Equilibrio competitivo y tiempo

Equilibrio Competitivo y Tiempo
Tres Propuestas de Interpretación y un Ejercicio Computacional
J.C.Segura Ms.Sc.
Universidad de La Salle
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Bogotá, D.C., Octubre – Noviembre de 2012
Universidad de La Salle |Programa de Economía / @EconULS

Introducción
 Convención de Debreu: toda mercancía se distingue por (Villar,
1999: 10)
§ Sus características (propiedades físicas, calidad, función, etc.);
§ Su disponibilidad temporal (la fecha en la que están disponibles)
§ Su disponibilidad Espacial (el lugar donde estarán disponibles)
 En el modelo de intercambio puro básico, todas las transacciones
tienen lugar ahora.
 Es posible introducir explícitamente el tiempo y obtener un modelo
dinámico, al menos en lo que se refiere al problema de asignación.
 Se tratará el problema de asignación de recursos en tres (3)
escenarios básicos.

Tres Modelos
 Escenario 1: Hay un Sistema Completo de Mercados de Futuros,
i.e., es posible hacer transacciones, desde el momento presente,
sobre todas las mercancías, es decir, las que están disponibles
actualmente y las que están disponibles en el futuro;
 Escenario 2: Mercados Secuenciales.— Solo existen mercados para
las mercancías disponibles en cada período. ∄ oportunidades de
almacenamiento, préstamo, ahorro inter alia.
 Escenario 3: Mercados Secuenciales con posibilidades de contratos
de futuros.

0, 푥푖
Conjuntos de Consumo
 Suponga inicialmente que hay dos periodos de tiempo, hoy y mañana,
esto es, 푡 = {ℎ표푦, 푚푎푛̃푎푛푎}
 ∃푘 = 1, ⋯ , ℓ mercancías ∀푡, esto es, 푋푖 = ℝ+ 푘
× ℝ+ 푘
≡ ℝ+ ℓ
 El consumidor elige un plan 푥푖 = (푥푖
1)
+ ℓ
 Así mismo, el consumidor tiene un vector de dotaciones con inputs
para cada periodo, 휔푖 = (휔0, 휔1) 푖
푖
∈ ℝ

′). Entonces, ∀휆 ∈ (0,1)
Preferencias
 Bajo los supuestos habituales, ∃푢푖 : 푋푖 ≡ ℝ+ ℓ
→ ℝ que es continua,
estrictamente cuasi-cóncava, fuertemente monótona.
′ =
 Love of Variety (convexity of preferences): Sean 푥푖 = (푧, 0) y 푥푖
(0, 푞) con 푧, 푞 ∈ ℝ+ 푘
tales que 푢푖 (푥푖) = 푢푖 (푥푖
se tiene
푢푖[휆푧 + (1 − 휆)푞] > 푢푖(푧, 0) = 푢푖 (0, 푞)
 Sin perdida de continuidad: la utilidad del consumidor es
aditivamente separable en el tiempo, i.e., la utilidad se puede
interpretar como la suma temporal de funciones de sub-utilidad
instantáneas en el tiempo, i.e.,
0, 푥푖
푢푖 (퐱푖) = 푢푖 (푥푖
1) = 푢푖
0(푥푖
0) + 푢푖
1(푥푖
1)

Preferencias (continuación)
+ 푘
 En consecuencia, ∀푗 = {0,1} se asumirá como una función continua,
estrictamente cuasi cóncava, 푢푗 : ℝ→ ℝ que describe
푖
adecuadamente bien las preferencias del consumidor 푖.
 Una representación alternativa de la utilidad puede ser, por ejemplo,
0)
0) + 푉푖(푥푖
0, 푥푖
푢푖(푥푖
1) = 푉푖 (푥푖
0) + 훿푖푉푖 (푥푖
1)
Donde 푉푖: ℝ+ 푘
→ ℝ describe las preferencias de cada periodo y 훿푖 =
( 1
1+훾) ∈ [0,1] es un factor de descuento tal que:
{
lim
훿푖→0
푢푖(∙) = 푉푖 (푥푖
lim
훿푖→1
푢푖 (∙) = 푉푖(푥푖
1)

Preferencias (continuación)
Sea 푢푖 (푥푖
0)
0
1)
1
0, 푥푖
1) = 푉푖 (푥푖
0) + 훿푖 푉푖(푥푖
1) entonces:
휕푢푖 (∙)
휕푥푖
0 =
휕푉푖(푥푖
휕푥푖
휕푢푖 (∙)
휕푥푖
1 = 훿푖
휕푉푖(푥푖
휕푥푖
1
훿푖
=
0)
휕푉푖(푥푖
0
휕푥푖
1)
휕푉푖(푥푖
1
휕푥푖
= 푇푀푆푥푖
0,푥푖
1

1 es el precio de la mercancía 푗 en 푡 = 1.
Mercados de Futuros
Condiciones Generales
+  Hay ℓ
mercados para todas las mercancías (Debreu’s Convention), i.e.,
es posible realizar contratos sobre mercancías disponibles en todos
los períodos de tiempo. Mercados de Futuros Completos.
 Sea 푝 ∈ ℝun vector de precios que puede expresarse como 푝 =
(푝0 , 푝1)
 푝0 ∈ ℝ+ 푘
son los precios de las mercancías hoy;
 푝1 ∈ ℝ+ 푘
son los precios de las mercancías mañana;
 ∴ 푝푗

Mercados de Futuros
El Problema.— El Consumidor Típico debe resolver:
max
푥0,1
푖
푥푖
0, 푥푖
푢푖(푥푖
1)
0 + 푝1 푥푖
푠. 푎. 푝0푥푖
1 ≤ 푝0휔푖
0 + 푝1휔푖
1
0, 푥푖
(푥푖
1) ∈ ℝ+ ℓ
}
[푃푀푈 − 푑]
푗
푇 La existencia de mercados de futuros completos implica una única
restricción presupuestal, es decir, Σ =1 푝푗 푥푗 ≤ Σ 푝푗휔푖
푖
푗 푇푗
=1 ∀푗 = 0,1
lo cual dice que, sin importa cuanto se consuma en los periodos
involucrados, lo importante es que el consumo siempre esté
financiado. [Free Wealth Disposal]


Mercados de Futuros (continuación)
 Los Mercados de Futuros entonces cumplen el papel de los mercados
financieros en cuanto a que hacen posible “ahorrar” / “tomar en
préstamo” [ Discusión ]
 Si 퐶4 el equilibrio se caracteriza por la relación de tangencia habitual.
 Si se trata de la misma mercancía en dos periodos de tiempo
(contiguos ~ no contiguos), la relación de tangencia antedicha exige
que la tasa marginal de sustitución intertemporal para cada bien,
debe ser igual a la tasa de sustitución intertemporal del mercado, i.e.,
ℎ
푝0
휕푢푖 (∙)
휕푥0
푖ℎ
휕푢푖 (∙)
휕푥푖ℎ
1 =
푝1
ℎ ⁄

Mercados de Futuros (continuación)
0 + 푝1푥푖
0)
0 − 휆푝0
1)
1 − 휆푝1
0, 푥푖
Sea 푢푖 (푥푖
1) = 푉푖 (푥푖
0) + 훿푖 푉푖(푥푖
1)
0) + 훿푖 푉푖 (푥푖
휑(. ) = 푉푖(푥푖
1) − 휆[푝0푥푖
1 ≤ 푝0휔푖
0 + 푝1휔푖
1]
0]: 0 =
[푥푖
휕푉푖 (푥푖
휕푥푖
1]: 0 = 훿푖
[푥푖
휕푉푖(푥푖
휕푥푖
0 + 푝1푥푖
[휆]: 0 = 푝0푥푖
1 − 푝0휔푖
0 − 푝1휔푖
1}
퐹. 푂. 퐶

0∎
0 + 푝1푥푖
0] y [푥푖
Tomando [푥푖
1]:
0) 휕푥푖ℎ
휕푉푖(푥푖
⁄ 0
1) 휕푥푖ℎ
휕푉푖(푥푖
⁄ 1
∙
1
훿푖
=
푝ℎ 0
푝ℎ 1
∀ℎ, 푡
De donde, resulta claro que 푝ℎ 1
= 훿푖푝ℎ
Para una economía de intercambio con Mercados de Futuros, el equilibrio
viene caracterizado por un vector de precios 퐩̂ = (푝̂0, 푝̂1) y una
asignación 퐱̂푖 = (푥̂0, 푖
푥̂1) 푖
tal que:
i. 퐱̂푖 ∈ ℝ+ ℓ
maximiza 푢푖 (퐱̂푖 ) sobre 푝0푥푖
1 ≤ 푝0휔푖
0 + 푝1휔푖
1
0 푚푖
=1 − Σ 휔푖
ii. Σ 푥̂푖
0 푚푖
=1 = 0
1 푚푖
=1 − Σ 휔푖
iii. Σ 푥̂푖
1 푚푖=1 = 0∎

푒 ) es una estimación de los precios
Mercados Secuenciales
+  Suponga que ℓ
+en cada periodo solo se pueden hacer transacciones con
las mercancías disponibles en ese período; los mercados son
secuenciales en cuanto a que en cada 푡 = 1, ⋯ , 푇 se abren
únicamente los mercados de las mercancías en dicho período.
 Aun cuando 퐶 pueda mantenerse (i.e., existe una función de utilidad
tipo, y una dotación estrictamente positiva de bienes), el significado
de los precios varia.
 Los precios están conformados en un vector 푝 = (푝0 , 푝푒 ) ∈ ℝ2푘 =
ℝ.
 푝0 = (푝1
0 , 푝2
0, ⋯ , 푝ℓ
0, ⋯ , 푝푘
0) son los precios de las mercancías
disponibles, hoy;
 푝푒 = (푝1
푒 , ⋯ , 푝푘푒
푒 , 푝2
, ⋯ , 푝ℓ
que las mercancías tendrán en el siguiente período.

Mercados Secuenciales
La naturaleza del problema del consumidor dependerá de hipótesis sobre
cómo es que el individuo anticipa los precios y de la existencia de
mecanismos para transferir recursos/riqueza entre períodos.
Se prevén dos casos principales:
 Previsión Perfecta
 Previsión Imperfecta

Mercados Secuenciales: Previsión Perfecta
Suponga que todos los agentes anticipan en forma correcta los precios de
mañana de modo que 푝푒 = 푝1 . En este caso, para el consumidor 푖 =
1, ⋯ , 푚, [PMU]:
max
(푥0,푖
푥푖
1)
0, 푥푖
푢푖 (푥푖
1) 푠. 푎.
0 ≤ 푝0휔푖
푝0푥푖
0
1 ≤ 푝1휔푖
푝1 푥푖
1
0, 푥푖
(푥푖
1) ∈ ℝ+2푘 = ℝ+ ℓ
}
[푃푀푈 − 푆푒푞]

 Si ∃푢푖 : 푋푖 → ℝ continua, cuasi-cóncava estricta y monótona con 휔푖 ≫
0, [푃푀푈 − 푆푒푞] tiene solución que varía continuamente con los
precios.
 Bajo estas condiciones [푃푀푈 − 푆푒푞] aparece restringido por la
riqueza disponible en cada periodo de planeación, i.e., no hay
posibilidades de “prestar” o “ahorrar”
 La Ley de Walras se cumple para cada período, luego se cumple en
general para todo el horizonte de planeación, pero la asignación final
no es Pareto Óptima (por qué?)
 En efecto, como no hay forma de trasladar recursos entre períodos de
tiempo, no hay intercambio: los individuos consumen sus recursos
disponibles en cada periodo del horizonte de planeación.

 La No Optimalidad [ Pareto ] no tiene que ver realmente con que los
mercados de futuros no sean completos; más bien, se trata de que no
haya mecanismos para trasladar recursos entre períodos de tiempo,
de modo tal que los agentes tengan la posibilidad de ajustar sus
planes de consumo presentes y futuros.
 Bajo esta modalidad de representación, el equilibrio es el dotacional y
el resultado, autárquico, no es óptimo según el Criterio de Pareto: NO
EXISTEN CANALES QUE PERMITAN LA DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DEL
CONSUMO A TRAVÉS DE LOS MERCADOS (en este sentido, mercados
incompletos)

 Para sobrellevar esta limitación suponga que el consumidor puede contratar
con una de las mercancías de mañana. Sea esta la mercancíaℓ.
max
(푥0 푖
,푥푖
1 )
0 , 푥푖
푢푖(푥푖
1 ) 푠. 푎.
0 ≤ 푝0 휔푖
푝0푥푖
0 + 푝ℓ 푏푖
1 ≤ 푝1휔푖
푝1 푥푖
1 − 푝ℓ 푏푖
0 , 푥푖
(푥푖
1 ) ∈ ℝ+2푘 = ℝ+ ℓ
}
[푃푀푈 − 푆푒푞 − 퐼]
 푏푖 es la cantidad de mercancía ℓ a transar hoy en el mercado y 푝ℓ es su
precio. (el precio hoy de la mercancía disponible mañana)
 푏푖 > 0 → El Consumidor vende hoy 푏푖 unidades de mercancía ℓ (recibe
$푝ℓ 푏푖);
 푏푖 < 0 → El Consumidor compra hoy 푏푖 unidades de mercancía ℓ (paga
$푝ℓ 푏푖).

 El consumidor recibe [o paga] 푝ℓ푏푖 dependiendo de su posición como
oferente o demandante neto de la mercancía ℓ;
 La cantidad 푏푖 se consume o se vende y su renta se usa para financiar
el consumo de otras mercancías y su rol es el de un activo (un bono).
 Comprar hoy mercancía ℓ, —푏푖 < 0— equivale a ahorrar;
 Vender hoy mercancía ℓ, —푏푖 > 0— equivale a pedir prestado;
 Como las cantidades de ℓ no se limitan a la cantidad definida en 휔푖 ,
se posibilita UNA CAPACIDAD DE TRANSFERENCIA DE RIQUEZA ENTRE
PERIODOS SIMILAR A LA QUE SE OBTIENE EN EL CASO DE MERCADOS
DE FUTUROS COMPLETOS (Villar, 1999: 245)

En este contexto, el Equilibrio Competitivo se caracteriza como un vector de
precios 푝∗ ∈ ℝ+ ℓ
1 ≤ 푝∗1휔푖
∗0 푚푖=1 − Σ 휔푖
∗1 푚푖=1 − Σ 휔푖
∗)푖=1
, una asignación (푥푖
푚 y un vector de bonos en términos de
∗ )푖=1
mercancía ℓ, (푏푖
푚 tales que, para todo 푖 = 1, ⋯ , 푚:
∗ maximiza 푢푖(푥푖
i. 푥푖
∗ ) sobre el conjunto presupuestal dado por:
푝∗0푥푖
훽푖(푝) ≔ {
0 ≤ 푝∗0휔푖
0 + 푝ℓ
∗푏푖
∗
푝∗1푥푖
1 − 푝ℓ
∗푏푖
∗
ii. Las asignaciones son viables: {
Σ 푥푖
0 푚푖=1 = 0
Σ 푥푖
1 푚푖=1 = 0
∗ 푚푖
=1 = 0
iii. Σ 푏푖

“(…) El buen funcionamiento de una economía competitiva en un
mundo con varios períodos de tiempo no requiere la existencia de
mercados de futuros para todos las mercancías. Es suficiente que los
consumidores anticipen adecuadamente lo precios y que exista hoy
un mercado para una mercancía disponible mañana.” Villar (1999:
146).

Mercados Secuenciales: Previsión Imperfecta
 Suponga que el consumidor no cuenta con toda la información
necesaria para planear su consumo futuro y que, a lo sumo, tiene
expectativas sobre los precios. El valor esperado de esos precios es
푝푒 ∈ ℝ+ 푘
 Se puede asumir que el consumidor construye 푝푒 con base en
información actual disponible en el primer periodo.
 푝푒 = 푓(푝0). Se asume 푓: ℝ+ 푘
→ ℝ+ 푘
continua que transforma precios
actuales en estimaciones de precios futuros.
 En Macro se prevén mecanismo más sofisticados, e.g. la aproximación
de Calvo (ver precios de Calvo en Wickens, 2010).

Cuando el consumidor no puede anticipar en forma determinística los precios
futuros, dado un vector 푝 = (푝0, 푓(푝0)), la demanda es la solución del siguiente
programa
∗푒 es la demanda esperada (dados los precios estimados) y por tanto
(푥푖
max
(푥0,푖
푥푖
1)
0, 푥푖
푢푖 (푥푖
1) 푠. 푎.
0 ≤ 푝0휔푖
푝0푥푖
0
1 ≤ 푝푒휔푖
푝푒 푥푖
1
0, 푥푖
(푥푖
1) ∈ ℝ+ 2
푘 = ℝ+ ℓ
}
[푃푀푈 − 푆푒푞 − 퐼퐼]
∗0, 푥푖
 ∃(푥푖
∗푒 ) = 푎푟푔푚푎푥{[푃푀푈 − 푆푒푞 − 퐼퐼]} ↔ 퐶!
 푥푖
∗0, 푥푖
∗푒) es la demanda planeada para los períodos de tiempo involucrados
 Estas demandas solo se pueden hacer efectivas si el consumidor acierta en sus
previsiones sobre los precios futuros.

 Suponga que este no es el caso, i.e., 푝1 ≠ 푝푒
 En este caso, el consumidor debe restructurar su consumo porque su conjunto
presupuestal es distinto al inicial pues, en efecto 푝1휔1 푖
≠ 푝푒휔1
푖
 El problema que deberá resolver, en el segundo período es:
1 ≤ 푝1휔푖
1) ∈ ℝ+ 푘
1 es una decisión que se adopta en el segundo período, cuando el consumo
en el primer período ha sido ya determinado.
1 es la demanda efectiva del período 1, en oposición a la demanda esperada,
푥푖
max
푥1
푖
∗0, 푥푖
푢푖 (푥푖
1) 푠. 푎.
푝1 푥푖
1
(푥푖
}
 푥푖
 푥푖
∗푒 que en general, serán distintas, visto el fallo en la precisión de la
estimación de los precios.

 En estos casos existe un equilibrio pues, siempre se cumple la Ley
de Walras y el ingreso del consumidor no es negativo.
 Sin embargo, el equilibrio puede no resultar ser Pareto Óptimo
porque:
o No hay canales de redistribución de riqueza entre periodos,
o Los precios no se prevén en forma eficiente.
 Suponga que existe un mercado de futuros para la mercancía ℓ y
que sobre ella es posible firmar un bono 푏푖 . La existencia del
equilibrio puede verse amenazada si la suma de los pagos futuros es
mayor que el ingreso necesario para financiar el consumo en ese
periodo.

Un Modelo de Consumo Intertemporal
 Tomemos una economía más concreta adoptando una parametrización
precisa para la función de retorno y para el factor de descuento, entre otras
entidades del modelo.
 Como es la costumbre, la economía se caracteriza completamente a partir
de la especificación de dos elementos fundamentales (supondré que la
producción está dada):
o Las preferencias del agente representativo y
o El ambiente (las restricciones que enfrenta)

Un Modelo de Consumo Intertemporal:
Las Preferencias
 Existe una función de utilidad que representa las preferencias del
consumidor sobre canastas intertemporales de bienes: 푊(∙) =
푢(푐0 , 푐1 , ⋯ , 푐푗 ). Se supondrá que la función es aditiva-separable y es
instantánea a través del tiempo.
 Si las preferencias son estables en el tiempo, la función de subutilidad es
invariante y puede ser sumada teniendo en cuenta que la vida es ahora, i.e,
푡
푢(푐푡 )
푊(∙) = Σ (
1
1 + 훾
)
푗
푡=0
 훾 ≥ 0 es la tasa de preferencia intertemporal (tasa subjetiva de descuento).
Si 훾 = 0 el individuo es indiferente entre consumo presente y futuro.
 푢(푐푡 ) es bien comportada, i.e., 푢′(푐푡 ) > 0, 푢′′(푐푡 ) < 0

El Ambiente
 Si el agente vive solo en una isla, su problema es trivial, porque se limita a
consumir lo que produce, 푐푡 = 푦푡
 Suponga que hay mas personas y que hay un mercado de bonos reales en
el que el agente puede bienes disponibles hoy por una promesa de
consumo de bienes de mañana.
 Un agente puede ahorrar, prestando parte de sus dotaciones de hoy a
otro agente, el cual debe devolverla mañana con intereses.
 En este mercado de deuda, cada agente enfrenta una secuencia de
precios de consumo mañana, en términos del bien corriente:
o 푝0 = 1: Precio de los bienes de hoy en términos del bien corriente;
o 푝1 = (푝1⁄푝0) = [1⁄(1 + 푟)] < 푝0: Precio de los bienes mañana;
o 푝푛 = (
푛
donde 푟 es la tasa de interés entre los precios de hoy y
1
1+푟
)
mañana

El Ambiente
El problema que enfrenta el consumidor es entonces el de maximizar su
utilidad sujeto a una restricción de presupuesto que exige que el consumo
debe estar financiado por el valor de sus activos:
푗
푗
Σ 푝푡푐푡 ≤
푡=0
퐴0 + Σ 푝푡 푦푡
푡=0
퐴0 es la riqueza inicial del agente

El Problema
푗
푗
푗
푗
max
{푐}푗
푡 푡=0
Σ (
1
1 + 훾
)
푡
푢(푐푡)
푗
푡=0
푠. 푎. : Σ 푝푡 푐푡 ≤
푡=0
퐴0 + Σ 푝푡푦푡
푡=0
La función de Lagrange es, en este caso:
ϕ(∙) = Σ (
1
1 + 훾
푡
푢(푐푡)
)
푗
푡=0
− 휆 [Σ 푝푡 푐푡 −
푡=0
Σ 푝푡 푦푡 − 퐴0
푡=0
]

El Problema
Las CPO son:
1
1 + 훾
1
1 + 훾
푡
− 휆푝푡
푗
휕ϕ(∙)
휕푐0
[
] ≔ 0 = 푢′(푐0 ) − 휆푝0
휕ϕ(∙)
휕푐1
[
] ≔ 0 = 푢′(푐1 ) (
) − 휆푝1
⋯ ⋯
휕ϕ(∙)
휕푐푡
[
] ≔ 0 = 푢′(푐푡 ) (
)
⋯ ⋯
휕ϕ(∙)
휕휆
[
푗
] ≔ 0 = Σ 푝푡 푐푡 −
푡=0
Σ 푝푡푦푡 − 퐴0
푡=0

Soluciones
Comparando las CPO para cuando, e.g., 푡 = 0,1, i.e,
휕ϕ(∙)
휕 푐0
y
휕ϕ(∙)
휕푐1
tendremos:
푢′(푐0 )
푝0
= 휆 =
푢′(푐1 )
푝1
(
1
1 + 훾
)
푢′(푐0 )
푢′(푐1 )
=
푝0
푝1
(
1
1 + 훾
)
푝1
푝0
Recuerde que por construcción 푝1=
=
1
1+푟, entonces:
푢′(푐0 )
푢′(푐1 )
=
푝0
푝1
(
1
1 + 훾
) =
1 + 푟
1 + 훾
=
푢′(푐0 )
푢′(푐1 )
∎

Soluciones
El resultado obtenido es un resultado de tangencia típico (푇푀푆 = 푝⃗) que, de
cualquier manera se derivar de la comparación entre las pendientes de la
curva de indiferencia y el presupuesto. Por ejemplo, dada la función de
utilidad, su pendiente se obtiene de la diferenciación, total de la función, i.e.,
푢′(푐0 )푑푐0 +
1
1 + 훾
푢′(푐1 )푑푐1 = 0
∴
푑푐1
푑푐0
=
푢′(푐0 )
푢′(푐1 )
1 + 훾

Soluciones
Volviendo sobre la restricción de presupuesto, que en el caso de dos periodos
es:
푝0 푐0 + 푝1 푐1 − 퐴0 − 푝0푦0 − 푝1푦1 = 0
Resolviendo para 푐1 :
푝1 푐1 = [퐴0 − 푝0푦0 − 푝1푦1 ] − 푝0 푐0
푐1 =
1
푝1
[퐴0 − 푝0푦0 − 푝1푦1 ] −
푝0
푝1
푐0
Donde la pendiente, es: −푝0
푝1
= −(1 + 푟), que es lo mismo que se obtuvo en
la valoración de las CPO.

Soluciones
Cuando el mercado descuenta el futuro del mismo modo que los agentes, i.e.,
cuando 푟 = 훾, se tendrá que 푐0 = 푐1 . Si es posible instituir un mercado de
bonos, el consumidor no tiene por qué limitarse al consumo de sus dotaciones
de cada periodo de tiempo y tenderá a suavizar su consumo a lo largo del
horizonte de planeación. A manera de conclusión:
푢′(푐0 ) > 푢′(푐1 ) ⟶ 푐0 < 푐1 ⟷ 푟 > 훾
푢′(푐0 ) < 푢′(푐1 ) ⟶ 푐0 > 푐1 ⟷ 푟 < 훾

Referencias
 Mas-Colell, A., M.D. Whinston and J.R.Green (1995): Microeconomic Theory.
Boston: Oxford University Press.
 Segura, J. (2012): Microeconomía, Apuntes de Clase. Mimeo. Bogotá: Escuela
Colombiana de Ingeniería – Universidad de La Salle.
 Suescún, R. (2001): Macroeconomía Avanzada, Apuntes de Clase. Mimeo. Bogotá:
Universidad de Los Andes
 Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.
 Villar, A. (1999): Lecciones de Microeconomía. Barcelona: Antoni Bosch.

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