Ensayo sobre los métodos numéricos y una breve explicación de su utilización en la ing. petrolera

1. 1
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CHIAPAS
INGENIERÍA PETROLERA
“¿QUÉ SON LOS MÉTODOS
NUMÉRICOS?”
E N S A Y O
MÉTODOS NUMÉRICOS
A U T O R
RAÍ EMMANUEL LÓPEZ JIMÉNEZ
M A E S T R O
ING. KATIE ROCIO PEÑA PINEDA
DIRECTOR: JHONNATHAN A. LEÓN ORTEGA
SUCHIAPA, CHIAPAS
05 de Octubre, 2017

2. 2
Contenido
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?_________________________________ 3
MODELADO MATEMÁTICO ....................................................................................... 3
PROGRAMACIÓN....................................................................................................... 4
ERROR ........................................................................................................................ 5
¿CÓMO SURGIERON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS _________________________ 6
PRINCIPAL CLASIFICACIÓN ____________________________________________ 7
MÉTODO ITERATIVO ................................................................................................. 7
MÉTODO DE BISECCIÓN........................................................................................... 8
MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS........................................................ 8
MÉTODO DE INTERVALOS ....................................................................................... 9
MÉTODO DE INTERPOLACIÓN................................................................................. 9
APLICACIONES GENERALES DE LOS MÉTODOS NÚMERICOS ______________ 10
APLICACIONES EN ING. PETROLERA ___________________________________ 10
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS ______________ 12
VENTAJAS ................................................................................................................ 12
DESVENTAJAS......................................................................................................... 12
OPTIMIZACIÓN EN MÉTODOS NUMERICOS ______________________________ 13
DIAGRAMAS DE FLUJO_______________________________________________ 13
ALGORITMO BASICO EN MATLAB______________________________________ 15
BIBLIOGRAFIA ______________________________________________________ 16

3. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
3
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
Los métodos numéricos son un conjunto de técnicas mediante las cuales es
posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse
utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos
numéricos estos siempre comparten una característica en común, siempre van a
requerir un buen número tedioso de cálculos aritméticos. Antes del uso de la
computadora se gastaba bastante energía en la solución de un problema ya que
implicaba mucho tiempo, el trabajo era muy desgastante pero los avances
tecnológicos ayudaron a tener una mayor rapidez y eficacia al momento de
resolver un problema.
Una de las características que permitió el desarrollo de los métodos
numéricos con base en los ordenadores, es que se convirtió en una herramienta
muy poderosa que permitía dar solución a problemas variados, usar de manera
efectiva los software disponibles para resolver ecuaciones permitió optimizar los
aplicativos, dando paso a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y
parciales utilizando las funciones internas de estos, cabe recalcar que el lenguaje
de programación es muy efectivo, este permite reforzar el pensamiento
matemático que tenemos, y ayuda a reforzar nuestra capacidad analítica.
MODELADO MATEMÁTICO
Un modelo matemático es una formulación de una ecuación que expresa
las características esenciales de un sistema, en el cual se expresan relaciones,
posiciones sustantivas de hechos, parámetros, entidades y relaciones entre
variables y/o entidades u operaciones. En un proceso en lenguaje matemático,
este modelo siempre va a estar expresado en dos términos o partes, una variable
que representa una característica, reflejando el comportamiento o el estado de un
sistema llamada variable dependiente, y una variable a través de las cual se

4. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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determina el comportamiento del sistema llamada variable independiente,
adicionalmente hay otros parámetros externos que modifican o contribuyen a la
formulación de la ecuación que siempre se deben tener en cuenta.
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑓 (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ∗ 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
Ejemplo:
2da Ley de Newton Ecuación de la oferta
𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑝 − 𝑝1 =
𝑝2−𝑝1
𝑄 𝑜2−𝑄01
(𝑄 𝑜 − 𝑄 𝑜1)
PROGRAMACIÓN
Una manera de poder representar los problemas es realizarlo mediante un
conjunto de instrucciones en una computadora, esto se logra mediante los
programas computacionales, ya que permiten representar la información de
manera sencilla, clara, y también de manera compleja, permiten formular funciones
matemáticas para obtener una salida que representa una secuencia lógica del
problema. Existen muchos lenguajes de programación en los cuales se pueden
representar los métodos numéricos, los más importantes son:
 Python
 Matlab
 R

5. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
5
ERROR
Entender qué es el error es fundamental para la resolución de la
metodología numérica, ya que en estos no es posible obtener una solución exacta
o analítica, en tales casos es necesario usar aproximaciones o estimaciones de
los errores que se comenten al utilizar los métodos numéricos.
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar
cantidades matemáticas exactas, existen tres tipos de errores:
 Errores de Datos
 Errores de redondeo
 Errores de truncamiento
Entonces el error se expresa como:
𝐸𝑡 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝜖 𝑡 =
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
∗ 100%
Con este valor calculado se puede obtener una aproximación exacta al
utilizar algún método numérico.

6. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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¿CÓMO SURGIERON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
La historia de los métodos numéricos es basta, desde principios de las
civilizaciones estas han tratado de resolver diversos problemas que en su
momento se les presentaron, dando paso al método de aproximación mediante
números, en babilonia 2000 a.c. ya se tenía conocimiento para calcular por medio
de aproximaciones algunas medidas en triángulos y círculos. El papiro de Rhynd
es el documento matemático más antiguo que se conserva, data desde hace 1650
a. c originario de las civilizaciones egipcias donde aparecen más de ochenta
problemas resueltos, explica un método para encontrar raíces de ecuaciones
sencillas sin el uso del algebra.
Hasta el año 250 a.c. surgió un nuevo esquema importante, elucides
desarrolló el método de Exhausción, para aproximar áreas, con este obtiene un
valor muy aproximado de Pi. Pasaron mil años hasta que en el 900 se expuso “La
explosión de las matemáticas árabes”, que contenía una creación de métodos
algebraicos y revisión de los métodos numéricos disponibles a la época, y en 1617
Jhon Napier introduce los logaritmos y fue entonces donde se da inicio de los
métodos logarítmicos para resolver problemas. En 1723 Leibniz se interesa por los
métodos desarrollados por Arquímedes y desarrolla metodologías similares con
los cuales se da inicio al cálculo diferencial e integral, al mismo tempo Isaac
Newton desarrolla una gran cantidad de métodos para resolver numéricamente
procedimientos matemáticos, el más famoso es el de la interpolación polinomial.
En 1768 Euler desarrolla un método para encontrar soluciones aproximadas a
problemas de ecuaciones diferenciales con lo que se da inicio a los métodos de
integración numérica.
En 1822 comienza una pequeña revolución en la resolución numérica con
la llegada de la primera máquina de diferencias, diseñada por Charles Babbage,
la cual permitía realizar operaciones matemáticas, resolver ecuaciones complejas
y evaluar polinomios por medio de sumas sucesivas. Con el surgimiento de las
computadoras digitales a mediados del siglo XX y su continuo desarrollo, la

7. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
7
matemática numérica ha recibido un fuerte estimulo, ya que la computadora
digital ha hecho posible la aplicación práctica de bastantes métodos
numéricos. El primer computador numérico electrónico fue llamado ENIAC. En
la actualidad los métodos numéricos son un medio para fortalecer la
compresión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro
modo resultarían complejos, esto aumenta su capacidad de entendimiento de
la materia.
PRINCIPAL CLASIFICACIÓN
MÉTODO ITERATIVO
Es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la
solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un
mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada, es decir, se espera que
lo obtenido sea una solución más aproximada que la inicial. El proceso se repite
sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos
requisitos. A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el
proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el
proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.
Un método iterativo consta de los siguientes pasos:
1. Inicia con una solución aproximada (Semilla).
2. Ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor
aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que
permite construir la aproximación usando otra se conoce como
ecuación de recurrencia.
3. Se repite el paso anterior, pero usando como semilla la aproximación
obtenida.

8. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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MÉTODO DE BISECCIÓN
Conocido también como de corte binario, de participación en dos intervalos
iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el
intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo,
se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se
determina situándola en el punto medio del sub intervalo dentro del cual ocurre un
cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Pasos para resolver el método de bisección:
1. Elija los valores iniciales x| y superior xu de forma tal que la función
cambie de signo el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose
de que f(x|) f(xu) <0.
2. . La primera aproximación a la raíz x, se determina como:
Xr = x|+ xu/ 2
3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué sub
intervalo cae la raíz.
a) Si f(x|) f(xu) <0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub
intervalo, por lo tanto tome xu =Xr y continúe en el paso 2.
b) Si f(x|) f(xu) >0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub
intervalo superior, por lo tanto resuélvase x|= xr , y continúese en el
paso 2.
4. Si f(x|) f(xu) = 0, la raíz es igual a Xr, termina el cálculo
MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
Es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar.
Supongamos la ecuación f(x)=0 donde f(x) es una función continua que se desea
determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente x= þ(x)
Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro
de la ecuación para obtener x1. x1=þ(x0)

9. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
9
Poniendo x1 como argumento de þ(x), obtendremos un nuevo número x2,
y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula:
Xn=þ(Xn-1) (n=1,2...)
Si esta secuencia es convergente, es decir, tiende hacia un límite, la
solución S es: Lim Xn cuando n tiende a infinito.
MÉTODO DE INTERVALOS
Utilizan una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio
de signo de una función en inmediaciones de una raíz. Se llaman métodos de los
intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo
que encierra la raíz.
MÉTODO DE INTERPOLACIÓN
Es un método científico lógico que consiste en determinar cada una de las
variables en las formas en las que se pueden reproducir y cómo afectan al
resultado. Pero no sólo basándose en su relación estadística sino también en su
causalidad. Esto constituye las reglas que se utilizan para llegar a una nueva
conclusión, siempre de forma aproximada. Es decir, se considera todas las
situaciones posibles y sus repercusiones y las interpolamos a la nueva situación
por analogía o inducción.

10. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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APLICACIONES GENERALES DE LOS MÉTODOS NÚMERICOS
Gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su
implementación en las computadoras, es posible modelar casi cualquier evento
que requiera un análisis especial para el cálculo del mismo, por ejemplo: el choque
de un vehículo, o hacer el análisis aerodinámico estructural de un avión,
resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos
de miles (a veces de millones) de incógnitas.
Estos se aplican en diversos campos:
 Mecánica de Solidos.
 Mecánica de Fluidos.
 Medios de transporte.
 Procesamiento de Imágenes Médicas.
 Optimización Multiobjetivo.
APLICACIONES EN ING. PETROLERA
El estudio y la comprensión de los procesos de transporte que ocurren en
sistemas naturales fracturados, tales como acuíferos, yacimientos petroleros y
geotérmicos es relativamente “reciente” ya que desde hace aproximadamente 40
años se han desarrollado métodos de investigación basados tanto en modelos
matemáticos-analíticos y numéricos, siendo estos últimos los de mayor interés en
este reporte.
Los métodos numéricos son utilizados en las ecuaciones que describen
correlaciones del petróleo, desde la viscosidad, densidad, ecuaciones PVT, razón
Gas en solución-petróleo, etc.

11. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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Ejemplos:
Correlación de standing para determinar la densidad.
Standing planteó en 1981 una correlación para estimar la densidad del
aceite. Planteado por la siguiente ecuación:
Donde:
T= temperatura del sistema, °R
γo= Gravedad especifica del aceite (STB)
γw= Gravedad especifica del gas (SCF)
γo= Gravedad especifica del gas (SCF)
Rs= solubilidad del gas (SCF/STB)
Correlación de Beggs y Robinson para viscosidad.

12. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Los métodos numéricos tienen pros y contras los cuales a continuación se
describirán.
VENTAJAS
 Opciones: Permiten aproximar soluciones de ecuaciones no
resolubles por otros métodos.
 Rapidez: El tiempo de resolución es más rápido (si ya está
desarrollado el software) en la mayoría de los casos.
 Confiabilidad: Cuando ya se ha desarrollado y probado un
algoritmo, tiene gran fiabilidad (dentro de los márgenes de error
establecidos y con las condiciones iniciales adecuadas), y pueden
manejar gran número de ecuaciones y variables sin errores de
operación.
DESVENTAJAS
 Precisión: No es 100% preciso.
 Capacidad: A menudo consume mucha capacidad de proceso.
 Casos individuales: No avanza hacia soluciones generales,
teniendo que procesarse cada caso particular.
 Límites: No todos los problemas se pueden resolver por métodos
numérico.

13. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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OPTIMIZACIÓN EN MÉTODOS NUMERICOS
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo
general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de
elementos. La localización de raíces y la optimización están relacionadas, en el
sentido de que ambas involucran valores iniciales y búsqueda de un punto sobre
una función.
La localización de raíces involucra la búsqueda de raíces de una función o
funciones. En contraste, la optimización involucra la búsqueda del mínimo o del
máximo. Lo óptimo es el punto donde la curva es plana. En términos matemáticos,
esto corresponde al valor de x donde la derivada f´(x) es igual a cero. Además, la
segunda derivada, f´´ (x), indica si el óptimo es un mínimo o un máximo.
Un problema de optimización trata de tomar una decisión óptima para
maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio
determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no
cualquier decisión es posible. Los métodos de cálculo diferencial aún están en uso
para determinar soluciones óptimas.
DIAGRAMAS DE FLUJO
Un diagrama de flujo es la representación gráfica del flujo o secuencia de
rutinas simples. Tiene la ventaja de indicar la secuencia del proceso en cuestión,
las unidades involucradas y los responsables de su ejecución, es decir, viene a ser
la representación simbólica o pictórica de un procedimiento administrativo.
En métodos numéricos se necesita saber la ecuación matemática para así
idear la manera de cómo ingresar las variables de tal manera que estas mediante
el programa a elegir realicen la acción deseada.
Ejemplo:

14. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es
otro método para hallar los ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0, se reordena en una
forma equivalente:
f(x) = 0
x - g(x) = 0
x = g(x)
Observe que si c es un cero de f(x), f(c)=0 y c=g(c). (Siempre que se tenga
c=g(c) se dice que c es un punto fijo de la función g). Para aproximar un cero de f
se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g(xn) , n = 0, 1, 2, 3, . . . donde x0 es
una aproximación inicial del cero de f.

15. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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ALGORITMO BASICO EN MATLAB
Un algoritmo es una serie de normas o leyes específicas que hace posible
la ejecución de actividades, cumpliendo una serie de pasos continuos que no le
originen dudas a la persona que realice dicha actividad. Los algoritmos se pueden
expresar de diversas formas: lenguaje natural, lenguaje de programación,
pseudocódigo y diagramas de flujo.
Los algoritmos se caracterizan porque: se definen de manera específica en
cada paso. Su efectividad, esto significa que un sujeto puede realizar un algoritmo
sin utilizar un ordenador y sus pasos son finitos. Por otra parte, se pueden clasificar
de la siguiente manera:
Según el sistema de signos: cualitativos y cuantitativos. Los algoritmos
cualitativos son aquellos que se realizan por medio de las palabras, lo que quiere
decir que las órdenes vienen dadas en forma verbal. Por ejemplo, una receta de
cocina. Por su parte los algoritmos cuantitativos son aquellos que se realizan por
medio de cálculos matemáticos. Por ejemplo, si se desea saber cuál es la raíz
cuadrada de un número, se pueden aplicar algoritmos.
Según su función: de ordenamiento, de búsqueda y de encaminamiento.
Los algoritmos de ordenamiento son aquellos que llevan en orden los elementos
que ingresan, dependiendo del orden numérico o léxico. Los algoritmos de
búsqueda tratan de encontrar dentro de la lista que ingresa, algún elemento en
especial que cumpla con las órdenes dadas. Y, por último, los algoritmos de
encaminamiento, éstos deciden la manera de cómo se tendrá que transmitir la
información que llega y cómo deben seguir los pasos establecidos.
Algoritmo Matlab programa Hola Mundo
PROGRAM: Hola mundo
DISP (‘HOLA MUNDO’)
EEND PROGRAM

16. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
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BIBLIOGRAFIA
 http://seduca.uaemex.mx/material/LIA/MN/Sec1_R.php
 https://www.clubensayos.com/Tecnolog%C3%ADa/Historia-De-Los-
Metodos-Numericos/998328.html
 https://www.youtube.com/watch?v=Uar4YGnz7ek&t=53s
 http://www.neoteo.com/el-papiro-de-rhind-matematica-antigua/
 https://prezi.com/gpvmqi9rsrmd/historia-de-los-metodos-numericos/
 https://prezi.com/yhfx8vk2ssml/tipos-de-metodos-numericos/
 Matemáticas aplicadas a la ingeniera petrolera Jetzabeth Ramírez Sabag.
 TRABAJO_FINAL_CORRELACIONES.pdf
 https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100330184811AAqv
PBY
 http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf
 http://www.monografias.com/trabajos81/metodo-del-pto-fijo-envisual-
basic/metodo-del-pto-fijo-envisual-basic.shtml