Concreto Armado Torsión

1. Concreto Armado I
• Contenido:
• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión
• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes
• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte
• 3.3 Resistencia a torsión
• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión
Prof. Ing. José Grimán Morales 1

2. Prof. Ing. José Grimán Morales 2
EJERCICIO DE TORSIÓN 02
La viga en voladizo mostrada en la figura, soporta su propio peso además de una carga
concentrada aplicada según se muestra. La viga tiene una longitud de 140 cm y la
carga concentrada actúa en un punto ubicado 15 cm antes del extremo libre del
voladizo y a 15 cm del eje vertical del elemento. La carga concentrada no factorizada
consiste de una carga permanente de 9100 kg y una carga viva también de 9100 kg.
Usar f’c =210 kg/cm2
y fy = 4200 kg/cm2
. Diseñe el refuerzo a torsión y a cortante de
la viga.

3. Prof. Ing. José Grimán Morales 3

4. Prof. Ing. José Grimán Morales 4
SOLUCIÓN:
1. Análisis de cargas:
Datos:
Sobre la viga: Se determina el peso propio por unidad de longitud de viga.
Wconcreto =2400 kgf/m3
,
Peso permanente wpl = 0,35·0.60·2400 =
b = 0,35
h = 0,6
WC = 2400
wp = 504 kgf/m
Cargas mayoradas aplicadas a la viga:

5. Prof. Ing. José Grimán Morales 5
Carga distribuida mayorada:
wuv1 = 1,4·504 =
factor = 1,4
wp 504 kgf/m
wu1 = 705,6 kgf/m
wuv2 = 1,2·504+1,6·(0) =
factor cp = 1,2
factor cv = 1,6
wpl = 504
wvl = 0
wuL2 = 604,8 kgf/m
Carga distribuida mayorada se toma igual a wu = 705,6 kgf/m
Carga concentrada mayorada:
Puv1 = 1,4·9100 = 12740 kgf
Puv2 = 1,2·9100+1,6·9100 = 25480 kgf
Se toma como carga concentrada mayorada se toma igual a Pu = 25480 kgf

6. Prof. Ing. José Grimán Morales 6
Diagrama de corte y diagrama de torsión:
Ru = Vu =705,6·1.4+25480 = 26467,84 kgf
0 ≤ x ≤ 1,25 m, V = 26467,84 – 705,6·x
En x = 1,25 m, V(x = 1,25 m) = 26467,84 – 705,6·1,25 = 25585,84 kgf
Luego de la carga aplicada, V(x > 1,25 m) =25585,84-25480 =
105,84 kgf

7. Prof. Ing. José Grimán Morales 7
Diagrama de fuerza cortante
Cálculo del torque último:
Tu = 0,15·25480 = 3822 kgf·m

8. Prof. Ing. José Grimán Morales 8
Considerando d = 53,5 cm y como no tenemos dado ancho de apoyo, las secciones
críticas para corte y para torsión quedan a 53,5 cm desde la cara del apoyo.
Vucrit = 26467,84 – 705,6·0,535 =
Vu = 26467,84 kgf
wuvt = 705,6 kgf/m
x secc crit = 0,535 m
Vucrit = 26090,344 kgf
Tucrit = 3822 kgf·m
Se chequea si 𝑻 𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
(16.6). Si se cumple entonces se pueden
despreciar los efectos de la torsión.
Acp = 35·60=
b = 35 cm
h = 60 cm
Acp = 2100 cm2

9. Prof. Ing. José Grimán Morales 9
Pcp = 2·(35+60) =
b = 35 cm
h = 60 cm
Pcp = 190 cm
𝑻 𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
= 𝟎, 𝟕𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝟐𝟏𝟎 ∙
𝟐𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟏𝟗𝟎
= 664,698982 kgf·m
Como Tu crit = 3822 kgf·m, > 664,7 kgf·m, se debe considerar la torsión.
Se debe tener en cuenta que tenemos en este caso una torsión primaria, por lo cual Tu
no se debe reducir.
Antes de diseñar el refuerzo a torsión se debe verificar que la sección cumple con la
ecuación:

10. Prof. Ing. José Grimán Morales 10
Se calcula Aoh y Ph considerando las dimensiones de la viga:
xo = 35 – 2·4,635 = 25,73 cm
yo = 60 – 2·4,635 = 50,73 cm
Aoh = xo·yo = 25,73·50,73 = 1305,2829 cm2
Ph = 2·(xo +yo) = 2·( 25,73+50,73)
Ph = 152,92 cm

11. Prof. Ing. José Grimán Morales 11
Se chequea entonces la fórmula 11.21 de la Norma 1753-06
26090,344
35 · 53,5
2
+
3822 ∙ 100 · 152,92
1,7 · 1305,2832
2
≤ 0,75 ∙ 2.7 ∙ 210
24,5219605 < 29,3450379 kgf/cm2
Como la relación se cumple se continúa con el diseño, si no fuera así se debería
aumentar la sección de concreto.
Diseño por torsión:
Como se cumple que 𝑻 𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
se considera la torsión
Se calcula el acero transversal por torsión:
2𝐴𝑡
𝑠
=
𝑇𝑢 𝜙
𝐴 𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑣 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝜃
Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1305,283= 1109,49055 cm2

12. Prof. Ing. José Grimán Morales 12
2𝐴 𝑡
𝑠
=
3822·100 0.75
1109,49∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°
= 0,10935956 cm^2/cm
Se calcula el acero transversal por cortante:
Se chequea si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 :
Se calcula ϕ·Vc = 𝜙 · 0,53 · 𝑓′𝑐 · 𝑏 𝑤 · 𝑑 = 0,75 · 0,53 · 210 · 35 · 53,5 =
𝜙·Vc = 10786,2034 kgf
Como Vu = 26090,344 kgf es mayor que 𝜙Vc = 10786,2034 kgf , se requiere acero
transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:
Se calcula Vs =
𝑉 𝑢 𝑐𝑟𝑖𝑡 −𝜙 𝑉𝑐
𝜙
=
26090,344−10786,2034
0.75
= 20405,5208 kgf
Se chequea con Vsmax = 2.1 · 𝑓′𝑐 · 𝑏 𝑤 · 𝑑 = 2.1 · 210 · 35 · 53,5 =
𝑉𝑠𝑚𝑎𝑥 = 56983,7162 kgf

13. Prof. Ing. José Grimán Morales 13
Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la
sección.
Calcula el acero necesario por cortante:
𝐴 𝑣
𝑠
=
𝑉𝑢 𝜙−𝑉𝑐
𝑓𝑦𝑣 ·𝑑
=
26090,344 0.75−10786,2034 0.75
4200·53,5
= 0,09081229 cm^2/cm
Se compara con Av / s min =
0.20· 𝑓′ 𝑐·𝑏 𝑤
𝑓𝑦𝑣
≥
3.5·𝑏 𝑤
𝑓𝑦𝑣
𝐴 𝑣
𝑠
min =
0,20· 210·35
4200
= 0,02415229 cm^2/cm
3,5·35
4200
= 0,02916667 cm^2/cm
Se debe colocar
𝐴 𝑣
𝑠
= 0.091 cm2
/cm
Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:
𝐴 𝑣𝑡
𝑠
=
𝐴 𝑣
𝑠
+ 2 ·
𝐴 𝑡
𝑠
= 0.091 + 0,1094 = 0,2004 cm2/cm

14. Prof. Ing. José Grimán Morales 14
Se chequea que
𝐴 𝑣𝑡
𝑠
≥
3,5·𝑏 𝑤
𝑓𝑦𝑣
⟹ se cumple 0,2004 > 0,0292
Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm2
=
𝑠 =
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝐴 𝑣𝑡 𝑠
=
2,54
0,2004
= 12,6746507 cm
Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más
exigente:
Por torsión 𝑠 𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 =≤ 𝑃𝑕 8 ; 30 𝑐𝑚 = 152,92 8 ; 30 𝑐𝑚 = 19,12 𝑐𝑚
Por cortante:
Se chequea si Vs es menor que 1,06 · 𝑓′𝑐 · 𝑏 𝑤 · 𝑑 = 28763,2091 kgf
Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm
𝑠 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 𝑑 ; 60 𝑐𝑚;
5 · 𝐴 𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣
𝑏 𝑤 · 𝑓′𝑐
;
𝐴 𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣
3,5 · 𝑏 𝑤
=

15. Prof. Ing. José Grimán Morales 15
𝑠 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 53,5 ; 60 𝑐𝑚;
5 · 2,54 · 4200
35 · 210
;
2,54 · 4200
3,5 · 35
=
0,5·53,5 = 26,75 cm
5·2,54·4200
35· 210
= 105,165991 cm
2,54·4200
3,5·35
= 87,0857143 cm
Separación elegida es : s = 12 cm, a partir de 5 cm de la cara del apoyo, hasta donde
sea necesario.
Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las
separaciones de los estribos:

16. Prof. Ing. José Grimán Morales 16
x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/s s (cm)
0,535 26090,344 3822 0,1093595 0,09081229 0,20017179 12,6891008
0,6 26044,48 3822 0,1093595 0,09054014 0,19989964 12,7063762
0,7 25973,92 3822 0,1093595 0,09012145 0,19948095 12,7330456
0,8 25903,36 3822 0,1093595 0,08970275 0,19906226 12,7598273
0,9 25832,8 3822 0,1093595 0,08928406 0,19864356 12,7867219
1 25762,24 3822 0,1093595 0,08886537 0,19822487 12,81373
1,1 25691,68 3822 0,1093595 0,08844668 0,19780618 12,8408526
1,2 25621,12 3822 0,1093595 0,08802799 0,19738749 12,8680901
1,25 25585,84 3822 0,1093595 0,08781864 0,19717814 12,8817523
1,4 25480 0 0 0,0871906 0,0871906 29,1315792
Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,
luego 12 estribos a cada 12 cm a todo lo largo de la viga

17. Prof. Ing. José Grimán Morales 17
Se calcula ahora el acero longitudinal.
Se tiene
2𝐴 𝑡
𝑠
=
3822·100 0.75
1109,49∙4200∙𝑐𝑡𝑔 45°
= 0,10935956 cm2/cm
Entonces
𝐴 𝑡
𝑠
= 0,05467978 cm^2/cm
𝑨𝒍 =
𝑨𝒕
𝒔
· 𝒑 𝒉 ·
𝒇 𝒚𝒗
𝒇 𝒚𝒍
· 𝑪𝒕𝒈 𝟐
𝜽 ≥
𝟏, 𝟑𝟑 · 𝒇′ 𝒄 · 𝑨 𝒄𝒑
𝒇 𝒚𝒍
−
𝑨𝒕
𝒔
· 𝒑 𝒉 ·
𝒇 𝒚𝒗
𝒇 𝒚𝒍
𝑨𝒍 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟕 · 𝟏𝟓𝟐, 𝟗𝟐 · 𝟏 · 𝟏 𝟐
= 8,364724 cm^2
𝟏,𝟑𝟑· 𝟐𝟏𝟎·𝟐𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟐𝟎𝟎
− 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟕 · 𝟏𝟓𝟐. 𝟗𝟐 · 𝟏 = 1,27204154 cm^2
Se distribuye esta área 8,4 cm2 en tres partes, en la parte central de la sección de
la viga se colocan 2 barras de 1/2 “, y en la zona a tensión y a compresión se
agregan 2,94 cm2.