Este documento presenta información sobre el tema de continuidad de funciones en matemáticas. Explica conceptos como continuidad en un punto, criterio de continuidad, y tipos de discontinuidad. Incluye ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y reglas para determinar la continuidad de funciones compuestas y racionales. El documento concluye sugiriendo actividades de investigación relacionadas al tema.

1. CICLO 2012-III Módulo: I
Unidad:2 Semana: 5
MATEMATICA I
Ing. Pedro P. Ubillús P.

2. Continuidad de funciones

3. ORIENTACIONES
• Para este capítulo, el alumno tiene
que manejar muy bien los
conceptos de límites vistos en la
semana anterior.
• Estudiaremos la continuidad de
funciones en algunos puntos de su
dominio, y cómo volverla continua.

4. CONTENIDOS TEMÁTICOS
• Continuidad
• Criterio de continuidad
• ejemplo

5. Continuidad
Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
lim f ( x ) = f ( c )
x →c

6. Ejemplos
y
y = f(x) y = f(x)
1 1
0 x x
0
y
y
2 y = f(x)
1
y = f(x)
1
x
0 x

7. 2
5
2
0
1
y = f ( x) =
1
5 x2
1
0
5
0
-
3 -
2 -
1 0 1 2 3

8. Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres
condiciones siguientes:
1. f(c) existe (c está en el dominio de f)
2. Limx →c f(x) existe (f tiene un límite cuando x→c)
3. Limx →c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

9. Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que
tipo de discontinuidad tenemos.
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2
será una punto de discontinuidad.
No se puede
Evidentemente no existe f(2) dividir por 0
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
x2 +1 = 5 = −∞ lim x2 +1 = 5 = ∞
lim x→2+ x−2 0+
x→2− x−2 0−
Números muy pequeños
pero negativos: Números muy pequeños
pero positivos:
1,90 – 2 = - 0,1 1,90 - 2 = 0,1
1,99 – 2 = - 0,01 1,99 - 2 = 0,01
Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua
en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)
Continuidad de
Funciones

10. Veamos la gráfica de la función:
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Cuando me acerco a 2- Aquí tendremos
la función va hacia -∞ Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
Continuidad de
Funciones

11. Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:
Aquí tenemos una parábola.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta
horizontal, paralela al eje de Aquí tenemos una recta.
abcisas X. Siempre es Siempre es continua en su
continua en su intervalo de intervalo de definición.
definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los
casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir
algún cambio respecto a la continuidad
Continuidad de
Funciones

12. Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
Co
nti
nu
ae
x= n
5
a
n tinu e
isco speci
D e
ª on
de 1 = 2 c u.
x
en o de 3
salt
Continuidad de
Funciones

13. Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
Como tenemos que
el limite por la
izquierda y el limite
por la derecha en
x=2 son distintos
tenemos que f(x) es
discontinua de 1ª
especie en x =2,
donde se produce
un salto de 3
unidades.
Continuidad de
Funciones

14. Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
lim 4x−15=5
x→5+
Como
tenemos que
el limite por
la izquierda
y el limite por
la derecha en
x=5 son
iguales
tenemos que
f(x) continua
de en x = 5
Continuidad de
Funciones

15. Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
Continuidad de
Funciones

16. Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x =
1
Continuidad de
Funciones

17. Otro ejemplo de una función con discontinuidad
“de 1ª Especie con salto ∞”
2 − 3x+2
f (x)= x Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }
x−3
1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio
f(x) es discontinua de 1ª especie con
lim f ( x) − lim f ( x)salto de unidades
+ −
= ∞ unidades
x →3 x →3
Continuidad de
Funciones

18. Veamos ahora la gráfica de la función
Continuidad de
Funciones

19. Otro ejemplo de una función con discontinuidades
Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }
1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio
Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1)
f(x) es discontinua evitable en el infinito
de 1ª especie en el infinito
Continuidad de
Funciones

20. Otro ejemplo de una función con discontinuidades
Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }
1. f (1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
f(x) es discontinua de 1ª especie con salto de
unidades
Continuidad de
Funciones

21. Veamos la gráfica de esta función:
A.V. x= -1 A.V. x= 1
A.H. y= -1
Continuidad de 21
Funciones

22. Ejemplo
y
y = f (x)
2
Continua
1
x
0 1 2 3 4
Discontinua

23. Reglas de continuidad
Teorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes
funciones son continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n
son enteros)

24. Continuidad de polinomios
Teorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función
racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.
Ejemplo:
f ( x) x 4 + 20
r( x) = =
g ( x ) 5 x( x − 2 )
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si
x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx→0| x | = 0.

25. Continuidad de la
composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en
c.
g°f
Continua en c
f g
Continua en c f (c) Continua en g(f (c))
f(c)

26. CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN
SUGERIDAS

27. ORIENTACIONES
Escriba aquí las
orientaciones que
sugiere al alumno.

28. CONTENIDOS TEMÁTICOS
Escriba aquí en forma
ordenada los
Contenidos Temáticos
de la semana de
estudio.

29. DESARROLLO DE CONTENIDOS -
SUBTÍTULOS DEL TEMA

30. CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN
SUGERIDAS
Escriba aquí las
conclusiones y/o
actividades de
investigación
sugeridas.

31. GRACIAS