calculo diferencial

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
ASIGNATURA
CÁLCULO DIFERENCIAL
TÍTULO
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES
TEMA
RECOPILACIÓN DE TEMAS TRATADOS EN LA UNIDAD #4 DE LA
ASIGNATURA
AUTORES
JOEL ALEXIS VÁSQUEZ TORRES
KEVIN STEVEN VERA CORREA
JUAN CARLOS PONCE TACURI
JOHN HENRY ORELLANA MENDIETA
DOCENTE RESPONSABLE
ING. GINGER CARRION RUGEL, MG. SC.
CURSO
PRIMER SEMESTRE “A”, INGENIERÍA CIVIL
MACHALA – EL ORO – 2015

2. II
ÍNDICE DE CONTENIDOS
PORTADA…………………………………………………………………………...…..I
ÍNDICE DE GRÁFICOS...............................................................................................IV
1. DATOS INFORMATIVOS...................................................................................... V
1.1 Nombre del proyecto...........................................................................................V
1.2 Responsables.......................................................................................................V
1.3 Lugar de realización del proyecto .......................................................................V
2. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................VI
3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ....................................................................... VII
3.1 Antecedentes de la problemática.......................................................................VII
3.2 Formulación del problema................................................................................VII
Problema General ..........................................................................................................................................VII
Problemas Secundarios ................................................................................................................................VII
3.3 Descripción del problema..................................................................................VII
4. JUSTIFICACIÓN................................................................................................VIII
5. OBJETIVOS GENERAL Y ESPECÍFICOS.........................................................IX
5.1 Objetivo General .......................................................................................................................................IX
5.2 Objetivos Específicos ................................................................................................................................IX
6.1 MARCO TEÓRICO ................................................................................................10
6.1 MÁXIMOS Y MÍNIMOS..............................................................................................10
6.1.1 Condiciones Generales para Máximos y Mínimos de f(x):...............................................................10
6.1.2 Teorema del valor extremo:..................................................................................................................10
6.1.3 EXTREMOS RELATIVOS Y PUNTOS CRÍTICOS ......................................................................................12
6.1.4 Teorema los Extremos Relativos ocurren solo en números o Puntos Críticos:............................13
6.1.5 Primer método para calcular Máximos y Mínimos de una función...............................................13
6.1.6 Segundo método para calcular Máximos y Mínimos de una función. ..........................................14
6.2 PUNTOS DE INFLEXION .............................................................................................14
6.2.1 Regla para hallar los puntos de inflexión de la curva cuya ecuación es y = f(x).........................15
6.3 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS........................................................17
6.3.1 Interpretación Geométrica....................................................................................................................17
6.4 TEOREMAS ADJUNTOS..............................................................................................18
6.4.1 Teorema de Bolzano...............................................................................................................................18
6.4.2 Teorema de los Valores Intermedios (Darboux)...............................................................................19
6.4.3 Teorema de Valores Extremos (Weierstrass).....................................................................................20
6.4.4 Teorema de Rolle....................................................................................................................................21

3. III
6.4 .5 Teor ema d el Val or Medi o ( Lagran ge) ................................................................................22
6.4.6 Teorema de Cauchy (Valor medio generalizado).............................................................................23
6.4.7 Regla de L´Hôpital ...................................................................................................................................24
6.5 APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN PROBLEMAS DE LA INGENIERÍA CIVIL..................27
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES......................................................30
7. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................31

4. IV
ÍNDICE DE GRÁFICOS
Gráfico 1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11
Gráfico 2 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11
Gráfico 3 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11
Gráfico 4 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12
Gráfico 5 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12
Gráfico 6 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15
Gráfico 7 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16
Gráfico 8 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17
Gráfico 9 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18
Gráfico 10----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19
Gráfico 11----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19
Gráfico 12----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20
Gráfico 13----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20
Gráfico 14----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------21
Gráfico 15----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23
Gráfico 16----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23
Gráfico 17----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24
Gráfico 18----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25

5. V
1. DATOS INFORMATIVOS
1.1 Nombre del proyecto
Recopilación de temas tratados en la unidad #4 de la asignatura.
1.2 Responsables
Joel Alexis Vásquez Torres
Kevin Steven Vera Correa
Juan Carlos Ponce Tacuri
John Henry Orellana Mendieta
1.3 Lugar de realización del proyecto
Unidad Académica de Ingeniería Civil, Universidad Técnica de Machala, El Oro,
Ecuador.

6. VI
2. INTRODUCCIÓN
El descubrimiento cálculo ha sido uno de los mayores logros que ha tenido el ser
humano a lo largo de su historia, el cual ha servido de pilar fundamental para la
construcción de un mundo más desarrollado y. tecnológico. Nuestro mundo gira en base
de leyes complejas, éstas se han vuelto más simplificables mediante el uso de
ecuaciones que involucran funciones y derivadas, las mismas que se realizan gracias a
los principios del cálculo.
En el siguiente trabajo se recopila información extraída de autores reconocidos de libros
de cálculo, los temas a tratar corresponden a la unidad # 4 estudiados en clases de
Cálculo Diferencial; los cuales son: Máximos y mínimos, Puntos de inflexión,
Teoremas de valor medio para derivadas y Aplicación de las derivadas en problemas de
la Ingeniería Civil. Los mismos que se estudiaran detalladamente para brindarle al lector
una forma de comprensión mucho más simple, inspirados en técnicas de difusión de
contenidos como lo hacen ciertos autores como por ejemplo Larson & Edwars .

7. VII
3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
3.1 Antecedentes de la problemática
Desde el descubrimiento del cálculo por parte de Newton y Leibniz se ha tenido
problemas por las distintas técnicas utilizadas para realizar las operaciones asociadas,
así los investigadores han venido aportando con sus formas hacer uso de éste, dando su
propia interpretación y formulando muchas reglas y teoremas, consecuentemente el
estudio del cálculo se convirtió en algo complejo y a los estudiantes les resulta
complicado el hecho de aprehender todos estos contenidos.
3.2 Formulación del problema
Problema General
 ¿Cómo se debería explicar los temas de clase de cálculo a los estudiantes para
lograr una mejor comprensión?
Problemas Secundarios
 ¿Cómo aplicar el cálculo de una forma más sencilla para resolver problemas?
 ¿Cómo deberían de exponerse los ejercicios en clase a los estudiantes?
3.3 Descripción del problema
La comprensión de algunos temas de cálculo puede resultar un poco difícil para muchos
estudiantes debido a las diferentes técnicas utilizadas por los docentes para llevar sus
clases, la mayoría de estudiantes resultan confundidos debido a que cada autor de libros
realiza operaciones de diferente índole para explicarlo.

8. VIII
4. JUSTIFICACIÓN
El cálculo puede tornarse complicado debido a los distintos tipos de resolución de
problemas que contiene y el uso de diferentes técnicas para ello, los estudiantes
terminan muchas de las veces confundidos entre la teoría y la práctica de resolución de
ejercicios. De igual forma el hecho de no conocer diferentes teoremas que ayudan en
estos procesos. El no conocer la finalidad o el uso práctico que tienen estos procesos;
hacen del aprendizaje un poco aburrido.
El siguiente trabajo expone los temas mencionados con anterioridad, extrayendo
información de los libros cuyos autores muestran contenidos más detallados y sencillos
de comprender; con la finalidad de que el aprendizaje se torne menos tedioso,
planteando ejercicios prácticos y resolviéndolos paso a paso, para una mejor
comprensión y demostrar que el cálculo es una herramienta muy importante que está
muy presente en el medio tecnológico en el vivimos.

9. IX
5. OBJETIVOS GENERAL Y ESPECÍFICOS
5.1 Objetivo General
Identificar los contenidos más precisos, sencillos y apropiados para explicar los
temas de clase Máximos y Mínimos, Puntos de inflexión, Teoremas de valor medio
para derivadas y Aplicación de las derivadas en problemas de la Ingeniería Civil.
5.2 Objetivos Específicos
 Aplicar los conocimientos adquiridos en cálculo y pre cálculo para resolver
problemas aplicados a la ingeniería civil.
 Explicar la resolución de ejercicios de la forma más sencilla posible.

10. 10
6.1 MARCO TEÓRICO
6.1 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Definición:
Supongamos que S, el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:
1) f(c) es el valor máximo de f en S, si f(c) ≥ f(x) para toda x en S;
2) f(c) es el valor mínimo de f en S, si f(c) ≤ f(x) para toda x en S;
3) f(c) es el valor extremo de f en S, si es un valor máximo o un valor mínimo;
4) La función que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.
(PURCELL & RIGDON, 2007, pág. 151)
6.1.1 Condiciones Generales para Máximos y Mínimos de f(x):
 f(x) es un máximo si f’(x) =0 y f’(x) cambia de signo pasando de positivo a
negativo.
 f(x) es un mínimo si f’(x) =0 y f’(x) cambia de signo pasando de negativo a positivo.
Los valores de la variable independiente que satisfacen la ecuación f’(x) =0 se llaman
valores críticos.
Para determinar el signo de la primera derivada, basta sustituir en ella en primer lugar
un valor de la variable ligeramente menor que el valor critico correspondiente, y
después un valor ligeramente mayor.
Si el primer signo es + y el segundo -, entonces la función tiene un máximo para el valor
critico que se considera. Si el primer signo es – y el segundo +, entonces la función
tiene un mínimo. Si el signo es el mismo en ambos casos, entonces la función no tiene
ni máximo ni mínimo para el valor crítico que se considera.
(GRANVILLE, 2009, pág. 65)
6.1.2 Teorema del valor extremo:
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene tanto un mínimo como un
máximo en el intervalo.

11. 11
Determinación de los valores máximos y mínimos:
El teorema del valor extremo, es un teorema de
existencia porque indica la existencia de valores
máximos y mínimos, pero no muestra como
determinarlos.
Gráfico 1 Gráfico 2
Gráfico 3

12. 12
6.1.3 EXTREMOS RELATIVOS Y PUNTOS CRÍTICOS
Definición de Extremos Relativos:
1) Si hay un intervalo abierto que contiene a c
en el cual f(c) es un máximo, entonces f(c)
recibe el nombre de máximo relativo de f, o
se podría afirmar que f tiene un máximo
relativo en (c, f(c)).
2) Si hay un intervalo abierto que contiene a c
en el cual f(c) es un mínimo, entonces f(c)
recibe el nombre de mínimo relativo de f, o
se podría afirmar que f tiene un mínimo
relativo en (c, f(c)).
Un máximo relativo y un mínimo relativo algunas veces son llamados máximo local y
mínimo local respectivamente.
Definición de un Punto Crítico:
Sea f definida en c. Si f’(c) =0 o si f no es derivable en c, entonces c es un punto crítico
de f.
Gráfico 5
Gráfico 4

13. 13
6.1.4 Teorema los Extremos Relativos ocurren solo en números o Puntos Críticos:
Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x=c. entonces c es un punto
crítico de f.
(LARSON Ron, 2010, págs. 164,165,166)
6.1.5 Primer método para calcular Máximos y Mínimos de una función.
Primer Paso: Se halla la primera derivada de la función.
F(x) = 𝑥 √100 − 𝑥2
F’(x) =
𝟏𝟎𝟎−𝟐 𝒙 𝟐
√ 𝟏𝟎𝟎− 𝒙 𝟐
Segundo Paso: Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la
ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.
Resolviendo la ecuación f’(x) = 0, tenemos:
X = 5 √2 = 7.07
Tercer paso: Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de
la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y
después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente
+ y después -, la función tienen un máximo para el valor crítico de la variable; en el
caso contrario, tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni
mínimo para el valor crítico considerado.
Cuando x < 5 √2, entonces 2 𝑥2
< 100, y f’ (x) es +.
Cuando x > 5 √2, entonces 2 𝑥2
> 100, y f’(x) es -.
Puesto que el signo de la derivada cambia de + a -, la función tiene un valor máximo
f (5 √2) = 5 √2 . 5√2 = 50.
(GRANVILLE, 2009, págs. 66,67)

14. 14
6.1.6 Segundo método para calcular Máximos y Mínimos de una función.
Primer Paso: Hallar la primera derivada de la función.
y = 2x3+3x2-12x
y’ = 6x2+6x -12
Segundo Paso: Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces
reales son los valores críticos de la variable.
6x2+6x -12 = 0
X1= -2 X2=1
Tercer Paso: Hallar la segunda derivada.
y’’ = 12x+6
Cuarto Paso: Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los
valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para
este valor crítico; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo.
X=1
y’’ = 12x+6
y’’ = 12(1) + 6 = 18 Min.
X= -2
y’’ = 12x+6
y’’= 12(-2) +6 = -8 Máx.
(GRANVILLE, 2009, págs. 92,93)
6.2 PUNTOS DE INFLEXION
Un punto de inflexión en una curva es el que separa arcos que tienen su concavidad en
sentidos opuestos. (Separa la parte convexa de la parte cóncava)

15. 15
Cuando el punto que describe una
curva pasa por un punto de
inflexión, la segunda derivada
cambiara de signo en ese punto, y
si es continua debe anularse.
Luego, necesariamente, se
verifica la siguiente igualdad:
En punto de inflexión, f’’(x) = 0.
Resolviendo la ecuación que
resulta de la igualdad anterior, se
obtienen las abscisas de los
puntos de inflexión. Para determinar el sentido de la concavidad cerca de un punto de
inflexión, basta calcular f’’(x) para un valor de x un poco menor que la abscisa en ese
punto y después para un valor un poco mayor que ella.
Si f’’(x) cambia de signo, tenemos un punto de inflexión, y los signos que obtenemos
determinan si es la vecindad del punto la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
6.2.1 Regla para hallar los puntos de inflexión de la curva cuya ecuación es y = f(x).
Primer Paso: Se halla f’’(x)
Segundo Paso: Se iguala a cero f’’(x), se resuelve la ecuación resultante y se
consideran las raíces reales de la ecuación.
Tercer Paso: Se calcula f’’(x), primero para valores de x un poco menores y después
un poco mayores, que cada una de las raíces obtenidas en el segundo paso. Si f’’(x)
cambia de signo, tenemos un punto de inflexión.
Cunado f’’(x) es positivo, la curva es cóncava hacia arriba. +
Cuando f’’(x) es negativo, la curva es cóncava hacia abajo. -
Gráfico 6

16. 16
A veces conviene descomponer f’’(x) en factores antes del tercer paso.
(GRANVILLE, 2009, págs. 96,97)
Ejemplo:
f(x)= 3x3-3x2+6x-6
f’(x)= 3x2-6x+6
f’’(x)= 6x-6
f’’(x)=0
6x-6=0
X = 1
El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la segunda derivada es
negativa (convexa) y después de x =1 es positive (cóncava).
TABLA DE VALORES
X Y
1 -2 P. INFLEXIÓN
Gráfico 7

17. 17
6.3 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS
Sea f una función que cumple las siguientes condiciones:
 Es continua sobre un intervalo cerrado [a, b].
 Es derivable sobre un intervalo abierto (a, b).
Entonces existe por lo menos un punto c que pertenece a (a, b).
Tal que:
f’(c)=
𝑓( 𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
6.3.1 Interpretación Geométrica
La interpretación geométrica nos dice que hay un punto, por lo menos, en el que la
tangente c es paralela a la secante ab.
Gráfico 8
Ejemplo:
Dada f(x)=5 - (4/x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1, 4) tales
que:
f’(c)=
𝑓(4)−𝑓(1)
4−1
Solucion:

18. 18
La pendiente de la recta secante que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)) es
𝑓(4)−𝑓(1)
4−1
=
4−1
4−1
= 1
Nótese que f satisface las condiciones del teorema del valor medio. Esto es que f es
continua en el intervalo [1, 4] y derivable en el intervalo (1, 4). Entonces, existe al
menos un número c en (1, 4) tal que f′(c) = 1. Resolviendo la ecuación f′(x) = 1, se
obtiene
f’(x)=
4
𝑥2 = 1
que implica x= +- 2. De tal modo, en el intervalo (1, 4), se puede concluir que c = 2.
Gráfico 9
(LARSON Ron, 2010, pág. 175)
6.4 TEOREMAS ADJUNTOS
6.4.1 Teorema de Bolzano
Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] con f(a) y f(b) de distinto signo.
Entonces existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0. (GONZÁLEZ J. , 2004)

19. 19
1.- f(x) continua en [a, b]
2.- f(a) · f(b) < 0
⇒ ∃c ∈ (a, b) con f(c) = 0
Ejemplo:
Demostrar por Bolzano que la ecuación 𝒙 𝟑
+ 𝒙 𝟐
− 7x + 1 = 0
Tiene una solución en (0, 1).
Solución: Sea
f(x) = 𝒙 𝟑
+ 𝒙 𝟐
− 7x + 1
Se tiene que f es continua (por ser polinomio) en [0, 1]. Como
f(0) = 03 + 02 + (7)(0) + 1 f(1) = 13 + 12 - (7)(1) + 1
f(0) = 1 f(1) = 1 + 1 -7 +1
f(1) = -4
La función cambia de signo y existirá al menos un número c ∈ (0, 1) con f(c) = 0. es
decir la función tiene al menos una raíz entre 0 y 1.
6.4.2 Teorema de los Valores Intermedios (Darboux)
Si f(x) una función continua en el intervalo [a, b], siendo k un valor comprendido entre
f(a) y f(b), entonces existe al menos un
valor c ∈ (a, b) con f(c) = k.
(GONZÁLEZ J. , 2004)
1.- f(x) continua en [a, b]
2.- f(a) < k < f(b)
⇒ ∃c ∈ (a, b) con f(c) = k
Gráfico 11
Gráfico 10

20. 20
El teorema de los valores intermedios es una consecuencia inmediata del teorema de
Bolzano. Otra consecuencia es la siguiente:
 Si f(x) y g(x) son funciones continuas en [a, b] y f(a) < g(a) y f(b) >
g(b) , entonces existe un número s ∈[a, b] tal que f(s) = g(s) .
6.4.3 Teorema de Valores Extremos (Weierstrass)
Sea f(x) una función continua en el
intervalo cerrado [a, b]. Entonces:
1. Existe un punto xmin ∈ I que es un
mínimo absoluto para f.
2. Existe un punto xmax ∈ I que es un
máximo absoluto para f.
m ≤ f(x) ≤ M x ∈ [a, b]
xmin ∈ [a, b] xmax ∈ [a, b]
Gráfico 12
Gráfico 13

21. 21
Ejemplo:
f(x) = {
𝒙 𝟐
−𝒂𝒙−𝟔
𝐱−𝟐
; 𝒙 < 𝟐
𝒙 𝟐
+ 𝒃 ; 𝒙 ≥ 𝟐
f(𝟐−
) = lim
𝑛→2−
𝑥2
−𝑎𝑥−6
x−2
= lim
𝑛→2−
−2a−2
0
= ⇒ a = −1
= lim
𝑛→2−
(x−2)(x+3)
x−2
= 5
f(𝟐+
) = lim
𝑛→2+
𝑥2
+ 𝑏 = 𝟒 + 𝒃
Para que sea continua en x = 2, 5 = 4 + b ⇒ b = 1
6.4.4 Teorema de Rolle
Sea f(x) una función definida sobre un intervalo cerrado [a,b], aplica el teorema de
Rolle si verifica las siguientes condiciones:
1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
3. f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
Gráfico 14

22. 22
f´(c) = 0…. es decir, con tangente horizontal.
El teorema asegura para las funciones continuas en un intervalo cerrado, y derivables en
todo punto interior del intervalo la existencia de al menos un punto donde la derivada se
anula y por tanto tiene una tangente horizontal. La figura muestra una función con dos
puntos c1 y c2 donde se cumple. (GONZÁLEZ J. , 2004)
Ejm;
Siendo 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 18𝑥 se cumplen las hipótesis en [0, 3 √2 ], pues:
 f(x) es continua en [0, 3√2] por ser una función polinómica.
 f(x) es derivable en (0, 3√2) por ser una función polinómica.
 Como f(0) = 0 y f(3√2) = 0, la función tiene el mismo valor en los extremos del
intervalo. Luego el teorema asegura la existencia de al menos un punto c ∈ (0,
3√2) donde la derivada se anula. Como
F´(x) = 3𝑥2
− 18
F´(x) = 3𝑥2
− 18 = 0 ⇒ x = ± √6
Luego el valor que asegura el teorema es c = √6
6.4.5 Teorema del Valor Medio (Lagrange)
Sea f(x) una función que cumple las propiedades siguientes:
1.- Es continua sobre un intervalo cerrado [a,b].
2.- Es derivable sobre un intervalo abierto (a,b).
Entonces existe por lo menos un número c tal que:
a < c < b y 𝒇′(𝒙) =
𝒇( 𝒃)−𝒇(𝒂)
𝒃−𝒂

23. 23
El teorema asegura que existe un punto c ∈ (a, b) donde la tangente tiene la misma
pendiente que la cuerda AB, es decir, donde la tangente es paralela a la cuerda.
(GONZÁLEZ J. , 2004)
Ejemplo:
Siendo f(x) = 4x 2 − 5x + 1, aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]
se obtiene f(2) − f(0) = f´(c) · 2
y como f´(c) = 8c − 5, se tiene
7−(1) = (8c−5)·2 ⇒ c = 1 ∈ (0, 2)
6.4.6 Teorema de Cauchy (Valor medio generalizado)
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b),
entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que:
Gráfico 15
Gráfico 16

24. 24
𝒇( 𝒃)−𝒇( 𝒂)
𝒈( 𝒃)−𝒈( 𝒂)
=
𝒇′( 𝒄)
𝒈′( 𝒄)
𝒈( 𝒃)−
𝒈( 𝒂) 𝑦 𝒈′( 𝒄) ≠ 𝟎
Considere la representación gráfica de una
curva y = h(x), que tiene ecuaciones
paramétricas x = g(t), y = f (t) donde t
∈ [a,b].
Utilizando la derivación paramétrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la
curva en un determinado valor está dada por:
𝒇′( 𝒄)
𝒈′( 𝒄)
Además, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
𝑷( 𝒈(𝒂), 𝒇(𝒂)),𝑸(𝒈( 𝒃), 𝒇(𝒃))está dada por:
𝒇( 𝒃)−𝒇( 𝒂)
𝒈( 𝒃)−𝒈( 𝒂)
6.4.7 Regla de L´Hôpital
Se trata en realidad de un teorema, cuyo enunciado es:
Gráfico 17

25. 25
Tipos de indeterminaciones ⇒ 0 / 0 ∞ / ∞ ∞ − ∞ 0 · ∞ 1 ∞ ∞ 0 0 0
La regla de L´Hôpital se utiliza para resolver límites con indeterminaciones del tipo 0 /
0 y ∞ / ∞. El resto de indeterminaciones ∞ − ∞ 0 · ∞ 1 ∞ ∞ 0 0 0 se tiene
que trasformar en 0 / 0 o en ∞ / ∞ y se las resuelve también por L´Hôpital.
(GONZÁLEZ A. , 2012)
𝒇( 𝒃)− 𝒇( 𝒂)
𝒈( 𝒃)− 𝒈( 𝒂)
=
𝒇′( 𝒄)
𝒈′( 𝒄)
𝒈( 𝒃)− 𝒈( 𝒂) 𝑦 𝒈′( 𝒄) ≠ 𝟎
Considere la representación gráfica de una curva y = h(x), que tiene ecuaciones
paramétricas x = g(t), y = f (t) donde t ∈ [a,b].
Utilizando la derivación paramétrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la
curva en un determinado valor está dada por
Gráfico 18

26. 26
𝒇′( 𝒄)
𝒈′( 𝒄)
Además, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
𝑷( 𝒈(𝒂), 𝒇(𝒂)),𝑸(𝒈( 𝒃), 𝒇(𝒃))está dada por:
𝒇( 𝒃)−𝒇( 𝒂)
𝒈( 𝒃)−𝒈( 𝒂)

27. 27
6.5 APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN PROBLEMAS DE LA
INGENIERÍA CIVIL
1.- Se desea construir un tanque cilíndrico en el que la base y la pared tienen el
mismo espesor (e) y son hechos del mismo material. Si el volumen que debe tener
el tanque es de 100, encuentre el radio en la base para el cual se construye un
tanque con esta capacidad gastando el mínimo material posible. ( Leiva Marin,
2014)
El volumen del cilindro está dado por la siguiente fórmula:
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ
100 = 𝜋𝑟2
ℎ
ℎ =
100
𝜋𝑟2
Ahora bien el gasto de materila depende de la siguiente función:
𝑀 = 𝑒(𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟ℎ)
𝑀 = 𝑒(𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟(
100
𝜋𝑟2)
𝑀 = 𝑒 (𝜋𝑟2
+
200
𝑟
)
𝑀´ = 𝑒 (2𝜋𝑟 −
200
𝑟2 )
Igualamos la derivada a 0
0 = 𝑒 (2𝜋𝑟 −
200
𝑟2 )
0 = 2𝜋𝑟 −
200
𝑟2
0 = 𝑟
2𝜋𝑟3
− 200
𝑟2
0 = 2𝜋𝑟3
− 200
200 = 2𝜋𝑟3
𝜋𝑟3
= 100
𝑟 = 3,169𝑚
Es decir con éste radio obtenemos el material mínimo para construir el tanque.

28. 28
2.- Hallar la longitud mínima
Dos postes, uno de 12 pies de altura y el otro de 28 pies, estána 30 pies de
distancia. Se sostienen por dos cables, conectados a una sola estaca, desde el nivel
del suelo hasta la parte superior de cada poste. ¿Dónde debe colocarse la estaca
para que se use la menor cantidad de cable? (Larson & Edwards, 2010, pág. 221)
Solución Sea W la longitud del cable que se va a minimizar. Utilizando la figura,
puede escribirse:
W= y + z ecuación primaria
En este problema, más que resolver para y en
términos de z (o viceversa), se deben despejar tanto
para y como para z en términos de una tercera
variable x, como se indica en la figura. De acuerdo
con el teorema de Pitágoras, se obtiene:
𝑥2
+ 122
= 𝑦2
(30 − 𝑥) + 282
= 𝑧2
Lo que implica que
𝑦 = √ 𝑥2 + 144
𝑧 = √ 𝑥2 + 60𝑥 + 1684
De tal modo, W está dada por
W= y + z
𝑊 = √ 𝑥2 + 144 + √ 𝑥2 + 60𝑥 + 1684, 0 ≤ 𝑥 ≤ 30

29. 29
La derivación de W con respecto a x produce
𝑑𝑊
𝑑𝑥
=
𝑥
√𝑥2 + 144
+
𝑥 − 30
√𝑥2 + 60𝑥 + 1684
Haciendo 𝑑𝑊 𝑑𝑥 = 0⁄ , se obtendrá
𝑥
√𝑥2 + 144
+
𝑥 − 30
√𝑥2 + 60𝑥 + 1684
= 0
𝑥√ 𝑥2 + 60𝑥 + 1684 = (𝑥 − 30)√ 𝑥2 + 144
𝑥2( 𝑥2
+ 60𝑥 + 1684) = ( 𝑥 − 30)2
(𝑥2
+ 144)
𝑥4
− 60𝑥3
+ 1684𝑥2
= 𝑥4
− 60𝑥3
+ 1044𝑥2
− 8640𝑥 + 129600
640𝑥2
+ 8640 − 129600 = 0
𝑥 = 9, −22.5
Como x =-22.5 no está en el dominio de y
𝑊(0) ≈ 53.4, 𝑊(9) = 50, 𝑦 𝑊(30) ≈ 60.31
Se puede concluir que el alambre debe colocarse a 9 pies del poste de 12 pies.

30. 30
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones:
Con la información recopilada en el presente se puede lograr una mejor
comprensión de los pasos a seguir para derivar.
Con la ejemplificación del uso de la derivada en nuestro medio para
optimizar recursos se puede apreciar que esta es muy útil en la vida práctica.
Recomendaciones:
 Se recomienda al lector practicar siguiendo la ejemplificación de los pasos a
seguir y la investigación propia.
 Para desarrollar destrezas que faciliten la resolución de ejercicios de
aplicación de la derivada se recomienda la practica constante hasta conseguir
habilidades que agilizen estos procesos.

31. 31
7. BIBLIOGRAFÍA
LeivaMarin, S.A. (16 de Juniode 2014). Scribd. Recuperadoel 15 de Agostode 2015, de
Scribd:http://es.scribd.com/doc/229805229/Aplicaciones-de-Minimos-y-Maximos-en-
La-Ingenieria-Civil-2#scribd
GONZÁLEZ,A. (2012). MatemáticasII. Recuperadoel 16 de Agostode 2015, de
http://www.alfonsogonzalez.es/asignaturas/2_bach_ccnn/unidades_didacticas_2_bac
h_ccnn/derivadas.pdf
GONZÁLEZ,J. (11 de juniode 2004). Matex. Recuperadoel 15de Agostode 2015, de
http://personales.unican.es/gonzaleof/#
GRANVILLE,W. A.(2009). Calculodiferencial e integral.Mexico:Limusa.
LARSON Ron,E. B. (2010). Calculo 1 de una variable. Mèxico,D.F.:Mc GRAW-HILL.
Larson,R., & Edwards,B. (2010). Cálculo 1 (9a ed.).Mexico:Cengaje Learning.
PURCELL, E. J., & RIGDON,S. E. (2007). Calculo Diferencial e Integral. Mèxico: PEARSON
EDUCACIÒN.