d) 120 e) 110
09. En un romboide ABCD las bisectrices de
los ángulos A y D se intersecan
interiormente en P. Si la distancia de P a
BC es 1 y la distancia de A a CD es 8,
calcular la distancia de A a BC .
a) 6 b) 4 c) 3
d) 5 e) 7
10. En un cuadrilátero ABCD: BD=12,
m∢A=m∢C=90 y m∢B=3(m∢D).
Calcular AC.
a) 6 b) 6 3 c) 9
d) 12 e) 6 2
11. Si ABCD es un romboide, PQ=12 y
EF=17, calcular EL.
a) 5 b) 4 c) 6
d) 3 e) 7
12. Se tiene un paralelogramo ABCD, en el
cual AB=BD y m∢ABD=37, calcular
m∢CAD.
a) 45 b) 22,5 c) 30
d) 60 e) 53
x°
7α°
α°
2α°
3θ°
θ°
θ°

13. En la figura F es punto medio de CD ,
EB=4, BC=7 y AE=13. Calcular EF.
a) 12 b) 7 c) 8
d) 10 e) 9
14. En la figura AB=4, BC=6 y CD=7.
Calcular PQ.
a) 7 b) 7,5 c) 8
d) 8,5 e) 9
15. En el romboide ABCD: AB=6 y BC=8, las
bisectrices de los ángulos internos A y B
se intersecan en E, tal que m∢EDC=90.
Calcular ED.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
16. Las medidas de los ángulos adyacentes
a la base mayor de un trapecio miden 25
y 65. Si las bases miden 8 y 20, calcular
la medida del segmento cuyos extremos
son los puntos medios de las bases.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
17. ABCD es un trapecio isósceles, BC // AD ,
tal que BC=3 y AD=13. Si CA es
bisectriz del ángulo BCD. Calcular la
altura del trapecio.
a) 12 b) 6,5 c) 10
d) 9 e) 5 2
18. Del gráfico calcular el valor de x.
a) 15 b) 36 c) 45
d) 60 e) 75
19. En un cuadrilátero ABCD las bisectrices
interiores de los ángulos C y D se
intersecan en P tal que m∢CPD=30. Si
m∢B=20, calcular m∢A.
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 65
20. En el gráfico calcular el valor de x si 3α-
β=60.
a) 75 b) 80 c) 85
d) 100 e) 105
α°
α°
β°
β°
α°
α°
θ°
θ°
2x°
x°
x°
α°
θ°
3θ°
β°
3w°
x°
w°

CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN
Se denomina circunferencia al lugar
geométrico de todos los puntos de un plano
cuya distancia a otro punto del mismo plano
llamado centro, es constante. Esta longitud
constante se denomina radio.
Centro : O
Radio : OP , OP = R
Cuerda : CD
Diámetro : AB , AB = 2R
Secante : m
Tangente : n
Arco : CD , CTD
Flecha o Sagita : MH
Punto de tangencia : T
Longitud de la circunferencia: 2R
Área del círculo: R2
 = 3.1416 ó  = 22/7
CÍRCULO
Es aquella superficie plana determinada por
la unión de una circunferencia y su región
interior.
PROPIEDADES
1. Si: L es tangente
OT es radio
Entonces:
OT L ; =90°
2. Si: O es centro ABON
Entonces:
AM = MB y mAN̂ = mNB̂
3. Si mAB̂ = mCD̂
Entonces:
AB = CD ; OM = ON
4. Si: m//CD//AB
Entonces:
mAĈ = mBD̂
mCT̂ = mTD̂
5. Si: PByPA son tangentes y O es centro.
Entonces:
PA = PB
 = 
TEOREMA DE PONCELET
En todo triángulo rectángulo la suma de las
longitudes de los catetos es igual a la suma
de las longitudes de la hipotenusa y el
diámetro de la circunferencia inscrita.
Secumple:
a + b = c + 2r
Donde: r es el inradio del triángulo ABC
TEOREMA DE PITHOT
En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, la suma de las longitudes de
dos lados opuestos es igual a la suma de las
longitudes de los otros dos lados.
Se cumple:
a + c = b + d
O
A B
C
D
M
H R
P
m
n
T
A
M
O
N
B
L
TO

A
M
O
N
D
C
B
A
C
B
D
T m

A
B
P
O
C
A B
ab
c
r
A
B
C
D
a
b
c
d

POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
Circunferencias Exteriores
O1 O2 > R + r
Circunferencias Tangentes Exteriores
O1 O2 = R + r
Circunferencias Secantes
R – r < O1 O2 < R + r
Circunferencias Tangentes Interiores
O1 O2 = R – r
Circunferencias Interiores
O1 O2 < R – r
Circunferencias Concéntricas
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA
CIRCUNFERENCIA
Ángulo Central
O : centro
 = 
Ángulo Inscrito
2

=
Ángulo Ex – inscrito
2
+
=
Ángulo SemiInscrito
T: punto de tangencia
2

=
Ángulo Interior
2
+
=
Ángulo Exterior
2
-
=
T: punto de tangencia
2
-
=
O1
R
O2
r
O1 O2
R
r
O1
R
O2
r
O1
R
O2
r
T
R
O1 O2
r
r
R
O



 

T
O  
P




C
A


T

 

2
-
=
Además se cumple:
 +  = 180°
A y B son puntos de
tangencia.
Además se cumple:  +  = 180°
A y B son puntos de tangencia.
01. En la figura mostrada M, N, P y Q son
puntos de tangencia. Calcule el valor de
x.
M
Q
4x°
x°
N P
A) 15 B) 20 C) 30
D) 35 E) 40
02. En la figura AC=8 y m AB =mBC . Calcule
BH.
A
B
E
O H CP
A) 4,5 B) 5 C) 3,5
D) 4 E) 3
03. Se tienen dos circunferencias tangentes
exteriores. Si las tangentes comunes
exteriores forman un ángulo que mide
60, calcule la razón entre los radios.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 3
04. En la prolongación del diámetro PQ de
una semicircunferencia se ubica el punto
C y se traza la secante CBA, tal que
AB = BC = 2 y m∢C = 45. Calcule el
radio de la semicircunferencia.
A) 2 2 B) 5 C) 4
D) 5 E) 10
05. En el gráfico mostrado O y Q son
centros, AB+CD=12. Calcule MN.
A
B
C
D
O
Q
N
M
A) 12 B) 10 C) 8
D) 6 E) 6 2
06. Calcule el valor de x, si en el gráfico
adjunto T y P son puntos de tangencia.
P
T
120° x°
160°
A) 70 B) 50 C) 75
D) 85 E) 80
07. En el gráfico mostrado O centro; D, E y F
son puntos de tangencia. Calcule el valor
de x.
A
D
E
B
C
O
x°
F
A) 45 B) 30 C) 60
D) 37 E) 36º



A
B
P

08. En la figura O es centro y AO=EC,
calcule el valor de x.
A O B C
E
D
x° 20°
A) 40 B) 50 C) 60
D) 80 E) 100
09. Desde un punto P exterior a una
circunferencia se trazan las tangentes
PA y PB tal que la m∢APB=45. Si el
radio de la circunferencia mide 2, calcule
PA.
A) 3+2 2 B) 2 2 C) 4
D) 2 2-2 E) 2 2+2
10. En la figura AE es bisectriz del ángulo
BAC; E, F y G son puntos de tangencia.
Calcule el valor de x.
A D G C
48°
E
F
x°
B
A) 48 B) 42 C) 24
D) 36 E) 72
11. En la figura calcule el valor de x, si
mBD =70. (A, B y D son puntos de
tangencia)
A
B
D C
x°
x°
A) 35 B) 40 C) 50
D) 55 E) 70
12. Calcule el valor de x, si QN//  , QPNM
es un romboide y m AQ =40.
Q
Px°
N
OA
M
B
A) 40 B) 50 C) 60
D) 70 E) 80
13. En el gráfico mostrado AB es diámetro,
x°
120°
A B
A) 120 B) 60 C) 90
D) 150 E) 30
14. Si T es punto de tangencia y m AB =80,
A B P
T
x°
A) 40 B) 30 C) 25
D) 20 E) 45
15. Calcule m ABC , si BC = CD.
C
O
A
B
D
70°
A) 110 B) 120 C) 130
D) 140 E) 150

16. Desde un punto E exterior a una
circunferencia se trazan las tangentes
EP y EQ . Si M es un punto del menor
arco PQ y m∢PMQ=3(m∢E), calcule
m∢E.
A) 20 B) 30 C) 36
D) 35 E) 45
17. Si α+β=100, calcule mMQ .
A) 60 B) 70 C) 80
D) 90 E) 75
18. Calcule el valor de x; si O es centro y T
es punto de tangencia.
38°
T
x°
O
A) 61 B) 71 C) 51
D) 67 E) 64
19. En la figura T es punto de tangencia y
AB es diámetro. Si AD // TK , calcule
m∢KTD.
A B
D
T
K
20°
A) 35 B) 40 C) 50
D) 70 E) 80
20. En la figura adjunta AZ = PQ, calcule la
medida del arco AM. (O es centro)
O
P
Q
A
Z
M
A) 30 B) 40 C) 45
D) 60 E) 72
Uno de los principales
objetivos de la educación
debe ser ampliar
las ventanas por las cuales
vemos al mundo.

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Para el cálculo del área de una región
triangular, existen diversas expresiones o
fórmulas, estas dependen de los elementos
que se considere, así tenemos:
FÓRMULA BÁSICA
El área de una región triangular es igual al
semiproducto de las longitudes de un lado y
la altura relativa a dicho lado
AABC =
2
h.b
AABC =
2
.b 
A ABC =
2
c.b
A ABC =
2
h.
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
El área de una región triangular, es igual al
semiproducto de las longitudes de dos lados
por el seno de la medida del ángulo
determinado por dichos lados.
AABC =
2
ab
Sen 
Observación: En los triángulos equiláteros.
AABC =
4
3L2
FÓRMULA DE HERÓN
El área de una región triangular, es igual a la
raíz cuadrada del producto del semiperímetro
de la región triangular y la diferencia del
semiperímetro con la longitud de cada uno de
los lados.
ABC : p =
2
cba ++
p: semiperímetro de la región
ABC.
AABC = )cp()bp()ap(p ---
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR EN
FUNCIÓN DEL INRADIO
ABC : r inradio
p =
2
cba ++
p: semiperímetro
de la región
triangular ABC.
AABC = p.r
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN
FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO
ABC : R circunradio
AABC =
R4
abc
A
B
CH
b
h
B
M A C
b


A
B
C
b
c

M
N
Q
h
AB
C
a b

A
B
C
L
L L
60°
60°
60°
ab
cA
B
C
a
b
c
A
B
C
r
A
B
C
c a
b
R

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
RECTANGULAR
AABC = m . n
01. En un triángulo rectángulo ABC, recto en
B, se ubica en BC el punto M tal que
AB=MC y luego se traza la altura BH .
Calcular el área de la región triangular
AMH, si AH=4.
A) 2 B) 4 3 C) 16
D) 8 E) 6 3
02. Si O es el incentro del triángulo ABC,
m∢B=60, OA=6 y OC=8, calcular el área
de la región triangular AOC.
A) 15 3 B) 9 3 C)12 3
D) 8 3 E) 24 3
03. En la figura O y Q son centros, OD=5 y
DE=7. Calcule el área de la región
triangular AOC
A) 35 B) 25 C) 30
D) 24 E) 26
04. Se tienen tres circunferencias tangentes
exteriores dos a dos cuyos radios miden
3, 4 y 5. Calcule el área de la región
triangular que se determina al unir sus
centros.
A) 12 B) 9 2 C)12 5
D) 15 E) 8 3
05. Los lados de un triángulo ABC miden
AB=13, BC=14 y AC=15. Calcular el
área de la región triangular AIC siendo I
el incentro del triángulo ABC.
A) 15 B) 20 C) 30
D) 36 E) 42
06. Del gráfico adjunto AP=PB, S1=4 y S2=8.
Calcular SABC.
A) 16 B) 18 C) 20
D) 24 E) 28
07. En la figura: QC=2(BQ), AP=2(PC) y
SABC=42. Calcule el área de la región
sombreada.
A) 4 B) 3 C) 3,5
D) 5 E) 2
08. Calcule SPQM, si SABC=72, AQ=QM y
BM=MC.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
09. En un triángulo PQR, la mediana QM
interseca a la ceviana PE en A. Si
ER=2(EQ) y el área de la región
triangular QAE es 2, calcular el área de
la región triangular PQR.
A C
B
S1
S2
P
A P C
Q
B
R
A P
Q
M
C
B
A
B
C
nm

A) 24 B) 22 C) 20
D) 18 E) 16
10. En un triángulo ABC: BC=8, calcule la
medida del segmento paralelo a BC
que divide a la región ABC en dos
regiones cuyas áreas están en la razón
de 1 a 3.
A) 2 B)
3
4 C) 4
D) 2 E) 2 2
11. Calcule el área de la región
correspondiente a un hexágono
equiángulo ABCDEF, si AB=3, CD=6,
DE=2 y EF=4.
A) 20 3 B) 18 3
C) 85 3/4 D) 93 3/4
E) 83 3/4
12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en
B, se traza la altura BH . Con diámetro
BH se traza la circunferencia inscrita en
el triángulo ACD, tangente a AD en el
punto M. Si AC=6, calcule DM.
A) 1 B) 2 C) 2,5
D) 3 E) 3,5
13. En el triángulo ABC: AB=9, BC=11 y
AC=10. Calcule el área de la región
triangular AIC, si I es el incentro del
triángulo ABC.
A) 15 B) 6 2 C) 12
D) 10 2 E) 8 2
14. La circunferencia inscrita en un triángulo
rectángulo determina sobre la
hipotenusa dos segmentos que miden 3
y 4. Calcule el área de la región
triangular correspondiente.
A) 12 B) 6 C) 24
D) 3 E) 18
15. Se tiene un cuadrante AOB, AO=OB. En
el arco AB se ubica el punto P, tal que
AP= 8 y PB=6. Calcule el área de la
región triangular APB.
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 2 5
16. Dos medianas de un triángulo se
intersecan perpendicularmente y miden 9
y 12. Calcule el área de la región
correspondiente al triángulo.
A) 36 B) 48 C) 64
D) 70 E) 72
17. En la figura O es centro, EF=2 y EC=7.
Calcule el área de la región triangular
AOE.
A) 2,5 B) 3,5 C) 4
D) 3 E) 5
18. El área de una región triangular es S. Si
se prolongan los lados en un mismo
sentido y en una longitud igual a la del
lado prolongado, calcule el área de la
región triangular determinada al unir los
extremos de dichas prolongaciones.
A) 5S B) 6S C) 7S
D) 8S E) 9S
19. En el triángulo acutángulo ABC se traza
las alturas AP y CQ . ¿Cuánto debe
medir el ángulo ABC, para que las
regiones PBQ y AQPC sean
equivalentes?
A) 30 B) 45 C) 60
D) 67,5 E) 75
20. En el gráfico TN=NL=4,
5(ED)=7(DL)=35. Calcule el área de la
región sombreada.
A) 30 B) 40 C) 50
D) 60 E) 70
F
A O B C
E
E D L
N
M
T

AREAS DE REGIONES
CUADRANGULARES
FÓRMULA GENERAL
A
ABCD
= )BD)(AC(
2
1
sen
A
ABCD
= )BD)(AC(
2
1
sen
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
LIMITADAS POR UN:
Cuadrado
A = L2
Rombo
A =
2
ab
Rectángulo
A = a b
Romboide
A = b h
También: A = a H
Trapecio
Del gráfico:
A = 




 +
2
ba
h
También si: AM = MB y CN = ND:
A = (MN) h
01. Las diagonales de un paralelogramo
miden 8 y 10, además una de ellas lo
divide en dos triángulos rectángulos.
Calcule el área de la región limitada por
el paralelogramo.
A) 24 B) 28 C) 18
D) 20 E) 30
02. En la figura ABCD y PQRD son
cuadrados. Si PC=4, calcule S1-S2.
A) 4 B) 8 C) 12
D) 16 E) 32
03. Calcule el área de la región
paralelográmica OAMP, si OP=a.
A) a2
B) 2a2
C)3a2
/2
D) a2
/4 E) 5a2
/4
A
B
C
D

L
L
a
b
a
b
H
h a
b
A
B C
D
M N
a
b
h
A

B
C
D

04. Si en el gráfico AB=a, ABCD es un
paralelogramo y P y D son puntos de
tangencia, calcule el área de la región
sombreada.
A) a2
B) a2
/2 C) a2
/4
D) a2
/8 E) a2
/3
05. Calcule el área de la región limitada por
un trapecio inscrito en una circunferencia
cuyo radio mide 5, si sus bases miden 6
y 8. (El centro de la circunferencia es
interior al trapecio)
A) 48 B) 49 E) 54
D) 42 E) 35
06. Calcule el área de la región sombreada,
si R=8, CN=ND y m AB=150.
A) 64 B) 16 C) 24
D) 16 2 E) 32
07. En la figura BCDE es un paralelogramo,
SABO=4 y SCOED=10. Calcule el área de la
región ABCD.
A) 20 B) 24 C) 25
D) 27 E) 32
08. Las bases de un trapecio isósceles
circunscrito a una circunferencia miden 8
y 18. Calcule el área de la región limitada
por el trapecio .
A) 144 B) 215 C) 156
D) 132 E) 182
09. Se tiene un hexágono regular ABCDEF
cuyo lado mide 4; M y N son puntos
medios de AB y EF ; calcule el área
de la región cuadrangular MCDN
A) 14 3 B) 16 3 C)12 6
D) 15 3 E) 8 6
10. Calcule el área de la región limitada por
el romboide ABCD, si AC=15.
A) 36 B) 54 C) 48
D) 72 E) 108
11. Si el área de la región ABCD
(paralelogramo) es 120. Calcule el área
de la región sombreada.
A) 30 B) 35 C) 40
D) 20 E) 25
12. Calcule el área de la región cuadrangular
AHPC; si AP=m y AB=CH.
A) m2
B) m2
+1 C) m2
-1
D) 2m2
E) m2
/2
B M C
A N D
Θ°
Θ°
37°

13. En el gráfico ABCD es un cuadrado,
SABG=12, SGCF=4 y AD=DE. Calcule
SABCD.
A) 48 B) 50 C) 52
D) 54 E) 56
14. En un trapecio ABCD ( BC // AD ) se
ubica el punto medio M de AB y en
BC se ubica el punto P de modo que
CM ∩ DP ={N}). Calcular el área de la
región cuadrangular ABCD, si el área de
la región triangular CPN es S y
CM=4(NC).
A) 32 S B) 24 S C) 28 S
D) 42 S E) 56 S
15. Calcule el área de la región sombreada,
si BM=2 y MN=3 (N es punto de
tangencia)
A) 7,5 B) 12 C) 15
D) 10 E) 12,5
16. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide
8; las circunferencias tienen igual radio,
son tangentes y están en contacto con
dos lados del cuadrado; calcule el área
A) 18 B) 24 C) 32
D) 36 E) 48
17. Se tiene un trapecio isósceles ABCD en
el cual se traza la altura CH ; si el área
de la región triangular ACH es 12;
calcule el área de la región trapecial.
A) 12 B) 24 C) 18
D) 20 E) 15
18. Se tiene una región paralelogramica
ABCD cuya área es 24; se traza la altura
BH (H∈ AD ) de modo que HD=2(AH).
Si M es punto medio de BH , calcule el
área de la región cuadrangular BMDC.
A) 12 B) 16 C) 13
D) 14 E) 15
19. En el gráfico se tiene un cuadrado ABCD
y dos paralelogramos cuyas áreas son
S1 y S2. Si S1=12; calcule S2.
A) 24 B) 18 C) 20
D) 12 E) 10
20. En el trapezoide ABCD: M, N y P son
puntos medios de AB , BC y CD
respectivamente. Si MP=10 y la distancia
de N a MP es 4, calcule el área de la
región ABCD.
A) 40 B) 50 C) 80
D) 120 E) 16
A D E
CGB
F
45°45°
B
M
NA C
A
B C
D
S2
S1

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
REGIONES CIRCULARES
Región Circular
Del gráfico:
A =  R2
A =
4
d2

donde:  = 3.14
Sector Circular
Del gráfico:
A =


360
R2
Corona Circular
Del gráfico:
A =  (R2
– r2
)
T: punto de
tangencia
Además:
A =
Segmento Circular
Del gráfico:
𝐴 𝑠𝑒𝑔𝑚. 𝑐 = 𝐴 𝑠𝑒𝑐. 𝑐 − 𝐴 𝐴𝑂𝐵
Es decir: A
AB
= -


sen.R
2
1
360
R 2
2
A
AB
= 





-


sen
1802
R2
01. El área de un círculo inscrito en un
cuadrado es “x”, calcule el valor del área
comprendida entre los círculos inscrito y
circunscrito al cuadrado.
A) 2x B) 2x/3 C) x/2
D) 3x/2 E) x
02. En la figura,ABCD es un cuadrado. El
área de la parte sombreada es; O es
centro.
A) R2
(-2) B) 2R2
(-2)
C) R2
(3-3) D) R2
(+2)
E) R2
(-1)
03. Si el radio de un círculo aumenta en x%.
¿en qué porcentaje aumenta su área?
A) (x+1)% B) (x+x2
)%
C) 2x% D) (2x+
100
2x
)%
E) x2
%
04. En el gráfico, AB = 4 u, m BD 30=  .
Calcule el área de la región sombreada.
A)
2
u
B)
2
2 u
C)
2
4 u
D)
2
6 u
E)
28
u
3

4
)AB( 2

A
B
O
A BT
Rr
R

A
B
O 
R
A
B
O 
R
d
B
A D
C
R
B
A O
C
D

05. Del gráfico, calcule: B – (A + C)
A) 8 B) 10 C) 11
D) 12 E) 14
06. ¿Qué porcentaje del círculo incompleto
cuyo centro es O es la parte sombreada?
A) 26.33% B) 25%
C) 33% D) 33.33%
E) 25.5%
07. En el gráfico, “P” es punto de tangencia,
O: centro, AP = 6 u. Calcule el área de la
región sombreada.
A)
2
4 u B)
2
6 u C)
2
9 u
D)
2
12 u E)
2
16 u
08. En la figura, ABCD es un cuadrado de
lado “a”u. Calcule el área de la región
sombreada, D es centro.
A) a2 2
u B) a2
/2
2
u
C) a2
/3
2
u D) a2
/5
2
u
E) a2
/4
2
u
09. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden 5 cm y 12 cm
respectivamente. Calcule el área del
círculo inscrito en el triángulo.
A)
2
6 cm B)
2
4 cm
C)
2
8 cm D)
2
3 cm
E)
2
4 2 cm
10. Del gráfico, “P” es punto de tangencia,
AP = 4 cm, PC = 9 cm. Calcule el área
A)   2
6 2 cm -
B)   2
8 1 cm -
C)   2
9 2 cm -
D)   2
9 2 cm -
E)   2
12 3 cm -
A
B
C
4
6
3
A
P
O B
O
A C
B
P
A B
CD F

11. Del gráfico, m AC m BD 36= = ,
AB 12 5 cm= . Calcule el área de la
región sombreada, O es centro.
A)
2
50 cm B)
2
52 cm
C)
2
54 cm D)
2
36 cm
E)
2
36 5 cm
12. La distancia entre los centros de dos
circunferencias tangentes interiores es
de 14m. Si la suma de las longitudes de
las circunferencias es de 140m. ¿Cuál
es la diferencia entre las áreas de los
círculos?
A) 350m2
B) 450 m2
C) 890m2
D) 980m2
E) 1080m2
13. El área de un sector circular es 4m2
, su
perímetro es 8m. Calcule su radio.
A) 2m B) 4m C) 6m
D) 8m E) 1m
14. Dado los círculos C1 y C2, con áreas a1 y
a2 respectivamente, si la longitud de la
circunferencia C2 es igual al diámetro de
C1, el área a2 será:
A)
π
a 1
B) 2
2
1
π
a
C) 2
π
a 1
D)
π
a1
E) 2
π
2a 1
15. Calcule el área de la región sombreada.
A)
3
πa2
B) 2
2
a3
3
πa
+
C) 2
a
2
3
3
π








+ D) 2
a








+
2
3
3
2π
E) 2
a3
3
2π






+ m
16. Calcular el área de la región sombreada
en la figura, sabiendo que ABCD es un
cuadrado inscrito en el semicírculo de
centro O y radio " R"
A)
10
8)-(5R2 
B)
5
8)(4R2 +
C)
10
)-(8R2  D)
10
1)-(5R2 
E)
5
)1(4R2 +
17. El área de un círculo se incrementa en
7 cuando su radio se aumenta en 1.
¿Cuál es el área original del círculo?
A) 6 B) 7 C) 9,7
D) 9 E) 10
A B
DC
O
a a a
A
B
O

18. En la figura. Calcular el área de la
región sombreada:
A) 16 B) 8+4 C) 8
D) 6 E) 16
19. En un círculo de radio 1m se trazan dos
diámetros perpendiculares, tomando
como diámetro los radios se construyen
cuatro círculos, el área de la región
sombreada es
A) (-3) m2
B) (2-5) m2
C) 2 m2
D) (2-1) m2
E) (-2) m2
20. En la figura P, Q y O son centros de los
semicírculos. Si el rectángulo ABCD
tiene perímetro 24cm. El área de la
región sombreada será de:
A) (36 – 6) cm2
B) (26 – 6) cm2
C) (9 – 23) cm2
D) (12 – 36) cm2
E) (32 – 9) cm2
8
B C
DA
P
O
Q
Lo poco que he aprendido
carece de valor,
comparado con lo que ignoro
y no desespero en
aprender.

Respuestas:
CAP. 1 CAP. 2 CAP. 3
1 C 1 B 1 C
2 D 2 D 2 D
3 C 3 B 3 C
4 C 4 D 4 C
5 B 5 B 5 D
6 A 6 B 6 A
7 C 7 B 7 A
8 B 8 A 8 C
9 D 9 D 9 E
10 E 10 C 10 A
11 E 11 D 11 B
12 C 12 A 12 C
13 C 13 C 13 A
14 D 14 D 14 C
15 C 15 D 15 B
16 C 16 C 16 C
17 A 17 A 17 C
18 C 18 B 18 E
19 E 19 A 19 A
20 C 20 E 20 D
CAP. 4 CAP. 5 CAP. 6
1 D 1 A 1 E
2 C 2 D 2 B
3 C 3 A 3 D
4 C 4 B 4 C
5 C 5 B 5 C
6 D 6 A 6 D
7 E 7 B 7 C
8 C 8 C 8 B
9 A 9 D 9 B
10 C 10 D 10 D
11 E 11 A 11 C
12 B 12 E 12 D
13 D 13 A 13 A
14 A 14 E 14 C
15 B 15 E 15 D
16 E 16 D 16 C
17 B 17 B 17 D
18 A 18 B 18 E
19 B 19 D 19 E
20 D 20 C 20 E

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