El documento presenta la teoría del Círculo de Mohr para representar estados tensionales bidimensionales. Explica conceptos como esfuerzos, círculo de Mohr y teoría de polos. Luego propone un ejercicio donde se pide determinar esfuerzos principales, combinados y cortante máxima para un estado tensional dado, usando esta representación gráfica.

1. Profesor: Juan Jarufe
Ayudantes: Víctor Yelicich, Ivo Fritzler
Autor: Ivo Fritzler
Mecánica de Rocas I
Ayudantía 0: “Círculo de Mohr”
2017

2. Contenido
• Idea General
• Teoría
– Esfuerzos
– Círculo de Mohr
– Teoría de Polos
• Ejercicios
• Referencias

3. Idea General
• Representar estados tensionales en 2D
para ensayos en laboratorio e in situ
en roca
• Obtención tanto de magnitudes como
orientaciones de esfuerzos asociados a
planos, fallas, etc.
En función de
la normal y
cortante
En función
de esfuerzos
principales
a. Tracción
b. UCS
c. Triaxial
a. Tracción: Disco de roca en vista perfil, caras perpendiculares a plano horizontal * Para sensores 2D (Celdas biaxiales, Doorstopper por ejemplo)

4. • Esfuerzos
Una carga puntual (P) actuando en una unidad de área (A)
Generalmente en MPa ( ൗMN
m2)
Trabajaremos con 3 tipos de esfuerzo
σ =
P
A
, τ =
V
2A
Teoría
Esfuerzos Principales Esfuerzo Normal Esfuerzo Cortante
P(σ1), Q σ3 σN τ
Donde 𝑃: Esfuerzo Principal Máximo
𝑄: Esfuerzo Principal Mínimo

5. Teoría
• Esfuerzos
– Sentido
Sentido de la Normal
- Compresión (+)
- Tracción (-)
Sentido de la cortante
- Anti horario (+)
- Horario (-)
( - )
( + )
( + )

6. Teoría
• Esfuerzos
– Representación estado tensional 2d
τxy
Esfuerzo cortante perpendicular a
eje “x” & paralelo a eje “y”, por lo
tanto es la resultante de 𝛔 𝐱 (actuaría
en esa cara)
Tener en cuenta el siguiente
ejemplo de notación de cortante:

7. Teoría
• Círculo de Mohr
– Una manera de representar
esfuerzos
– El siguiente gráfico considera
un estado tensional en el cual el
esfuerzo horizontal (Sigma X) es
mayor al vertical (Sigma Y)
– Las componentes R, C
representan al radio y centro del
círculo
– P, Q representan los esfuerzos
principales, ya que estos últimos
presentan cortante nula
– El ángulo theta, representa el
ángulo de ruptura en la muestra

8. Teoría
• Teoría de Polos
– Corresponde al punto en el cual
se interceptan todos los planos,
este a su vez permite evaluar
magnitud y orientación de
esfuerzos de cualquier otro
plano que se desee determinar.

9. Ejercicio
• Para el elemento de roca presentado,
se solicita:
a. Representación de estado tensional en
circulo de Mohr.
b. Determinar magnitud de esfuerzos
principales y orientación
c. Determinar esfuerzos actuantes sobre planos
en dirección X e Y.
d. Determinar cortante máxima y orientación
de esta.
e. Evaluar estado tensional para un plano con
orientación 16° sentido horario.
11 MPa
41 MPa
5 MPa
35°

10. Desarrollo
a. Representación de estado tensional en círculo de Mohr
• Primero se grafican las caras del estado tensional, en este caso, podemos
trazar una recta entre estos puntos que corresponderá al diámetro, sólo
por el hecho de que ambos puntos presentan igual cortante.
11 MPa
41 MPa
5 MPa
35°
A
B

11. Desarrollo
• Para generar el círculo, lo podemos determinar de manera geométrica o
de manera manual (con los implementos necesarios)
C =
41 + 11
2
= 26
R =
41 − 11
2
2
+ 52 = 15.81
Geométricamente:

12. Desarrollo
b. Magnitud y orientación esfuerzos principales
• Se pueden obtener de forma geométrica o manual
P, Q = C ± R
P = 26 + 15.81 = 41.81 MPa
Q = 26 − 15.81 = 10.19 MPa
Geométricamente:

13. Desarrollo
• Para la orientación se utiliza la teoría de polos, ya que este nos permitirá
determinar los planos en que actúan los esfuerzos combinados (normal y
de corte) y así poder determinar la orientación (inclinación) de los
esfuerzos.
Orientación: P=26°, Q=116°

14. Desarrollo
c. Esfuerzos actuantes sobre los planos X e Y
• A partir del polo, generamos planos según los
ejes X e Y, determinamos para cada eje los
esfuerzos combinados (normal y cortante) que
estén actuando sobre estos planos
• Distinto sería determinar la magnitud y
orientación de los esfuerzos en los ejes X e Y
• Esfuerzos actuantes:
– Plano eje X
– Plano eje Y
σy = 16.25 MPa, τ 𝑦𝑥 = 12.45 MPa
σx = 35.78 MPa, τ 𝑥𝑦 = −12.45 MPa

15. Desarrollo
d. Cortante máxima
• La mayor cortante en el círculo
de Mohr, se encontrará a 90° de
la horizontal, si se quisiese
determinar la mínima cortante, es
evaluar 90° desde la horizontal
pero en el sentido opuesto.
• Cortante máxima:
τmáx = 15.81 MPa

16. Desarrollo
e. Evaluar un plano 15° sentido horario
• Según la definición de la teoría de
polos, podemos evaluar cualquier plano
en este y así determinar la magnitud de
esfuerzos actuantes y si se quisiese su
orientación del plano solicitado.
• Estado tensional:
σN = 23.69 MPa, τ = 15.64 MPa

17. • La figura que se presenta a continuación, corresponde a
la representación de un pozo de agua vertical afectado
por esfuerzos combinados en sus contornos.
• Se tiene la siguiente información del estado tensional:
• Se solicita determinar mediante Círculo de Mohr:
a. Esfuerzos principales y orientación
b. Esfuerzos combinados (normal y cortante) NS y EW con
orientación de esfuerzos normales
c. Suponga una falla N35W presente en la excavación
propuesta, determine su estado tensional con orientación
de la normal y cortante
Ejercicio Propuesto
𝛔 𝐱´ 𝛔 𝐲´ 𝛕 𝐲´𝐱´
13 MPa 21 MPa 4 MPa
τ es la cortante resultante de la interacción de esfuerzos σx´ − σy´

18. Respuestas
a. Q=11.35 MPa, orientación 143°, P=22.65 MPa, orientación 53°
b. NS 18.48 MPa, 5.45 MPa, orientación 90°, EW 15.53 MPa, -5.45 MPa, orientación 0°
c. 21.62 MPa, 3.25 MPa, orientación normal 125°, cortante 35°
**El ángulo de orientación de los esfuerzos propuestos en las respuestas puede tener otro valor (el suplemento de los ángulos
propuestos) con otro sentido (medición horaria - negativo)**

19. Referencias
• Domcke, M. (2006). Cap 2 Esfuerzos 3D. En Ayudantías Fundamentos de
Geotecnia (pp.14-22). Santiago, Chile: Edición propia del autor.
• Jarufe, J. (2016). Esfuerzos [Material de Clase]. Fundamentos de Geomecánica.
Universidad de Santiago de Chile, Región Metropolitana, Santiago.
• Orrego, C. (2015). Análisis de Esfuerzos en tres dimensiones [Material de
Clase]. Fundamentos de Geomecánica. Universidad de Santiago de Chile,
Región Metropolitana, Santiago.
• Yelicich, V. (2016). Ayudantía Círculo de Mohr. Mecánica de Rocas I. Universidad de
Santiago de Chile, Región Metropolitana, Santiago.