NUMEROS REALES.  DESIGUALDADES TEMA 1:  PRIMERA PARTE. Elaborado por: Maribel Perdomo Revisado por: José Luís Linares Juli...
TEMA  I   Los Números Reales.   Suma y Multiplicación de Números Reales. Axiomas de la Suma y la Multiplicación . Definici...
DEFINIDOS AXIOMAS TEOREMAS NUMEROS REALES METODO AXIOMATICO CONCEPTOS PROPOSICIONES PRIMITIVOS Números Reales Números Real...
Clase 1: Números Reales <ul><li>Conjuntos de Números: </li></ul><ul><li>Naturales:  1,2,3,4,...   Denotado por: </li></ul>...
Ejemplos
En general “ Un número es racional si es entero o, si su expansión decimal es finita o infinita periódica” 2;  3;  176543;...
Asi tenemos: e
El Conjunto de los Números Reales  R <ul><li>Está formado por todos los números, racionales e irracionales que pueden medi...
Ejercicio:   Complete la siguiente tabla utilizando los símbolos     y    :  I π – 6 4 R Q Z N
Operaciones en R <ul><li>Suma o adición: </li></ul><ul><li>Multiplicación: </li></ul>
Axiomas de la Suma y Multiplicación <ul><li>Leyes conmutativas: </li></ul><ul><li>Leyes Asociativas: </li></ul><ul><li>Ley...
Sustracción y división <ul><li>Para definir estas operaciones hacemos uso de las propiedades anteriores, de manera que: </...
 
 
 
 
 
 
 
La Recta real La  recta real  es una representación geométrica del conjunto de los  números reales . Tiene su origen en el...
Unión  de dos conjuntos:  A    B  es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos Intersección  de dos conjuntos:  A  ...
 
 
 
CLASE N° 2:  Inecuaciones y Resolución de Inecuaciones .  En el estudio del cálculo, las desigualdades juegan un rol funda...
<ul><li>Resolver, de tres formas diferentes, la siguiente inecuación: </li></ul><ul><li>Solución:   Los pasos iniciales pa...
Método de los casos :   consiste en aplicar a la expresión (1) la propiedad 7 de las desigualdades: Nota:   Recordar que e...
Para hallar la solución de la inecuación se procede a efectuar las operaciones indicadas con intervalos, tal como se hizo ...
<ul><li>Método de las barras:   Consiste en hallar las raíces de los polinomios  p(x)  y  q(x) , luego, se construye una t...
 
 
Ejercicios: 1.-  Resolver las siguientes inecuaciones:  a.-  b.-  c.-  2.-   Problema de aplicación :  La relación entre e...
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Números Reales Guía 1 (Iparte)

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    1. 1. NUMEROS REALES. DESIGUALDADES TEMA 1: PRIMERA PARTE. Elaborado por: Maribel Perdomo Revisado por: José Luís Linares Julio 2011
    2. 2. TEMA I Los Números Reales. Suma y Multiplicación de Números Reales. Axiomas de la Suma y la Multiplicación . Definición de Diferencia y Cociente. Algunas propiedades de los Números Reales. Axioma de Orden . Definición de Desigualdades Estrictas y No Estrictas. Definiciones relacionadas con desigualdades. Propiedades de las Desigualdades. Intervalos. Inecuaciones y Resolución de Inecuaciones. Método de los Casos . Método de las Barras. Método de Sturn . Ejercicios .
    3. 3. DEFINIDOS AXIOMAS TEOREMAS NUMEROS REALES METODO AXIOMATICO CONCEPTOS PROPOSICIONES PRIMITIVOS Números Reales Números Reales Positivos Adición y Multiplicación de Números Reales Si H, entonces T H  T H si y sólo si T H  T
    4. 4. Clase 1: Números Reales <ul><li>Conjuntos de Números: </li></ul><ul><li>Naturales: 1,2,3,4,... Denotado por: </li></ul><ul><li>Enteros: ..., -3,-2,-1,0,1,... Denotado por: </li></ul><ul><li>Racionales: Números que pueden escribirse de la forma: </li></ul><ul><li>donde n es distinto de 0 </li></ul><ul><li>Se denota por: </li></ul>
    5. 5. Ejemplos
    6. 6. En general “ Un número es racional si es entero o, si su expansión decimal es finita o infinita periódica” 2; 3; 176543; 34,456; -456,456456456... En otro caso es irracional: Estos y otros forman el conjunto de los irracionales denotado por Los números que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no periódicas reciben el nombre de  números irracionales
    7. 7. Asi tenemos: e
    8. 8. El Conjunto de los Números Reales R <ul><li>Está formado por todos los números, racionales e irracionales que pueden medir longitudes, incluyendo sus negativos y el cero. </li></ul>
    9. 9. Ejercicio: Complete la siguiente tabla utilizando los símbolos  y  : I π – 6 4 R Q Z N
    10. 10. Operaciones en R <ul><li>Suma o adición: </li></ul><ul><li>Multiplicación: </li></ul>
    11. 11. Axiomas de la Suma y Multiplicación <ul><li>Leyes conmutativas: </li></ul><ul><li>Leyes Asociativas: </li></ul><ul><li>Ley Distributiva: </li></ul><ul><li>Elementos Identidad: </li></ul><ul><li>Inversos: </li></ul><ul><li>Aditivo: </li></ul><ul><li>Multiplicativo: </li></ul>
    12. 12. Sustracción y división <ul><li>Para definir estas operaciones hacemos uso de las propiedades anteriores, de manera que: </li></ul>
    13. 20. La Recta real La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales . Tiene su origen en el cero , y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
    14. 21. Unión de dos conjuntos: A  B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos Intersección de dos conjuntos: A  B es el conjunto de elementos de A y de B Conjuntos Un conjunto es una colección de elementos
    15. 25. CLASE N° 2: Inecuaciones y Resolución de Inecuaciones . En el estudio del cálculo, las desigualdades juegan un rol fundamental, debido a que frecuentemente el interés se centra en las aproximaciones de un valor, más que en el mismo valor. Es por eso necesario estar familiarizados con las inecuaciones, siendo éstas problemas planteados en forma de desigualdad. Una inecuación puede ser resuelta usando cualquiera de los siguientes métodos: Método de los casos, método de las barras y método de Sturm. Para resolver una inecuación se procede inicialmente de la siguiente manera: Se agrupan todos los términos en un solo miembro de la desigualdad, efectuando las operaciones algebraicas necesarias hasta obtener una expresión de la forma siguiente, donde los polinomios p(x) y q(x) están factorizados:     Luego se decide que método se va a utilizar. A continuación se ilustra cada uno de los métodos de resolución de inecuaciones. Cabe señalar que hay inecuaciones sencillas que se pueden resolver directamente, sin tener que recurrir a los métodos antes mencionados.
    16. 26. <ul><li>Resolver, de tres formas diferentes, la siguiente inecuación: </li></ul><ul><li>Solución: Los pasos iniciales para cualquiera de los tres métodos son similares, esto es: </li></ul><ul><li>- Agrupar todos los términos en cualquiera de los dos miembros de la inecuación: </li></ul><ul><li>Se transforma algebraicamente para obtener una expresión de la forma </li></ul><ul><li>Ahora se procede a resolver la expresión (1) por cada uno de los tres métodos antes nombrados </li></ul>
    17. 27. Método de los casos : consiste en aplicar a la expresión (1) la propiedad 7 de las desigualdades: Nota: Recordar que el denominador siempre es distinto de cero, es decir, (x+1)x  0.
    18. 28. Para hallar la solución de la inecuación se procede a efectuar las operaciones indicadas con intervalos, tal como se hizo en ejercicios anteriores, esto es:    / / / / / / ) [ ( -1 -3/5 0 / / / / / / /( / / / / / ] ) -1 -3/5 0   Solución total: x  (-1,-3/5]  (0,+∞)
    19. 29. <ul><li>Método de las barras: Consiste en hallar las raíces de los polinomios p(x) y q(x) , luego, se construye una tabla en la cual, al inicio de las filas se coloca cada uno de los factores de p(x) y q(x) , y al inicio de las columnas, cada uno de los intervalos obtenidos al representar las raíces de p(x) y q(x) en la recta real, como se muestra a continuación: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>- Raíces de p(x) = -5x – 3 : p(x) = 0  -5x – 3 = 0  -5x = 3  x = -3/5 </li></ul><ul><li>Raíces de q(x) = (x+1)x : q(x) = 0  (x+1)x = 0  x+1 = 0  x = 0 </li></ul><ul><li> x = -1  x = 0 </li></ul><ul><li>- 1 -3/5 0 </li></ul><ul><li>De esta manera, se obtienen los siguientes intervalos: (-  ,-1), (-1,-3/5], [-3/5,0) y (0,+  ). </li></ul><ul><li>Nota: los extremos de los intervalos se definen de acuerdo a la desigualdad dada, así, se tiene que la desigualdad es no estricta, quiere decir que se puede cumplir la igualdad a cero, pero esto sólo ocurre si el numerador es cero, el denominador siempre es distinto de cero. </li></ul><ul><li>Seguidamente, se construye la tabla: Se debe determinar el signo de cada factor en cada intervalo, tomando un valor de prueba en estos intervalos, así por ejemplo, en el primer intervalo, tomar x = -2 , se reemplaza este valor en cada factor y se considera el signo del resultado. Luego se determina el signo de toda la expresión en cada intervalo, la solución será todos aquellos intervalos que den signo negativo. </li></ul>
    20. 32. Ejercicios: 1.- Resolver las siguientes inecuaciones: a.- b.- c.- 2.- Problema de aplicación : La relación entre escalas de temperatura Fahrenheit y Celsius está dada por: C = (5/9).(f – 32) Exprese los valores de C correspondientes a 60  f  80 por medio de una desigualdad

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