1. Equilibrio General
Notas de Clase
Eco. J.C.Segura
j-segura@uniandes.edu.co
Escuela Colombiana de Ingeniería

2. 0. Presentación
En nuestro caso de interés el término Equilibrio General se refiere
tanto a un programa metodológico cuanto a una teoría
metodológico,
substantiva
[Mas-Collel, Whinston & Green, 1995].

3. En cuanto a su carácter Metodológico, la
Aproximación de Equilibrio General…
i. Entiende la estructura social como un sistema cerrado e
interrelacionado en el cual es preciso determinar de manera
simultánea los valores de equilibrio de las variables de interés de
manera que, al evaluar los efectos de una perturbación en el
ambiente económico, los valores de equilibrio de las variables
endógenas en el sistema deban ser recalculados; esto en
contraste con la aproximación de equilibrio parcial, en el cual el
impacto sobre las variables endógenas no directamente
relacionadas con el problema, se ignora.
ii. Pretende reducir el conjunto de variables tomadas como
exógenas a un pequeño número de realidades físicas, tal, el
número de agentes que intervienen, las tecnologías disponibles,
las preferencias y las dotaciones físicas de bienes de los
indivíduos que intervienen, inter alia.

4. Desde el punto de vista Sustantivo, la Teoría del Equilibrio
General, es una teoría sobre la determinación de precios y
cantidades de equilibrio en un sistema de mercados
perfectamente competitivos
Intenta predecir el vector completo de consumos finales
y producciones haciendo uso únicamente de los
elementos fundamentales de la economía (la lista de
bienes, el estado de la tecnología, preferencias y
dotaciones), el supuesto institucional de que existe un
solo precio para cada bien y el supuesto conductual de
que los agentes son tomadores de precios.

5. El modelo requiere la especificación de tres objetos
fundamentales:
• El Ambiente Económico,
• El Mecanismo de Asignación de Recursos, y
• Un Sistema de Derechos de Propiedad
Propiedad.
En desarrollo del modelo se dará especial énfasis a
economías competitivas de propiedad privada en las que
los mecanismos de asignación son los mercados
competitivos y los derechos de propiedad son tales que los
agentes poseen todos los recursos y factores productivos.

6. Esta sección del curso presenta los aspectos
fundamentales del modelo de equilibrio competitivo
conocido como modelo de Arrow y Debreu (AD).
Comenzamos con una descripción general de los
elementos básicos del modelo; examinamos aumentando
en complejidadlos siguientes temas:
• Economías e Intercambio,
• Economías con Producción, y
• El Modelo AD

7. 1. Economías de Intercambio
Para analizar los aspectos esenciales del funcionamiento de los
mercados competitivos introducimos un arreglo económico
conocido como Economía de Intercambio una economía en la
Intercambio,
que no hay oportunidades de producción.
Las únicas actividades económicas que en este modelo
simplificado tienen lugar son el consumo y el intercambio de un
conjunto de mercancías del que se dispone actualmente.
La actividad económica consiste en consumo e intercambio de
bienes, exclusivamente.

8. Intervienen m consumidores en esta economía, cada uno de los
cuales puede ser descrito por una terna:
( X i , u i , ωi )
que indica, en su orden, sus posibilidades de consumo sus
consumo,
preferencias,
preferencias y sus posesiones.
La cantidad total de bienes en la economía está descrito por el
vector:
m
ω = ∑ ωi
i =1

9. Una economía de intercambio comprende m consumidores,
cada uno de los cuales tiene un conjunto de consumo Xi ,
una especificación de sus preferencias, - ui -, y los recursos
que posee, ωi. En forma reducida, una Economía se nota:
E = ( X i , ui , ωi )im 1
=
donde el número de mercancías estará significado con
el parámetro l
Aquí, una mercancía se entenderá como un bien, en el
sentido que Debreu establece en su Teoría del Valor.
“Una mercancía es un bien o servicio completamente
especificado física, temporal y espacialmente”
Debreu G. (1972): Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale: Yale University Press.
1972)

10. El intercambio tiene lugar cuando los consumidores
encuentran que pueden mejorar su condición intercambiando
parte de los recursos que poseen.
Las diferencias en los gustos (preferencias) de los
consumidores y las cantidades y calidades de los
recursos que son de su dominio (dotaciones) permiten la
posibilidad de intercambios ventajosos para los agentes
involucrados.
En ausencia de estas diferencias, no se verificará
intercambio, según mostraremos analíticamente, más
adelante.

11. 1.1. Un Modelo Elemental
El caso de más simple posible es uno en el que intervienen solo dos
agentes que poseen dos mercancías.
Suponga una economía compuesta por i=1,2 consumidores.
Cada consumidor tiene una canasta de bienes ωi ∈ R2 que
describen las cantidades de mercancías que constituyen sus
activos; los agentes tienen cantidades estrictamente positivas de las
dos mercancías.
La cantidad total de mercancías en la economía está dada por:
ω = ω1 + ω2

12. Los agentes tienen conjuntos de consumo (oportunidades de
consumo) compactos tales que:
{
X 1 + X 2 = x ∈ R : x ≤ c, c >> ω1 + ω2
2
+ }
Las preferencias del i-ésimo consumidor se describen
mediante una función de utilidad que se supondrá continua,
fuertemente cuasi-cóncava y monótona que podremos notar:
ui : X i → R

13. Dados estos supuestos generales, el dominio de la
definición de las demandas de los consumidores puede
ser el conjunto:
R+ − {0}
2
Esto se justifica porque a los precios p=0, las demandas
de los consumidores serían:
d i (0) = c
que supera el volumen de recursos en la economía.

14. El consumidor, gracias al supuesto de que es tomador de
precios toma el vector p como parámetro; los precios están
dados; su acción es demasiado débil como para modificarlos.
Así, el supuesto conductual del agente es que en el momento
de elegir, resuelve un problema de optimización consistente en
maximizar su utilidad individual sobre una región factible
determinada por su conjunto presupuestal:
{xi ∈ X i : px i ≤ pωi }
Bajo los supuestos establecidos, el problema de la
maximización de la utilidad tiene una única solución,
x* = d i (p )
i ∀p ∈ R+ − {0}
2

15. Las cantidades de mercancías que los consumidores
desean intercambiar están dadas por sus demandas
netas:
d iN (p ) = d i (p ) − ωi
Para que los dos consumidores puedan realizar sus
demandas en forma simultánea, se requiere que,
dados los precios p*, las cantidades de mercancías a
la venta sean iguales a las cantidades de mercancías
demandadas individualmente, o lo que es lo mismo:
d1 (p *) + d 2 (p *) = ω1 + ω2
d1N (p *) + d 2N (p *) = 0

16. Se llamará asignación a un punto (x1, x2) del conjunto
X 1 * X 2.
Se dice que una asignación (x1, x2) ∈ X1 * X2 es factible
si se verifica que:
x1 + x 2 = ω1 + ω2
Y se dice que la tupla:
[p , x , x ]
* *
1
*
2
es un Equilibrio Competitivo siempre que:
x* = d i ( p )
i ∀i = 1, 2
m m
∑ x = ∑ω
i =1
i
i =1
i

17. Un Equilibrio Competitivo es entonces un estado de la
economía E en el cual cada consumidor maximiza su
utilidad tomando los precios como dados y sus acciones
son compatibles con los recursos existentes.

18. Un Modelo de Juguete: La Caja de Edgeworth
Para estudiar el equilibrio en esta economía modelo, se
hará uso de la llamada Caja de Edgeworth; un ingenioso
diagrama que hace posible describir las posibilidades de
intercambio, dado un conjunto de asignaciones viables en
dos dimensiones.
La construcción de este diagrama se basa en un rectángulo
cuyas dimensiones están dadas por la disponibilidad total
de recursos o dotaciones ω = ω1 + ω2.
La cantidad total del bien uno se mide en el eje de abscisas
en tanto que la cantidad total del bien dos, en el eje de
ordenadas.

19. ω 22 Consumidor 2
ω
ω11 ω 21
Consumidor 1 ω12

20. Cada punto da cuatro coordenadas que corresponden a
posibles distribuciones de la cantidad total de mercancías
entre los dos consumidores.
En la esquina sud-oeste de la Caja se encuentra el origen de
coordenadas del consumidor 1; en la esquina nor-este, el
origen del consumidor 2.
Con este esquema, que no es sino la superposición de dos
mapas de indiferencia, es posible dibujar, las curvas de
indiferencia de los dos consumidores, en el espacio de
asignaciones que les pueden resultar posibles, dados los
recursos existentes en la economía.

21. ω 22 Consumidor 2
ω
ω11 ω 21
Consumidor 1 ω12

22. Dado un vector de precios p ∈ R2-{0}, el conjunto
presupuestal del consumidor 1 es el conjunto de
puntos por debajo de la línea de pendiente –p2/p1 que
pasa por ω ; para el consumidor 2 el conjunto
presupuestario lo conforman los puntos que están por
encima de dicha línea.
Muchas veces, los intercambios que un consumidor
quiere efectuar no coinciden con los del otro
consumidor. En la ilustración a continuación, el
consumidor 1 desea d1(p), mientras el consumidor 2
desea d2(p)

23. ω 22 Consumidor 2
d 2 (p )
d1 (p )
ω
ω11 ω 21
Consumidor 1 ω12

24. La Curva de Oferta-Demanda del i-ésimo consumidor es
una línea que pasa por el punto ωi y se encuentra situada en
el conjunto:
MI i (ωi ) = {x i : u i (x i ) ≥ ui (ωi )}
Al tratar, como en este caso, con preferencias monótonas,
el conjunto MIi estará dado por los puntos por encima de la
curva de indiferencia de referencia del consumidor i.
En consecuencia, los posibles equilibrios en una economía
de intercambio puro con dos agentes y dos mercancías,
estarán ubicados en el área lenticular que conforman las
curvas de indiferencia al pasar por el punto w, que describe,
por construcción, aquellos planes de consumo que:
•Son compatibles con los recursos existentes, y
•En ellos los consumidores están igual o mejor que en la
situación inicial.

25. ω 22 Consumidor 2
ω
ω11 ω 21
Consumidor 1 ω12

26. El equilibrio se verificará cuando las curvas de oferta-demanda de los
dos consumidores se corten, en el interior de esa área. La pendiente
de la línea que en forma simultánea pasa por w, y corta la
intersección de las dos curvas de oferta-demanda, será el vector p*
de precios de equilibrio.
Note que cada punto de la curva de Oferta-Demanda es un punto de
tangencia entre la restricción presupuestal del consumidor y la curva
de indiferencia más alta que su función exhibe.
Como consecuencia, el corte de la función de oferta-demanda con la
restricción de presupuesto constituye el plan de consumo óptimo
para este individuo a los precios p*.
Cuando la restricción de presupuesto corta las dos curvas de oferta-
demanda en forma simultánea, se tiene una situación en la cual:
• Cada consumidor ha escogido su consumo óptimo, y
• Los dos consumos son compatibles con los recursos dados.
Hemos llegado a un equilibrio competitivo

27. Equilibrio en la Caja de Edgeworth
ω 22 Consumidor 2
ω
ω11 ω 21
Consumidor 1 ω12

28. Un Ejemplo Elemental
(Mas-Colell, Whinston & Green [1995])
Suponga que cada uno de los i = 1,2 consumidores tiene
preferencias bien representadas por funciones de utilidad del tipo
Cobb-Douglas,
ui ( x1i , x2i ) = x1i ⋅ x1−α
α
2i
En adición las dotaciones están dadas por ω1 = (1,2), y ω2 =(2,1). El
sistema de precios p = (p1, p2), la riqueza del consumidor 1 es,
naturalmente ( p1 + 2p2 ) y sus demandas, por consecuencia,
descansan en la curva de oferta demanda, OC1:
 α ( p1 + 2 p2 ) (1 − α )( p1 + 2 p2 ) 
OC1 ( p ) =  , 
 p1 p2 
En forma similar, para el individuo 2, tendremos:
 α ( 2 p1 + p2 ) (1 − α )( 2 p1 + p2 ) 
OC2 ( p ) =  , 
 p1 p2 

29. Un Ejemplo Elemental (continuación)
(Mas-Colell, Whinston & Green [1995])
Para determinar los precios de equilibrio, es preciso notar que a esos
precios la cantidad total de bien 1 consumido por los dos
consumidores debe ser igual al total del bien 1 disponible en la
economía que es igual a 3. Así, entonces:
α ( p* + 2 p * ) α ( 2 p * + p * )
1
*
2
+ 1
*
2
=3
p1 p1
Resolviendo esta ecuación se obtiene:
*
p1 α [A]
=
p2 1 − α
*
Observe que para cualquier vector de precios que satisfaga la condición [A], el
mercado de la mercancía 2 se vacía también, lo cual es una característica de las
economías de Caja de Edgeworth : para determinar los precios de equilibrio solo
se necesita determinar los precios a los que uno de los mercados se vacía; el otro
mercado necesariamente deberá vaciarse a esos precios.

30. Note que en el equilibrio, si la utilidad es diferenciable, las
curvas de indiferencia son tangentes y que dicha tangente
común está determinada por la restricción de presupuesto.
Este resultado indica que, los puntos por encima o por
debajo de los de equilibrio no son Pareto Eficientes, esto
es, mejoran el bienestar de un individuo, desmejorando el
del otro.
En términos del teorema de Lagrange, la diferenciabilidad
de las funciones de utilidad, implica que en el equilibrio, la
tasa marginal de sustitución de un individuo es igual a la del
otro: es condición de primer orden para el equilibrio.

31. La Ley de Walras
Para cualquier vector p de precios, la monotonía de las
preferencias implica:
pd1 (p ) − pω1 (p ) = 0

pd 2 (p ) − pω2 (p ) = 0
De manera que si se suman estas dos ecuaciones:
p1  d11 ( p ) + d 21 ( p )  + p2  d12 ( p ) + d 22 ( p )  = 0

N N
 
N N

Que para el caso más simple expresa la Ley de Walras.

32. Teniendo en mente los resultados gráficos de la Caja
de Edgeworth, para un vector de precios p>>0, la
Ley de Walras implica que si en el mercado del bien
1 hay exceso de oferta:
d11 (p ) + d 21 (p ) < 0
N N
En el mercado del bien 2 habrá, por
construcción, exceso de demanda:
d12 (p ) + d 22 (p ) > 0
N N

33. Por consiguiente, resulta que:
p1  d11 ( p ) + d 21 ( p )  = 0 ⇔ p2  d12 ( p ) + d 22 ( p )  = 0

N N
 
N N

Esto es, hay equilibrio en un mercado si y
solo si hay equilibrio en los dos.

34. Esta propiedad hace posible representar el equilibrio de
este modelo sencillo mediante el estudio de un solo
mercado.
Como la función de demanda es homogénea de grado
cero en los precios (solo importan los precios relativos;
no existe ilusión monetaria):
d i (p ) = d i (λp )
1
y tomando: λ=
p1 + p2
que equivale a tomar p1 + p2 = 1, se puede estudiar el
comportamiento de los dos mercados como función del
precio de la mercancía 2, p2:

35. Empecemos por definir
 z1 ( p2 ) = d11 (1 − p2 , p2 ) + d 21 (1 − p2 , p2 )

N N

 z 2 ( p2 ) = d12 (1 − p2 , p2 ) + d 22 (1 − p2 , p2 )

N N
Donde z2(p2) cabe entenderse como la función de
demanda agregada neta de la mercancía 2.
El mercado del bien 2 estará en equilibrio cuando
para algún precio p2* se cumpla con la condición de
que z2(p2) = 0, es decir cuando la función z2(p2) corta
el eje de las abscisas:

36. z 2 ( p2 )
0 * p2
p2

37. De acuerdo con la ilustración:
•La función z2 describe el equilibrio de la economía como
un todo porque de acuerdo con lo afirmado supra, el
equilibrio de un mercado, solo es posible si el otro
mercado está en equilibrio.
•La forma de z2 señala que, para precios cercanos a
cero, la demanda neta es alta en tanto que, para precios
muy altos la demanda neta es negativa (los
consumidores preferirán vender bien 2 y con el ingreso
de esta venta, comprar bien 1, que es más barato).

38. Existencia de un Equilibrio – Preliminar
(Varian [1993]; Villar, [1999])
Por la monotonía de las preferencias, se sabe que cuando p2 = 0, z2(0) > 0. De otro
lado, cuando p2 = 1, la demanda neta agregada de la mercancía 1, esto es z1(1)
resulta estrictamente positiva. En efecto:
p1 + p2 = 1 ⇒ p2 = 1 − p1
∴ 1 = 1 − p1 → p1 = 0
Recuerde que las funciones que se están tratando son continuas. Por lo tanto
para cualquier número ε>0 tan pequeño como sea necesario, se debe seguir
cumpliendo que:
z1 (1 − ε ) > 0
Esto es, para el precio p2’ = ( 1 - ε ), la demanda neta agregada de la
mercancía 1 seguirá siendo estrictamente positiva.

39. Existencia de un Equilibrio – Preliminar (Continuación )
(Varian [1993]; Villar, [1999])
En este caso, la Ley de Walras implica necesariamente que:
z2 ( p2 ) = z2 (1 − ε ) < 0
'
Es decir, z2 que es una función contínua es positiva para un valor
de p2 = 0, y negativa para un valor de p2’ = ( 1 – ε ).
Esto implica que necesariamente existirá un valor intermedio:
p2 ∈ ( 0,1)
*
Al cual: z 2 ( p2 ) = 0
*

40. Economías de Intercambio: El Modelo General
Suponga una economía de intercambio puro compuesta por
m consumidores y l mercancías. El i-ésimo consumidor se
caracteriza por
• Un conjunto de consumo: Xi=Rl+
• Una función de utilidad: ui: Rl+→ R, continua, estrictamente
cuasi-cóncava y monótona creciente, y
• Una provisión o dotación inicial de recursos ωi ∈ Rl+
• El poder adquisitivo o capacidad de gasto es función de
los precios de mercado, p: Mi(p) = pωi
m
• Los recursos totales son: ω = ∑ωi ∈ R+
l
i =1

41. La representación resumida de esta economía de
intercambio es pues:
E = [ X i ,ui , ω ]
m
i i =1
Cuya naturaleza se precisará con el siguiente
supuesto:
∀i = 1,2,L ,m
a. X i = R+ l

b. ui : R+ → R
l
c. ω >> 0
 i

42. Las partes a. y b. del supuesto establecen que el
consumidor está dotado con preferencias completas,
transitivas, y continuas, convexas y monótonas
definidas sobre el espacio de las l mercancías
disponibles.
La parte c. Establece que cada consumidor tiene
cantidades estrictamente positivas de todos los bienes
en la economía.
Dado un vector de precios p contenido en el espacio de
las mercancías, el i-ésimo consumidor determina su
demanda como solución del problema:
max ui (x i )

s .a . : px i ≤ pωi 
x i ∈ R+ 
l


43. • Gracias a las condiciones a., b., c. propuestas, este
problema tiene un conjunto factible no vacío y por la cuasi-
concavidad estricta de la función de utilidad, una solución
única.
• Cuando los precios son estrictamente positivos, el
problema de optimización tendrá siempre una solución que
variará en forma continua con los precios.
• En consecuencia, la función de demanda del consumidor
es:
x* = d i (p )
i
que es función homogénea de grado cero en p
• La monotonía de las preferencias implica que:
pdi ( p) = pωi ( p)

44. La Función de Demanda Neta es una relaciónd i
N
: R+ → R l
l
que a cada vector de precios p asocia el vector: d iN (p ) = d i (p ) − ωi
que representa la diferencia entre lo que el consumidor individual
desea y lo que tiene. Los elementos positivos de este vector son
las compras que el individuo quiere realizar, mientras que las
entradas negativas, las ventas que hace de sus recursos.
Como en el equilibrio del consumidor se debe cumplir que:
pd i (p ) = pωi (p )
debe cumplirse que:
pd iN (p ) = 0
(el valor de las demandas netas del i-ésimo consumidor ha de ser cero).

45. Finalmente, la función de exceso de demanda (función de
demanda neta agregada), está dada por:
m m m
z(p ) = ∑ d iN (p ) = ∑ d i ( p ) − ∑ ωi
i =1 i =1 i =1
Y dado que el valor de las demandas netas debe ser igual a
cero en equilibrio ∀ i=1,2,..., m y ∀ p ∈ R+l , se tiene
que:
m
pz(p ) = ∑ pd iN (p ) = 0
i =1
Que es la Ley de Walras según la cual:
precios,
Para cualquier vector de precios, el valor de los
excesos de demanda siempre será igual a cero
en el equilibrio

46. 1. El equilibrio se entiende entonces como un estado del
mundo en el que todos los consumidores realizan -motu
propio- sus planes de consumo en forma simultánea y
en el que la suma de las decisiones individuales es
compatible con los recursos disponible.
2. En presencia de un vector p de precios cada consumidor
computa la cesta de mercancías que quiere consumir y
determina los intercambios necesarios para lograrla.
3. Tratará de vender sus excedentes de mercancías y con
la retribución de las ventas, utilizar esta capacidad de
gasto para satisfacer sus carencias.
Para que todos los consumidores realicen sus
planes de consumo, la cantidad total de mercancías
a la venta debe ser igual a la cantidad total de
mercancías que se desea adquirir:
z (p ) = 0

47. Cada consumidor maximiza su utilidad dado el espacio
presupuestal que le compete, y estas acciones son
economía.
compatibles con la riqueza de la economía.
Como consecuencia, un equilibrio en una economía de
intercambio es una redistribución de los recursos
disponibles de tal forma que, a los precios de mercado,
cada consumidor consume la combinación preferida de
mercancías, de todas aquellas de entre las que puede
elegir.
elegir.
¿Recuerdan la venerable Mano Invisible?

48. Dada la anterior intuición de la noción de equilibrio
considere la siguiente definición:
Un equilibrio de intercambio es un vector de precios y una
asignación:
p*, ( xim1 )  ∈ R+ x Π im 1 X i
l
 =  =
tales que:
(a) Para todo i, xi* hace máxima ui sobre el conjunto presupuestal
{
βi (p * ) ≡ xi ∈ R+ : p * x i ≤ p * ωi
l
}
(b) Las demandas son viables:
m m
∑ i
x* =∑ ωi
i =1 i =1

49. Con la definición anterior es claro que el vector p* ∈ R+l es un
vector de precios de equilibrio si y solo si z(p*) = 0.
Desde una óptica analítica, encontrar un equilibrio supone
resolver un sistema de cuadrado de l ecuaciones por l
incógnitas, siendo las ecuaciones las demandas agregadas
netas por el l-ésimo bien y las incógnitas, los precios. En
consecuencia, un equilibrio está asociado a un vector de
precios p* que resuelve el sistema:
z1 (p ) = 0 

z 2 (p ) = 0 

LLLL
zl (p ) = 0 

50. El objetivo es desde luego ambicioso (Villar, [1999], p. 110 & ss). En
efecto, sin considerar explícitamente la forma precisa de las funciones
zk(p) se quiere garantizar que el sistema tiene solución para
cualquier función de exceso de demanda continua y que verifique la
Ley de Walras.
Dado que p=0 no puede ser un precio de equilibrio pues las demandas se harían
infinitas, los precios que son solución del sistema Z(p) = 0 propuesto deberán estar
{}
en el conjunto R+ − 0
l
Como la función de demanda es homogénea de grado cero en precios, es claro que
para cualquier p en el conjunto antedicho, es posible tomar
1
λ=
∑
l
k =1
pk
De forma que cada vector de precios puede ser transformado en un vector
 p p p 
p ' = λ p =  l 1 , l 2 ,L , l l 
 ∑ pk ∑ pk ∑ k =1 pk 
 k =1 k =1 

51. La normalización propuesta sobre los precios tiene por propiedad que
la suma de los precios normalizados es uno, es decir:
l
∑ pk = 1
'
k =1
Con este resultado, es posible reemplazar el conjunto R+l-{0} por el
siguiente:
{ }
S = p ∈ R+ : ∑ k =1 pk = 1
l l
Que se conoce como Conjunto Normalizado de Precios o,
alternativamente, Símplex Unitario de Precios. Es fácil mostrar que
esta normalización implica un dominio compacto y convexo para las
funciones de demanda.

52. Puesto que la suma de los precios normalizados ha de ser siempre
igual a 1, es posible entonces limitar el análisis a los vectores de
precios que están en el Símplex Unitario de dimensión k-1:
S l −1
{
= p ∈ R : ∑ k =1 pk = 1
l
+
l
}
Los símplices en los casos l - 1 = 1 y l - 2 = 2 se ilustran como sigue:
p2
p2
p1 + p2 + p3 = 1
p1 + p2 = 1 p1
Símplex Bi dimensional: S2
p3
p1
Símplex Unitario

53. Existencia de un Equilibrio en el Caso General
La cuestión de la existencia de un equilibrio es crucial. Un
modelo sin solución (equilibrio) carece de sentido y utilidad.
La pregunta aquí es si existe un vector de precios p* al cual
todos los mercados se vacíen.
La idea tras la demostración de existencia es que cuando la
función de exceso de demanda es continua y cumple la Ley
de Walras, existe un equilibrio.
Para este propósito de existencia nos valdremos del
Teorema del Punto Fijo de Brouwer.

54. Existencia de un Equilibrio en el Caso General
Las pruebas de existencia juegan un papel esencial en teoría
económica. En efecto, un modelo que carece de solución es
inconsistente y por tanto inútil.
Además, las pruebas de existencia, per se esclarecen el rol de los
supuestos que fundamentan el modelo y, por consiguiente, facilitan
la búsqueda de supuestos más débiles, ampliando el campo en el
que la teoría aplica.
El modelista aplicado no está dispensado de esta disciplina con el
argumento de que un modelo razonablemente ajustado a los
supuestos puede ser siempre calibrado de manera que obtenga
siempre una solución. No obstante la calibración no será de ayuda
cuando el modelista requiera computar una nueva solución luego
de haber cambiado el valor de algún parámetro. Así, requerirá
conocer el rango en el que las variaciones paramétricas dan lugar a
una solución.
Finalmente, las pruebas de existencia son útiles porque en general
se basan en la construcción de aplicaciones de puntos fijos que
servirán de base a los algoritmos que resuelven el modelo
numéricamente.

55. Teorema del Punto Fijo de Brouwer :
(cfr. Varian, H. [1993])
Si f: Sl-1 → Sl-1 es una función continua que va del símplex unitario a
sí mismo, entonces existe un x perteneciente a Sl-1 tal que x = f(x)
Para el caso en que l = 2, una prueba de este teorema se basa en la
identificación del símplex unidimensional S1 con el intervalo [0,1].
El teorema dice que se tiene una función continua que se mapea sobre si
misma, es decir, f: [0,1] → [0,1] y se quiere mostrar que hay un x ∈ [0,1]
para el que se cumple que x = f(x).

56. Suponga una función G(x) = f(x) – x que en términos geométricos
mide la distancia entre f(x) y la diagonal de la gráfica a continuación.
Un punto fijo de f(x) es un x* para el que G(x) = 0.
f(x)
C
B
A
x

57. Teorema del Punto Fijo de Brouwer:
Una Prueba Básica (continuación)
Observe que para:
• G(0) = f(0) – 0 ≥ 0 porque efectivamente 0 ∈ [0,1].
• G(1) = f(1) – 1 ≤ 0 porque efectivamente 1 ∈ [0,1].
Como f se ha supuesto continua, la aplicación del teorema
del valor medio(*) es inmediata y se pueden concluir que
existe un x ∈ [0,1] tal que
G (x) = f (x) – x = 0 ∎
(*) cfr. Sydsaeter and Hammond [1996].

58. Con el teorema de Brouwer estamos en posición de probar la
existencia de equilibrios Walrasianos:
Teorema: ( Existencia de un Equilibrio Walrasiano ):
Sea z : S l −1 → S l −1 una función continua que cumple la Ley de Walras,
pz ( p ) ≡ 0, entonces existe un p* ∈ S l −1 tal que z ( p *) ≤ 0
con pk = 0 si z k ( p *) < 0.
*

59. Existencia de Equilibrios Walrasianos
(Demostración)
La Demostración general de la existencia de equilibrios
Walrasianos se adelanta en dos etapas fundamentales:
1. Definición de una correspondencia (función) continua de
los precios en si misma;
2. Verificación de las Condiciones de Equilibrio

60. Existencia de Equilibrios Walrasianos
(Demostración)
1. Construcción de la Función. Considere la función:
Función.
pk + max  0, zk ( p ) 
*
 
Gk ( p ) =
∑ j
p j + ∑ j max 0, z j ( p ) 
 
Como p ∈ Sl y z(p) son continuas, G(p) aplica el simplex en un conjunto
compacto. En adición, se tiene que:
max[0 , z k ( p )] ≥ 0
∑ j
[ ]
max 0 , z j ( p ) ≥ 0
∑ j
pj =1
por lo cual el denominador es estrictamente positivo y la función G(p) es
continua y aplica Sl-1 sobre si misma.

61. Existencia de Equilibrios Walrasianos
(Demostración)
En este punto se puede invocar el Teorema de Brouwer, de acuerdo
con el cual existe un p* tal que pk* = Gk(p*). A partir de la definición
de Gk(p*), en el punto fijo se deberá tener:
p* = k
[ ( )]
p* + max 0 , z k p*
k
[ ( )]
1 + ∑ j max 0 , z j p*

62. Existencia de Equilibrios Walrasianos
(Demostración)
2. Verificación de las condiciones de Equilibrio: Se debe mostrar que
Equilibrio:
en el punto fijo zk(p*) ≤ 0. Al multiplicar a ambos lados de esta
expresión por el denominador, se obtiene:
pk + max 0, zk ( p* ) 
*
 
pk =
*
1 + ∑ j max 0, z j ( p* ) 
 
( [ ( )])
p 1 + ∑ j max 0 , z j p = k
[ ( )] (
p* + max 0 , z k p*
[ ( )])
1 + ∑ j max 0 , z j p*
[ ( )]
* *
1 + ∑ j max 0 , z j p*
k
k k [ ( )] k [ ( )]
p* + p* ∑ j max 0, z j p* = p* + max 0 , z k p*
[ ( )] [ ( )]
p* ∑ j max 0, z j p* = max 0 , z k p*
k

63. Existencia de Equilibrios Walrasianos
(Demostración)
Multiplicando cada término de esta expresión por zk(p*) y sumando
sobre k tendremos:
∑ k
( ) [ ( )] ( ) [ ( )]
p* zk p* ⋅∑ j max 0, z j p* = ∑k zk p* ⋅ max 0 , z k p*
k
Note que en el LHS de esta expresión, el término
∑ k
( )
p* z k p* = 0
k
por la Ley de Walras de manera que:
∑k ( ) [ ( )]
z k p* ⋅ max 0 , z k p* = 0

64. Existencia de Equilibrios Walrasianos
(Demostración)
Cada término en la suma obtenida,
∑k zk ( p* ) ⋅ max 0, zk ( p* )  = 0
 
puede tomar los siguientes valores:
( ) 0 ↔ z k p* ≤ 0
∑ z ( p )⋅ max[0, z ( p )] [ ( )]
k k
*
k
*
=
( )
zk p* 2
↔ z k p* > 0

Los términos nulos no contribuyen a esta suma. Todos los demás son
positivos pero, en este caso, la expresión en el LHS no podría ser igual a
cero. En consecuencia, ninguno de los excesos de demanda, zk(p*) puede
ser positivo █

65. Nota:
La función G puede entenderse como el cambio que los mercados
producen en los precios cuando no hay equilibrio. En efecto, G aplica
el simplex sobre si mismo de modo que transforma vectores de
precios en vectores de precios.
Suponga p un vector de precios de no equilibrio; si encontramos que
zk(p)>0, esto es, en circunstancias en la que hay exceso de demanda
por la k-ésima mercancía, la función G establece que el precio de
esta mercancía debe subir.

66. Un Ejemplo de Pequeñas Dimensiones
(Monsalve, [1999])
Una economía E de intercambio puro comprende dos
mercancías, x e y , y dos consumidores, A, B cada uno
con preferencias:
( )
u A x A , y A = x A y A ;

 B B B
( )
u x , y = x B y B

y con dotaciones iniciales
x y
A 1 2
B 2 2

67. El consumidor A resuelve el problema:
( )
max u A x A , y A = x A y A



 s .a . p x x A + p y y A = p x + 2 p y
El Lagrangeano asociado es:
(
Φ A (.) = x A y A + λ p x + 2 p y − p x x A − p y y A )
Las CPO dan: De donde:
 y A / x A = px / p y
 x A ( px , p y ) = 1 / 2 + ( p y / px )

  A
 px x + p y y = px + 2 p y  y ( px , p y ) = 1 + ( px / 2 p y )
A A
 

68. Por su parte, el consumidor B resuelve el problema:
( )
max u B x B , y B = x B y B



 s .a . p x x B + p x y B = 2 p x + 2 p y
El Lagrangeano asociado es:
(
Φ B (.) = x B y B + λ 2 p x + 2 p y − p x x B − p y y B )
Las CPO dan: De donde:
 y B / x B = px / p y
 x B ( px , p y ) = 1 + ( p y / px )

  B
 px x + p y y = 2 px + 2 p y  y ( px , p y ) = 1 + ( px / p y )
B B
 

69. En este caso las funciones de exceso de demanda son:
 ( A
)
 z x ( p x , p y ) = x A ( p x , p y ) + x B ( p x , p y ) − ω x + ωB = (2 p y / p x ) − 3 / 2
x


B
( A
)
 z y ( p x , p y ) = y ( p x , p y ) + y ( p x , p y ) − ω y + ω y = (3 p x / 2 p y ) − 2
A B
Estas dos ecuaciones verifican la Ley de Walras, esto es, para cualquier par
de precios positivos (px,py) se tendrá que:
p x z x ( p x , p y ) + p y z y ( p x , p y ) = 2 p y − (3 p x / 2 ) + (3 p x / 2 ) − 2 p y = 0
Así, será suficiente igualar a cero una de las funciones de exceso de
demanda para hallar los precios (relativos) de equilibrio, por ejemplo:
z y ( p x , p y ) = (3 p x / 2 p y ) − 2 = 0 ⇒ ( p x / p y ) = 4 / 3
*

70. Luego de reemplazar estos precios (de equilibrio) en las
demandas individuales de A, B por las mercancías x e y los
consumos de equilibrio general (en una economía de intercambio
puro) serán:
Agente / Bien x y
A 5/ 4 5/ 3
B 7/ 4 7/3
No deje de notar que esta solución es viable en términos de las
disponibilidades totales de bienes en la economía, esto es,
verifican:
m m
∑ i
x* =∑ ωi
i =1 i =1

71. Observación:
Observación:
A efectos de cálculo numérico, bastará con especificar el sistema
de ecuaciones z(p) = 0:
 ( A
)
 z x ( p x , p y ) = x A ( p x , p y ) + x B ( p x , p y ) − ω x + ωB = (2 p y / p x ) − 3 / 2
x


B
( A
)
 z y ( p x , p y ) = y ( p x , p y ) + y ( p x , p y ) − ω y + ω y = (3 p x / 2 p y ) − 2
A B
Previa asignación de los parámetros o datos.
Cómo sería la solución CNS?
Cómo plantearía este problema en términos NLP? Hint: tenga en cuenta el
primer teorema del bienestar.

72. Eficiencia, Unicidad, Estabilidad
Preguntas que queremos resolver:
1. ¿Son deseables, socialmente apropiadas o aún justas las
asignaciones de recursos logradas a través de mercados
competitivos?
2. ¿Cómo se determinan los precios de equilibrio?
La primera pregunta aborda el problema de la evaluación normativa de los
resultados de las asignaciones logradas a través de los mercados desde la óptica
del bienestar de las sociedad. Un problema de economía normativa antes que de
economía positiva.
Con la segunda pregunta se quiere saber (i) cuantos equilibrios podemos hallar, y
(ii) como se llega a estos equilibrios.
Abordaremos por turno estas dos cuestiones

73. Eficiencia y Noción de Óptimo
Si hemos de citar al criterio de Pareto es preciso aceptar por
adelantado de que se trata de un criterio mínimo de aceptabilidad de
los resultados del funcionamiento de una economía de mercado.
En particular, puede parecer que proposiciones que propendan por que no se
desaproveche ninguna oportunidad de aumentar el bienestar de todos los
individuos, no tienen demasiados opositores. El criterio de Pareto dice que
una asignación es mejor que otra cuando todos los individuos la prefieren.
En este sentido, un Optimo de Pareto se puede definir como un elemento
maximal de una relación entre asignaciones: una asignación es Óptima en el
Sentido de Pareto si no es posible encontrar otra asignación en la que todos
los individuos estén mejor.
Formalicemos este concepto:

74. Formalizando…
Definición PS.- Una asignación factible
PS. (x ) o m
i i=1 se dice que es Pareto Superior
a otra asignación factible x ( )
o m
i i=1 siempre que:
ui ( x )
o m
i i =1 ≥ ui ( x
1 m
)
i i =1 ∀i, y ui ( x )
o m
i i =1 > ui ( x1 m
)
i i =1 para algún k
Definición OP.- Una asignación factible
OP. (x ) o m
i i=1 es un Óptimo de Pareto
(o una Asignación Pareto-Eficiente si no existe ninguna otra asignación
Pareto-Eficiente)
factible que sea Pareto Superior a ésta

75. El criterio de Pareto es sin embargo un criterio ciertamente débil a la
hora de valorar el bienestar colectivo. La expresión: Una asignación
es mejor que otra si y solo si todos los individuos la prefieren, es una
expresión particular del principio ético que aspira a conseguir “el
mayor bien para el mayor número” que es difícilmente discutible.
No obstante, el criterio en si mismo tiene dificultades que es preciso señalar:
1. El Criterio de Pareto no permite comparar situaciones en las que un
individuo mejora cuando otro simultáneamente desmejora. La vida real
muestra que esta es más la regla que la excepción.
2. El Criterio de Pareto no incluye ningún criterio de justicia distributiva; la
vida real enseña (o parece sugerir) que no todos los óptimos de Pareto
son socialmente aceptables.
3. El Criterio de Pareto no permite comparar entre diversas asignaciones
Optimas alternativas.
4. El bienestar de la sociedad se valora en términos de las preferencias
individuales por lo que afirmar que una asignación es preferida a otra es
lo mismo que decir que los individuos la prefieren sobre la alternativa.
Este criterio carece por tanto de universalidad.

76. Observación
El Criterio de Pareto es un punto de partida
para el análisis de los resultados de una
organización económica y social.
Es un criterio de eficiencia y por
consiguiente, un requisito mínimo para la
evaluación del desempeño de la
organización social prevalente

77. Primer Teorema del Bienestar
La determinación del Criterio de Pareto como un requisito esencial mínimo de
eficiencia para una asignación factible da como resultado el siguiente:
Un Equilibrio Competitivo determina una asignación Pareto eficiente. Este
resultado se conoce como Primer Teorema del Bienestar (PTB):
Teorema Sea E una economía en la que cada uno de los consumidores exhibe
Teorema:
una función de utilidad que satisface no saciedad local. Si un equilibrio para esta
economía es un vector de precios y una asignación factible
 p * , ( x* ) m 

 i i=1 

entonces la asignación x( )* m
i i=1 es eficiente en el sentido de Pareto.
Prueba: El lector interesado puede revisar Villar, A (1999)
Prueba:

78. Segundo Teorema del Bienestar
De acuerdo con el Primer Teorema del Bienestar (PTB), toda asignación de
equilibrio competitivo es una asignación Pareto Óptima.
Óptima
Note sin embargo que la asignación que se pueda alcanzar depende en buena
parte de la distribución inicial de la riqueza entre los consumidores porque,
efectivamente, el equilibrio garantiza distribuciones de bienestar en las que nadie
empeora en relación con su situación pre-intercambio.
Aunque un equilibrio competitivo se logra luego de agotar todas las oportunidades
de intercambio posibles, también es cierto que la distribución de bienestar
resultante refleja la distribución inicial de oportunidades de la que se parte.
Dadas estas circunstancias: ¿Es posible modificar estas condiciones iniciales de
manera que llevaran a una asignación final con una distribución del bienestar
predeterminada, esto es, una distribución socialmente deseable?

79. Segundo Teorema del Bienestar (cont.)
El Segundo Teorema del Bienestar (STB) garantiza la posibilidad de lograr
asignaciones Pareto-Óptimas predeterminadas, planeadas ó socialmente
deseables, a través de redistribuciones convenientes de la riqueza de los
individuos:
Pareto-
Toda asignación Pareto-Eficiente puede ser alcanzada como un equilibrio
competitivo, siempre que sea posible redistribuir la riqueza de los consumidores en
la forma necesaria y conveniente.
conveniente.
Debe notarse que, en este contexto, las dotaciones iniciales, que eran tomadas
inicialmente como un parámetro, ahora entran como una variable de política.
Por lo tanto, el STB hace posible conseguir asignaciones eficientes
predeterminadas, respetando el mecanismo de asignación de recursos mediante
cambios en la estructura de derechos de propiedad. Con esto se compatibilizan
dos objetivos sociales importantes (aunque a veces conflictivos): eficiencia y
equidad.
equidad

80. Segundo Teorema del Bienestar (cont.)
Observación:
Observación: las dotaciones de recursos son ahora consideradas variables; en
consecuencia, describiremos una economía mediante:
E= ( X i , ui )m ; ω 
 i =1 
Una expresión común es aquella según la cual el STB permite descentralizar
asignaciones eficientes, ya que permite alcanzar este tipo de asignaciones
como resultado de la coordinación de acciones absolutamente individuales, a
través de los mercados.

81. Segundo Teorema del Bienestar (cont.)
Teorema: Sea E = ( X i , ui )i =1 ; ω  una economía de intercambio en la que pata
m
Teorema:
 
todo i = 1,…,m, Xi es un conjunto convexo y ui es una función de utilidad tipo:
( x*i )i=1 una asignación
m
continua, cuasi-cóncava y no saciable localmente. Sea
Pareto eficiente tal que x*
i está en el interior de Xi , para todo i. Entonces, existe
l
un vector de precios p* en R+ , p* ≠ 0 y una distribución de riqueza M*, tal que:
 p* , ( x* ) m 

 i i=1 

es un equilibrio competitivo.
Demostración Ver Villar (1999)
Demostración:

82. En resumen STB dice que cualquier asignación Pareto eficiente
puede ser descentralizada siempre que haya una redistribución
conveniente de los recursos iniciales y, eventualmente, la propiedad
de las empresas.
Consecuentemente, este resultado sugiere un procedimiento
específico para el desarrollo de políticas redistributivas que respeta el
mecanismo competitivo de asignación de recursos y hace compatibles
eficiencia y equidad.
equidad.

83. Equilibrio y Optimalidad
¿Cuales son las propiedades de las asignaciones Pareto óptimas en términos
de las tasas marginales de sustitución de los agentes?
Estas propiedades hacen posible caracterizar las asignaciones eficientes con
independencia de los mercados, con lo que se ganará mayor comprensión
sobre:
1. Las implicaciones de la eficiencia,
2. Las relaciones entre equilibrio competitivo y optimalidad,
3. El análisis de aquellos casos en los cuales los mercados no logran
asignaciones eficientes, esto es, en los cuales los mercados
fallan.

84. Equilibrio y Optimalidad
Supuestos analíticos:
1. Cada consumidor tiene una relación de preferencias representable
mediante una función de utilidad diferenciable.
2. La economía contiene m consumidores que adquieren o desean
adquirir un paquete de bienes de entre los l bienes diferentes
disponibles.
3. ω nota los recursos iniciales, - las dotaciones.
4. El conjunto de asignaciones factibles está dado por aquellos planes
de consumo compatibles con los recursos disponibles, i.e.
xi ≥ 0, ∀i

( xi )i=1
m
es asignación factible si:  m
∑ i =1 xi ≤∑ i =1 ωi
m


85. Equilibrio y Optimalidad
Dado el conjunto de asignaciones factibles, una forma de encontrar
asignaciones Eficientes en el Sentido de Pareto consiste en maximizar
la función:
∑ α i ui ( xi )
m
i =1
sujeta a la restricción de recursos habitual.
Observe que el conjunto de asignaciones factibles determina el
conjunto de posibilidades de utilidad de manera que la maximización
del objetivo propuesto hace posible alcanzar la frontera del conjunto de
posibilidades antedicho que está constituida por puntos Pareto
Optimos (por qué?).
Si las funciones de utilidad son cóncavas, el conjunto de posibilidades
de utilidad es convexo y, como consecuencia, cualquier punto de la
frontera de posibilidades de utilidad es solución del problema de
maximización propuesto, eligiendo apropiadamente los ponderadores
αi (o ponderadores de Negishi)

86. Equilibrio y Optimalidad
Si se cumplen los supuestos iniciales
(diferenciabilidad, cuasi-concavidad estricta y
monotonía de las funciones de utilidad, y
convexidad del conjunto de posibilidades de
utilidad), las condiciones de primer orden (CPO) del
problema formulado son suficientes y se puede
garantizar como consecuencia que las asignaciones
óptimas en el sentido de Pareto pueden ser
caracterizadas en términos de sus propiedades
marginales.

87. Equilibrio y Optimalidad
Suponga el siguiente programa, cuya solución proporciona una
asignación óptima en el sentido de Pareto:
∑ α i ui ( xi )
m
max i =1
xi
∑ m xik ≤∑ m ωik ∀k = 1,..., l

s.t.:  i =1 i =1
 xi ≥ 0, ∀i = 1,..., m
 0,
el lagrangeano es:
Θ ( xi ; λk ) = ∑ i =1α i ui ( xi ) − ∑ l =1 λk  ∑ i =1 xik − ∑ i =1 ωik 
m k m m
 
donde las condiciones relevantes para óptimo son:
∂Θ ∂xik = α i ∂ui ∂xik − λk = 0

88. Equilibrio y Optimalidad
Estas condiciones suponen, para uno de los i consumidores,
tomando cualquier par k.t de bienes que
λk λt ∂ui ∂xit λt
αi = = , k , t = 1,L , l ⇒ = = TMS ki ,t , k , t = 1,L , l
∂ui ∂xik ∂ui ∂xit ∂ui ∂xik λk
cuya interpretación económica es que la Tasa Marginal de Sustitución entre los dos
bienes debe ser igual al cuociente de los multiplicadores asociados que, según se
sabe, son expresión de los precios (son precios sobra en efecto).
Observe que los multiplicadores se refieren a las mercancías, por lo que este
resultado es válido para todos los i consumidores involucrados en el análisis.

89. Equilibrio y Optimalidad
Es decir si este resultado es valido para el consumidor i, también lo
será para el consumidor j, i,j, = 1,…,m. de esta forma tomando dos
consumidores diferentes, y dos mercancías k,t, tendremos:
∂ui ∂xit λt ∂u j ∂x jt  i, t , = 1,L , l
= = , 
∂ui ∂xik λk ∂u j ∂x jk i, j = 1,L , m
En forma más concisa:
λt  pt   i, t , = 1,L , l
TMS = TMS =
i
= ρ  ,
j

t ,k
λkt ,k
 pk  i, j = 1,L , m
En el equilibrio, las Tasas Marginales de Sustitución entre
pares de bienes es la misma entre consumidores e igual a la
relación de precios. El PTB garantiza que estas condiciones
Pareto-
son asignaciones Pareto-Óptimas.

90. Equilibrio y Optimalidad – Un Ejemplo
(Monsalve, Ed., [1999])
Suponga una economía de intercambio puro de dos mercancías y
dos consumidores cuyas funciones (tipo) de utilidad son:
Consumidor A: u A ( x A , y A ) = x A y A


Consumidor B: u B ( x B , y B ) = ( x B ) y B
2


Las dotaciones iniciales agregadas de las mercancías x, y son 3 y 2
unidades, respectivamente. De acuerdo con los resultados de la parte
analítica, las TMS de los consumidores son:
 ( ∂u A ∂x A ) yA
− =− A
 ( ∂u ∂y )
A A
 x

 ( ∂u ∂x B )
B
2 yB
− =− B
 ( ∂u ∂y )
B B
x


91. Equilibrio y Optimalidad – Un Ejemplo
(Monsalve, Ed., [1999])
Igualando las TMS y haciendo uso del hecho de que:
x + x = 3
 A B
 A
y + y = 2
B

tendremos una expresión para la Curva de Contrato que reúne todas
Contrato,
aquellas asignaciones viables que son Óptimas en el sentido de
Pareto:
y A 2 yB
A
= B
x x
yA 2(2 − y ) 4 − 2yA
A
= = →
x A
3− x A
3− x A
y A (3 − x A ) = x A ( 4 − 2 y A ) →
3 y A − x A y A = 4x A − 2x A y A → 3 y A − x A y A + 2x A y A = 4x A →
y A (3 − x A + 2x A ) = 4x A
y A = 4 x A ( x A + 3)

92. Conjunto de Pareto: y A = 4 x A ( x A + 3) , x A ∈ [ 0,3]
0B
2 0
,0
1 5
,7
1 0
,5
1 5
,2
1 0
,0
0 5
,7
0 0
,5
0 5
,2
-
A - 0 0
,5 1 0
,0 1 0
,5 2 0
,0 2 0
,5 3 0
,0
0

93. Óptimos de Pareto y la Justicia
El Criterio de Pareto parece ser un buen criterio de eficiencia; sin
embargo resulta débil como criterio normativo. Es posible obtener
asignaciones óptimas según ese criterio que pueden resultar
cuestionables desde alguna posición ética. La Noción de Optimalidad
de Pareto no es necesariamente deseable para una sociedad porque
no conlleva ningún criterio de justicia o equidad. (Monsalve, S, ed.
equidad.
[1999]).
Sin embargo, considere la siguiente propuesta:
Una asignación se dice equitativa, si ningún consumidor envidia al
otro; es decir, si ningún consumidor prefiere el plan de consumo de
otro al suyo.
Por ejemplo, la asignación ((xA,yA), (xB,yB)) es equitativa si:
u A ( x A , y A ) ≥ u A ( xB , yB ) , y
u B ( xB , y B ) ≥ u B ( x A , y A )

94. Óptimos de Pareto y la Justicia
La noción de equidad propuesta permite introducir una cierta noción
de justicia que elimina algunas asignaciones (óptimas), no
deseables. En consecuencia, se dirá que una asignación es justa, si
es Pareto Óptima y es equitativa.
Ejemplo: En el ejemplo previo, la curva de contrato, o conjunto de Pareto resultó ser:
y A = 4 x A ( x A + 3) , x A ∈ [ 0,3]
pero, de acuerdo con la definición sobre equidad, se debe cumplir:
u A ( x A , y A ) ≥ u A ( xB , yB ) , y
uB ( xB , yB ) ≥ u B ( x A , y A )

95. Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)
Para la economía bajo análisis, estas condiciones son:
xA y A ≥ xB yB , y
(x )
B 2
y ≥ (x
B
)
A 2
yA
como resultará obvio, las asignaciones justas están caracterizadas
por las siguientes desigualdades:
4( x )
A 2   4x A 
≥ (3 − x A ) 2 −  A  , y
( x + 3)
A
  ( x + 3)  
 


  4 x A  4 ( x A )
3
(3 − x A ) 2 −  x A + 3  ≥ x A + 3
2
 ( )  (
 )
 

96. Óptimos de Pareto y la Justicia (Ejemplo)
Resolviendo este sistema de inecuaciones se obtiene:
1, 2426 ≤ x A ≤ 1.3274
2 0
,0
1 5
,7
1 0
,5
1 5
,2
1 0
,0
Asignaciones Justas
0 5
,7
0 0
,5
0 5
,2
-
- 0 0
,5 1 0
,0 1 0
,5 2 0
,0 2 0
,5 3 0
,0

97. Apéndice 1: La Demanda Neta
Recuerde que la riqueza del individuo viene dada por el valor de los
bienes que posee:
M i = pωi
Aquí se identifican tres componentes: Mi es la riqueza total del
individuo, ωi es un vector de mercancías de propiedad del i-ésimo
consumidor e incluye los recursos materiales como los activos que
puede vender en el mercado de factores. Finalmente p es un vector
de los precios de los bienes. Cada consumidor viene caracterizado
por la tupla ;
[X i , u i , ω i ]
según esta caracterización, los recursos del consumidor entran
como un parámetro y no cambian en el análisis.

98. En este caso, el problema del consumidor será:
Max u i (x i ) 

s.t . px i ≤ pω i 
x i ∈ R+
l 

cuyas soluciones son: x* = di ( p )
i
Considere ahora la función: d i : R+ → R
N l l
De acuerdo con ésta, para cada vector de precios del espacio
relevante se tiene:
diN ( p ) = di − ωi
La gráfica a continuación ilustra la idea de demanda neta, en el caso
de dos mercancías:

99. Mercancía 2
* x*
x 2
ω2 ω
Mercancía 1
*
x
1 ω1

100. La riqueza del individuo varía con los precios aún cuando
sus dotaciones sean un parámetro fijo. (¿Puede
proporcionar un ejemplo de la vida real de este
fenómeno?); en efecto, la riqueza es el valor de los
recursos del consumidor; por ejemplo, una disminución de
la tasa de salario, hace que su riqueza se reduzca.
El conjunto de puntos que describen elecciones óptimas
dados cambios en el sistema de precios se conoce como
curva de oferta-demanda del consumidor y se nota OCi(p)
En la Ilustración a continuación, la línea punteada es
precisamente la Curva de Oferta-Demanda del i-ésimo
Oferta-
consumidor en el caso l = 2.

101. Mercancía 2
OCi ( p )
Cada punto en OCi(p) es
un plan de consumo
óptimo, garantizado por
la igualdad entre la tasa
marginal de sustitución y
la relación de precios,
que da la pendiente de la
curva de presupuesto; la
posición de ésta está
dada por ωi, a través de
la cual la línea
presupuestal ha de
pasar. Note OCi(p) que
está en el conjunto
MIi(p) de planes de
ωi
consumo mejores o Mercancía 1
iguales a ωi

102. 2. Economías con Producción
Ampliamos el alcance de nuestro análisis haciendo caso omiso del
supuesto según el cual, la producción está dada.
Supondremos que la producción es resultado del esfuerzo de un
conjunto de agentes que adquieren mercancías (factores primarios y
bienes intermedios) para transformarlos en mercancías que
adquieren, tanto los consumidores privados como los productores
pueden demandar.
Introducimos el concepto de Economía de Propiedad Privada, un
arreglo institucional en el que los hogares (consumidores), son
propietarios, tanto de los inputs primarios o factores de producción,
como de las firmas.
Antes de empezar, haremos revisión somera de la conducta de el
nuevo tipo de agente: la firma, no sin antes presentar un pequeño
modelo que precisa la naturaleza del problema a tratar.

103. 2.1. Equilibrio con Producción - Introducción
Una Economía del Tipo de Robinson Crusoe:
Un Consumidor, Un Productor
La manera más fácil de introducir producción al
modelo de EG competitivo es suponer que
existen dos agentes económicos —tomadores de
precios:
•Un consumidor,
•Un productor,
•Dos (2) bienes: Trabajo (u ocio) del consumidor,
y un bien manufacturado, producido por la única
firma en esta economía.

104. El Consumidor presenta preferencias, continuas, convexas,
fuertemente monótonas definidas sobre su consumo de
ocio, x1 ,y el bien de consumo producido por la firma, x2
Además tiene una dotación inicial de unidades de ocio y
ninguna unidad del bien de consumo (x2).
El Productor (La firma) adquiere trabajo — z — para
producir el bien de consumo, de acuerdo con una función
de producción creciente y estrictamente cóncava, f(z).
Con el propósito de producir x2, la firma debe contratar al
consumidor, retribuyendo a este su sacrificio en términos
del ocio (x1) que éste deja de disfrutar.
El objetivo de la firma consiste en maximizar el beneficio de
su operación fabril, dados los precios vigentes.

105. Si se notan con
p := precio del producto, y
w := salario
la firma resolverá:
max p ⋅ f (z ) − w ⋅ z
z ≥0
z≥0
Dados los precios de mercado, (p, w), se tendrán:
z(p,w) := demanda óptima de empleo,
q(p,w) := producción, y
π(p,w) := beneficios

106. Se supondrá que el consumidor es el propietario de la
única firma en esta economía, de manera que percibe los
beneficios empresariales,
π(p,w)
Si u(x1, x2) es una función de producción que representa ,
el problema del consumidor, dados los precios vigentes, —
(p, w)— es:
Max 2 u ( x1 , x2 )
( x1 , x2 )∈ℜ+
s.t. p ⋅ x2 ≤ w ⋅ ( L − x1 ) + π ( p, w )

107. La restricción de presupuesto en ese programa señala dos
fuentes posibles de recursos: Los ingresos por salarios, y las
ganancias operacionales de la firma de su propiedad.
Si el consumidor ofrece una cantidad de trabajo (L − x1 ) en
presencia de los precios (p, w), la cantidad total de recursos
que puede gastar en el consumo del bien producido x2
estará constituida por los ingresos del trabajo más los
dividendos distribuidos de las firmas, es decir:
w ⋅ (L − x1 ) + π ( p, w)

108. En estas condiciones, un Equilibrio Walrasiano para esta
economía involucra un vector de precios (p*, w*) a los
cuales los mercados de consumo y trabajo se vacían, es
decir, a los cuales se debe verificar que:
x2 ( p*, w *) = q( p*, w *)
z ( p*, w *) = L − x1 ( p*, w *)

109. El problema de la firma es ilustrado en la Figura 1 en
la siguiente diapositiva, donde:
• El uso del input trabajo se mide en la abscisa como
una cantidad negativa (sale de la riqueza del
consumidor) ;
• La producción (q) se mide en la vertical;
• El conjunto de posibilidades de producción asociado
a la función f(z) comprende el área bajo la curva e
incluye el borde superior (i.e., es conjunto compacto).
• El punto señala el nivel de inputs y outputs que
maximizan el beneficio.

110. Figura 1: El Problema de la Firma
q
(− z ( p , w ), q ( p , w ))
{(− z, q ) : q = f (z )}
( p, w )
π ( p, w )
p
-z Of

112. De la figura 2…
• Los niveles de ocio y consumo (x1, x2) se miden a partir del origen
Oc;
• La longitud [Oc, Of] = L , es la dotación total de tiempo;
• El área bajo la recta presupuestal (incluyendo el borde), de
pendiente –w/p es el conjunto presupuestal del consumidor a los
precios (p,w);
• Si el individuo consume x1 =L unidades de ocio, no vende
ninguna unidad de trabajo (no obtendría salario) y solo podrá
consumir π(p,w)/p unidades de x2. Como consecuencia, la línea de
presupuesto debe cortar el eje q a la altura π(p,w)/p.
• Naturalmente, por cada unidad de trabajo que venda, el
consumidor obtendrá w y tendrá la posibilidad de adquirir w/p
unidades de x2. De aquí que la línea de presupuesto deba tener
pendiente –(w/p).
• Note que la línea de presupuesto del consumidor coincide
exactamente con la función de isobeneficio asociada a la solución
del problema de maximización del beneficio de la firma, es decir, el
conjunto de puntos:
{(− z, q ) : p ⋅ q − w ⋅ z = π ( p, w)}

113. Observe que los precios que se ilustran en la Figura 2,
no son sin embargo, los precios de equilibrio puesto
que bajo ese sistema se presentan:
• Exceso de demanda de trabajo; y
• Exceso de oferta del bien de consumo x2.
Un vector de precios (p*, w*) que vacía los mercados
de los dos bienes, es el que se ilustra en la Figura 3:

115. Acerca de los resultados del análisis en la Figura 3, es preciso
notar que:
Una combinación particular de ocio y consumo
puede constituir un equilibrio competitivo, si y
solo si, maximiza la utilidad del consumidor,
sujeto a las restricciones tecnológicas y de
viabilidad de la economía.
En otros términos una asignación de Equilibrio Walrasiano es la misma
asignación que se obtendría si un planeador central tuviera a su cargo la
maximización del bienestar del consumidor. Como consecuencia, se tiene aquí
una expresión específica de los dos teoremas fundamentales del bienestar:
• Un Equilibrio Walrasiano es Óptimo en el
sentido de Pareto; y
• Una asignación óptima en el sentido de Pareto
es soportable como un Equilibrio Walrasiano.

116. 3. El Modelo Arrow-Debreu (AD)
Arrow-
El funcionamiento de una economía competitiva puede ser
concebido como la interacción, a través de los mercados,
de consumidores, firmas y tal vez un gobierno, cuyo
comportamiento corresponde a sus conjuntos de elección y
sus criterios de elección. (Villar, 1999).
Las posibilidades de elección están acotadas por restricciones
específicas:
a.-
a.- Los conjuntos de consumo describen las posibilidades de
consumo y trabajo (ocio);
b.-
b.- Los conjuntos de producción resumen los conocimientos
técnicos disponibles.
Las posibilidades económicas de una organización social
dependen además de una restricción adicional: sus
dotaciones de recursos o riqueza (stock).

117. El conjunto de dotaciones de recursos de una sociedad
incluye los activos reales de la economía:
• Edificios & Construcciones,
• Maquinaria & Equipo,
• Tierra,
• Recursos Naturales,
• Inventarios, inter alia
Son herencia del pasado y suponen el punto de partida sobre
el que se desarrolla la producción y el intercambio desde el
momento presente.
Los recursos totales se representan como un punto ω ∈ Rl

118. La capacidad productiva puede entenderse como el
resultado de la combinación de tres tipos de recursos:
Recursos Materiales, que se resumen en el vector ω
Recursos Tecnológicos, descritos por los conjuntos de
producción, y
Capital Humano, descrito por los conjuntos de consumo

119. De esta guisa, una economía está compuesta por los siguientes
objetos:
(i) m consumidores, cada uno caracterizado por su conjunto de consumo, Xi y
su función de utilidad ui
(ii) n empresas, cada una caracterizada por su conjunto de producción, Yj
(iii) Los recursos (dotaciones) disponibles, ω ∈ Rl
Que en forma reducida puede expresarse con las siguiente tupla de vectores:
E = ( X i , ui )i =1 , (Y j ) ; ω 
m n

 j =1 

l da el número disponible de mercancías.

120. Las siguientes definiciones amplían y precisan los conceptos de
asignación y asignación factible (Ginsbugrh + Keyzer, 1997):
Definición: Asignación
Dada una economía E = (X i , ui )m 1 ; (Y j )n ;ω
i= j =1
[ ] se llama asignación a un punto
[( (y ) ]∈ ∏ X ×∏Y
m n
)
x i im 1 ,
=
n
j j =1 i j
i =1 j =1
Una asignación es una colección de planes de consumo y de planes de producción, uno
para cada agente, incluidos en los conjuntos de elección individual: en un punto del
conjunto Rl(m+n).
Definición: Asignación Factible
Dada una economía E = ( X , u )m ; (Y )n ; ω se llama asignación factible a un punto
 i i i =1 j j =1 
 
[( (y ) ]∈ ∏ X ×∏Y
m n
) ∑ ∑ ∑
m n m
x i im 1 ,
=
n
j j =1 i j tal que xi ≤ yi + ωi
i =1 j =1 i =1
i =1 j =1
Esto es, si las cantidades demandadas no superan los recursos disponibles más la
producción neta.

121. Economías de Propiedad Privada
Se llama Economía de Propiedad Privada a aquella organización social en la que los
consumidores (o los hogares):
• Son propietarios de todos los recursos, y
• Detentan la propiedad de las empresas.
Como consecuencia, la riqueza del consumidor, a diferencia del caso de intercambio
puro estará dada por la suma de:
•El valor de sus recursos (que pueden ser tenidos en cuenta como factores de
producción), y
•Los beneficios provenientes de su participación en la propiedad de las firmas.

122. Definiendo ahora:
θ ij ∈ [0,1] := la participación del i-ésimo consumidor en la j-ésima firma
Se tiene entonces que los datos básicos (fundamentals) de describen una economía de
propiedad privada son:
1.- El número de mercancías, consumidores y empresas (l, m, n);
2.- Las posibilidades de producción, determinadas por los conjuntos de
producción de cada una de las j empresas;
3.- Las posibilidades de consumo y los gustos de los consumidores; y
4.- Las dotaciones iniciales de recursos en manos de los consumidores y sus
participación en la propiedad de las firmas
Que en forma reducida se expresa como:
( X , u , ω ) m , ( Y ) n ; θ 
E pp =  i i i i =1 j ij 
 j =1 

123. Los siguientes supuestos precisan la naturaleza de la economía Epp de referencia:
Supuesto 1: Para todo i=1,2…, m
(i) X i = Rl
(ii) u i : R+ → R Es función contínua, cuasi-cóncava y no-saciable (monótona).
l
(iii) ωi >> 0
Supuesto 2: Para todo j=1,2…, n
(i) Yj es conjunto cerrado
(ii) Y j − R+ ⊂ Y j
l
(iii) Y j ∩ R+ = {0}
l
(iv) Yj es estrictamente convexo
El Supuesto 1 coincide con el aplicado a las economías de intercambio;
El Supuesto 2 establece que todas las empresas tienen conjuntos de producción cerrados, que
contienen al orígen y que cumplen con el supuesto de eliminación gratuita (i), (ii), (iii). La parte
(iv) supone que las firmas presentan rendimientos a escala estrictamente decrecientes.

124. Dado un vector de precios p en el espacio de los recursos (un precio para
cada mercancía), la j-ésima empresa escoge el nivel de actividad yj que
maximiza sus beneficios. La función de beneficios es una regla πj: R+l→ R
que asocia a cada vector de precios p los beneficios máximos que la empresa
puede alcanzar a esos precios. La riqueza del consumidor se define entonces
como:
M i (p ) = pωi + ∑ (p )
n
θ π
j =1 ij j
De manera que el problema del consumidor será:
max ui (x i ) 

∑ θ ij π j (p )
n
s.a. px i ≤ p ωi +
j =1
x i ∈ R+
l 


125. Definamos:
x i = d i (p ) demanda del i - ésimo consumidor;

y j = s j (p ) oferta de la j - ésima firma
Entonces, la diferencia entre las demandas netas de los consumidores y la oferta de las
firmas:
∑ d iN (p ) − ∑ (p )
m n
s
i =1 j =1 j
dan las cantidades de mercancías que se demandan por encima de lo que es posible
obtener en esta asignación. Así, la función de exceso de demanda se define por:
z (p ) = ∑ d i (p ) − ∑ ∑ (p )
m m n
ωi − s
i =1 i =1 j =1 j
Note que la convexidad estricta y la no saciabilidad implican que pz(p)=0 para todo p,
porque en el equilibrio, el consumidor gastará todo su ingreso:
pd i ( p ) = p ω i + ∑ θ ij π j (p ) = pωi + ∑ (p ) = M i (p )
n n
θ ps j
j =1 j =1 ij

126. ∑
m
Sumando sobre i, y dado que θ =1 para todo j, se tendrá:
i =1 ij
∑ pd i ( p ) = ∑ ∑ ∑ θ ij ps j (p ) = pω + ∑ ps j (p )
m m m n n
pω i +
i =1 i =1 i =1 j =1 j =1
Que es la Ley de Walras para economías privadas con producción. Esta ley establece
que para cualquier vector de precios el valor del exceso de demanda es siempre igual a
cero.

127. En esta economía de propiedad privada, Epp, un Equilibrio General es un vector de
precios y un asignación
  *
 
( ) , (y )
p*,  x i
m
i =1
* n 
j i =1  

Tales que:
{
Para todo i, xi* maximiza ui sobre el conjunto presupuestal: β i (p *) = x i ∈ R+ : p * x i ≤ M i (p )
l
}
Para todo j, yj* maximiza los beneficios relativos a p*
∑ ∑ ∑
m m m
Para los recursos disponibles se verifica: x* ≤
i ωi + y *j
i =1 i =1 j =1
Un equilibrio se define, pues, como un vector de precios y unas asignaciones de
consumo y producción tales que (a) cada consumidor maximiza su utilidad sobre su
conjunto presupuestal, (b) cada firma maximiza beneficios a los precios p* y (c) la
oferta es igual a la demanda en todos los mercados

128. x*
y* + ω
p*
Y+ω
0

129. Petróleo, Cañones & Mantequilla: Un Ejemplo
[Varian, Hal (1993)] En una economía Epp de propiedad privada hay dos empresas y dos
consumidores. La firma 1 es propiedad del consumidor 1 y produce cañones a partir de
petróleo por medio de la función de producción g = 2x. El consumidor 2 es propietario
exclusivo de la firma 2 que produce mantequilla a partir de petróleo mediante la función
de producción b = 3x. Cada consumidor cuenta con diez (10) unidades de petróleo. La
función de utilidad del consumidor 1 es u ( g ,b ) = g 0.4 b 0.6 en tanto que la del
consumidor 2 es u ( g ,b ) = 10 + 0.5 ln g + 0.5 ln b

130. La Solución Analítica
El Beneficio de las firmas.
La firma 1, —fabricante de cañones—, busca dar solución al siguiente
problema:
max Π ( p g , p x ) = p g ⋅ g − p x ⋅ x 

g, x
 [F1]
s.t. g = 2 x 

al sustituir la restricción en la función objetivo del programa [F1] se obtiene un
problema de extremos libres en x, —el petróleo:
max Π (⋅) = 2 x ⋅ p g − p x ⋅ x
x
cuya condición relevante para maximización es:
[x]: 2 ⋅ p g − p x → px
=2
pg

131. Note en particular que si 2 p g > p x , no existirá un plan maximizador de beneficio
porque se podría elegir una cantidad de x indefinidamente alta (Varian, Id.), de forma
que esta tecnología solo tendrá un plan de producción maximizador de beneficio
cuando 2 p g = p x , en cuyo caso, Π(.) ≡ 0 . Para el caso presente, se establecerá:
1
pg = px
2
Por su parte, la firma 2, —fabricante de mantequilla—, buscará dar solución al
siguiente problema:
max Π ( pb , p x ) = pb ⋅ b − p x ⋅ x 

b, x
 [F2]
s.t. b = 3x 

como en el caso de la firma 1, si se sustituye la restricción en la función objetivo del
programa [F2] se obtiene un problema de extremos libres en x:
max Π (⋅) = 3 x ⋅ pb − p x ⋅ x
x

132. Aquí, las condiciones para maximización son:
[x] : 3 ⋅ pb − p x → px
=3 , es decir, pb =
1
3
px
pb
Las Demandas de Los Consumidores
Es fácil ver que, por ser de tipo Cobb-Douglas, las funciones de demanda de los
consumidores (a quienes llamaremos A y B) tienen la forma xi = α i M / pi. Para cada
consumidor, se tendrán, en consecuencia:
Consumidor Cañones Mantequilla
0 .4 M A 0. 6 M A
A g* =
A b* =
A
pg pb
0.5M B
B g* =
B bB =
* 0 .6 M B
pg pb

133. Por el hecho de que cada uno de los consumidores está dotado con diez (10) unidades de
petróleo (x), MA y MB serán, respectivamente:
M A = 10 p x M B = 10 p x
1 1
p x y pb = p x pg =
reemplazando cantidades de cañones y mantequilla que,
se obtienen lasen las demandas y teniendo en cuenta demandadas por cada 3
2
consumidor, i.e.,
0.4 M A 10 p x
g* =
A = 0.4 ⋅ = 0.4 × 20 = 8 cañones
pg 1 p
2 x
0.5M B 10 p x
g* =
B = 0.5 ⋅ = 0.5 × 20 = 10 cañones
pg 1 p
2 x
0 .6 M A 10 p x
b* =
A = 0 .6 ⋅ = 0.6 × 30 = 18 unidades de mantequilla
pb 1 p
3 x
0.5M B 10 p x
b* =
B = 0.5 ⋅ = 0.5 × 30 = 15 unidades de mantequilla
pb 1 p
3 x

134. Demandas de Petróleo
Con las funciones de producción y las demandas recién calculadas, es fácil obtener
las demandas de petróleo de cada firma. La firma 1, productora de cañones ha de
producir
g * + g * = 8 + 10 = 18
A B
cañones para satisfacer las demandas de los consumidores por ese bien. Utilizando
la función de producción asociada,
g * = 18 = 2 x g
se sigue inmediatamente que, x g = 9 lo cual, dado un total de petróleo disponible
de 20 unidades debería suponer un uso de 11 unidades de esta mercancía por parte
de la firma productora de mantequilla. En efecto, utilizando la función de
producción correspondiente, b* = 33 = 3 x b , de donde es claro que x b = 11 , según
se había anotado.

135. La Ley de Walras
Es fácil comprobar que las demandas y ofertas obtenidas y los precios derivados
satisfacen la Ley de Walras. Considere el siguiente sistema de ecuaciones de valor de
excesos de demanda:
 0.4 M A 0.5M B 
p g ⋅ Z g ( p g , pb , p x ) = p g ⋅  +  − (pg ⋅ g * ) = 0
 p pg 
 g 
 0.6 M A 0.5M B 
pb ⋅ Z b ( p g , p b , p x ) = p b ⋅ 
 p +
pb
( )
 − pb ⋅ b* = 0

 b 
[( ) (
p x ⋅ Z x ( p g , pb , p x ) = pb ⋅ x g + x b − x A + x B = 0 )]
Tomando p x = 1 , es claro que este sistema se satisface con igualdad.

136. Resumen de resultados
El siguiente cuadro resume los resultados:
Cañones Mantequilla Petroleo
Precio w.r.t. p x 1/2 1/3 1
Demandas por A B A B g b
Usuario 8 10 18 15 9 11
Demandas
18 33 20
Totales

137. Implementación GAMS
Definición de Elementos Básicos, Datos & Parámetros
*--- Datos y Parametros
SET i Consumidores /A,B/
j Productores /1,2/
l Mercancias /Canones,Mantequilla,Petroleo/
c(l) Bs de Consumo /Canones,Mantequilla/
k(l) Factores /Petroleo/;
TABLE omega(k,i) Dotaciones de Factores por Consumidor
A B
Petroleo 10 10;
TABLE alpha(c,i) Participaciones Presupuestales por Agente (Utilidades C-D)
A B
Canones 0.4 0.5
Mantequilla 0.6 0.5;