1. Concreto Armado I
• Contenido:
• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión
• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes
• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte
• 3.3 Resistencia a torsión
• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión
Prof. Ing. José Grimán Morales 1

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EJERCICIO DE TORSIÓN 01 (PROF. JOSÉ GRIMAN)
La viga con 8,8 m de longitud, sostiene una losa
monolítica con un voladizo de 1,8 m desde el centro de
la viga como aparece en la sección. La viga en L
resultante sostiene una carga viva de 1340 kgf/m a lo
largo de la línea central de la viga más 244 kgf/m2
distribuida uniformemente sobre la superficie superior
de la losa. La altura útil d de la viga es de 58,5 cm y la
distancia desde la superficie de la viga hasta el
centroide del acero de los estribos es de 4,635 cm. Las
resistencias de los materiales son f’c = 350 kgf/cm2 y fy
= 4200 kgf/cm2. Diseñe el refuerzo a torsión y a
cortante de la viga.

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SOLUCIÓN:
1. Análisis de cargas.
Datos:
Sobre la losa: Se estudia para un metro de ancho.
Wconcreto =2400 kgf/m3
,
Carga permanente wpl = 0,15·1,65·2400 =
esp = 0,15
long = 1,65
WC = 2400
wp = 594 kgf/m
Carga variable wvl = 1,65·244 =
long = 1,65
wvlosa 244 kgf/m2
wv = 402,6 kgf/m2

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Sobre la viga:
Carga permanente wpv =0,30·0,65·2400 =
b = 0,3
h = 0,65
WC = 2400
wpv = 468 kgf/m
Carga variable wvv = 1340 kgf/m
Cargas mayoradas aplicadas a la losa:
wuL1 = 1.4·594 =
factor = 1,4
wpl 594 kgf/m
wuL1 = 831,6 kgf/m
wuL2 = 1,2·594+1,6·402,6 =
factor cp = 1,2
factor cv = 1,6
wpl = 594
wvl = 402,6
wuL2 = 1356,96 kgf/m

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Cargas mayoradas aplicadas a la viga:
wuv1 = 1.4·468 =
factor = 1,4
wpl 468 kgf/m
wuL1 = 655,2 kgf/m
wuv2 = 1,2·468+1,6·1340 =
factor cp = 1,2
factor cv = 1,6
wpl = 468
wvl = 1340
wuL2 = 2705,6 kgf/m
La carga mayorada distribuida total sobra la viga:
wuvt = 1356,96+2705.6 =
wuL2 = 1356,96 kgf/m
wuv2 = 2705,6 kgf/m
wuvt = 4062,56 kgf/m

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Actúa también sobre la viga un momento torsor distribuido uniforme igual a la carga
mayorada por unidad de longitud de la losa, multiplicada por una excentricidad de
0,975 m.
Tdist = 0,975·1356,96 =
excentr = 0,975 m
wuL2 = 1356,96 kgf/m
Tdist = 1323,036 kgf·m/m
La fuerza cortante mayorada de la viga, en el centro del apoyo es Vu:
Vu = 4062.56·(8,8/2) =
Luz = 8,8 m
wuvt = 4062,56 kgf/m
Vu = 17875,264 kgf
El momento de torsión mayorado en el centro del apoyo es Tu:
Tu = 1323,036·(8,8/2) =
Luz = 8,8 m
Tdist = 1323,036 kgf·m/m
Tu = 5821,3584 kgf·m

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Como d = 58,5 cm y el ancho del apoyo es de 30 cm, las secciones críticas para cote y
para torsión quedan a (58,5 + 30/2) = 73,5 cm desde el centro del apoyo.
Vucrit = 17875,264 – 4062,56·0,735 =
Vu = 17875,264 kgf
wuvt = 4062,56 kgf/m
x secc crit = 0,735 m
Vucrit = 14889,2824 kgf
Tucrit = 5821,36 – 1323,036·0,735 =
Tu = 5821,36 kgf
Tdist = 1323,036 kgf/m
x secc crit = 0,735 m
Tucrit = 4848,92854 kgf·m

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El ancho efectivo de la losa considerada como parte de la sección de la viga para el
cálculo de Acp y Pcp, se muestra en la figura (ACI 11.5.1 y 13.2.4):

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Como hw = (65-15) = 50 cm < (4·15 = 60 cm) , el ancho efectivo es igual a 50 cm.
Se chequea si 𝑻 𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
(16.6). Si se cumple entonces se pueden
despreciar los efectos de la torsión.
Acp = 65·30 + 50·15 =
b = 30 cm
h = 65 cm
hw = 50 cm
hf = 15 cm
Acp = 2700 cm2
Pcp = 2·65+2·80 =
h = 65 cm
bw + hw = 80 cm
Pcp = 290 cm

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𝑻 𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
= 𝟎, 𝟕𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟓𝟎 ∙
𝟐𝟕𝟎𝟎 𝟐
𝟐𝟗𝟎
= 952,332444 kgf·m
Como Tu crit = 4848,93 kgf·m, > 952.332 kgf·m, se debe considerar la torsión.
Se debe tener en cuenta que tenemos en este caso una torsión primaria, por lo cual Tu
no se debe reducir.
Antes de diseñar el refuerzo a torsión se debe verificar que la sección cumple con la
ecuación:

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Lo que es equivalente a la sección 11.5.2 de la norma venezolana 1753-2006
Son ecuaciones equivalentes porque Vc / (bw·d) = 0,53· 𝑓′𝑐.

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Aunque para verificar si la torsión podía despreciarse, Acp , se calculó considerando
las aletas (tal como lo exige el Código ACI 11.5.1); los cálculos subsecuentes para
funcionalidad y resistencia se desprecian las aletas y no se proporciona ningún
refuerzo a torsión en las mismas.
Entonces se calcula Aoh y Ph considerando solo las dimensiones de la viga:
xo = 30 – 2·4,635 = 20,73 cm
yo = 65 – 2·4,635 = 55,73 cm
Aoh = xo·yo = 20,73·55,73 = 1155,2829 cm2

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Ph = 2·(xo +yo) = 2·( 20,73+55,73)
Ph = 152,92 cm
Se chequea entonces la fórmula 11.21 de la Norma 1753-06
14889,28
30 · 58,5
2
+
4848,93 ∙ 100 · 152,92
1,7 · 1155,2832
2
≤ 0,75 ∙ 2.7 ∙ 350
33,7634632 < 37,884281 kgf/cm2
Como la relación se cumple se continúa con el diseño, si no fuera así se debería
aumentar la sección de concreto.

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Diseño por torsión:
Como se cumple que 𝑻 𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
se considera la torsión
Se calcula el acero transversal por torsión:
2𝐴𝑡
𝑠
=
𝑇𝑢 𝜙
𝐴 𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑣 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝜃
Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1155,283= 981,99055 cm2
2𝐴 𝑡
𝑠
=
4848,93·100 0.75
981.991∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°
= 0,15675733 cm2/cm

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Se calcula el acero transversal por cortante:
Se chequea si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 :
Se calcula ϕ·Vc = 𝜙 · 0,53 · 𝑓′𝑐 · 𝑏 𝑤 · 𝑑 = 0,75 · 0,53 · 350 · 30 · 58,5 =
𝜙·Vc = 13051,1348 kgf
Como Vu = 14889,28 kgf es mayor que 𝜙Vc = 13051,135 kgf , se requiere acero
transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:
Se calcula Vs =
𝑉 𝑢 𝑐𝑟𝑖𝑡 −𝜙 𝑉𝑐
𝜙
=
14889,28−13051,135
0.75
= 2450,86 kgf
Se chequea con Vsmax = 2.1 · 𝑓′𝑐 · 𝑏 𝑤 · 𝑑 = 2.1 · 350 · 30 · 58,5 =
𝑉𝑠𝑚𝑎𝑥 = 68949,3915 kgf
Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la
sección.

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Calcula el acero necesario por cortante:
𝐴 𝑣
𝑠
=
𝑉𝑢 𝜙−𝑉𝑐
𝑓𝑦𝑣 ·𝑑
=
14889,28 0.75−13051,135 0.75
4200·58,5
= 0,00997501 cm^2/cm
Se compara con Av / s min =
0.20· 𝑓′ 𝑐·𝑏 𝑤
𝑓𝑦𝑣
≥
3.5·𝑏 𝑤
𝑓𝑦𝑣
𝐴 𝑣
𝑠
min =
0,20· 350·30
4200
= 0,02672612 cm^2/cm
3,5·30
4200
= 0,025 cm^2/cm
Se debe colocar
𝐴 𝑣
𝑠
=
𝐴 𝑣
𝑠
𝑚í𝑛 =0.027 cm2
/cm
Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:
𝐴 𝑣𝑡
𝑠
=
𝐴 𝑣
𝑠
+ 2 ·
𝐴 𝑡
𝑠
= 0.027 + 0,1568 = 0,1838 cm2/cm
Se chequea que
𝐴 𝑣𝑡
𝑠
≥
3,5·𝑏 𝑤
𝑓𝑦𝑣
⟹ se cumple 0,1838 > 0,025

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Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm2
=
𝑠 =
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝐴 𝑣𝑡 𝑠
=
2,54
0,1838
= 13,8193689 cm
Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más
exigente:
Por torsión 𝑠 𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 =≤ 𝑃𝑕 8 ; 30 𝑐𝑚 = 152,92 8 ; 30 𝑐𝑚 = 19,12 𝑐𝑚
Por cortante:
Se chequea si Vs es menor que 1,06 · 𝑓′𝑐 · 𝑏 𝑤 · 𝑑 = 32423,3321 kgf
Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm

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𝑠 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 𝑑 ; 60 𝑐𝑚;
5 · 𝐴 𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣
𝑏 𝑤 · 𝑓′𝑐
;
𝐴 𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣
3,5 · 𝑏 𝑤
=
𝑠 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 58,5 ; 60 𝑐𝑚;
5 · 2,54 · 4200
30 · 350
;
2,54 · 4200
3,5 · 30
=
0,5·58,5 = 29,25 cm
5·2,54·4200
30· 350
= 95,0380976 cm
2,54·4200
3,5·30
= 101,6 cm
Separación elegida es : s = 13 cm, a partir de 5 cm de la cara del apoyo, hasta donde
sea necesario.

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En este caso particular se requiere colocar Av mín, acero mínimo por corte hasta el
punto donde el cortante es igual a 0,5·𝜙·Vc ,
xzv = 4,4 ·
17875,264−0.5·13051,135
17875,264
= 2,79373018 m
Teóricamente a partir de x = 2,8 m desde el centro de apoyo, no se requiere refuerzo
transversal. Como se debe colocar es la suma 2At/s +Av/s y cómo el torque varía
linealmente hasta el centro del tramo, se debe tener en cuenta esta variación para
colocar el acero por torsión, el cual se debe colocar al todo lo largo de la viga.
Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las
separaciones de los estribos:

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x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/s s (cm)
0,735 14889,28 4848,93 0,15675781 0,027 0,18375781 13,8225419
0,8 14625,2136 4762,93266 0,15397766 0,027 0,18097766 14,0348817
1 13812,7016 4498,32546 0,14542335 0,027 0,17242335 14,7311836
1,5 11781,4216 3836,80746 0,12403758 0,027 0,15103758 16,8170072
2 9750,1416 3175,28946 0,1026518 0,027 0,1296518 19,5909345
2,5 7718,8616 2513,77146 0,08126603 0,027 0,10826603 23,4607286
2,8 6500,0936 2116,86066 0,06843457 0,027 0,09543457 26,6150937
3 5687,5816 1852,25346 0,05988026 0 0,05988026 42,4179852
3,5 3656,3016 1190,73546 0,03849449 0 0,03849449 65,983472
4 1625,0216 529,21746 0,01710872 0 0,01710872 148,462335
4,4 -0,0024 0,00306 9,8925E-08 0 9,8925E-08 25676098
Se puede observar en la tabla a partir de 2 m desde el apoyo se puede colocar el
acero mínimo por torsión dado por la separación máxima (Ph / 8 ) =19,12 cm.
Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,
luego 14 estribos a cada 13 cm hasta una distancia de 202 cm del centro del
apoyo. Igual para el otro extremo y en la zona central 24 estribos a cada 19 cm.

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Se calcula ahora el acero longitudinal.
Se tiene
2𝐴 𝑡
𝑠
=
4848,93·100 0.75
981.991∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°
= 0,15675733 cm2/cm
Entonces
𝐴 𝑡
𝑠
= 0,07837866 cm^2/cm
𝑨𝒍 =
𝑨𝒕
𝒔
· 𝒑 𝒉 ·
𝒇 𝒚𝒗
𝒇 𝒚𝒍
· 𝑪𝒕𝒈 𝟐
𝜽 ≥
𝟏, 𝟑𝟑 · 𝒇′ 𝒄 · 𝑨 𝒄𝒑
𝒇 𝒚𝒍
−
𝑨𝒕
𝒔
· 𝒑 𝒉 ·
𝒇 𝒚𝒗
𝒇 𝒚𝒍
𝑨𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟖𝟒 · 𝟏𝟓𝟐, 𝟗𝟐 · 𝟏 · 𝟏 𝟐
= 11,988928 cm^2
𝟏,𝟑𝟑· 𝟑𝟓𝟎·𝟐𝟕𝟎𝟎
𝟒𝟐𝟎𝟎
− 𝟎. 𝟎𝟕𝟖𝟒 · 𝟏𝟓𝟐. 𝟗𝟐 · 𝟏 = 4,00665733 cm^2
Se distribuye esta área 12 cm2 en tres partes, en la parte central de la sección de
la viga se colocan 2 barras de 5/8 “, y en la zona a tensión y a compresión se
agregan 4,02 cm2.