Regla de Cramer y su influencia en las ciencias

UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI
INSTITUTO DE CIENCIA BÁSICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y
ESTADÍSTICA
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN DE
MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA:
EL MÉTODO DE LA REGLA DE CRAMER Y SU
INFLUENCIA EN EL CAMPO DE LA CIENCIA
ELABORADO POR:
 EVELYN LOPEZ GUERRERO.
 ERICK PAUL ALAVA CARRANZA.
 ANDRÉS DAVID QUINTANA MACIAS.
 KELVIN RONEY VELEZ RODRIGUEZ.
 SHIRLEY ALEXANDRA MURILLO CABRERA.
 DIEGO ANDRES MACIAS GARCIA.
 MICHAEL NABOR NAVIA DOUMET.
CURSO:
5TO “A”
DOCENTE:
ING. LETTY ANNABELLE MENDOZA GARCÍA
PERIODO:
MAYO-SEPTIEMBRE 2015

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
MISIÓN: Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas,
éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo nacional, que
contribuyan a la solución de los problemas del país como universidad de docencia
con investigación, capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la
promoción y difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la
República del Ecuador.
VISIÓN: Ser institución universitaria, líder y referente de la educación superior en el
Ecuador, promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la
técnica y la cultura, con reconocimiento social y proyección regional y mundial.

FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
MISIÓN: Formar profesionales investigadores en el campo de las Ciencias
Informáticas, al servicio de la sociedad, que aporten con soluciones innovadoras al
desarrollo tecnológico del país.
VISIÓN: Ser una facultad líder que con integridad, transparencia y equidad forme
profesionales capaces de desarrollar soluciones informáticas innovadoras,
generadores de conocimientos e investigación permanente.
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTICOS
MISIÓN: Formar Ingenieros en Sistemas Informáticos de excelencia para servir a la
sociedad con eficiencia y transparencia contribuyendo al buen vivir
VISIÓN: Ser líderes en la formación de Ingenieros en Sistemas Informáticos que
contribuyan al buen vivir.

ÍNDICE
Contenido
CAPITULO I
1. El problema ..................................................................................................................... 7
1.1 Contextualización del problema ................................................................................... 7
1.2 Delimitación del problema......................................................................................... 8
1.3 Formulación científica del problema........................................................................ 8
1.4 Justificación..................................................................................................................... 8
1.5 Objetivos ........................................................................................................................... 9
1.5.1 Objetivo general........................................................................................................ 9
1.5.2 Objetivos específicos............................................................................................... 9
2 Marco teórico......................................................................................................................... 11
2.1 Fundamentacion Teorica.............................................................................................. 11
2.1.1 Metodo de la Regla de Cramer. ........................................................................... 11
2.1.1.1 Teoria.................................................................................................................. 11
2.1.1.2 Regla de Cramer............................................................................................... 11
2.1.2 Campos de la Ciencia............................................... ¡Error! Marcador no definido.
2.1.2.1 Ciencia................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
2.1.1.2 Clasificacion de las Ciencias ............................. ¡Error! Marcador no definido.
2.1.3 Relacion entre el Metodo de la Regla de Cramer en el Campo de las
Ciencias.............................................................................................................................. 18
2.1.3.1 Reflexion Grupal ............................................................................................... 18
2.1.3.2 Teoria..................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
2.1.4 Ejercicios Grupales................................................. ¡Error! Marcador no definido.
2.2 Identificcion de las Variables ....................................................................................... 34
2.2.1 Variable Independiente.......................................................................................... 34
2.2.2 Variable Dependiente............................................................................................. 34
2.3 Hipotesis.......................................................................................................................... 34
2.3.1 Hipotesis General ................................................................................................... 34
2.3.2 Hipotesis Especifica ............................................................................................... 34
3 Metodologia............................................................................................................................ 36

3.1 Modalidad Basica de la Investigacion ........................................................................ 36
3.2 Nivel o Tipo de Investigacion....................................................................................... 36
3.3 Operacionalizacion de Variables................................................................................. 36
3.4 Tecnicas.......................................................................................................................... 36
4 Analisis e Interpretacion de Resultados............................................................................ 38
4.1 Cumplimiento de Objetivos .......................................................................................... 38
4.1.1 Objetivo General..................................................................................................... 38
4.1.2 Objetivos Especificos............................................................................................. 38
4.2 Verificacion de Hipotesis .............................................................................................. 38
4.2.1 Hipotesis General................................................................................................... 38
4.2.2 Hipotesis Especificas ............................................................................................. 39
5 Conclusiones y Recomendaciones.................................................................................... 41
5.1 Conclusiones.................................................................................................................. 41
5.2 Recomendaciones......................................................................................................... 41
Anexos ................................................................................................................................... 42
Arbol del Problema............................................................................................................... 46
Bibliografia............................................................................................................................. 47

1. EL PROBLEMA.
1.1 CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA.
La Regla de Cramer es importante indicar que los problemas para los estudiantes es
que no recuerdan los problemas algebraicos, esto originara un bajo rendimiento en
las calificaciones a medida de esto no podrán resolver los ejercicio.
Algún riesgo a nivel del mundo se pudo investigar que en algunas universidades
imparten ingeniería, la materia de métodos numéricos así tenemos algunas
universidades como:
Universidad De Estados Unidos, Universidad Politécnica De Madrid, Universidad de
la Rioja, la Universidad la Salle, Universidad Politécnica Salesiana, Universidad de
chile, Universidad de Valladolid, Universidad de Santiago de Compostela. Cabe
indicar que es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas,
particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Otro riego es al nivel de Ecuador donde se puede constatar que existen diversas
universidades técnicas como por ejemplo: Universidad Católica del Ecuador, Espol,
Politécnica, Universidad Central del Ecuador, Universidad de Cuenca, Universidad
Ecotec, Universidad del Azuay, Universidad Técnica de Cotopaxi, Universidad de
Machala. Donde imparte la materia de métodos numéricos.
Al nivel de Manabí tenemos algunas universidades que imparten la materia de
métodos numéricos como son: Universidad Técnica de Manabí, Universidad Laica
Eloy Alfaro, Universidad del Sur de Manabí, Esc. Sup. Pol. Agropecuaria de
Manabí, Universidad Estatal del Sur de Manabí, Universidad Laica E. Alfaro de
Manabí.
A nivel de PORTOVIEJO encontramos la universidad técnica de Manabí en el cual
imparte la cátedra de métodos numéricos que se encuentra en el Instituto de
Ciencias Básicas, en el área de Matemática que son impartidas por diferentes
docentes.

1.2 DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA.
El presente trabajo de investigación consiste en la INVESTIGACIÓN EL MÉTODO
DE CRAMER Y SU INFLUENCIA EN EL CAMPO DE LA CIENCIA, en el
Instituto de Ciencias Básicas de la Universidad Técnica De Manabí del cantón
Portoviejo, durante el periodo mayo - Septiembre 2015.
1.3 FORMULACIÓN CIENTÍFICA DEL PROBLEMA.
¿Cómo influye El Método De La Regla De Cramer en el campo de la ciencia , en el
Instituto de Ciencias Básicos de la Universidad Técnica De Manabí del cantón
Portoviejo, durante el periodo mayo - septiembre 2015?
1.4 JUSTIFICACIÓN.
El presente trabajo trata sobre el método de la regla de Cramer. Para lo cual haremos
una investigación acerca de la realización de este método y su aplicación en
problemas referente a las ciencias, ya que como estudiantes de la materia de métodos
numéricos debemos de saber bien los métodos matemáticos para resolver los
problemas y también mediante los métodos numéricos propuestos, resolver dichos
problemas, es por lo cual es indispensable desarrollar este proyecto. Con lo cual
fortaleceremos nuestros conocimientos referentes a la solución de problemas
referente a las ciencias en general. En el caso de nuestro tema propuesto, la regla de
Cramer, este será usado para resolver los problemas antes mencionados, esta regla
consiste en ordenar los valores en filas y columnas de un sistema de ecuaciones que
por medio de determinantes encontrar el resultado que deseamos.
El presente proyecto es viable de realizar ya que cuenta con el apoyo y supervisión
de la docente a cargo de la materia de Métodos Numéricos quien nos brinda su apoyo
y conocimiento para un buen desenvolvimiento del proyecto y un buen desempeño y
aprendizaje durante la materia mencionada.

1.5 OBJETIVOS.
1.51OBJETIVO GENERAL:
Determinar la influencia del método de la regla de Cramer en el campo de la ciencia
en el instituto de Ciencias Básicas de la Universidad Técnica de Manabí durante el
periodo académico mayo-septiembre 2015.
1.5.2OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Explicar analíticamente los fundamentos teóricos del método de la regla de
Cramer.
 Aplicar el método de Cramer para la resolución de problemas de la vida real.
 Demostrar a través del software JAVA la resolución de problemas aplicando
el método de Cramer.

2 MARCO TEORICO
2.1 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
2.1.1METODO DE LA REGLA DE CRAMER.
2.1.1.1 TEORIA.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera
eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se
requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la
aproximación al problema matemático.
Cuando los métodos numéricos - modelos matemáticos - no pueden resolverse con
exactitud, se requiere de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta.
Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático
para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas
2.1.1.2REGLA DE CRAMER.
La regla de Cramer es otra técnica de solución adecuada para un sistema pequeño de
ecuaciones. Antes de hacer una descripción de tal método, se mencionará en forma
breve el concepto de determinante que se utiliza en la regla de Cramer. Además, el
determinante tiene relevancia en la evaluación del mal condicionamiento de una
matriz.
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema
lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor
a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introducción à l'analyse
des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el
método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método
desde 1729). (CHAPRA, 2011)

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para
la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de
tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente
costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es
usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin
embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación
gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas
operaciones SIMD.
Si es un sistema de ecuaciones. es la matriz de coeficientes del
sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector
columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta
así:
donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el
vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado,
el determinante de la matriz ha de ser no nulo.
SISTEMA DE 2X2
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma.
Dado el sistema de ecuaciones:
Se representa matricialmente:
Entonces, e pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división
de determinantes, de la siguiente manera:

Ejemplo
Ejemplo de la resolución de un sistema e de 2x2:
Dado
que matricialmente es:
X e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer
SISTEMA DE 3X3
La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:
, , pueden ser encontradas como sigue:
Ejemplo
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
Expresado en forma matricial:
Los valores de serían:
Demostración

Sean:
Usando las propiedades de la multiplicación de matrices:
Entonces:
Por lo tanto:
Aparte, recordando la definición de determinante, la suma definida acumula la
multiplicación del elemento adjunto o cofactor de la posición , con el elemento i-

pésimo del vector (que es precisamente el elemento i-èsimo de la columna , en la
matriz ).
2.1.2 CAMPO DE LAS CIENCIAS.
Los campos de la ciencia, la tecnología, la ingeniería y las matemáticas, están
revolucionando el mundo que nos rodea. Desde paneles fotovoltaicos y teléfonos
móviles, hasta tratamientos contra el cáncer y brazos robóticos, las innovaciones que
se han descubierto abordan problemas que afectan al mundo y ofrecen soluciones
también globales.
2.1.2.1 CIENCIA.
La ciencia como tal es el conjunto de conocimientos obtenidos mediante la
observación y el razonamiento, y de los que se deducen principios y leyes generales.
En su sentido más amplio se emplea para referirse al conocimiento en cualquier
campo, pero que suele aplicar sobre todo a la organización del proceso experimental,
y puede caracterizarse como conocimiento racional, y verificable. Por medio de la
investigación científica, el hombre ha alcanzado una reconstrucción conceptual del
mundo que es cada vez más amplia y exacta.
Detallándose así como el conocimiento profundo acerca de la naturaleza, la sociedad,
el hombre y sus pensamientos, que abarcan una serie de investigaciones basadas en
la experimentación y las matemáticas.
2.1.1.2 CLASIFICACIÒN DE LAS CIENCIAS.
Ciencias formales no experimentales:
Matemática: estudia las propiedades de entes abstractos —representados con
números, figuras, letras o símbolos— y las relaciones que existen entre ellos.
Relaciona otras disciplinas como: aritmética, teoría de conjuntos, álgebra, análisis,
cálculo de probabilidades, geometría, cálculo diferencial, geometría analítica,
etcétera.
 Lógica: expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico.
 Lógica formal: plantea y resuelve los problemas de la lógica mediante un
simbolismo de tipo algebraico. También se le llama simbólica o matemática.

Ciencias naturales experimentales:
 Astronomía: aborda cuanto se refiere a los astros, la estructura y disposición
de la materia en el universo y principalmente a las leyes que lo rigen.
 Biología: ciencia que estudia los seres vivos, con base en el análisis de sus
aspectos morfológicos y fisiológicos, su sistemática, ecología, microbiología
y genética.
 Física: estudia la materia, la energía y las leyes que determinan su estado y
movimiento sin alterar su naturaleza. La física clásica se divide en: mecánica,
acústica, óptica, termodinámica y electromagnetismo.
 Geología: estudia la forma interior y exterior del globo terrestre, la naturaleza
de la materia que lo componen y su formación; los cambios y alteraciones
que éstas han experimentado desde su origen y la distribución que presentan
actualmente. La amplitud de objetivos de esta ciencia se ha dividido en ramas
como: geología física, cristalografía, mineralogía, petrología, geodinámica,
tectónica, vulcanología, sismología, geología histórica y paleontología.
 Geografía física: estudia los fenómenos de orden inanimado que ocurren en
la superficie de la Tierra. Se subdivide en geomorfología —que describe el
relieve terrestre— y geofísica: oceanografía, hidrografía y climatología.
 Química: estudia la estructura, propiedades y transformaciones de la materia
a partir de su composición atómica. Se subdivide en orgánica, inorgánica;
analítica, experimental, nuclear, electroquímica y bioquímica.
Ciencias sociales:
 Antropología
 Ciencia política
 Economía
 Historia
 Sociología
 Geografía política
 Lingüística
 Psicología
Los ingenieros usan las matemáticas y las ciencias que aprendieron en los libros de
texto y en el laboratorio para inventar, diseñar y construir cosas que son importantes.

Trabajan bien en equipo y tienen una mente independiente. Los ingenieros cambian
el mundo constantemente al idear soluciones que son creativas y prácticas.
2.1.3RELACION ENTRE EL METODO DE LA REGLA DE CRAMER
EN EL CAMPO DE LAS CIENCIAS
2.1.3.1 REFLEXIÒN GRUPAL
El campo de las ciencias hoy en día es muy extenso por lo cual necesita de
herramientas que faciliten la resolución de ciertos problemas que se le presentan,
como ya conocemos la primera ciencia exacta fue la matemática y es una de las
ciencias en las que la utilización de medios que faciliten la resolución de dichos
problemas es de gran importancia.
La aplicación del método de la regla de Cramer inmerso en el campo de las ciencias
facilita además de la resolución, también la mejor interpretación de los problemas a
resolver, ya que no importa la rama en la que se utilice el método, mientras contenga
datos numéricos en su estructura.
2.1.3.2 TEORIA.
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema
lineal de ecuaciones en términos de determinantes, utilizado en el campo de las
ciencias para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,
encontrar matrices e inversa, Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer. El
sistema de ecuaciones puede expresar un problema de cualquier rama de las ciencias
ya que se obtienen sus soluciones mediante determinantes del sistema y las
determinantes de cada una de las incógnitas (x, y, z).

2.1.4 EJERCICIOS GRUPALES.
EJERCICIO 1
Método de la regla de Cramer
Ejercicio con matriz 2x2
En una tienda se venden 2 especies de cereales. Trigo y cebada.
El trigo se vende cada saco a $4
La cebada se vende cada saco a $2
Si se venden 100 sacos y se obtiene por venta $100 ¿Cuántos sacos de cada especie se vende,
interprete la solución?
Datos:
X=trigo
Y=cebada
x+y=100
4x+2y=100
1 4 100
4 2 100
Ds= 1 1 =
1(2)−1(4)
2−4
=-2
4 2
Dx= 100 1 =
100(2)−1(100)
200−100
=100
100 2
Dy= 1 1000 =
1(100)−100(4)
100−400
= -300
4 100
X=
𝐷𝑥
𝐷𝑠
=
100
−2
=-50
y=
𝐷𝑦
𝐷𝑠
=
300
−2
= 150
Comprobación
x+y=100 4x+2y=100
-50+150=100 4(-50)+2(150)=100
1000=100 100=100

EJERCICIO 2
LA REGLA DE CRAMER
En un parque Jurásico un día entraron 3 hombres y 2 mujeres y les cobraron $30,
otro día entraron 4 hombres y una mujer y le cobraron $33. Cuanto le cobran a cada
hombre y mujer.
3𝑥 + 2𝑦 = 30
4𝑥 + 𝑦 = 33
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
|
30 2
33 1
|
|
3 2
4 1
|
=
(33)(2) − (30)(1)
(4)(2) − (3)(1)
=
36
5
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
|
3 30
4 3 3
|
|
3 2
4 1
|
=
(4)(30) − (3)(33)
(4)(2) − (3)(1)
=
21
5
Comprobación
 3𝑥 + 2𝑦 = 30
3 (
36
5
) + 2 (
21
5
) = 30
21.6 + 8.4 = 30
30 = 30
 4𝑥 + 𝑦 = 33
4 (
36
5
) +
21
5
= 33
28.8 +
21
5
= 33
33 = 33

EJERCICIO 3
LA REGLA DE CRAMER
El costo total de 5 libros de texto y 4 lápices es de $32; el costo total de 6 libros de texto
iguales de 3 lapiceros es de $33. Hallar el costo de cada artículo.
5𝑥 + 4𝑦 = 32
6𝑥 + 3𝑦 = 33
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
|
32 4
33 3
|
|
5 4
6 3
|
=
(33)(4) − (3)(32)
(6)(4) − (5)(3)
=
36
9
= 4
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
|
5 32
6 3 3
|
|
5 4
6 3
|
=
(6)(32) − (33)(5)
(6)(4) − (5)(3)
=
27
9
= 3
Comprobación
 5𝑥 + 4𝑦 = 32
5(4) + 4(3) = 32
20 + 12 = 32
32 = 32
 6𝑥 + 3𝑦 = 33
6(4) + 3(3) = 33
24 + 9 = 33
33 = 33

EJERCICIO 4
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Aplicar la regla de Cramer para resolver el siguiente problema: Un hombre tiene 110
animales entre vacas, caballos y terneros;
1
8
del número de vacas mas
1
9
del número de
caballos más
1
5
del número de terneros equivalen a 15; y la suma del número de terneros con
el de vacas es 65. ¿Cuántos animales de cada clase tiene?
Sea:
 X1: número de vacas
 X2: número de caballos
 X3: número de terneros
De tal manera que:
𝑥 1.1 + 𝑥 1.2 + 𝑥 1.3 = 110
0.125 𝑥2.1 + 0.111111𝑥2.2 + 0.2𝑥2.3 = 15
𝑥3.1 + 𝑥3.3 = 65
Solución.
1 1 1
D= 0.125 0.111111 0.2
1 0 1
Aplicando la regla de Sarrus repetimos las dos primeras columnas a la derecha de la tercera
columna.
1 1 1 1 1
D= 0.125 0.111111 0.2 0.125 0.111111
1 0 1 1 0
𝐷 = (1)(0.111111)(1) + (1)(0.2)(1) + (1)(0.125)(0) − (1)(0.125)(1) − (1)(0.2)(0)
− (1)(0.111111)(1)
𝐷 = 0.111111 + 0.2 + 0 − 0.125 − 0 − 0.111111
𝐷 = 0.075
Ahora debemos calcular los valores de D1, D2 y D3. Notemos visualmente el determinante
D1

110 1 1
D1= 15 0.111111 0.2
65 0 1
110 1 1 110 1
D1= 15 0.111111 0.2 15 0.111111
65 0 1 65 0
𝐷1 = (110)(0.111111)(1) + (1)(0.2)(65) + (1)(15)(0) − (1)(15)(1) − (110)(0.2)(0)
− (1)(0.111111)(65)
𝐷1 = 0.111111 + 13 + 0 − 15 − 0 − 0.111111
𝐷1 = 2.9999995
1 110 1
D2= 0.125 15 0.2
1 65 1
1 110 1 1 110
D2= 0.125 15 0.2 0.125 15
1 65 1 1 65
𝐷2 = (1)(15)(1) + (110)(0.2)(1) + (1)(0.125)(65) − (110)(0.125)(1)
− (1)(0.2)(65) − (1)(15)(1)
𝐷2 = 110 + 22 + 8.125 − 13.75 − 13 − 15
𝐷2 = 3.375
1 1 110
D3= 0.125 0.111111 15
1 0 65
1 1 110 1 1
D3= 0.125 0.111111 15 0.125 0.111111
1 0 65 1 0

𝐷3 = (1)(0.111111)(65) + (1)(15)(1) + (110)(0.125)(0) − (1)(0.125)(65)
− (1)(15)(0) − (110)(0.111111)(1)
𝐷3 = 7.222215 + 15 + 0 − 8.125 − 0 − 12.22221
𝐷3 = 1.875005
Una vez obtenido los valores de las determinantes, procedemos a calcular las incógnitas
𝑥1 =
𝐷1
𝐷
𝑥1 =
2.9999995
0.075
𝑥1 = 39.999933
𝑥2 =
𝐷2
𝐷
𝑥2 =
3.375
0.075
𝑥2 = 45
𝑥3 =
𝐷3
𝐷
𝑥3 =
1.875005
0.075
𝑥3 = 25.00007
R.: El hombre tiene 40 vacas, 45 caballos y 25 terneros

EJERCICIO 5
EJERCICIO RESUELTO CON EL MÉTODO DE LA REGLA DE CRAMER.
Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la
fabricación de cada uno de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de
madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente, por cada silla
se tiene 2 unidades de aluminio, 1 unidad de plástico y 1 unidad de madera; por cada
mecedora se tiene 3 unidades de aluminio, 1 unidad de plástico y 1 unidad de
madera; y por cada sofá se tiene 5 unidades de aluminio, 2 unidades de plástico y 1
unidad de madera. La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600
unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus
existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?
MADERA PLÁSTICO ALUMINIO
SILLA 1 unidad 1 unidad 2 unidades
MECEDORA 1 unidad 1 unidad 3 unidades
SOFÁ 1 unidad 2 unidades 5 unidades
Ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 400
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 600
2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 1500
∆ 𝑠= [
1 1 1
1 1 2
2 3 5
]

Procesos:
 Para calcular las determinantes en general se deben copiar las 2 primeras
filas de la matriz y pegarlas en la parte inferior para luego multiplicar en
diagonal y los términos puedan agruparse de tres términos.
∆ 𝑠=
[
1 1 1
1 1 2
2 3 5
1 1 1
1 1 2]
 Luego a la determinante principal se le resta la determinante secundaria:
[(1)(1)(5) + (1)(3)(1) + (2)(1)(2)] − [(1)(1)(2) + (2)(3)(1) + (5)(1)(1)]
[5 + 3 + 4] − [2 + 6 + 5]
∆ 𝒔= −𝟏
 Se procederá a calcular la determinante de X (∆ 𝑥), por lo cual se
procederá a reemplazar la columna correspondiente a las “x” con los
valores independientes correspondientes a cada fila según la ecuación.
Luego se procede como en el cálculo de la determinante del sistema, se
copian las filas y se calculan las determinantes para restarlas
respectivamente.
∆ 𝑥=
[
400 1 1
600 1 2
1500 3 5
400 1 1
600 1 2]
[(400)(1)(5) + (600)(3)(1) + (1500)(1)(2)] − [(1)(1)(1500) + (2)(3)(400)
+ (5)(1)(600)]
[200 + 1800 + 3000] − [1500 + 2400 + 3000]
∆ 𝒙= −𝟏𝟎𝟎

 Luego se realizará el mismo proceso para la ∆ 𝒚 solo que los valores a ser
reemplazados por los valores independientes serán los correspondientes a
las “y” en las ecuaciones.
∆ 𝑦=
[
1 400 1
1 600 2
2 1500 5
1 400 1
1 600 2]
[(1)(600)(5) + (1)(1500)(1) + (2)(400)(2)] − [(1)(600)(2) + (2)(1500)(1)
+ (5)(400)(1)]
[3000 + 1500 + 1600] − [1200 + 3000 + 2000]
∆ 𝒚= −𝟏𝟎𝟎
 Ahora se cuenta con la determinante del sistema, la de “x”, “y” y faltaría
la de “z”, realizando el mismo proceso anterior solo que reemplazando los
valores correspondientes en las ecuaciones por los términos
independientes.
∆ 𝑧=
[
1 1 400
1 1 600
2 3 1500
1 1 400
1 1 600 ]
[(1)(1)(1500) + (1)(3)(400) + (2)(1)(600)] − [(400)(1)(2) + (600)(3)(1)
+ (1500)(1)(1)]
[1500 + 1200 + 1200] − [800 + 1800 + 1500]
∆ 𝒛= −𝟐𝟎𝟎

 Ahora ya están calculadas todas las determinantes necesarias, pero hay
que calcular los valores correspondientes a cada variable en el sistema,
para esto se divide la determinante a calcular para la determinante del
sistema.
∆ 𝒙=
∆ 𝒙
∆ 𝒔
=
−𝟏𝟎𝟎
−𝟏
= 𝟏𝟎𝟎
∆ 𝒚=
∆ 𝒚
∆ 𝒔
=
−𝟏𝟎𝟎
−𝟏
= 𝟏𝟎𝟎
∆ 𝒛=
∆ 𝒛
∆ 𝒔
=
−𝟐𝟎𝟎
−𝟏
= 𝟐𝟎𝟎

EJERCICIO 6
EJERCICIO RESUELTO CON EL MÉTODO DE LA REGLA DE CRAMER.
Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres formatos distintos A, B y C.
Las cajas de tipo A tienen un peso de 250 gramos y un precio de $ 0.6, las de tipo B pesan
500 gramos y su precio es de $ 1.08, mientras que las C pesan 1 kilogramo y cuestan $ 1.98.
A una farmacia se le ha sumistrado un lote de 5 cajas, con un peso de 2.5 kilogramos, por
un importe de $ 5.35. ¿Cuántas cajas se cada tipo ha comprado la farmacia?
Ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5
0.25𝑥 + 0.5𝑦 + 𝑧 = 2.5
0.6𝑥 + 1.08𝑦 + 1.98𝑧 = 5.35
∆ 𝐷= [
1 1 1
0.25 0.5 1
0.6 1.08 1.98
]
Procesos:
 Para calcular las determinantes en general se deben copiar las 2 primeras filas
de la matriz y pegarlas en la parte inferior para luego multiplicar en diagonal y
los términos puedan agruparse de tres términos.
∆ 𝐷=
[
1 1 1
0.25 0.5 1
0.6 1.08 1.98
1 1 1
0.25 0.5 1 ]
 Luego a la determinante principal se le resta la determinante secundaria:
[(1)(0.5)(1.98) + (0.25)(1.08)(1) + (0.6)(1)(1)] − [(1)(0.5)(0.6) + (1)(1.08)(1)
+ (1.98)(1)(2.5)]
[1.86] − [6.33]
∆ 𝑫= −𝟒. 𝟒𝟕
 Se procederá a calcular la determinante de X (∆ 𝑥), por lo cual se procederá a
reemplazar la columna correspondiente a las “x” con los valores

independientes correspondientes a cada fila según la ecuación. Luego se
procede como en el cálculo de la determinante del sistema, se copian las filas y
se calculan las determinantes para restarlas respectivamente.
∆ 𝑥=
[
5 1 1
2.5 0.5 1
5.35 1.08 1.98
5 1 1
2.5 0.5 1 ]
[(5)(0.5)(1.98) + (2.5)(1.08)(1) + (5.35)(1)(1)] − [(1)(0.5)(5.35) + (1)(1.08)(5)
+ (1.98)(1)(2.5)]
[13] − [13.025]
∆ 𝒙= −𝟎. 𝟎𝟐𝟓
 Luego se realizará el mismo proceso para la ∆ 𝒚 solo que los valores a ser
reemplazados por los valores independientes serán los correspondientes a las
“y” en las ecuaciones.
∆ 𝑦=
[
1 5 1
0.25 2.5 1
0.6 5.35 1.98
1 5 1
0.25 2.5 1 ]
[(1)(2.5)(1.98) + (0.25)(5.35)(1) + (0.6)(5)(1)] − [(1)(2.5)(0.6) + (1)(5.35)(1)
+ (1.98)(5)(0.25)]
[9.2875] − [16.95375]
∆ 𝒚= −𝟕. 𝟔𝟔𝟔𝟐𝟓
 Ahora se cuenta con la determinante del sistema, la de “x”, “y” y faltaría la de
“z”, realizando el mismo proceso anterior solo que reemplazando los valores
correspondientes en las ecuaciones por los términos independientes.
∆ 𝑧=
[
1 1 5
0.25 0.5 2.5
0.6 1.08 5.35
1 1 5
0.25 0.5 2.5 ]

[(1)(0.5)(5.35) + (0.25)(1.08)(5) + (0.6)(1)(2.5)] − [(5)(0.5)(0.6) + (2.5)(1.08)(1)
+ (5.35)(1)(0.25)]
[5.525] − [5.5375]
∆ 𝒛= −𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓
 Ahora ya están calculadas todas las determinantes necesarias, pero hay que
calcular los valores correspondientes a cada variable en el sistema, para esto se
divide la determinante a calcular para la determinante del sistema.
∆ 𝒙=
∆ 𝒙
∆ 𝒔
=
−𝟎. 𝟎𝟐𝟓
−𝟒. 𝟒𝟕
= 𝟓
∆ 𝒚=
∆ 𝒚
∆ 𝒔
=
−𝟕. 𝟔𝟔𝟔𝟐𝟓
−𝟒. 𝟒𝟕
= 𝟐. 𝟓
∆ 𝒛=
∆ 𝒛
∆ 𝒔
=
−𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓
−𝟒. 𝟒𝟕
= 𝟓. 𝟑𝟓

EJERCICIO 7
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Un agricultor tiene 200 acres de terreno adecuado para los cultivos A, B y C,. EL
COSTO RESPECTIVO POR ACRE ES $40, $60 Y $80 y dispone de $12,600 para
trabajar la tierra. Cada acre de cultivo A requiere 20 horas de trabajo; cada acre de
cultivo B, 25 horas de cultivo y cada acre de cultivo C, 40 hora de cultivo. El
agricultor tiene un máximo de 5,950 horas de trabajo disponibles. Si desea utilizar
toda la tierra cultivable, todo el presupuesto y todo, la mano de obra disponible.
Cuantos acre debe plantear en cada cultivo?
{
𝑥 𝑦 𝑧
40𝑥 60𝑦 80𝑧
20𝑥 25𝑦 40𝑧
}
200
12,600
5,950
∆= |
1 1 1
40 60 80
20 25 40
|
|
1 1 1
40 60 80
|
∆= (1 ∗ 60 ∗ 40) + (40 ∗ 25 ∗ 1) + (20 ∗ 1 ∗ 80) − (1 ∗ 60 ∗ 20) + (80 ∗ 25 ∗ 1) + (40 ∗ 1 ∗ 40)
∆= (2,400 + 1,000 + 1,600) − (1,200 + 2,000 + 1,600)
∆= (5,000 − 4,800)
∆=200
∆𝑥 = |
200 1 1
12,600 60 80
5,950 25 40
|
|
200 1 1
12,600 60 80
|
∆𝑥 = (200 ∗ 60 ∗ 40) + (12,600 ∗ 25 ∗ 1) + (5,950 ∗ 1 ∗ 80) − (1 ∗ 60 ∗ 5,950)
+ (80 ∗ 25 ∗ 200) + (40 ∗ 1 ∗ 12,600)
∆𝑥 = (480,000 + 315,000 + 476,000) − (357,000 + 400,000 + 504,000)
∆𝑥 = (1.271,000 − 1.261,000)
∆𝑥 = 10,000
∆𝑦 = |
1 200 1
40 12,600 80
20 5,950 40
|
|
1 200 1
40 12,600 80
|

∆𝑦 = (1 ∗ 12,600 ∗ 40) + (40 ∗ 5,950 ∗ 1) + (20 ∗ 200 ∗ 80) − (1 ∗ 12,600 ∗ 20)
+ (80 ∗ 5,950 ∗ 1) + (40 ∗ 200 ∗ 40)
∆𝑦 = (504,000 + 238,000 + 320,000) − (252,000 + 476,000 + 320,000)
∆𝑦 = (1.062,000 − 1.048,000)
∆𝑦 = 14,000
∆𝑧 = |
1 1 200
40 60 12,600
20 25 5,950
|
|
1 1 200
40 60 12,600
|
∆𝑧 = (1 ∗ 60 ∗ 5,950) + (40 ∗ 25 ∗ 200) + (20 ∗ 1 ∗ 12,600) − (200 ∗ 60 ∗ 20) + (12,600 + 25
∗ 1) + (5,950 ∗ 1 ∗ 40)
∆𝑧 = (357,000 + 200,000 + 252,000) − (240,000 + 315,000 + 238,000)
∆𝑧 = (809,000 − 793,000)
∆𝑧 = 16,000
𝑥 =
∆𝑥
∆
𝑥 =
10,000
200
𝑥 = 50
𝑦 =
∆𝑦
∆
𝑦 =
14,000
200
𝑦 = 70
𝑧 =
∆𝑧
∆
𝑧 =
16,000
200
𝑧 =80
𝑥
𝑦
𝑧
{
50
70
80

2.2 IDENTIFICACION DE LAS VARIABLES
2.2.1 VARIABLE INDEPENDIENTE
El método de la regla de Cramer
2.2.2 VARIBLE DEPENDIENTE
Campo de las ciencias
2.3 HIPOTESIS
2.3.1 HIPOTESIS GENERAL
 El método de la regla de Cramer influye significativamente en el campo de
las ciencias del instituto de ciencias básicas de la universidad técnica de Manabí del
cantón Portoviejo de la provincia de Manabí durante el periodo de mayo –
septiembre de 2015.
2.3.2 HIPOTESIS ESPECÍFICAS
 La fundamentación teórica del método de la regla de Cramer se explica de
una manera profunda y fácil.
 El proceso matemático del método de la regla de Cramer se realiza de manera
ágil y metódica.
 El software JAVA resuelve los problemas de la regla de Cramer en el campo
de las ciencias de forma rápida y concisa.

3 METODOLOGIA
En la presente investigación se empleará la metodología participativa, porque se
promoverá la participación de los sujetos de estudio.
3.1. MODALIDAD BASICA DE LA INVESTIGACION
Se realizara una investigación de campo, ya que se aplicara la técnica bibliográfica
para alcanzar los objetivos específicos y demostrar la veracidad de las hipótesis, y la
construcción del marco teórico de la investigación.
3.2. NIVEL O TIPO DE INVETIGACION
Se realizara un análisis descriptivo para caracterizar la influencia del método de la
regla de Cramer así como también el análisis en el campo de las ciencias.
3.3. OPERACIONALIZACON DE VARIABLES
Variable independiente: Método de la regla de Cramer
CONCEPTUALIZACION CATEGORIA INDICADOR ITEM -
DESCRIPCION
TECNICA
La regla de Cramer sirve para
resolver sistemas de ecuaciones
lineales. Se aplica a sistemas que
cumplan las dos condiciones
siguientes: El número de
ecuaciones es igual al número de
incógnitas. El determinante de la
matriz de los coeficientes es
distinto de cero.
Método Numérico Proceso
matemático
iterativo
Construcción teórica
y de aplicación del
método de la regla
de Cramer
utilizando el libro de
Steeven Chapra
Bibliográfica
Variable dependiente: Campo de las ciencias
El campo de la ciencia es el
ambiente sobre la cual se
construye fortalece y mejora
conocimientos con la finalidad de
innovar con tecnologías útiles
para la sociedad
Técnica científica Conjunto de
conocimientos
científicos
aplicados en el
campo de las
ciencias
Demostración
analítica de los
problemas de
aplicación en el
campo de las
ciencias
Exposición
3.4. TECNICA
La técnica principal que se utilizo es la técnica bibliográfica

4 ANALISIS E INTERPRETACION DE RESULTADOS
4.1. CUMPLIMIENTO DE OBJETIVOS
4.1.1 OBJETIVO GENERAL
 Determinar la influencia del método de la regla de Cramer en el campo de
ciencias en el Instituto de Ciencias Básicas de la Universidad Técnica de
Manabí en el cantón Portoviejo durante el periodo de Mayo-Septiembre del
2015.
Este objetivo general si se alcanzó y se cumplió y se verifica mediante la
construcción de la fundamentación teórica y la aplicación de los problemas en el
campo de las ciencias, mediante la investigación del método de Cramer.
4.1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Explicar analíticamente los fundamentos teóricos del método de la regla de Cramer.
Este objetivo específico si se alcanzó y se cumplió y se comprobó a través del análisis y
la construcción del marco teórico explicado y demostrado en el trabajo de
investigación.
 Aplicar el método de Cramer para la resolución de problemas de la vida real.
Este objetivo si se alcanzó y se cumplió y se verifico mediante la construcción del marco
teórico, resolución y exposición de los problemas analizados dentro del campo de la
ciencia.
 Demostrar a través del software JAVA la resolución de problemas aplicando el
método de Cramer.
Este objetivo específico si se alcanzó y se cumplió Y SE VERIFICA mediante la
demostración del software JAVA

4.2 VERIFICACION DE HIPOTESIS
4.2.1 HIPÓTESIS GENERAL.
 El método de la regla de Cramer influye significativamente en el campo de
las ciencias del instituto de ciencias básicas de la universidad técnica de
Manabí del cantón Portoviejo de la provincia de Manabí durante el periodo
de mayo – septiembre de 2015.
Esta hipótesis general se acepta y se verifica mediante la construcción del marco
teórico y la resolución de problemas planteados en el ámbito de las ciencias.
4.2.2. HIPÓTESIS ESPECÍFICAS.
 El análisis teórico del método de la regla de Cramer facilita la
resolución de los problemas enfocados en el campo de la ciencia.
Esta hipótesis específica se acepta y se verifica mediante el marco teórico
 El método de la regla de Cramer se aplica de manera eficiente en la
resolución de problemas relacionados con el campo de la ciencia.
Esta hipótesis específica se acepta y se verifica mediante el marco teórico y la
explicación analítica de los problemas planteados en relación al campo de las
ciencias.
 El programa JAVA permite resolver problemas aplicados en el campo
de las ciencias, optimizando recursos (tiempo) y con resultados
eficaces.
Esta hipótesis específica se acepta y se verifica mediante el software JAVA.

5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES.
 Se explicó de forma analítica los fundamentos teóricos del método de la regla
de Cramer y así se logró comprender muchos aspectos importantes del tema.
 Se aplicó el método de Cramer para la resolución de problemas de la vida
real, logrando resultados muy satisfactorios.
 Se pudo demostrar a través del software JAVA la resolución de problemas
aplicando el método de Cramer, obteniendo resultados muy relevantes.
5.2. RECOMENDACIONES.
Luego de elaborar el trabajo de investigación el equipo de trabajo
recomienda:
 Incentivar a los estudiantes para que se integren a la metodología de
investigación ya que de esta manera los conocimientos son más
profundizados, ya que se asocian a situaciones de la vida diaria.
 Trabajar con problemas que tengan que ver con la vida real ya que, por
tratarse de problemas reales, los estudiantes logran comprender y encontrar
una lógica adecuada para resolver dichos problemas.
 Promover el uso de herramientas informáticas ya que estas facilitan el trabajo
de cálculos complejos y se realizan con mucha precisión.

UTILIZACION DEL SOFTWARE MATEMATICO: ELABORADO EN JAVA CON AYUDA DEL IDE
NETBEANS.
Abrir el programa:
Hacer clic en el botón nuevo, para limpiar los cuadros de texto, luego seleccionar
manualmente el sistema de ecuaciones a resolver:
Ingresar en la interfaz los valores del sistema de 3 ecuaciones:

Hacer clic en el botón calcular para obtener las determinantes y el resultado:

FOTOS DE SUSTENTACIÓN DEL TRABAJO.

ARBOL DEL PROBLEMA.
Causa: investigación
limitada sobre la regla
de Cramer.
Efecto: profesional con
deficiente
conocimiento en el
área laboral.
Causa: desinterés del
estudiante por aplicar
el método de la regla
de Cramer.
Efecto: poca
orientación de los
profesionales para
aplicar métodos.
Causa: falta de
estrategias en las
horas autónomas de
clase para el
aprendizaje de
Efecto: profesional
con poco rendimiento
al aplicar el método
Crame.

BILIOGRAFIA.
CHAPRA, S. C. (2011). METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS. MCGRAW-HILL.

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