Revista sigma 24

EDITORIAL
En el presente número desarrollamos dos temas hasta hoy inéditos en nuestra revista: la
Criptografía y la conexión entre Matemática y Música. La Criptografía es un tema utilizado
desde la antigüedad que, con la aparición de los ordenadores, ha tenido un desarrollo impre-
sionante al poderse utilizar claves abiertas o públicas, es decir, independientes para el emisor y
el receptor del mensaje. Se hace un desarrollo histórico de las codificaciones clásicas y, para el
próximo número, presentaremos un nuevo artículo sobre la codificación en clave abierta RSA.
La segunda novedad es el artículo de Manuel Domínguez Romero referido a la conexión
Música y Matemáticas. Conocemos artículos elaborados por nuestro amigo sevillano José Mª
Alvarez Falcón sobre este tema y publicados en otras revistas matemáticas, sin embargo, nunca
sobre este tema habíamos publicado un artículo en esta revista. No es fácil encontrar a espe-
cialistas en estas dos áreas de conocimiento y que sean capaces de conectarlas. Damos tam-
bién la bienvenida, después de un tiempo sin publicar artículos suyos, a nuestro buen amigo
Fernando Corbalán que nos presenta un interesante artículo referido al sentido numérico.
Los demás artículos se centran en temas de actividades que perfectamente pueden ser inte-
gradas en actividades de aula, siempre reclamadas por el profesorado. No nos cansamos de
agradecer desinteresadas a todos los autores y autoras las colaboraciones que nos prestan para
sacar adelante la revista.
EDITORIALA
Zenbaki honetan orain arte sekula ukitu ez ditugun bi gai garatzen ditugu: Kriptografia eta
Matematiken eta Musikaren arteko lotura. Kriptografia antzinatetik erabili izan den gaia da,
baina ordenadoreak azaldu direnez geroztik garapen izugarria ezagutu izan du; izan ere, klabe
irekiak edo itxiak, alegia desberdinak bidaltzailearentzat eta jasotzailearentzat, erabiltzea ahal-
bideratu baitu eta, datorren zenbakian, artikulu berri bat aurkeztuko dugu, RSA klabe irekian
egiten den kodifikazioari buruz.
Bigarren berria Manuel Domínguez Romeroren artikulua da, Musika eta Matematiken arteko
loturari buruzkoa. Ezagunak ditugu José María Alvarez Falcón gure adiskide sevillarrak gaiari
buruz idatzitako beste artikulu batzuk, hala ere, ez dugu orain arte aldizkarian horrelako arti-
kulurik argitaratu. Ez baita erraza bilatzen arlo bi horietan egon daitezkeen adituak, eta biak
elkartzeko gauza izan daitezkeenak. Ongi etorria ematen diogu, denboraldia igaro baita haren
artikulurik argitaratzeke, Fernando Corbalán adiskideari, berak zenbakien zentzuari buruz arti-
kulu interesgarri bat aurkezten baitigu.
Beste artikuluen gaiak gelako ekintzetan sar daitezkeenak dira, irakasleek halakoak ongi har-
tzen baitituzte, eskatzez gainera. Ez gara nekatuko eskerrak ematen autore guztiei beren lan-
kidetza desinteresatuagatik, aldizkaria ateratzeko orduan.

INDICE / AURKIBIDEA
INFANTIL-PRIMARIA / HAUR ETA LEHEN HEZKUNTZA 7
UN PROYECTO MATEMÁTICO PARA EL PRIMER CICLO DE PRIMARIA
José Ramón Gregorio Guirles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
SECUNDARIA / BIGARREN HEZKUNTZA 33
ACTIVIDADES PARA EL AULA CON DERIVE DIRIGIDO A 4º DE ESO
O 1º DE BACHILLERATO
Alberto Bagazgoitia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ENSEÑAR ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL EN ESO Y BACHILLERATO
Abel Martín - Rosana Álvarez García . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
LA PIZARRA ELECTRÓNICA / ARBELA ELEKTRONIKOA 67
BATXILERGOKO MATEMATIKA MAPLEREKIN II
Fernando Garatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ARTÍCULOS / ARTIKULOAK 91
LAS MATEMÁTICAS EN EL SERIALISMO MUSICAL
Manuel Domínguez Romero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
LOS ALUMNOS DE A. N. KOLMOGÓROV RECUERDAN A SU MAESTRO
A. B. Sosinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
RESOLUCIÓN NO ALGEBRAICA DE PROBLEMAS DE MÓVILES:
UN ENFOQUE HISTÓRICO
Vicente Meavilla Seguí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
LA CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA
Santiago Fernández . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
NO TODOS LOS NÚMEROS SON IGUALES. (FUNCIONES DE LOS NÚMEROS)
Fernando Corbalán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
ONCE AÑOS DE VARIACIONES SOBRE UN VIEJA IDEA
Ángel Ramírez Martínez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
HOMO MATHEMATICUS
José del Río Sánchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
FIGURAS IMPOSIBLES: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA Y
ALGUNAS ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE
DE LA GEOMETRÍA ELEMENTAL
Vicente Meavilla Seguí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
CARACTERÍSTICAS, EN LOS PROBLEMAS ESCOLARES, QUE INCIDEN
EN LA DIFICULTAD DE LOS MISMOS
Elisa Pardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
LIBROS / LIBURUAK 187
EL HOMBRE QUE SÓLO AMABA LOS NÚMEROS
Paul Hoffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
LA MARAVILLA DE LOS NÚMEROS
Clifford A. Pickover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Infantil–Primaria/Hauretalehenhezkuntza

Mayo 2004 • 2004ko Maiatza 9
Un Proyecto Matemático para el primer ciclo de Primaria
UN PROYECTO MATEMÁTICO PARA
EL PRIMER CICLO DE PRIMARIA
José Ramón Gregorio Guirles (*)
Concretando el trabajo planteado en el artículo “El constructivismo y las matemáticas”,
publicado en el nº 21 de esta revista, propongo el desarrollo de un proyecto matemático
de centro, analizando las diferentes tareas matemáticas de aula bajo dos puntos de vista:
las claves de esta tarea y las actividades a través de las cuales se pueden trabajar. En este
artículo desarrollo los tres primeros aspectos del proyecto matemático de ciclo inicial:
criterios matemáticos para el primer ciclo (orientaciones); acuerdos mínimos sobre ope-
raciones (cuándo hacer mentalmente, cuándo con lápiz y papel y cuándo con calcula-
dora) y estrategias numéricas y operacionales; la numeración. Para los siguientes núme-
ros de esta revista quedan pendientes el resto de los aspectos: cálculo mental, cálculo
escrito, calculadora, resolución de problemas y evaluación.
JUSTIFICACIÓN Y ASPECTOS A TRABAJAR
En el artículo “El constructivismo y las matemáticas”, publicado en la revista SIGMA nº 21, repa-
saba algunos elementos del planteamiento constructivista de la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas y algunas claves de aula (racionalización, ajuste y renovación de contenidos; alfa-
betización matemática y sentido numérico; resolución de todo tipo de problemas; la globaliza-
ción y las matemáticas de y para la vida cotidiana; y los juegos). En ese mismo artículo decía
que “el problema de las matemáticas y el constructivismo no es, por tanto, de definición y con-
creción curricular, sino un problema más real, el de dar clase todos los días y, en definitiva, el
de definir cuáles son las claves del trabajo constructivista en la actividad diaria de aula”.
Pues bien, en este afán de racionalizar y organizar el trabajo de aula de las matemáticas esta-
mos empeñados numerosos maestros y maestras. Y para ello llevamos trabajando más de 2
años en lo que denominamos Proyecto Matemático de Centro, que pretende dar respuesta a
todas las interrogantes que se nos plantean en torno al qué y cómo podemos hacer en el día
a día matemático para que nuestros alumnos/as comprendan, se alfabeticen matemáticamente,
piensen, resuelvan problemas y, en definitiva, aprendan matemáticas con sentido.
La primera cuestión que nos debemos plantear al abordar el Proyecto Matemático de Centro
es la de ¿qué tipos de tareas matemáticas son las importantes, las que debemos priorizar en el
aula? La clasificación de estas actividades matemáticas de aula tiene una finalidad triple:
• hacernos conscientes de las diversas actividades que podemos realizar.
• jerarquizar el valor que cada tipo de trabajo matemático tiene en cada ciclo a la hora de “dar
clase”.
• servir, en base a lo anterior, para “repartir el valioso tiempo matemático” de forma equili-
brada: dedicar más tiempo a lo más básico e importante y, viceversa, reducir a anecdótico
y/o puntual a aquellas actividades de menor importancia.
(*) Asesor de la Etapa Infantil-Primaria del Berritzegune de Sestao.

Este mapa de actividades matemáticas que aparece a continuación, es el que iré desarrollando
a lo largo de este artículo y otros que irán llegando en los números siguientes de esta revista.
En cada uno de las tareas de aula intentaré especificar las claves del trabajo matemático a rea-
lizar desde el punto de vista constructivista.
Por razones obvias de trabajo y de ajuste de las propuestas, el proyecto matemático lo reali-
zamos y concretamos en cada escuela(1)
y para cada uno de los ciclos, aunque las considera-
ciones generales y los criterios de intervención sean los mismos.
ELEMENTOS PARA UN PROYECTO MATEMÁTICO DE CICLO INICIAL
Los más relevantes que trabajamos en los centros son:
1. Algunos criterios de trabajo para el primer ciclo.
2. Acuerdos mínimos sobre operaciones y estrategias.
3. La numeración.
4. El cálculo mental: automático, reflexivo y global.
5. El cálculo escrito: algoritmos y operaciones de sumar y restar.
6. La calculadora.
7. Problemas y resolución de problemas.
8. La evaluación.
En este artículo desarrollaré los tres primeros.
1. ALGUNOS CRITERIOS DE TRABAJO PARA EL 1er
CICLO
Además de las consideraciones generales, ya expuestas en el mencionado artículo, es impor-
tante partir de una serie de criterios de actuación en relación a la práctica de aula:
1. Que debemos procurar que los niños/as PIENSEN. La necesidad de escribir matemática-
mente sólo tiene sentido cuando se piensa. El pensamiento matemático y la resolución de
problemas van unidos a la comprensión. Conclusión: si los alumnos no comprenden no
estamos haciendo matemáticas.
SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.10
José Ramón Gregorio Guirles

2. Que el cálculo mental (automático, reflexivo, global), y el sentido numérico (hacer cálcu-
los mentalmente y por aproximación, explorar diferentes maneras de encontrar soluciones
mentalmente, sentido común al manejar números en el contexto de resolución de proble-
mas, capacidad de pensar en las operaciones y problemas de diferentes maneras, descom-
poner y recomponer números, ...), son inicialmente las herramientas más poderosas para
“amueblar” matemáticamente el cerebro de los niños/as.
3. Que la calculadora es una buena herramienta para facilitar el cálculo mental, el sentido
numérico, la resolución de problemas, … Ya es hora de normalizar el uso inteligente de la
calculadora en el tiempo de trabajar las matemáticas.
Para ello es interesante introducir el concepto de variable didáctica. Estamos hablando de
definir el aspecto matemático que queremos trabajar. En función de ello, podremos decidir
cómo haremos los cálculos en el aula, y si usamos o no la calculadora. Aunque lo veremos
con más detalle, vayan por delante algunos usos de la calculadora para favorecer:
• El cálculo mental automático. Al realizar la operación con calculadora (5+4, 7-2, 8x5,
10:2), la actividad mental de ver cuánto da es la misma que si la hiciéramos en voz alta
o con lápiz y papel, pues vemos el resultado (memorización). Por tanto, los alumnos
siempre la pueden tener a mano como un recurso más. Además, podemos usarla para tra-
bajar series de sumas y restas, primero con calculadora y luego sin ella.
• El aprendizaje de determinadas estrategias numéricas del primer ciclo: series, descompo-
siciones numéricas, sumar 10, sumar 100, dobles, mitades, aproximaciones, regularida-
des numéricas, multiplicar por 10… El objetivo es que sean ellos/as los que jugando con
la calculadora empiecen a sacar conclusiones y “construir” el conocimiento numérico y
operacional.
• Las conjeturas e investigaciones numéricas y operacionales, a través de juegos con calcu-
ladora.
• El trabajo de resolución de problemas:
- centrándonos en la comprensión.
- que algorítmicamente todavía no saben hacer (por ejemplo, problemas de multiplica-
ción o división).
- de la vida real con números grandes.
• La verificación de resultados y la corrección de errores (autoevaluación).
• El acceso a las matemáticas de los alumnos/as con dificultades de aprendizaje o con
n.e.e.
4. Que el cálculo escrito (ALGORITMOS) no es ni más ni menos que una herramienta al ser-
vicio de la resolución de problemas matemáticos.
Alguien que sabe resolver problemas sin dominar los algoritmos es una persona alfabeti-
zada matemáticamente. Pero el que sabe operar algorítmicamente pero no sabe qué hacer
con ellos (resolver problemas) es un analfabeto matemático funcional.
Un objetivo inicial importante debe ser, pues, definir y limitar la intensidad y dedicación
horaria de los algoritmos de lápiz y papel.
5. Que debemos animar a los niños/as a QUE INVENTEN sus propios procedimientos de resol-
ver algoritmos (COMPRENDER y PENSAR), antes de aprender los académicos.
6. Que debemos potenciar la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (problemas en diversos forma-
tos, investigaciones, proyectos…), objetivo nuclear de las matemáticas. Es mejor compren-
der (aunque hagamos menos problemas), que acumular problemas (hacer muchos aunque
la mayoría no los entienda).

7. Que debemos animar a los niños/as a QUE INVENTEN sus propios procedimientos para
resolver problemas (COMPRENDER y PENSAR), en lugar de “explicarles” cómo se resuel-
ven.
8. Que debemos potenciar la COMPRENSIÓN en numeración, operaciones y resolución de
problemas, como elemento básico de la alfabetización matemática. Sin comprensión no
hay resolución matemática, como mucho lo que hay es “adivinación”.
9. Que debemos trabajar la NUMERACIÓN desde un punto de vista funcional (leer y escri-
bir números, ordenarlos y compararlos, interpretarlos, comunicarnos mediante ellos…), a
través de textos numéricos, proyectos, juegos y actividades de sentido numérico variadas.
No tiene sentido en primer ciclo trabajar la numeración desde un punto de vista formal
(unidades, decenas, centenas…).
10. Que los JUEGOS son un poderoso recurso para construir pensamiento numérico, para
automatizar operaciones, pensar estrategias, pasárselo bien aprendiendo matemáticas, ...
11. Que debemos ORGANIZAR EL TIEMPO de trabajo matemático de forma que todos los
tipos de tareas y actividades tengan cabida: investigaciones, problemas, operaciones,
numeración, cálculo mental, actividades de comprensión.. Y lo debemos hacer con crite-
rios claros.
12. Al principio, y durante bastante tiempo, la mayor parte del horario debe estar dedicado a
actividades que trabajen la comprensión:
• actividades con textos numéricos, investigaciones y proyectos.
• juegos de numeración y operaciones.
• actividades de cálculo mental.
• programas de cálculo global.
• acercamiento a la suma y la resta haciendo que los alumnos desarrollen estrategias
personales de resolución.
• problemas trabajando la comprensión.
• actividades de sentido numérico.
• conversación y diálogo (hablar, hablar,…).
Cómo todavía no hacemos cálculo escrito de práctica de algoritmos, utilizaremos la cal-
culadora si la necesitamos para resolver problemas.
13. Luego, y sin dejar de hacer las actividades anteriores, iremos introduciendo:
• Los algoritmos de suma y resta.
• El taller de cálculo escrito.
• Los problemas trabajando la resolución.
• La generalización de estrategias de sentido numérico, investigaciones, proyectos...
Primero: comprender, pensar, hablar, construir, institucionalizar… Luego: resolver, escri-
bir, aplicar algoritmos…
14. Que el saber matemático no debe ser “explicado-enseñado” sino construido e institucio-
nalizado en el aula, entre todos.
Esto se concreta en hacer buenas preguntas, animarles a que respondan, tener paciencia
pedagógica para que puedan construir las respuestas, y hablar, hablar y hablar con los
alumnos y alumnas. No desaprovechar ninguna ocasión para hacer que discutan, especu-
len, piensen e imaginen; siempre será tiempo ganado para aprender a pensar.

15. Que en el quehacer matemático diario, y sea cual sea la actividad matemática, debemos
respetar las diferentes fases de trabajo y evolución en los aprendizajes matemáticos de los
niños/as:
• Manipulación: con fichas, alubias, garbanzos, números, cartas, dedos… Para poder
construir los conceptos de número, cantidad, suma, resta, añadir uno, contar cantida-
des, comparar y ordenar números, componer y descomponer números..., los niños y
niñas necesitan un buen número de experiencias de manipular y ver objetos, canti-
dades y operaciones (moviendo, agrupando, juntando, separando, contando, ...).
• Simbolización: con cartas, dibujos, representaciones de cantidades, de relaciones entre
los números, de sumas, de restas …. Permiten que los niños, si lo necesitan, puedan
contar los objetos, y “visionar” el problema matemático (cantidad, número, sumas, ...).
• Fase matemática. Los niños y niñas ya han construido los conceptos de número, relacio-
nes entre ellos y operaciones, y no necesitan manipular ni ver físicamente las cantidades.
Ya se “fían” de la idea que tienen de ellos y recurren al cálculo mental y la estimación.
Debemos tener presente que este crecimiento numérico no es un proceso lineal y simétrico,
en el que el niño avanza por igual en todas las capacidades y habilidades matemáticas.
16. Que lo más importante de todo esto es el papel que juegue el profesor en el aula.
El docente es el que diseña situaciones que generan problemas, permite un ambiente espe-
culativo en el aula, organiza el grupo, lo documenta e institucionaliza el saber (apoya y
hace que se oficialice el saber aprendido en el aula, convirtiéndolo en académico). Y esto
sólo se puede hacer si uno cree en ello, si se deja “enamorar y apasionar” por las mate-
máticas. Y si, como ya comentaba en el artículo anterior, vamos dejando a un lado esas
viejas creencias de hay que explicarlo todo, de que “los niños no saben”(2)
,...
2. ALGUNOS ACUERDOS MÍNIMOS EN TORNO
A OPERACIONES Y ESTRATEGIAS
Estos acuerdos mínimos iniciales que se proponen en los centros hacen referencia a dos
aspectos básicos:
2.1. Qué operaciones definimos como cálculo mental automático (sabérselas de memoria al
acabar el ciclo), cuáles las harán los alumnos/as con lápiz y papel (cálculo escrito), y a
partir de cuáles utilizaremos la calculadora para realizar los cálculos. Un ejemplo válido
de acuerdos mínimos de un centro(3)
es el siguiente:
CÁLCULO MENTAL CÁLCULO ESCRITO CALCULADORA
8+8= 200+300= 15+4= 258+365= El resto de sumas
6+4= 100+50= 25+8= en resolución
+ 5+4= 35+10= 25+15= de problemas
6+5= 1000+2000= 134+24=
10+20=
7-7= 15-8= 18-7= 248-56= Las demás restas
10-2= 8000-1000= 35-28= (Ver nota en resolución
- 14-7= 45-10= en la de problemas
45-10= siguiente
350-100= página)
Todas las
x, : operaciones
en rrpp

NOTA: la resta con llevadas es de una elevada complejidad para los alumnos/as de este ciclo
(implica mayor dominio formal del SND, pensamiento reversible,…). Es, desde luego, mucho
más fácil trabajar la multiplicación que la resta con llevadas. Por ello, no sería mala idea atra-
sar todo lo que se pueda su trabajo de manera formal en el aula y continuar al principio del
segundo ciclo.
2.2. Cuáles son las estrategias numéricas (cálculo mental reflexivo) que, de manera intencio-
nada queremos que nuestros alumnos dominen al acabar el ciclo. Un ejemplo, propuesto
y aceptado por el mismo centro, es el siguiente:
• Añadir cero: 4+0= .
• Contar de uno en uno subiendo (1, 2, 3, 4 ... serie), y contar de uno en uno bajando: 10, 9,
8, 7, ...
• Contar de 2 en 2 subiendo ( 2, 4, 6, 8, ...).
• Contar de 5 en 5, contar de 10 en 10, de 100 en 100, de 1000 en 1000.
• Asociar añadir uno y quitar uno: 5+1-1=5. Combinaciones: +1, -1, +2, -2, +10, -10, +100, -100.
• Añadir y quitar el mismo: 5+3= 8 .....8-3= 5.
• Truncar números: 46 = 40 y 6.
• Utilizar las descomposiciones numéricas con números plenos de significado.
48= 40 + 8 , 125 = 100 + 20 + 5.
• Descubrir las sumas que hacen 10: 7+3, 6+4…
• Descubrir un número (hasta el 10, y otros números grandes:100, 1000…) de diversos
modos: 2+3+5=10, 10+40+50= 100, ...
• Realizar sumas con 10, 100, 1.000 10+40= 200+500=.
• Buscar el 10 a la hora de hacer una suma:
7+5 = 7+3 +2= 10+2=12 7+5= 2+5+5= 2+10=12
• Redondear: 43 ≈ 40 102 ≈ 100.
• Trabajar estrategias de aproximación-estimación de resultados. ¿25+53 será mayor o menor
que 100?
• Estrategias de lectura, interpretación y escritura de números.
• Comparar números: 34 y 43.
• Ordenar números: 25, 2, 18, 100, 10.
• Realizar operaciones con calculadora: +, -, x, :
• Calcular dobles de números sencillos.
20+20= 300+300= 25+25=
25+25= 20+20+5+5= 40+10=50
• Dobles más uno, más dos, menos uno y menos dos: 2+2+1= 3+3+2= 4+4-1= ...
• Calcular mitades de números sencillos:
mitad de 10 mitad de 100 mitad de 20
• Trabajar estrategias de multiplicación de algunas tablas.
x 2 = sumar el número consigo mismo.
x 4 = sumar los dobles (el doble del doble).
x 10 = añadir un 0.
x 5 = añadir un 0 y calcular la mitad.

3. LA NUMERACIÓN
3.1. Claves del trabajo de Numeración
Hasta ahora, nos hemos dedicado a enseñar los números y el código del sistema de numera-
ción mediante la descomposición y el agrupamiento de los números (unidades, decenas, cen-
tenas...), explicando analíticamente cómo cada cifra representa a un número diferente. Pero,
desde un punto de vista constructivista, ¿cómo debemos plantear el trabajo en torno a la
numeración?. He aquí algunas claves;
1. Lo primero es pensar que la cuestión no es tanto enseñar números, sino sensibilizar sobre
su significado: para qué sirven, cómo los utilizamos en la vida cotidiana, qué sabemos de
ellos, cómo podemos saber más….
2. El trabajo matemático debe centrarse en comunicarnos utilizando números (jugar, medir-
nos, saber cómo somos, saber cómo es la realidad…), y especular, pensar, hablar con los
demás y aprender compartiendo.
3. El trabajo numérico constructivista debe partir de textos numéricos de la vida cotidiana y
de los proyectos e investigaciones numéricas relacionadas con la utilidad de los números.
4. La conversación y el diálogo entre todos (aprendizaje dialógico), nos permitirá conocer lo
que los niños saben y crecer numéricamente.
5. Debemos tener presente que existen diferentes fases en el aprendizaje de los números:
• EMOCIONAL. Los niños/as distinguen los números pero su valor está en función de
criterios personales (tamaños, gustos, ...). A partir de 3 años.
• APROXIMACIÓN /TANTEO. Empiezan a entender el valor de los números, y se apro-
ximan a su representación de forma literal: el 25 lo pueden representar como 205, y
viceversa, el 205 lo pueden leer como 25. No hay dominio funcional todavía. Al final
de infantil.
• DOMINIO FUNCIONAL. Interpretan el valor de los números y su representación:
dominio de reglas de lectura y escritura. Pero no hay un dominio formal del SND: uni-
dades, decenas, centenas, ... Primer y segundo ciclos de Primaria.
• DOMINIO REAL. Existe un dominio del SND a nivel formal: unidades, decenas, cen-
tenas, ...(ven la inclusión y las relaciones entre unidades). A partir del segundo ciclo
de Primaria.
En el primer ciclo, pues, los niños/as se encuentran respecto a la numeración a mitad de
camino entre una fase de aproximación y una fase de dominio funcional: empiezan a enten-
der el valor de los números y sus manifestaciones numéricas están entre la representación lite-
ral y la lectura y escritura como lo hacemos los adultos. Pero sin entender las complejidades
formales (U-D-C-M-...) del SND. CONCLUSIÓN: es inútil, aunque pongamos mucho empeño,
intentar enseñar formalmente el SND en el primer ciclo; es una pérdida de tiempo trabajar la
numeración con la vieja lección de U-D-C-M…. Resulta paradójico ver como, en general, los
profesores/as comprueban día a día que esto es así, pero siguen trabajando con unidades,
decenas, centenas… porque “como aparecen en los libros de texto…”.
6. Por tanto, todas las experiencias numéricas deben ir encaminadas a afianzar ese dominio
funcional de la numeración, intentando hacer que descubran las primeras y más básicas
reglas de nuestro sistema de numeración, y que sepan decir números, leerlos, compararlos
y ordenarlos.

Esto supone que a lo largo del primer ciclo de Primaria trabajaremos prioritariamente dentro
de esta fase funcional, sin insistir en el trabajo formal en torno a U-D-C-M-... En realidad, la
enseñanza del SND es el último paso a realizar, pues supone la parte analítica y racional del
sistema de numeración (igual que en la lectura y escritura el análisis de fonemas y letras
supone el paso final). Basta con crear SITUACIONES FUNCIONALES DE AULA, en la que los
alumnos/as tengan que intercambiar información y realizar ejercicios de lectura, escritura y
comparación de números grandes (números con cifras).
A partir del segundo ciclo podremos “empezar a” trabajar en el dominio formal del SND (U-
D-C-M-...).
7. Debemos, además, entender que el aprendizaje de los números no se puede hacer paso a
paso en forma de escalera (en este curso hasta el 10, luego hasta el 1000, después del 10
el 11, y luego el 12...), sino en forma de red: lo que se aprende es el lenguaje numérico,
todos los números a la vez pero en diferentes niveles de profundización. Pero en esta red
numérica hay algunos números que son más importantes que otros, porque representan ele-
mentos básicos de conexión y relación entre los números.
8. En este proceso de alfabetización matemática, los elementos fundamentales de esta red
son:
• Tener en cuenta el números de dígitos: a más dígitos más grande.
• Fijarnos en el de delante (jerarquía de cifras).
• El 10 y los “dieces”: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
- Si contamos de 10 en 10 sólo cambia el primer número.
- Que los “veinti…” empiezan por 2: 2_ . Y luego el número que venga. Y que entre
los veintes la única diferencia es el segundo número.
- Que “treinta…” empiezan por 3: 3_ . Y luego …
- ...
• El 100 y los “cienes”: 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900.
- Que los “ciento…” empiezan por 1: 1 _ _ . Y luego dos dígitos más (casos parti-
culares de los que ya conocemos: veintes, treintas...).
- Que los “doscientos…” empiezan por 2: 2 _ _ . Y luego dos dígitos más.
- ...
• El 1000 y los “miles”: 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000 y 9000.
- Que los “mil…” empiezan por 1: 1 _ _ _ . Y luego tres dígitos más. Y que el
siguiente es un “ciento...”, “doscientos...”, ...
- Que los “dosmil…” empiezan por 2 _ _ _ .
- …
• El 10.000, el 100.000, el 1.000.000.
Fijaros que en ningún momento hablamos de unidades, decenas, centenas, millares… , ni de
aprender los números de uno en uno y en forma de escalera. Hablamos de aprendizaje en red.
Y es así como podemos entender que es más importante y anterior en el tiempo el aprendi-
zaje de los 10, 20, 30,..., 100, 200, 200, 300,..., 1.000, 2.000, 3.000, ... (elementos nuclea-
res de la red), que el de los 11, 23, 48, 124, 1.247, ... (casos particulares de los anteriores, y
que resultan de la aplicación de las reglas de numeración y de denominación).

9. Esto implica que debemos plantear una enseñanza de los números teniendo en cuenta los
números pequeños pero también los números grandes, que son los que tienen cifras y nos
obligan a utilizar un código y a especular sobre esas cifras(4)
. Cuando los números son
pequeños no aparece la necesidad de usar las cifras (lo pueden resolver manipulando, por
cálculo mental, ...).
10. A través de estas experiencias numéricas (textos numéricos, proyectos, investigaciones con
y sin calculadora juegos,...), y por medio del diálogo y la conversación entre todos los
miembros del aula, iremos llegando a conclusiones numéricas funcionales (reglas numé-
ricas básicas). Si estas conclusiones las escribimos en la pizarra, en un cartel mural o hace-
mos un cuaderno contando lo que hemos aprendido (“el libro de la clase”), estamos rea-
lizando el proceso de institucionalización del saber aprendido en el aula:
• si hay más números es más grande.
• nos fijamos en el de delante (jerarquía de cifras).
• si tiene dos cifras y dos números tienen iguales la primera, nos fijamos en el segundo
número.
• ... sobre cómo se leen... (lo que se lee y lo que no se lee).
• …
3.2. Actividades de Numeración
Algunas actividades de aula para trabajar la numeración son:
• Utilización de textos numéricos variados.
• Proyectos e investigaciones numéricas.
• Juegos de numeración.
• Otras actividades de numeración.
- Actividades de lectura y escritura de números.
- Actividades de contar.
- Actividades de comparación, ordenación y/o representación de números.
- Actividades de composición y descomposición de números.
3.2.1. Utilización de TEXTOS NUMÉRICOS variados
Definimos como textos numéricos aquellos que comunican información mediante números,
que su mensaje nuclear es numérico:
• folletos publicitarios.
• décimos de loterías.
• tiques de compras y facturas.
• entradas de cine.
• panfletos de rebajas.
• noticias y anuncios de periódicos.
• carteles con números ...
El proceso de trabajo es muy sencillo. Se recopilan diferentes materiales en torno a un tipo de
texto numérico y, a partir de ahí, mediante la conversación y el diálogo (no con “explicacio-
nes clásicas” del maestro), los niños y niñas puedan hablar sobre cuál creen que vale más, por
qué,..., identificar números, comparar, interpretar... y empezar a construir algunas normas
básicas del sistema de numeración.

Un buen ejemplo de lo que comentamos es este ejemplo de actividad adaptado de Myriam
Nemerosky: FOLLETOS PUBLICITARIOS.
1. Recopilar folletos publicitarios. Seleccionar y recortar productos con sus correspondientes
precios. Pegar cada imagen y cada precio en una tarjeta, constituyendo el fichero de pre-
cios:
• Repartir diversos catálogos.
• Preguntas para hablar sobre los catálogos: qué información dan y para qué sirven, quién
y para qué hacen los folletos, qué productos aparecen, qué precios, …
• Cada niño/a elige dos productos, lo recorta con su precio y se hace un fichero con car-
tulina. Delante el producto, detrás el precio.
• Intentar hacer tarjetas de cosas que tengan como precio 2, 3, 4,... dígitos.
2. CLASIFICAR las tarjetas de acuerdo con la cantidad de dígitos de los precios y analizar qué
relación tiene ese dato con la magnitud de los precios: repartir las tarjetas, por qué los pre-
cios son diferentes, qué querrá decir que tengan muchos o pocos dígitos, ..., intentar llegar
a la conclusión de que un precio con más dígitos es más caro y con menos más barato.
3. Intentar ORDENAR las que tienen la misma cantidad de dígitos, encontrar el más caro y el
más barato de cada conjunto y por qué.
4. Opinar acerca de la cantidad de dígitos y precio que suelen tener los precios de ciertos
tipos de productos del fichero: anotar individualmente y buscar las tarjetas correspondien-
tes para compararlos con la ESTIMACIÓN; con las tarjetas de los ficheros jugar a decir los
precios de las cosas, …
5. Decir en voz alta un precio escogido del fichero, dígito a dígito y, cuando ya está apuntado
completo, opinar acerca de cómo se dice ese precio (DENOMINACIÓN).
3.2.2. Realización de PROYECTOS e INVESTIGACIONES numéricas
Es conveniente realizar proyectos e investigaciones de todo tipo, que sirvan para especular y
dotar de significado a los números: números para qué, tamaños, cantidades, grafías....
Debemos dejar que se enfrenten a imaginar lo que puede ser mediante la especulación y la
reflexión compartida. La metodología que se utiliza es la de trabajo por proyectos: plantea-
miento del problema, búsqueda de información, toma de decisiones, realización práctica,
otras actividades asociadas y conclusiones. Algunos ejemplos de pequeños proyectos e inves-
tigaciones numéricas son:
Números para saber cómo somos:
• “¿Cuánto medimos? ¿Cuánto miden las cosas?”
• “¿Cuánto pesamos? ¿Cuánto pesan las cosas?”
• “Edades del grupo familiar”.
• “¿Cuándo he nacido?”
Números que nos dan algo:
• “ Organizamos una rifa”.
• “ Organizamos un bingo”.
Números para comprar:
• “Cuánto valen las cosas” (Catálogos).
• “Hacemos una tienda”.
Números para no equivocarnos: números en las casas, coches, teléfonos, reloj, calendario,
temperatura, tallas de la ropa, mando de la tele... en los cuentos y libros...

• “Vamos a recibir una carta”.
• “Agenda telefónica”.
• “El calendario y los registros: días, semanas, tiempo atmosférico, asistencia...”.
• “Inventario de objetos de la clase”.
Números para jugar:
• “Construimos un parchís, una oca, juegos de cartas...”
Ejemplo esquemático de actividades del proyecto “¿Cuánto medimos?. ¿Cuánto miden las
cosas?”.
1. Inicio de la actividad: conversación. ¿Cómo podríamos hacer para medirnos?
2. Vamos a construir un aparato para medir nuestra altura: diseño, materiales y construcción.
3. Nos medimos.
4. Representamos nuestra altura.
5. Relacionamos alturas.
• ¿Quién es el más alto?, ¿qué número es ?...
• Agrupamientos de niños en función de la altura.
6. Medimos otras partes de nuestro cuerpo:
• Elaboración de cuadros de dobles entradas (partes del cuerpo y medidas).
• Medidas y relaciones curiosas (pie-antebrazo, envergadura-altura, ...).
7. Medimos otros objetos.
Similar al anterior, pero con objetos: lápiz, mesa, pinturilla, ...
8. Trabajo numérico específico.- Con los números que nos han salido, podemos jugar a inten-
tar ver regularidades y a imaginar los números que pueden ser, cómo se pueden decir, por
qué es más grande uno que otro.... Como profesores/as tenemos que tener en cuenta todas
las ideas que aparezcan y sugerir otras.
9. Actividades finales. INSTITUCIONALIZAR las cosas que hemos aprendido, mediante la
elaboración de un “libro de la actividad/proyecto”. En él recogeremos todos los pasos que
hemos dado, los datos recogidos y los saberes numéricos que hemos construido-aprendido.
Tener una cámara digital y fotografiar diferentes aspectos del proceso seguido puede ser
muy interesante, y podemos incluir esas fotos en el libro.
Hacer una actividad de que cada uno rellene su silueta sobre un papel grande de rollo (mural),
dibujándose todas las partes del cuerpo, ropa, colores, altura, nombre….
Esta mismo proyecto se puede repetir al cabo de unos meses, y ver el crecimiento de cada uno, ...
3.2.3. Los Juegos de Numeración
Constituyen una herramienta poderosa para el aprendizaje numérico. La base de datos de los
juegos que utilizamos en los centros incluye adaptaciones de juegos de Constance K. Kamii(5)
,
adaptaciones de juegos clásicos, juegos propios, juegos de calculadora, … Los juegos también
los tenemos clasificados en diferentes categorías:
• juegos de numeración, juegos de automatización, juegos de estrategia.
• juegos de cartas, juegos de tablero, juegos con calculadora.
Además, y para poder jugar, hemos elaborado cartas propias (barajas de 40 cartas del 1 al 10,
del 10 al 100, del 100 al 1000, …), tableros de juego, fichas…

Al jugar pretendemos que los niños/as se emocionen y aprendan divirtiéndose. Para ello, hay
que jugar a ganar, aunque ganar o perder no suponga nada especial; nosotros debemos rela-
tivizar ante los alumnos/as el hecho de ganar o perder (“unas veces se gana y otras se pierde”).
Además, los juegos los utilizamos como herramientas para aprender las reglas numéricas, la
denominación de los números, la comparación entre ellos, ... Por ello, jugamos a los juegos
de numeración desde el principio, cuando todavía “no saben bien” (y no como meras activi-
dades de repetición y asentamiento de lo que “ya saben”). Como profesores, lo que debemos
hacer es enseñarles cómo se juega, estar atentos en ver cómo juegan, resolver sus dudas, par-
ticipar en conversaciones y ayudarles cuando “no saben”.
En lo que se refiere a los juegos de numeración, he aquí algunos de los que más utilizamos:
Memoria de parejas
Baraja de 40 cartas del 1 al 10 (4 de cada), colocadas boca abajo en hileras bien delimitadas.
Dos o más jugadores/as. Por turno, levantan dos cartas tratando que hagan pareja. Si un juga-
dor consigue que la segunda carta coincida con la primera, se queda con la pareja y continúa
jugando. Si no acierta vuelve a poner las dos cartas boca abajo y el turno pasa al siguiente.
El ganador puede determinarse de dos maneras: decidiendo quien ha hecho mas parejas, o
viendo quién suma más puntos en total.
Progresión del juego:
• primero podemos utilizar sólo 20 cartas (dos de cada del 1 al 10), y luego podemos utilizar
30 cartas (15 parejas), y 40 cartas (20 parejas).
• luego utilizaremos las barajas de cartas del 10 al 100, del 100 al 1.000, del 1.000 al 10.000,
con la misma progresión.
• podemos también utilizar la baraja del 11 al 20.
Las variaciones del juego siempre quedan a criterio del profesor y sus alumnos/as.

Las familias o los catetos de números
Una baraja de 40 cartas del 1 al 10. Jugadores: 4-5. Se reparten todas las cartas. El objetivo es
hacer familias de números: 4 “unos”, 4 “doses” … Por turnos, da uno y empieza a jugar el
siguiente, que puede pedir una carta a cualquiera de los otros jugadores. Si la tiene y se la dan,
puede seguir pidiendo más, hasta que le digan que no tienen. El turno pasa al siguiente.
Las familias se dejan delante de cada uno. El juego se acaba cuando se hacen todas las fami-
lias de números. El ganador se puede determinar de dos maneras: el que más familias ha
hecho, o el que más puntos ha obtenido (cada uno cuenta los puntos totales de sus familias
de números; no es la mismo hacer 4 “dieces” que 4 “doses”).
Progresión: jugar con las barajas de cartas del 10 al 100, del 100 al 1.000, del 1.000 al
10.000, del 11 al 20.
Las variaciones del juego siempre quedan a criterio del profesor y sus alumnos/as.
¡A robar!
Baraja de 40 cartas del 1 al 10, y 4-5 jugadores. Se reparten 5 cartas a cada uno y el resto se
dejan boca abajo sobre la mesa. Las parejas que tenga cada uno “de mano” las coloca a su
lado (diciéndolo siempre en voz alta). Siempre hay que tener un mínimo de 4 cartas (si tengo
menos robo del mazo de cartas).Sale el que da, y le pide al que quiera una carta para hacer
una pareja. Si el otro tiene la carta solicitada se la tiene que dar y el primero habrá conseguido
hacer una pareja. Lo dirá en voz alta y colocará boca arriba a su lado la pareja hecha. Si el
segundo no tuviera le dice al primero “a robar”, y entonces deberá coger una carta del mazo
de cartas que hay en medio. Si hace pareja deberá esperar al turno siguiente para decirlo. Por
turno juegan los siguientes. Gana el que haga más parejas.
Variante: LA MONA. Escondiendo una carta y se juega igual. Pierde el que se queda con la
pareja de la mona.
Progresión: jugar con las barajas de cartas del 10 al 90, del 100 al 900, del 1000 al 9000, del
11 al 20.
Tanto en “Memoria de parejas” como en “Las familias” y en ¡A robar!, el trabajo numérico es
de: identificación de números (verbalización), memoria y atención. Por supuesto, son juegos
de menor potencia numérica que el de LA GUERRA, ya que no hay comparación ni es posi-
ble el trabajo de construcción de reglas numéricas. Debemos jugarlos antes que el juego de
“La guerra”.
La guerra
De 2 a 5 jugadores, y con 40 cartas (del 1 al 10 y 4 de cada). Se reparten 20 para cada
uno, y cada uno pone encima de la mesa una carta. Se dice el número y se las lleva el
que ha sacado la carta más alta. Si son iguales se dice “guerra” y cada uno (de los que
han empatado, si son varios jugadores) echa otra nueva carta encima de la mesa; el que
gana se las lleva todas.
Variante: Guerra descubierta. Los niños pueden hacer “trampa”, y mirar sus cartas antes
de echar una. Ahora se convierte en un juego de estrategia.
Progresión: jugar con las barajas de cartas del 10 al 100, del 100 al 1.000, del 1.000 al
10.000, con barajas del “veintes”, treintas…, con barajas del 1 al 50, del 51 al 100, del 1
al 100 (todos), del 1 al 1.000 (elegidos).

Este juego nos sirve para trabajar:
• cómo se dicen los números.
• comparar números de igual o de diferentes cifras.
• empezar a construir reglas numéricas básicas (según el número de cifras, según su
posición, …).
Debemos estar atentos a las discusiones que se produzcan en las parejas o grupos sobre quién
es mayor e intentar institucionalizar el saber (reglas numéricas en este caso). Atendiendo a los
criterios de redes numéricas que hemos establecido, las primeras partidas han de ser con las
barajas del 1 al 10, del 10 al 100 y del 1.000 al 10.000, para construir las primeras reglas
numéricas y de denominación. Luego trabajaríamos con cartas en las que aparezcan dife-
rentes “veintes”, “treintas”, … “cientos”, “doscientos”, …
El número más grande
Baraja de 40 cartas numeradas del 0 al 9 (4 de cada), y 2 a 4 jugadores. Se empieza el juego
con todas las cartas apiladas boca abajo. Cada jugador retira dos cartas y trata de hacer el
mayor número posible (si, por ejemplo, sacas el 2 y el 5, debes decidir cuál es más grande,
25 ó 52 ). La persona que lo consigue se queda con todas las cartas de los demás más las dos
suyas. El juego continúa hasta que se acaban las cartas del montón, y gana el jugador que
acabe con más cartas. Conversación y construcción de reglas numéricas.
Variación: “Hacer el número más pequeño”. Introducirlo después del anterior y a criterio del
profesor.
Progresión: Que cada jugador coja 3 cartas o más.
Adivina mi número
Una persona (puede empezar el/la profesor/a) piensa un número, lo apunta (43), y dice: “es
un número que está entre 0 y 100”; y el resto del grupo trata de adivinarlo. Cuando alguien
dice un número (68), la profesora dice: "es menos, está entre 0 y 68”. Y sigue el turno de decir
números hasta que alguien lo adivina. El jugador que adivina el número es el encargado de
pensar el número para la siguiente ronda. En este juego puede participar toda la clase, un
grupo reducido, o dos personas.
Este juego implica la comparación de muchos números y el conocimiento de reglas numéri-
cas. Se puede acompañar gráficamente con una recta numérica pintada en la pizarra, en la
que iremos colocando los distintos números que se van diciendo. Este juego permite hacer
competiciones por grupos y la búsqueda de estrategias para poder adivinar antes el número.
Progresión: adivinar un número del 1 al 100, pero sólo vale decir números de 10 en 10; adi-
vinar un números del 100 al 1000, pero sólo vale decir números de 100 en 100; adivinar un
número del 1 al 100, pero sólo vale decir números que acaben en 5; adivinar ...
En función de las condiciones que ponemos el trabajo numérico cambia.
Bingo de números
Juego comercializado. Lo mejor es comprar uno y utilizarlo en diferentes fases: sólo con
números del 1 al 20, con números del 1 al 50 y con todos los números.
Los/as niños/as se van turnando en la lectura de números. Se juega en parejas con varios car-
tones. Además de la lectura y reconocimiento de números es muy interesante para hablar
sobre reglas numéricas: los veintes empiezan por 2, los treintas empiezan por 3, ….

La guerra de los barcos
Dos jugadores con dos tableros de números del 1 al 100. Se colocan 4 barcos de un número,
3 de dos, 2 de tres y 1 de cuatro. Por turnos, se dice un número ...Lo demás es bien conocido:
agua, tocado o hundido.
Es un juego de verbalización de números, pero además, a través del tablero, aparecen reglas
numéricas básica: las filas representan los “dieces”, “veintes”, “ treintas”, …; y las columnas
los “unos”, “doses”, …
Al principio, también podemos jugar en un tablero del 1 al 50.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Lectura de números (el falso bingo)
Se juega con el tablero de “LA GUERRA DE LOS BARCOS” y las bolas del bingo (opcional).
El profesor/a o un/a alumno/a van “cantando números”, y los demás van colocando en su
tablero una ficha encima del número que corresponde. Cada vez que juguemos es suficiente
con leer 10-15 números, y luego volver a empezar. No es un juego como tal, pero permite
también buscar estrategias personales, basadas en regularidades numéricas, para encontrar
los números que el profesor “canta”: si es un veinte buscamos en la fila de los veintes, que
son los que empiezan por 2, …
En todos los juegos de numeración, así como en el resto de actividades que veremos a conti-
nuación, un aspecto fundamental es la verbalización: decir la carta en voz alta, expresar la
jugada realizada, “el 800 es más grande que el 400”, “pareja de 50”, “es más pequeño, está
entre 1 y el 50” …
3.2.4. Otras actividades de numeración
Su función es la de complementar el trabajo de textos numéricos, proyectos e investigaciones
numéricas y juegos. Es importante decir que el estilo que debemos adoptar en el aula a la hora
de realizar las actividades que vienen a continuación es el mismo: buscar la investigación, el
hablar sobre números y llegar a conclusiones. Nunca deben ser tomadas como actividades de
“fichas” al estilo tradicional (de uno en uno, sin hablar, deprisa…).
Estamos hablando de actividades de:
1. manipular y contar.
2. lectura y escritura de números.
3. comparación, ordenación y/o representación de números.
4. composición y descomposición de números.

5. otras actividades: estimación, aproximación, compras.
La mayor parte de estas actividades representan modelos y, por tanto, podemos considerarlas
como actividades generativas o de creación. Es decir, actividades que permiten que el profe-
sor plantee una actividad como modelo, se discuta y se hable entre todos (comprensión), y
que luego sean los propios alumnos/as los que tengan que inventar otra u otras (por parejas),
para que las resuelvan sus compañeros. Estas pequeñas actividades de creación son muy
importantes, porque, de un lado, hacen que el protagonismo recaiga en los alumnos, y por
otro, porque en las actividades de “inventar uno mismo” es cuando los alumnos tienen que
poner en juego todo lo que saben y su realización supone el nivel más alto de dominio
que se puede conseguir (ser capaz de crear es “la prueba del nueve del conocimiento”).
Por ello, en la dinámica de clase, es importante que este tipo de actividades no se diseñen
como fichas a rellenar sino como trabajos de creación de actividades matemáticas. Y partir de
ellas, discutir y poner en común todos los elementos y dudas que aparezcan.
1. Actividades de manipular y contar
En la construcción del concepto de número y de las operaciones es muy importante que los
niños/as tengan oportunidad de manipular cantidades con diferentes objetos: garbanzos,
fichas, alubias, ....
• Distintas acciones e interpretaciones para un mismo número (repetir con números del 0 al
9): trae 5 caramelos, anda 5 pasos, dibuja 5 cuadrados, da 5 palmadas, enseña 5 dedos, …;
coge 11 fichas, 11 garbanzos, da 11 pasos, dibuja 11 monedas…
• Contar votos de decisiones que tomemos en clase y decidir qué opción ha ganado.
• Contar los niños del aula o colecciones de cosas: contarlos de izquierda a derecha y al
revés, contarlos de otras formas. Ver si cambia el número (el orden de conteo no cambia el
resultado). Introducir modificaciones (sacar a un niño del grupo, sacar a dos… ) y ver si cam-
bia el resultado.
• Ordenar objetos para contarlos: dar un número de alubias, garbanzos, fichas, … a cada
niño y pedirles que las pongan u ordenen como ellos quieran para poderlas contar bien.
Luego hay que contar, viendo los demás cómo lo ha hecho cada uno y cuáles han sido sus
estrategias de conteo. Es interesante, después de varias pruebas, el animarles a hacer grupos
de 10 para contar (base de nuestro SND).
• Utilización de alubias/garbanzos/fichas y vasos pequeños de café (material real y manipu-
lable) para facilitar el conteo de cantidades más grandes (aproximación a la idea de decena-
“dieces”): cada vez que contamos diez, los metemos en un vasito. De igual manera pode-
mos hacer una aproximación a la idea de centena-“cienes” Hay que huir de explicaciones
y representaciones conceptuales ( 15 = 1 D + 5 U ; 143= 1 C + 4 D + 3 U ). Lo interesante
es que las descomposiciones numéricas que realicen las hagan teniendo en cuenta los
números completos (plenos de significado): 10 = 10 + 5 ; 143 = 100 + 40 + 3.
• Lectura de números: yo digo un número y los demás lo cuentan y representan. Luego ellos
proponen. Cada niño tiene encima de la mesa un montón de alubias, fichas...y hace el con-
teo, agrupando de 10 en 10 (con vasos o sin vasos).
• Contar de 1 en 1 subiendo (luego bajando): del 1 al 10, del 1 al 20, del ...
• Contar haciendo series: de 10 en 10, de 100 en 100, de 1000 en 1000, de 2 en 2, de 5 en 5.
• Contar por aproximación (estrategias): ponemos encima de una mesa un número determi-
nado de objetos y los tapamos. Luego se los enseñamos a los niños durante un par segundos

(que lo puedan ver pero no contar). A continuación les pediremos que nos digan cuántos
creen que había. Hablar sobre ello y luego destapar y contar los objetos.
El número lo podemos ir cambiando en sucesivas actividades: 3, 5, 8, 10, 15, 20,25, 40, 50...
Con números altos (100, 1000) podemos utilizar fotos donde haya mucha gente. Es conve-
niente cambiar el tamaño y la forma de los objetos y también hacer cálculos sobre precios de
cosas (en céntimos o en euros).
• Una actividad muy constructiva y enriquecedora (reglas numéricas, comparación de núme-
ros, sucesiones, ...), es la de que los propios niños/as confeccionen las tablas de los núme-
ros: del 1 al 20, del 1 al 50, del 1 al 100, del 100 al 200, del 200 al 300, ...del 900 al 1.000.
Utilizamos cuadros de doble entrada.
Luego, además, podemos jugar a localizar números en las tablas que hemos elaborado. Yo
digo el 125, y los demás lo buscan en la tabla elaborada (al buscar números en una tabla van
apareciendo las reglas numéricas básicas, que hacen que sea más fácil encontrar enseguida
los números).
2. Lectura (y escritura) de números
• Además de los juegos comentados, es interesante tener en el aula una ruleta o constructor
de números (de las que aparecen en el juego de “Cifras y letras”). Con ella podemos hacer
muchas actividades de lectura y construcción de números, en las que inevitablemente apa-
recerán las reglas del sistema de numeración: construir un número y leerlo, conseguir uno
mayor, conseguir uno menor, ...
0 0 3 2
Es interesante realizar algunas actividades específicas relacionadas con los números 11, 12,
13, 14, 15, que son un poco más difíciles por representar excepciones de denominación
numérica.
• Dictados de números. Se pueden hacer de muchas formas, pero lo importante es que sean
lo más interactivos posibles. Por ejemplo, en grupos de cuatro, cada uno piensa un par de
números que dicta a los demás. Los problemas de escritura que salgan se discuten (reglas,
“todos los veinti... empiezan por 2_, y luego el otro número”, “todos los “ciento ... empie-
zan por 1_ _ , y luego dos números más, ...). Nosotros podemos poner condiciones a los
dictados: “que tengan dos cifras”, “que sean menores de 50”, ... Condiciones que iremos
cambiando según lo que vayan aprendiendo o los aprendizajes a los que queremos que se
enfrenten.
3. Actividades de comparación, ordenación y/o de representación de números
• Actividades con la recta numérica
- ¿Dónde podemos colocar el 6? ¿Y el 2? ¿Y el 3? ¿Qué número es la raya que está antes
del 5? ¿Dónde está el 7? …
0 5 10

- Coloca en la recta numérica los números: 40, 80, 30, 20…
0 50 100
- Coloca en la recta numérica los números: 400, 800, 300, 200…
0 500 1 0 0 0
• Comparar números utilizando mayor, igual o menor (bien con letras o con símbolos >, =, < )
10 menor que 20 100 200
50 40 500 300
30 70 500 700
90 100 400 mayor que 100
30 80 900 800
18 15
12 menor que 21
25 35
42 24
8 80
• Buscar el que va antes y el que va después
Anterior Posterior Anterior Posterior
16 17 18 169 170 171
20 200
29 291
45 455
56 100
• Ordenar números: 50, 10, 20, 100, 80
¿Cuál es el mayor?. ¿Cuál es el más pequeño? Ordénalos de mayor a menor. ¿Cuáles son
menores que 50?.
En este caso deberemos cuidar que al principio haya pocos números para ordenar. Luego,
como serán ellos los que inventen otras actividades, iremos poniendo diferentes condiciones.
• ¿Cuál es mi número? Utiliza las pistas que te doy para identificar el número sospechoso(6)
.
- Pista 1: Soy mayor que 10.
- Pista 2: Y menor que 30. Números sospechosos: 8, 45, 20, 15
- Pista 3: Soy un número impar.
• Número oculto. Un dígito de este número está oculto:
5
- Di qué número es, para que sea el mayor posible.
- Di qué número es, para que sea el menor posible.
- Di qué número es, para que sea un número par.
- Di qué número es, para que se sea casi 50.

4. Actividades de composición y descomposición de números
Este tipo de actividades están más relacionadas con los primeros pasos del aprendizaje de la
suma y la resta, pero no por ello dejan de ser actividades de numeración que pueden ser tra-
bajadas igual que las anteriores.
• Descomponer con los dedos de la(s) mano(s).
- El 5: 4 + 1, 1 + 4, 3 + 2, 2 + 3, 3 + 2, 5 + 0, 0 + 5
- El 10: 5 + 5, 6 + 4 , … Verbalización.
• Descomponer jugando con cartas (5, 6, 7, 8, 9, 10).
• ¡Adivina cuántas he escondido!
Pongo 5, 6, 7, 8, 9, 10 fichas encima de la mesa y escondo algunas con la palma de la
mano. Según las que ves , ¿cuántas he escondido?
• Eliminar números en la pizarra.
- Se escribe una lista de números 2, 5, 6, 1, 7, 3, 8, … y por turno hay que ir eliminando
uno, diciendo lo que le falta para llegar a 10.
- O escribimos 30, 50, 80, 50, 20, 10, y hay que eliminar diciendo lo que le falta a cada
uno para llegar a 100.
- Escribiendo 500, 300, 100, ... se elimina cada uno diciendo lo que falta para llegar a
1.000.
• ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 2 mediante sumas?
Investigación.
¿Y para conseguir el número 3 ?, ¿ y el 4, y el 5, y el 6, y el 7, y el 8, y el 9?.
Una variación muy bonita sobre este tipo de actividad aparece en el proyecto curricular de
“Mare Nostrum” (Ciclo inicial), con el nombre de “La fiesta del 8”: “para celebrar su cumple-
años el 8 ha organizado un baile, pero todos los números tienen que ir con su pareja. Por
supuesto entre los dos tienen que sumar 8. ¿Qué parejas podrán ir a la fiesta?”
• ¿Cuántas formas hay de hacer 10?. Las posibilidades son pocas y las tienen que ensayar todas.
1+9 9+1
2+8 8+2
3+7 7+3
4+6 6+4
5+5
10+0 0+10
Variaciones de esta actividad son las de conseguir el 100, o el 1000 mediante sumas de “die-
ces” y “cienes” respectivamente.
• Descomponer números partiendo del 10, 100,...
15 = 10 + 5 25 = 20 + 5 250 = 200 + 50
18 = 10 + 8 48 = 40 + 8 485 = 400 + 80 + 5
- Luego podemos descomponer números de maneras diferentes:
15 = 10 + 5 = 9 + 6 = …
100 = 50 + 50
85 = 5 + … 125 = 100 + …

- Componer números sumando diferentes unidades de orden
200 + 30 + 1 = 500+8 =
2 + 20 + 100 = 50 + 8 + 300 =
200 + 100 + 50 +30 +5 =
• Relacionar descomposiciones equivalentes
3+3 5+3 15+5 10+2
3+2 6+1 20+20 20+0
4+4 4+1 10+5 12+3
4+3 5+1 6+6 30+10
100+50 150+60
150-10 150
200+10 100+40
80+40 100+20
• Completar igualdades (sólo al final del ciclo)
50 + ___ = 80
200 + ___ = 300
25 + ___ = 40
5. Otras actividades: estimación, aproximación, compras...
• Comparación de expresiones: di sin operar si el resultado de la operación de la izquierda
es MAYOR, MENOR O IGUAL que el resultado de la operación de la derecha. Explica la
razón(7)
.
10 + 30 20 + 50
25 + 80 25 + 90
20 + 20 3 x 20
100 + 125 125 + 100
10 + 5 + 30 30 + 8 + 10
60 - 50 50 - 60
• ¿Cuántas cifras tendrá el resultado?
OPERACIÓN Nº de cifras
10 + 50
120 + 40
80 + 70
100 - 40
12 + 98

• Haz una aproximación del resultado de la operación
OPERACIÓN Resultado aproximado
51 + 51
83 - 49
55 - 36
119 - 41
801 + 98
• Redondea estos números
Redondea a... Resultado
31 Decenas 30
28 Decenas
125 Centenas
89 Centenas
192 Centenas
890 Centenas
118 Decenas
• Decir cualquier cosa que se os ocurra sobre el número 10. ¿y sobre el 100? ¿y sobre el
1.000? ¿y sobre el ...?
El objetivo de esta actividad es hablar sobre lo que saben y sobre lo que no saben. A medida
que hablamos y surgen ideas, pueden aparecer otras preguntas: ¿hay algún 10 en el número
25?, ¿puedes demostrarlos?, ...
• Actividades con compras y dinero (Tienda)
- Tenemos 10 euros (billete y monedas) y objetos con su precio (etiqueta). Cada niño
debe escoger cómo gastarse los 10 euros comprando dos cosas.
- O comprar un solo objeto y que te den el cambio.
- Utilizando monedas de céntimos de euro, buscar todas las formas de conseguir 100
céntimos (1 euro).
- Tenemos 50 céntimos de euro en monedas y queremos comprar cosas que valen algo
más. Calcular el dinero que falta para comprar un objeto y pedírselo al “banco” (pro-
fesor u otro niño).
- Queremos pagar una cantidad que vale un objeto (80 céntimos de euro). ¿De cuántas
maneras podremos hacerlo con monedas?
- ¿A cuántas monedas de 50 céntimos equivale 1 euro? ¿Y un billete de 5 euros? ¿En un
euro cuantas monedas de 20 céntimos?
- …
Continuaremos en el próximo número de la revista. Para un final más cálido me despido con
una cita tomada de un artículo de Jean-Marie Kraemer, del Instituto Nacional de Evaluación
en Educación de Holanda: “Explicar y dar ejemplo es (tanto en la escuela como en casa) nues-
tra manera “natural” de comunicar a los niños lo que no saben o lo que no entienden. Este
modo directivo de instruir no concuerda con la idea que hoy tenemos de los aprendizajes (en
matemáticas). Aprender es entender de lo que se habla, es decir, compartir las ideas y los razo-
namientos que se toman en consideración y se justifican en el seno del grupo. Aprender de
esta forma exige al profesor que favorezca y mantenga un diálogo y una discusión construc-
tiva con el grupo”.

BIBLIOGRAFÍA
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Alcalá, M. (2002): La construcción del lenguaje matemático. Grao. Biblioteca de Uno.
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Kamii, C. K. (1995): Reinventando la aritmética III. Aprendizaje Visor.
Kamii, C. K. (1992) : Reinventando la aritmética II. Aprendizaje Visor.
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López Ruiz, J. (1999): “La voz matemática de los niños”. Aula nº 87.
Parra, C. y otros (1998): Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Paidos.
Profesorado INFANTIL 5 años. Curso 98-99: Els números. CP José Pedros, CP La Murtera.
Infantil 5 años.
Seminario de profesores coordinado por Carlos Gallego (1999): Seminario de números
y operaciones. CPR Menorca.
Torra Bitlloch, M., Batlle Agell I., Serra Santasusana T. (1994): Proyecto curricular
“MARE NOSTRUM”. MEC.
NOTAS
(1) Quiero destacar el trabajo realizado por dos centros: CEP Vista Alegre LHI (Sestao), y CEP Las Viñas LHI (Santurtzi). Y agradecer
al profesorado las ganas de mejorar y de renovar las matemáticas y de su preocupación constante por el aprendizaje de sus alum-
nos y alumnas.
(2) “¿ Por qué no se generaliza una forma de enseñar que aúne el significado global del aula con los conocimientos genuinos de
los niños y de las niñas y con los valores culturales más importantes de la matemática, cuando es tan evidente que ello mejora-
ría notablemente la inclusión de nuestros alumnos en el saber? Carlos Gallego (Aula 103-104) “Incluir el saber”.
(3) CEP Vista Alegre LHI (Sestao).
(4) “Los números pequeños no son la antesala de los grandes”. Carlos Gallego.
(5) El niño reinventa la aritmética 1-2-3.
(6) Tomado de David Barba.
(7) Tomado de David Barba.

Abril 2004 • 2004ko Apirila 35
Actividades para el aula con Derive dirigido
a 4º de la ESO o a 1º de Bachillerato
ACTIVIDADES PARA EL AULA CON DERIVE
DIRIGIDO A 4º DE ESO O 1º DE BACHILLERATO
Alberto Bagazgoitia (*)
INTRODUCCIÓN
Para enmarcar el tema comenzaremos haciendo una breve reflexión sobre el uso de los orde-
nadores en el aula. Desde nuestro punto de vista, la introducción de las Nuevas Tecnologías
en las clases para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas ha iniciado
un camino irreversible. Bien es cierto que, hoy por hoy, su uso real en nuestras aulas es escaso
y que el camino no está exento de dificultades: desde las meramente operativas –escasez de
ordenadores, falta de horas disponibles del aula de informática–, pasando por las de organi-
zación y control del aula –cómo organizar y controlar el aula y el proceso de aprendizaje indi-
vidual de cada alumno–, hasta razones más de fondo que ponen en duda la aportación real
que pueden realizar estos programas informáticos a la mejora de la adquisición de capacida-
des matemáticas.
Antes de seguir adelante hay que decir que estamos hablando únicamente de los llamados
Asistentes Matemáticos: programas que permiten al usuario hacer cálculos de todo tipo, no sólo
cálculo numérico sino también simbólico, permitiendo el trabajo con expresiones algebraicas,
operando, simplificando, derivando, integrando..., haciendo representaciones gráficas en 2 y 3
dimensiones, cálculos en estadística ... Los más conocidos son Derive y Mathematica en el
ámbito del cálculo y representaciones gráficas y Cabri en el de la geometría dinámica.
LOS ASISTENTES MATEMÁTICOS
¿Cómo no plantearnos su integración en el mundo de la educación, cuando intervienen tan de
lleno en los contenidos que habitualmente trabajamos en nuestras clases? ¿Cómo no pregun-
tarnos sobre su utilidad y conveniencia, cuando a la vista está que realizan automáticamente
muchas tareas en las que invertimos horas y horas para que nuestros estudiantes las compren-
dan y las dominen? ¿Nos facilitarán nuestra tarea y la de nuestro alumnado?
Las preguntas surgen de una manera natural. Las respuestas, que dependerán de lo que cada
cuál considere qué es lo fundamental en el aprendizaje de las matemáticas, deberían ser el
resultado de reflexiones y debates en los Seminarios de Matemáticas de los Centros, reflexiones
y debates a los que queremos contribuir con las breves ideas que se exponen a continuación.
Lo primero que hay que tener en cuenta es que estos programas informáticos no han sido dise-
ñados para la educación, sino para realizar cálculos y operaciones de una forma automática y
eficaz, de manera que permitan al usuario dedicar su tiempo a analizar y pensar sobre aque-
llo que sea realmente sustancial en el problema, sin tener que desviar su atención y esfuerzos
en tareas rutinarias de cálculo. Por tanto, la pregunta básica de ¿para qué usarlos? en el mundo
de la educación, en el que el cálculo ha sido y es uno de los pilares fundamentales no es banal,
más bien al contrario, completamente necesaria para, en primer lugar, aclarar los objetivos que
queremos lograr y posteriormente precisar cómo los podremos conseguir.
(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Gasteiz

1. ¿Para qué usar los Asistentes matemáticos?
Para la Resolución de Problemas
La respuesta inmediata es clara: para no perder tiempo en cálculos a la hora de abordar un
problema determinado. Lo importante es el problema, los cálculos una necesidad en el pro-
ceso de resolución. Así pues la aportación de estos programas sería fundamental para aplicar
o usar las matemáticas en la resolución de problemas. En este nivel sería necesario conocer
tanto los conceptos matemáticos necesarios como la herramienta informática a utilizar.
Ahora bien, desde el punto de vista de la enseñanza, el usar o aplicar las matemáticas con-
lleva una serie de aprendizajes previos. Es necesario distinguir el uso de las matemáticas (por
ejemplo, en la resolución de problemas) del aprendizaje de conceptos y procedimientos que
lógicamente será anterior a ese uso. Y no son lo mismo los aprendizajes necesarios para com-
prender o saber reconocer en un contexto concreto la aparición o utilidad de un determinado
concepto, que los necesarios para saber elegir y utilizar de forma eficaz un procedimiento de
cálculo.
Para el aprendizaje de conceptos
Para poder aplicar un concepto es necesario comprenderlo, en el sentido más amplio de la
palabra, que abarca desde conocer su significado hasta saber reconocer en qué situaciones
aparece y qué ventajas puede aportar su uso. Y esto no se consigue la primera vez que el
alumno se acerca al concepto, sino que su significado se va enriqueciendo a medida que lo
reconocemos en diferentes situaciones y, por ello, los profesores debemos invertir tiempo en
este tipo de actividades. Todos tenemos la experiencia de aprendizajes puramente memorísti-
cos, sin verdadera comprensión, que derivan en aplicaciones mecánicas que no tienen gran
valor.
¿Qué pueden aportar estos asistentes matemáticos para la mejor comprensión de los concep-
tos? ¿Qué pueden aportar para facilitar su aprendizaje o su uso?
Como ya hemos indicado anteriormente el objetivo fundamental de estos programas no va en
esta línea, por lo que el mero uso de ellos no nos permitirá avanzar en esta dirección. Será nece-
sario que el profesor valore las posibilidades que ofrecen y que elabore propuestas guiadas de
intervención en el aula, especialmente diseñadas para conseguir sus objetivos. (En Internet
podemos encontrar algunos de estos programas que, utilizando la capacidad interactiva del
ordenador y las posibilidades gráficas, facilitan la comprensión de determinados conceptos).
Aprendizaje de procedimientos de cálculo
En el caso de los procedimientos de cálculo además de dominar el proceso a seguir es nece-
sario conocer en qué situaciones se puede aplicar y saber interpretar sus resultados. Lo que
los programas de ordenador, a primera vista, nos ofrecen es la facilidad y rapidez de cálculo
y ante este hecho es inevitable plantearnos la pregunta de hasta dónde tenemos que emplear
nosotros el tiempo trabajando esas técnicas de cálculo y hasta dónde podemos dejarlas en
manos de la máquina.
Pero la pregunta básica sería: ¿Qué debemos enseñar en lo que respecta a los procedimien-
tos habituales de cálculo? Está claro que para reconocer cuándo hay que aplicarlo y para saber
interpretar los resultados no contamos con la ayuda del ordenador. Por lo tanto estos aspectos
deberemos continuar trabajándolos igual o más que antes y es en el proceso del cálculo mecá-
nico donde interviene el ordenador. ¿Qué perseguimos cuando enseñamos un procedimiento
de cálculo y pedimos a los alumnos que logren una automatización importante? Esta es la
reflexión que deberíamos hacer.
SIGMA Nº 24 • zk. 24 SIGMA36
Alberto Bagazgoitia

La introducción de estos asistentes matemáticos en el aula nos hará reflexionar sobre los pro-
pios objetivos del aprendizaje del cálculo y de los algoritmos. No va a suponer una ayuda en
su proceso de enseñanza-aprendizaje, sino que nos hará repensar el para qué y el dónde
debemos colocar los mínimos necesarios.
Estas preguntas son las mismas que hace ya unos cuantos años nos plantearon la aparición de
las calculadoras. La discusión de entonces relativa a las operaciones numéricas se traslada hoy
al campo de las operaciones algebraicas. Y las respuestas de hoy son del mismo tipo que las
obtenidas entonces. Éstas son algunas de las razones justificativas dadas para trabajar los dife-
rentes algoritmos de cálculo (cada uno podrá priorizar las que considere más importantes
dependiendo del algoritmo concreto):
• Es el único o el mejor y más eficaz método que nos permite encontrar la solución.
• Es elemental y básico, porque en él se basan otros métodos posteriores.
• Desarrolla la fluidez, dominio y soltura en el cálculo, lo que permitirá a los alumnos usar
con confianza no sólo éste sino también otros métodos similares.
• El propio proceso seguido, más allá de los cálculos, es útil para aplicarlo también en otras
situaciones, o para facilitar la comprensión de algún concepto asociado.
• ......
A la vista de estas razones, es evidente la necesidad de un replanteamiento: y es que la pri-
mera de ellas, si en un momento determinado fue válida, está claro que hoy en día no lo es y
respecto a las otras tres, teniendo en cuenta que se basan en la contribución del procedi-
miento a otros logros más globales, deberíamos valorar en su justa medida la importancia de
esa aportación. En definitiva, que la enseñanza de los algoritmos en el momento actual exige
revisar las razones por las que los hemos enseñado y los seguimos enseñando: determinar la
necesidad del algoritmo y el grado o nivel de dominio que consideramos imprescindible: cuál
es el mínimo conveniente y exigible y a partir de que nivel se puede dejar a las calculadoras
o programas informáticos.
2. Razones a favor y peligros o desventajas de introducirlos asistentes matemáticos
en la enseñanza
A favor:
Las razones más comunes que se aducen para impulsar el uso de estos programas son las
siguientes:
1. Realizan los cálculos rutinarios, liberando tiempo para poder plantear situaciones rea-
les y dedicarlo a otras actividades de nivel superior: análisis de la situación, interpre-
tación de resultados,...
2. Permiten experimentar, variar parámetros y observar resultados.
3. La visualización gráfica permite una mejor comprensión de algunos conceptos.
4. Los alumnos con dificultades en los procesos de cálculo pueden avanzar en el apren-
dizaje, sin que estas dificultades supongan una barrera infranqueable.
5. Permiten un trabajo más autónomo, tanto individual como en equipo.

Peligros:
1. Pérdida de destrezas básicas de cálculo, y dependencia de la máquina.
2. Percepción de la matemática como algo mágico, caja negra sobre la que no tenemos
control.
3. Confianza total en la máquina que nos lleva a la pérdida del sentido crítico.
4. Todos los programas necesitan un aprendizaje y el tiempo que hay que dedicar a ese
aprendizaje no compensa los posibles beneficios que se podrían obtener.
5. Aunque sea una razón externa y coyuntural, las condiciones en las que se realiza el
examen de Selectividad sirven para reforzar la idea de que no son útiles ni necesarios
tales programas.
Hagamos un breve comentario sobre alguno de estos puntos.
El primer punto a favor, el más evidente, es muy sugerente, pues nos permite sustituir el tiempo
dedicado a los cálculos rutinarios por otras actividades. (Es además la aplicación natural de
estos programas, porque están diseñados para eso). Y la mayoría de los profesores reconoce-
mos que la comprensión y el reconocer en situaciones diferentes los conceptos básicos del
cálculo dejan mucho que desear. ¿Se puede recortar el tiempo dedicado a adquirir destreza
en los cálculos algebraicos o, como opinan algunos profesores, ya hemos llegado al mínimo?
Está claro que la clave está en la medida: dónde colocamos el mínimo necesario. En este sen-
tido, en el de clarificar y justificar los ejercicios planteados deben avanzar nuestras reflexio-
nes. ¿Cuál es el sentido de los ejercicios que hacemos trabajar a nuestros alumnos? Los cál-
culos que realizan “a mano” son fundamentales para adquirir las mínimas destrezas necesa-
rias, o ¿se pueden sustituir por la máquina? ¿Realizamos actividades de aplicación, en las que
la actividad fundamental que debe desarrollar el alumno no es la de calcular, sino en las
que el cálculo es el instrumento que nos facilita el análisis y comprensión de la situación?
Por otra parte, lo mismo que hemos dicho para el cálculo algebraico es válido para las repre-
sentaciones gráficas donde las ventajas que nos ofrece el ordenador son innegables. La posi-
bilidad de que los estudiantes, haciendo variar parámetros en las gráficas, observen los efec-
tos producidos les convierte en investigadores que pueden obtener sus propias conclusiones
fomentándose de esta forma un aprendizaje más autónomo.
Por último, deberíamos preguntarnos si los alumnos que tienen más dificultades en el cálculo
no deberían ser precisamente los primeros y mayores usuarios de este tipo de programas que
les pueden permitir pasar a trabajar actividades más creativas –plantear, diseñar, analizar o
interpretar–, al saber que disponen de un medio que les resuelve las dificultades técnicas. Si
una persona no domina una determinada técnica (léase cálculo algebraico) difícilmente al
abordar un problema lo planteará en términos algebraicos, pues sabe que por esa vía no lle-
gará a ningún sitio, sin embargo si dispone de un programa informático que le solucione ese
aspecto, podrá hacerlo, y si es capaz de hacer un planteamiento adecuado y una interpreta-
ción correcta de los resultados será capaz de resolver el problema.
Hasta aquí los aspectos positivos, que como ya he dicho, nos exigen una reflexión sobre nues-
tra enseñanza.
Y entre las dificultades que conlleva el uso de estos programas comentaré solamente el pro-
blema del tiempo de aprendizaje que exigen, antes de poder sacarle ningún provecho. No es
Alberto Bagazgoitia

un problema banal, sino que yo diría que es uno de los fundamentales. El tiempo, la escasez
de tiempo dedicada al estudio de las matemáticas en toda la Educación Secundaria es uno de
los grandes problemas con el que nos encontramos los profesores. Si a ello, como decía, le
tenemos que quitar las horas de aprendizaje del uso de la propia herramienta de trabajo, es
posible que no se vea tan claro las ventajas que nos puede aportar su uso. Por tanto la facili-
dad en el uso de los programas es una característica muy a tener en cuenta y en este sentido
hay que decir, que el programa Derive satisface plenamente las exigencias que se pueden
hacer en esta línea.
Pero no tenemos que olvidarnos de cuál es la verdadera finalidad: hay que tener en cuenta
que el objetivo no es conocer todas las posibilidades que nos ofrecen los programas, pues
como ya ha quedado dicho no están pensados para el mundo de la educación, sino seleccio-
nar aquello que nos pueda ser útil para nuestros objetivos educativos.
3. Resumiendo
En nuestra opinión, los beneficios que se pueden obtener con el uso de un asistente matemá-
tico superan los peligros y en concreto para la Educación Secundaria vemos muy conveniente
el uso del programa Derive. Deberíamos revisar los objetivos de nuestra enseñanza planteán-
donos ir más allá de las meras destrezas de cálculo: buscar pautas en el comportamiento de
objetos, realizar conjeturas, comprobarlas o refutarlas (demostraciones y contraejemplos),
modelizar situaciones reales, resolución de problemas,... No hay duda de que al modificar
nuestros objetivos deberemos replantearnos también nuestro modo de evaluación. Hay
muchos ejercicios que perderán su sentido dentro de los nuevos planteamientos.
Al plantear una Propuesta para la introducción del ordenador creo que habría que distinguir
dos fases, dependiendo de los objetivos fijados:
1ª Fase: Cuando el objetivo de la enseñanza es la comprensión de los conceptos y el
dominio mínimo de las destrezas básicas.
En esta fase se utilizaría el ordenador sólo en lo que puede ayudar para facilitar la com-
prensión (capacidades gráficas, interactividad,...), incluyendo la posibilidad de usarlo
como herramienta de cálculo para aquellas operaciones previamente dominadas.
2ª Fase: Cuando el objetivo es la resolución de problemas en los que intervienen los con-
ceptos y procedimientos previamente trabajados.
Ésta es la fase de aplicación y uso en la que hay que conocer y trabajar la potencia de
cálculo del programa.
Pero más allá de las necesarias reflexiones teóricas, a menudo se echa en falta la propuesta
concreta de actividades que desarrollen y lleven a la práctica los deseables objetivos más
arriba enunciados. Y como el movimiento se demuestra andando, se presenta a continuación
la actividad titulada VENTA DE CAMISETAS, cuya idea original está tomada de la revista
Mathematics Teachers, en la que se plantea una situación que se resuelve con la ayuda del
programa Derive.
Si los alumnos ya conociesen el programa lo utilizarían como un asistente para analizar y
resolver las distintas situaciones y si no, se podría utilizar la actividad como recurso para ir
introduciendo las diferentes órdenes y posibilidades que nos ofrece Derive.

VENTA DE CAMISETAS
Los alumnos del Instituto tiene previsto organizar un viaje de fin de curso, para lo cual orga-
nizarán diversas actividades con el fin de obtener dinero para financiarlo.
Tú formas parte de la comisión que se encargará de la venta de camisetas conmemorativas.
Habéis contactado con la fábrica que os surtirá de camisetas para conocer su lista de precios
y después queréis fijar el precio de venta de cada camiseta de forma que el beneficio logrado
sea máximo.
La fábrica nos ha enviado la siguiente lista de precios, dependiendo del número de camisetas
que se le compren:
Nº de Camisetas Coste total
100 500 €
250 1.200 €
500 2.000 €
750 2.800 €
1.000 3.500 €
1.500 4.900 €
2.000 6.000 €
1. Primeros pasos: un sondeo
Para saber el número de camisetas que podréis vender a un determinado precio decidís hacer
un sondeo entre los compañeros del instituto. (Supongamos que los únicos posibles compra-
dores de camisetas son los alumnos del instituto, aunque cada uno podría comprar más de
una para otros amigos, hermanos, etc.) Para modelizar cualquier problema real hay que reali-
zar hipótesis que simplifiquen y hagan posible su tratamiento matemático: el que las hipóte-
sis sean adecuadas es el primer paso y un paso esencial para que los resultados del modelo
matemático se ajusten a la realidad.
En el sondeo realizado a 30 compañeros has obtenido los siguientes resultados:
Precio de cada camiseta Nº de camisetas que se venderían
4 € 74
6 € 52
8 € 34
10 € 21
12 € 10
Teniendo en cuenta que en el Instituto hay 600 alumnos y aplicando la proporción corres-
pondiente se puede obtener el número total de camisetas que se prevén vender en función del
precio de venta:
Alberto Bagazgoitia

Precio de cada
Nº de camisetas
camiseta
que se venderían
en el Centro
4 € 1.480
6 € 1.040
8 € 680
10 € 420
12 € 200
A partir de estos datos, utilizando el programa DERIVE, podemos obtener una representación
gráfica de estos puntos y una función que se ajuste a estos datos.
Mediante la instrucción Fit([x,ax+b], L) se obtiene la recta de mejor ajuste a los puntos de la
lista L: y = 2036 – 159 x

El problema de ajustar una función a una serie de datos ya no es un problema técnico:
mediante el ordenador podemos ajustar, de la misma forma que hemos ajustado una función
lineal, cualquier otro tipo de función: cuadrática, polinómica de grado superior, exponencial,
logarítmica, o trigonométrica. Las claves sobre las que hay que reflexionar pasan de ser los
cálculos y algoritmos a una comprensión más profunda del problema: ¿por qué hemos elegido
una función lineal como función de ajuste?, ¿cuáles son las características básicas de la situa-
ción que hace que la función elegida sea adecuada o no?
Se podrá hacer ver a los alumnos que la ley de la oferta y demanda se modeliza mediante
una función lineal y deberían ser capaces de interpretar el significado de la ecuación obte-
nida: y = 2036 – 159x y ver si es razonable o no.
La ecuación nos dice que por cada euro que aumentemos el precio de las camisetas vendere-
mos 159 camisetas menos, lo que puede ser razonable, y que al precio de 0 euros venderíamos
2036.
2. Cálculo de los Ingresos en función del Precio
Una vez calculada la función NumVent(x) = 2036 – 159x que nos da el número de camise-
tas que esperamos vender en función del precio, el obtener los ingresos previstos es inmediato:
bastará multiplicar el precio por el nº de camisetas vendidas:
Ingr(x) = x (2036-159x) = -159x2
+ 2036x
Otra forma de calcular la relación entre precio e ingresos sería a partir de la tabla inicial, aña-
diendo una tercera columna con los ingresos previstos:
Precio de cada
Nº de camisetas
Ingresos previstos:
camiseta
que se venderían
Precio x Nº cam.en el Centro
4 € 1.480 5.920 €
6 € 1.040 6.240 €
8 € 680 5.440 €
10 € 420 4.200 €
12 € 200 2.400 €
Se trataría de ajustar una nueva función a los valores de la primera y tercera columnas, que
me diese los ingresos en función del precio. De manera análoga a lo realizado en el caso ante-
rior, utilizando el programa DERIVE se puede obtener la función de ajuste. El problema será
determinar qué tipo de función hay que ajustar en este caso. Representando gráficamente los
puntos se ve que una función lineal no es adecuada, y mediante un pequeño análisis como el
realizado para obtener la ecuación anterior se comprende que una función de segundo grado
puede ser adecuada.
Alberto Bagazgoitia

En la columna de la derecha de la figura, se pueden observar las instrucciones utilizadas en
Derive para construir la columna de ingresos sin necesidad de teclearla directamente. La línea
#5 (Ingr:= VECTOR (ELEMENT (Prec_numventa,k,1)* ELEMENT (Prec_numventa,k,2), k, DIM
(Prec_numventa))`multiplica las dos columnas de la matriz Prec_numventa que contenía los
datos iniciales y su resultado se da en #6.
Después mediante #7 se define la nueva matriz Prec_Ingr a partir de la Prec_numventa en la
que se sustituye la 2ª columna por Ingr.
#7: (Prec_Ingr: = REPLACE (#6, Prec_Numventa`, 2)`
Ajustemos por tanto una función de segundo grado a estos puntos:
La función obtenida (con una precisión de 2 decimales) sería:
Ingr2(x):= -83,57 x2
+883,14 x + 3792
Como se ve es una función bastante diferente de la que habíamos calculado inicialmente
Ingr(x) = -159x2
+ 2036x
Tenemos dos funciones distintas para modelizar la misma situación. Dan valores cercanos
pero no iguales ¿Hay alguna razón para preferir una a la otra?

Representando en la misma gráfica las dos funciones:
¿Cuál es el significado del punto de corte con el eje Y? Obviamente representa los ingresos
previstos cuando el precio de venta de las camisetas es de 0 euros. Teniendo en cuenta este
dato parece más realista la función Ingr(x) –que pasa por (0,0)– que la función Ingr2(x) que
nos daría unos ingresos de 3.792 euros para el precio de 0 euros.
Tomaremos por tanto a partir de ahora como función ingresos la dada por :
Ingr(x) = -159x2
+ 2036x
3. ¿Para qué precio se obtendrán los Ingresos Máximos?
Dependiendo de los conocimientos de los alumnos el problema se puede abordar utilizando
la opción Traza del programa Derive que nos permite desplazarnos sobre la gráfica de la fun-
ción y obtener simultáneamente las coordenadas del punto sobre el que estamos.
Como se puede ver en la figura
adjunta al valor de x = 6,33 le corres-
ponderían unos ingresos de 6.517
euros. Desplazando el cursor sobre la
gráfica se pueden obtener los siguien-
tes resultados:
x Ingr(x)
6,22 6.512,59
6,33 6.517
6,37 6.517,60
6,44 6.517,48
2,59 6.516,77
Alberto Bagazgoitia

El estudio de esta tabla nos indicaría que el máximo se alcanzaría entre 6,33 y 6,44.
Con la opción de zoom de la ventana gráfica, o mediante el cálculo de valores entre 6,33 y
6,44 se puede aproximar todavía más el resultado. (La orden Table nos permite construir una
tabla de valores de la función Ingr(x)).
Como se puede ver la Tabla nos sitúa el máximo para un precio x = 6’4 euros, valor para el
cual se obtendrían unos ingresos de 6.517,76 euros.
Caso de que el alumno conociese las técnicas de derivación, el problema no tiene mayor difi-
cultad:
Se puede obtener la derivada de la función y resol-
ver la ecuación igualada a 0 que nos daría el valor
para el cual se obtiene el máximo:
x = 6,40
4. Obtención de los Beneficios Máximos
(Teniendo en cuenta los precios de coste de las camisetas)
En el apartado anterior hemos obtenido los ingresos máximos según el precio de venta, pero
lo que de verdad nos interesa es el beneficio máximo que podemos obtener después de des-
contar a los ingresos obtenidos los gastos realizados al comprar las camisetas.
Retomando los precios de coste de las camisetas:
Nº de Camisetas Coste total
100 500 €
250 1.200 €
500 2.000 €
750 2.800 €
1.000 3.500 €
1.500 4.900 €
2.000 6.000 €

Trataremos de encontrar una función que se ajuste a estos valores:
Haciendo como en el caso inicial el ajuste lineal de la tabla Precio_Camis obtenemos la recta:
Coste(x) = 2,87 x + 486,01 que nos da el coste en función del número de camisetas compra-
das y que nos sugiere un coste inicial de 486,01 euros y un incremento en el coste de 2,87
euros por cada camiseta producida.
Recordando que el número de camisetas x que se prevé vender era función del precio p de venta
según la función: x = 2.036 – 159 p, se puede obtener el coste de las camisetas en función del
precio de venta: (Los alumnos verán así una aplicación de la composición de funciones).
Operando con el programa Derive:
Que nos da para la función Coste_Prec (p) (Coste de las camisetas en función del precio p de
venta) el valor:
Coste_Prec(p) = 6.326,29 – 456,09 p
Esta función nos indica que por cada euro que se aumente el precio, el costo total disminuirá
en 456,09 euros.
Alberto Bagazgoitia

Por último para obtener el Beneficio en función del precio de venta bastará definir la función:
Beneficio(p) := Ingr(p) – Coste_Prec(p)
Después de los cálculo se tiene:
Beneficio(p) = -159 p2
+ 2.492,09 p – 6.326,28
Cuyo máximo se puede obtener bien mediante la Opción Traza, bien construyendo una tabla
de valores o bien mediante el cálculo de la derivada.
Como se ve en la figura anterior el máximo estará próximo a 7,8, y construyendo la tabla para
valores cercanos a éste:
Esta tabla nos sitúa el máximo entre 7,6 y 8. Si queremos mejorar la precisión construimos otra
tabla entre 7,6 y 8 con un incremento menor, por ej: de 0,05:

Alberto Bagazgoitia
Que sitúa el Máximo en torno a 7,85 euros, valor para el cuál se obtendrían unos beneficios
de 3.438,66 euros.
Por otra parte, si utilizásemos la derivada para obtener el máximo:
que nos da el máximo en p = 7,84 euros y unos beneficios máximos de 3.438,69 euros.
Hasta aquí el tratamiento teórico del problema: Recopilando lo realizado, tenemos:
Función Valor en x = 7,85
Precio fijado x 7,85 €
Nº camisetas que se venderían Numvent(x) 787,85 camisetas
Ingresos que se obtendrían Ingr(x) 6.184,62 €
Coste de las camisetas Coste_Prec(x) 2.745,96 €
Beneficios Beneficio(x) 3.438,66 €
5. Vuelta a la situación real
Una vez obtenidos los resultados que nuestro modelo matemático de la situación nos ha dado
debemos volver a contrastarlos con la situación real.
Supongamos ahora que la empresa a la que le compramos las camisetas sólo vende las canti-
dades exactas que nos ofertó en su lista de precios, y por tanto no podemos comprar 787,85
camisetas. Debemos comprar 750 o 1000.

Si compramos 750 camisetas el gasto era de 2.800 euros y mientras que si compramos 1.000
camisetas el gasto era de 3.500 euros.
A la vista del resultado obtenido parece más lógico inclinarse por comprar 750 camisetas y tal
vez aumentar un poco el precio pero ¿podemos precisar más?
Definimos ahora una nueva función Costereal(n), según la tabla de valores de la página 1, que
me daba el coste de las camisetas en función del número de camisetas compradas.
Nº de Camisetas Coste total Costereal(n)
100 500 500 1 ≤ n ≤ 100
250 1.200 1.200 101 ≤ n ≤ 250
500 2.000 2.000 251 ≤ n ≤ 500
750 2.800 Costereal(n): 2.800 501 ≤ n ≤ 750
1.000 3.500 3.500 751 ≤ n ≤ 1.000
1.500 4.900 4.900 1.001 ≤ n ≤ 1.500
2.000 6.000 6.000 1.501 ≤ n ≤ 2.000
Esta función es una función a trozos que se puede definir en Derive mediante la función CHI.
En Derive, la función CHI(1,n,100,1,1) da el valor 1 si 1≤n≤100 y 0 en caso contrario, así la
función Costereal(n) puede escribirse:
Costereal(n) = 500.chi(1,n,100,1,1) + 1200.chi(101,n,250,1,1) + 2000.chi(251,n,500,1,1)
+ 2800.chi(501,n,750,1,1) + 3500.chi(751,n,1000,1,1) + 4900.chi(1001,n,1500,1,1)
+ 6000.chi(1501,n,2000,1,1).
Siguiendo los mismos pasos que en el apartado 4, podemos obtener:
Costereal_prec(p):= Costereal(Numvent(p)) que da el coste en función del precio establecido,
y por último:
Benefreal1(p):= Ingr(p) – Costereal_Prec(p)
Nos daría los beneficios previstos.

Hay que hacer notar que esta gráfica sólo tiene sentido para valores de p entre 0,23 y 12,79
que son los límites para los que Numvent(p) está en el dominio de Costereal.
Como se ve en la gráfica esta función alcanza el máximo aproximadamente en 8,10. (Se nos
ofrece una buena oportunidad para hablar de máximos y mínimos cuando el dominio es
cerrado y acotado, donde hay que tener siempre bien presentes los extremos).
Obteniendo algunos valores próximos a éste :
Benefreal1 (8.10) = 3.259,61
Benefreal1 (8.09) = 3.364,99
Benefreal1 (8.08) = 2.570,34 , valor para el cual se observa en la gráfica, que ya hemos pasado
a la rama anterior.
Por tanto el máximo para los beneficios se logrará en torno a 8.09 euros.
Y el resumen de la información obtenida :
Función Valor en x = 8,09
Precio fijado x 8,09 €
Nº camisetas que se venderían Numvent(x) 749,69 camisetas
Ingresos que se obtendrían Ingr(x) 6.064,99 €
Coste de las camisetas Coste_Prec(x) 2.800 €
Beneficios Beneficio(x) 3.264,99 €
Es decir debemos comprar 750 camisetas y venderlas a un precio de 8,10 euros.
BIBLIOGRAFÍA
García A. y otros. “Nuevas Tecnologías y Enseñanza de las Matemáticas”. Editorial
SINTESIS.
“MATHEMATICS TEACHER”.
Alberto Bagazgoitia

Enseñar ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL en ESO y Bachillerato
ENSEÑAR ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL EN ESO
Y BACHILLERATO
Abel Martín - Rosana Álvarez García (*)
Como ya hemos señalado en un artículo anterior, "la enseñanza de la Estadística ha de cam-
biar inevitablemente su metodología y sus objetivos con la aparición de las máquinas de cal-
cular", tanto a nivel científico como gráfico, tal y como se está haciendo en todos los países
"desarrollados".
El objetivo fundamental no debe de circunscribirse a la realización de largos y tediosos cálcu-
los matemáticos, dejando para el final, como anécdota, lo realmente importante:
¡¡ TRATAR DATOS, BUSCAR CONCLUSIONES, TOMAR
DECISIONES...y, en definitiva, PENSAR!!,
La estadística está adquiriendo en la sociedad un papel
preponderante, cada día más presente en los diferentes
planes de estudios, desde la enseñanza Primaria hasta la
Secundaria y, sobre todo, en la Universitaria de todos los
países, con el inconveniente de que la investigación para
apoyar su didáctica está avanzando de forma muy lenta.
CONTENIDOS
No vamos a enumerarlos pues son de todos conocidos, basta con mirar cualquier libro de
texto. Donde nos vamos a detener un poco es en los dos apartados siguientes: objetivos y
metodología, sugiriendo modificaciones y propuestas de nuevos enfoques.
OBJETIVOS
• Reconocer una variable estadística bidimensional.
• Distinguir entre dependencia funcional y dependencia estadística de variables.
• Saber representar una distribución bidimensional mediante una nube de puntos.
• Interpretar la correlación como una medida de relación lineal existente entre dos variables.
• Reconocer las rectas de regresión como mejor ajuste a una nube de puntos.
• Calcular la ecuación de las rectas de regresión entre dos variables.
• Realizar predicciones a partir de una recta de regresión cuando sea factible.
(*) Profesor de Matemáticas del IES Pérez de Ayala (Oviedo - Asturias).
Profesora de Tecnología del IES Santa Bárbara (La Felguera - Asturias).
Colaboradores del Departamento Didáctico de CASIO.

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