matemáticas,física

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Instituto Universitario politécnico “Santiago Mariño”
Materia11: Matemáticas III
Alumna: Andreina V. Pérez G.
C.I: 30.089.902
Carrera : Arquitectura
Profesor: Ing. Pedro Beltrán

2. Introducción
La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en tres grandes etapas, que
se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la
separación no siempre sea nítida. En la larga evolución del concepto (desde la matemática
griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la
noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma
actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en
parte para demostrar otros más generales
La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte
a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso
universalizado de la misma. Sin embargo, esta definición, que evoluciona desde la
concepción dinámica de Cauchy a una concepción estática, no es el final de un largo
proceso evolutivo, ya que en el siglo XX surgen concepciones de tipo topológico, ligadas
a la generalización de los conceptos del cálculo a conjuntos no necesariamente
numéricos, lo que constituye una cuarta etapa en el desarrollo del concepto.

3. Límite y continuidad de una función
En el Espacio R3
Definición de limite de una función Continuidad de una función
Un límite es un número al que se aproxima
una función cuando su argumento se
aproxima también a otro número. En una
función de dos variables del tipo y = f(x),
cuando x se aproxima al valor de a, la
función se acerca al valor L que corresponde
al límite.
La notación es así
Una función es continua en un punto a si
se cumplen las tres condiciones siguientes:
 Existe el límite de f(x) cuando x tiende
a (a ).
 La función está definida en el punto a .
 Los dos valores anteriores coinciden.
Una función es continua en un intervalo si es
continua en todos los puntos del intervalo.
De la misma forma, una función es continua en todo
su dominio cuando lo es en todos los puntos que
componen su dominio.
Cuando x tiende al valor de c, la función f tiende al valor
de L. Algunos limites son obvios y corresponden al mismo
valor de c evaluado en la función. Sin embargo, los límites
no se usan en casos obvios sino en funciones más
complejas donde el valor de una función puede ser
desconocido o inaccesible.

4. Los límites describen el comportamiento de una función
conforme nos acercamos a cierto valor de entrada, sin importar
el valor de salida de la función. La continuidad requiere que el
comportamiento de una función alrededor de un punto sea igual
al valor de la función en ese punto. Esta simple pero poderosa
idea juega un papel fundamental en todo el cálculo.
La representación simbólica del concepto de límite y continuidad está
directamente relacionada con la representación simbólica de función,
lo cual se muestra en los siguientes ejemplos:

5. En el Primer caso consideramos la función f(x) en su notación simbólica. En el caso
(2) expresar que el límite de esa función en x=2 es 7.En el caso (3) se escribe la
definición formal de límite y es el que se debe usar para comprobar con rigor que 7 es
límite de f(x) en x=2,. En el caso (4) es la definición formal de función continua y es la
que se debe usar para comprobar con más rigor que f(x) es continua en x=2. Los
casos (5) y (6) son conceptos generales de límite y continuidad que involucran las
topologías de conjuntos, no necesariamente numéricos, para los cuales los casos (3) y
(4) no tendrían sentido.
Limite y Continuidad
Definición Sea f : D ⊂ R n → R y L ∈ R, p ∈ R n. Se dice que limx→p f(x) = L
si dado ε > 0 existe algún δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε siempre que 0 < kx − pk <
δ. Esto es una generalización del concepto de límite de funciones de una
variable a funciones de varias variables, una vez se reemplace la distancia | |
en R por la distancia k k en R n). Se observa que la interpretación es la
misma, e.j., |x − y| es la distancia de x a y en R y kx − yk es la distancia de x
a y en R n. Proposición 5.2. Sea f : R n → R y supongamos que existen dos
números, L1 y L2 que satisfacen la anterior definición de límite. Es decir, L1 =
limx→p f(x) y L2 = limx→p f(x). Entonces L1 = L2

6. Ejemplos
Hallar el intervalo o intervalos donde cada función es continua:
La función y = 1/x es continua excepto en x = 0 y la función seno es continua para todos los valores reales
de x .
Por tanto y = sen (1/x) es continua en todos los valores reales excepto en x = 0 .
Cuando f(x) = sen (1/x) se aproxima a 0 f(x) oscila entre - 1 y 1 , por consiguiente el límite no existe.
Por tanto f(x) es continua en los intervalos (-∞, 0) ∪ (0, +∞) .

7. Sea f: R → R la función definida por:
Estudiar la continuidad de f.
Para x ≠ 0 la función f es continua por ser el producto de funciones continuas.
Para ver si es continua en x = 0 estudiamos el límite:
f(0) = 0
Observamos que la función sen(1/x) está acotada: -1 ≤ sen (1/x) ≤ 1 ⇔ |sen(1/x)| ≤ 1
Por lo tanto:
La función f es continua en todo R .

8. Derivación de funciones de varias
variables (en el Espacio R3 )
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar este concepto
en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una función de la forma f :I⊂ → ,
donde I⊂ es un intervalo abierto, y x0 ∈I un punto de dicho intervalo, se define la derivada de f en 0 x
como el límite
Definición :Por una función de varias variables entendemos una función f : D ⊂ R n −→ R m que a
cada punto X ∈ D le hace corresponder un único punto Y ∈ R m, que notaremos en la forma Y =
f(X) y que llamaremos imagen del punto X mediante la función f . El conjunto D se llama dominio de
la función. Formalmente se indica en la forma f : D ⊂ R n −→ R m X = (x1,..., xn) 7−→ f(X) =
(f1(x1,..., xn),..., fm(x1,..., xn)), donde cada fi , i = 1,...,m, es una función fi : D ⊂ R n → R que se
llama componente i-ésima de f . En forma abreviada, una función de m componentes se escribe
como f = (f1,..., fm)
Veamos la definición formal de una función real de dos variables
Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, ) (x, y , de números reales, 2 D R .
Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado ) (x, y
en D un único número real, denotado por ) f (x, y . El conjunto D es llamado el dominio de la
función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función.

9. Ejemplo
 El volumen de un cilindro define una función que depende de dos variables: el radio x y la altura y. Si
tomamos D = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}, tenemos la función
V : D −→R (x, y) 7−→V(x, y) = πx 2 y. 2.
La función
f : [0,2π] −→ R 2 t 7−→ f(t) = (cost,sent),
asocia a cada punto t ∈ [0,2π] un punto sobre la circunferencia de centro (0,0) y radio 1. 3.
Sea f : D ⊂ R 3 → R 2 definida por
f(x, y,z) = (x 2 +y 2 +z 2 , sen(xy) x−y )
con D = {(x, y,z) ∈ R 3 : x 6= y}. Las componentes de f son: f1(x, y,z) = x 2 +y 2 +z 2 , f2(x, y,z) = sen(xy) x−y . 4.
Sea f : R 2 → R 3 definida por f(x, y) = (x 2 , y 2 , x 2 −y 2 ). Las tres componentes de f vienen dadas por: f1(x, y)
= x 2 , f2(x, y) = y 2 , f3(x, y) = x 2 −y 2 .

10. El conjunto R n tiene estructura de espacio vectorial si definimos las operaciones
suma y producto por escalares como:
1. Dados X = (x1,..., xn) ∈ R n , Y = (y1,..., yn) ∈ R n , X +Y = (x1,..., xn) + (y1,...,
yn) = (x1 +y1,..., xn +yn).
2. 2. Dados X = (x1,..., xn) ∈ R n , λ ∈ R, λ ·X = λ ·(x1,..., xn) = (λx1,...,λxn).
Por esta razón, a las n-uplas X = (x1,··· , xn) ∈ R n se les denomina vectores. i) Si m
= 1 se dice que la función f : D ⊆ R n −→ R es una función real o campo escalar de
n-variables. ii) Si m > 1 se dice que la función f : D ⊆ R n −→ R m es una función
vectorial o campo vectorial de n-variables y m-componentes.

12. Reglas de la cadena para derivar funciones compuestas de varias variables
Supondremos que todas las funciones involucradas a continuación son diferenciables. Daremos las reglas de
derivación como propiedades que pueden ser demostradas. Para empezar, veamos el caso 2 × 1 de la función
compuesta F(u) = f(x(u), y(u)). Es claro que cuando la variable independiente u cambie, la función F(u) cambiara.
Mirando lo que figura a la derecha del signo igual, notamos que un cambio en u provoca que la “variable
intermedia” x cambie, por lo que va a cambiar f parcialmente; y además un cambio en u provoca que la variable
intermedia y cambie, por lo que también va a cambiar f parcialmente. Entonces, de manera similar a la regla de la
cadena para una función de 1 variable, se puede probar que aquí la regla de derivación resulta:
REGLA DE LA CADENA (2 × 1) Si F(u) : f x y u , entonces dF du = ∂f ∂x dx du + ∂f ∂y dy du o, escrito de otra
forma: F 0 (u) = fx(x(u), y(u)) x 0 (u) + fy(x(u), y(u)) y 0 (u) El diagrama que dibujamos nos ayuda a recordar la
regla, si asignamos a cada línea la frase “derivada respecto de”; observamos que hay una contribución “pasando”
por x y otra “pasando” por y, que se suman para dar el cambio global de F. Notar además que hemos tenido
cuidado en escribir las derivadas parciales o totales, según corresponda.

13. Derivadas Parciales
Que son derivadas parciales
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables
manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial,
funciones analíticas, física, matemática, etc.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones
equivalentes:

14. Las derivadas parciales de una función con varias variables f(x , y, z) (tres en este
caso) nos informa de cómo cambia la función (df) cuando se produce un pequeño
cambio en una única variable independiente (por ejemplo dx en la variable x).
El símbolo se lee como la derivada parcial de f con respecto a x

15. ¿Como calcular derivadas Parciales?
Para calcular una derivada parcial de una función en diversas variables tenemos que derivar como siempre
respecto una de las variables y mantener las demás como constantes, (como valores fijos).
Por ejemplo f(x,y)=−x2+2xy−y, si queremos hacer la derivada parcial respecto x, consideramos la variable y como
una constante, "un número", y entonces nos queda como derivar una función de una variable, f(x). Veamos:
−x2 sólo depende de x, por lo tanto su derivada es −2x.
2xy contiene la variable y, pero es como si fuera una constante, un número. Si fuera un 3 haríamos 2x3=6x y la
derivada sería 6. Pues ahora escribo 2xy como 2yx y considero 2y como si fuera el 6. Por lo tanto la derivada
de 2xy=2yx es 2y.
Y finalmente, y no contiene la variable x, y la derivada de una constante es 0, con lo que desaparece.
Una vez conociendo la notación para poder escribirlo matemáticamente. Para la derivada
parcial de una función f respecto la variable x podemos encontrarnos las notaciones:

16. Ejercicios
1 Hallar las derivadas parciales de esta función de dos variables:
Solución:
Cuando derivamos parcialmente respecto de una de las variables, la otra se considera
una constante. Se utilizan las reglas de derivación conocidas:

17. Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita.
Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula
que facilita y simplifica el cálculo:
Derivación implícita con derivadas parciales
Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita. Hallarla también
mediante el procedimiento de derivadas parciales:
Se deriva respecto a x, recordando que y = f(x):
La derivada de la suma (y de la resta) es la suma/resta de las
derivadas.

18. El primer sumando es un producto (derivada de un producto de funciones).
Recordemos también la derivada de una potencia. Derivamos y simplificamos:
Pasamos al primer término de la igualdad todo lo que tenga y’:
Se saca factor común y’ y se despeja:
Obteniendo que la derivada implícita buscada y’ es:
Hallar y’ por derivadas parciales La función, pasando todo al primer término es:
Aplicamos la fórmula de derivación por derivadas parciales:

19. Derivamos la función en el numerador respecto a x, considerando y como una constante y
derivamos en el denominador respecto a y, considerando x como una constante.
Obteniendo el mismo resultado.
Derivadas parciales de orden superior
Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras... derivadas parciales de una
funci´on de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Por ejemplo la funcion z = f(x, y) tiene las
siguientes derivadas parciales de segundo orden:

20. la diferencial total, como su nombre lo indica, persigue
estudiar lo que pasa a la función cuando todas las
variables independientes de la función cambian al mismo
tiempo.
Diferencia Total
El propio nombre “derivada parcial”, nos trata de indicar que en contraposición al calificativo “parcial” existe
otro que lo complementa. Tal nombre y el correspondiente concepto existen y se le llama diferencial total.
En matemática, el diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde
a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los
del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser
tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es
el número de variables dependientes de la función.
Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

21. Como se representa la diferencia total?
En cálculo vectorial, el diferencial total de una función se puede representar de la siguiente manera:
donde f es una función

23. Gradientes
En análisis matemático (cálculo avanzado), particularmente en análisis
vectorial el gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado
de un campo escalar
El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de , ( ), indica la
dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo
representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector
gradiente.
Propiedades
es un campo vectorial.

24. Campos escalares.
Un campo escalar en R n es una función f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto de
R n . Usualmente Ω será un conjunto abierto. Para n = 2 tenemos un campo
escalar en el plano, que tendrá la forma (x,y) 7→ f(x,y). Para n = 3 tendremos un
campo escalar en el espacio, dado por una expresión (x,y,z) 7→ f(x,y,z).
En Física, un campo escalar f : Ω → R describe una magnitud con valores
escalares, de forma que Ω es una región del plano o del espacio y, para cada
punto x ∈ Ω, f(x) es el valor en el punto x de dicha magnitud física. Piénsese, por
ejemplo, en un campo de temperaturas.

25. Divergencia y Rotor
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y
el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie
que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo
tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene
"sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia
mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al
exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia
idénticamente igual a cero, describe al
flujo incompresible del fluido.
Se entiende por rotor o rotacional al operador
vectorial que muestra la tendencia de un
campo a inducir rotación alrededor de un
punto. También se define como la circulación
del vector sobre un camino cerrado del borde
de un área con dirección normal a ella misma
cuando el área tiende a cero

26. Divergencia de un campo vectorial
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ R n y consideremos sus coordenadas F =
(F1,F2,...,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈ Ω, lo que sabemos equivale a que todos los
campos escalares Fk, con k = 1,2,...,n, sean diferenciables en el punto a. De hecho cada vector gradiente ∇Fk(a)
es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la
divergencia del campo F en el punto a, y se denota por divF(a). Así pues, se tendrá:
Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω tenemos una función divF : Ω → R que en cada
punto x ∈ Ω toma el valor divF(x) de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre
funciones, válida en todo punto de Ω:
Rotacional de un campo vectorial
Rotacional en el espacio. Sea F = (P,Q,R) un campo vectorial definido en un abierto Ω ⊆ R 3 y diferenciable en un
punto a ∈ Ω. Del mismo modo que la divergencia divF(a) se obtiene como el producto escalar simbólico ∇.F(a),
podemos pensar en el producto vectorial, también simbólico, ∇ ×F(a). El vector que así se obtiene es, por definición,
el rotacional del campo F en el punto a y se denota también por rot F(a). Así pues:

27. Si f es un campo escalar diferenciable en un abierto Ω ⊆ R n , entonces su gradiente ∇ f : Ω → R n es un
campo vectorial definido en Ω. Suele decirse que ∇ f es un campo de gradientes 2. Gradiente, divergencia y
rotacional 14 Dado un campo vectorial F que sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R n , su divergencia ∇.F es
un campo escalar definido en Ω. Cada campo vectorial F que sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R 3 da lugar
a rot F, otro campo vectorial definido en Ω Finalmente, un campo vectorial F que sea diferenciable en un
abierto Ω ⊆ R 2 define un campo escalar rotF.

28. Se llama plano tangente a una superficie
en un punto P de la misma, al plano que
contiene todas las tangentes a las curvas
trazadas sobre la superficie por el punto P.
Plano tangente y recta normal
Se llama recta normal a una superficie a
la recta que pasa por un punto P y es
perpendicular al plano tangente.

29. Ejercicio
Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a
la superficie de ecuación en el punto P(1,2,3).
Solución: Hallamos las derivadas parciales:
En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:
y la ecuación de la recta normal es:

30. Conclusión
En cálculo existen cuatro conceptos fundamentales: límite, continuidad, derivación e
integración, los cuales se han estudiado para funciones de una variable en los dos
primeros cursos. En este material se desea generalizar dichos conceptos a funciones
de varias variables. El libro se divide en nueve capítulos y un apéndice, y se
distribuyen de la siguiente manera: en los tres primeros capítulos se recuerdan
algunos temas correspondientes a coordenadas polares, coordenadas cilíndricas y
esféricas, y superficies. En el cuarto capítulo se trata el concepto de función de varias
variables, en los capítulos del quinto al octavo se trabajan los conceptos
fundamentales de cálculo, pero, como ya lo hemos mencionado, para funciones de
varias variables. En el capítulo noveno trabajamos los campos vectoriales y,
finalmente, se hace un apéndice sobre los conceptos de sucesiones y series, puesto
que es un tema de gran relevancia para abordar diversas aplicaciones en ingeniería.

31. Anexos
( Videos relacionados con el tema)
https://www.youtube.com/watch?v=RdxXv3lFjls
https://www.youtube.com/watch?v=mNh-0nMN3Tw
https://www.youtube.com/watch?v=XBR3yTKMqrk

32. Bibliografía
Normal y Plano Tangente (2014)
https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/05/12-Vector-Normal-y-Plano-Tangente-2.pdf
- FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES2009.doc
http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/m
aria_victoria/funciones_varias_variables2011.pdf
Límites y continuidad de funciones de varias variables.
://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/Apuntes_Tema_5.pdf
http://www.ciencias.ula.ve/matematica/programasNuevo/Calculo3.htm
http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/Tema2
CIG(curso09-10).pdf
Leithold, L., El Cálculo con Geometría Analítica, Harla S.A., 6ª edición, 1992.