VIGAD DOBLEMNTE REFORZADAS

1. VIGAS DOBLEMENTEREFORZADAS EMEL MULETTRODRIGUEZ 1
2.4. DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS
2.4.1. FUNDAMENTOS
Las normas de diseño de vigas reforzadas especifican o recomiendan que sólo se necesite refuerzo a
tensión y rija el diseño por fluencia del acero para lo cual se establece una cuantía máxima   0.75b
Si la sección escogida no satisface los requisitos entonces se procede a escoger una sección de mayor
tamaño.
Ocurre, sin embargo, que debido a limitaciones arquitectónicas no es posible incrementar la sección;
también puede deberse a conveniencias estructurales como cuando una sección satisface para ciertos
valores de momentos, pero para otros no, sobre todo cuando la viga es continua.
Es preciso tener en cuenta que la presencia de refuerzo a compresión disminuye el efecto del flujo
plástico y por tanto las deflexiones a largo plazo; de igual manera mejora la ductilidad, no obstante el
diseño de vigas con refuerzo a compresión no es económico.
Aunque la viga tenga refuerzo a compresión, si la cuantía a tensión es menor que la balanceada, la
resistencia de la viga puede calcularse sin tener en cuenta el refuerzo a compresión ya que el acero a
compresión está muy poco esforzado y su presencia no altera mucho el brazo de momento.
Si el refuerzo a tensión es mayor que la cuantía balanceada es necesario conseguir el equilibrio en la zona
del concreto a compresión agregando refuerzo.
Como puede deducirse de la figura arriba, el momento resistido por la viga doblemente reforzada se
puede descomponeren dos: Momento debido a la flexión simple usando un área de refuerzo máxima
permitida Asmax = As-As´y el par causado porel resto del refuerzo a As1 = A´s.
Suponiendo que el refuerzo a tensión alcanza la fluencia, se tiene:
Momento por flexión simple
Mn1= (As –A´s) fy (d-a/2) (1)
Mn= (As-A´s) fy (d-a/2) + A´sfs (d-d´) (6)
No se sabe si el esfuerzo fs en el acero a
compresión fluye; debe determinarse por la
Con a 
(As - A´s)fy
( - ´)fy
d (2)
compatibilidad de deformaciones. Del diagrama
de deformaciones se puede obtener por relación
Siendo  
0.85f´c b
As
(3)
bd
0.85f´c
A´
s
´
bd
(4)
de triángulos:
0.003(c - d´)
´s=
c
, o (7) d’
ecu
e’c
Momento por el refuerzo a compresión y el
exceso de refuerzo a tensión
Mn2=A´sfs (d-d´) (5)
Por tanto el momento total será la suma
s´= 0.003(1
d´
)
c
(8) c-d’

2. VIGAS DOBLEMENTEREFORZADAS EMEL MULETTRODRIGUEZ 2
y
)'
Como c se desconoce, usando la relación
La cuantía balanceada para la viga doblemente
reforzada puede calcularse como
c=a/  1 y remplazando en la ecuación (2) se
obtiene
( - ´)fy

b   b  '
f's
fy
(12)
c=a/  1 
0.85f´c 1
d que al remplazar

0.85f'  d´
 b corresponde a la cuantía balanceada para
en (8) s´= 0.003(1 c 1
)
( -  '
)f d
(9) viga solamente reforzada a tensión con un área
de acero As1=As-A’s que generalmente es igual a
Asmax correspondiente a la cuantía máxima
Para que el acero a compresión fluya debe darse
que s´≥ y= fy /Es, es decir,
0.75 b . Por tanto la cuantía máxima permitida
para una viga doblemente reforzada viene dada
por:
0.85f' d´  f's
s´= 0.003(1 c 1
≥ fy /Es, MAX  0.75 b  ' (13)
( -  )fy d
de donde se deduce que para que el acero a
compresión fluya se debe cumplir que

fy
Si el refuerzo a compresión no fluye debe
reajustarse el valor de a o altura equivalente del
bloque a compresión como sigue:
    '
0.85f'c 1d'
*
6000
 N
(10)
fy d 6000  fy
min
a 
Asfs - A´sf's
0.85f´c b
(14)
Si 's  y =fy /E  fs = Es  's
= El momento final resistente viene dado por
0.85 f' d'
6000 (1 1 c
( - ')f y d
 fy (11) Mu ≤  Mn
Mu ≤ [(As-A’s) fs (d-a/2) + A’sf’s (d-d’)] 15)
Este valor de f’s se puede tomar como una
primera aproximación, ya que se basó en la
cuantía balanceada para el acero a tensión.
Si la cuantía del acero a tensión  es menor que  N y es menor que

 min
, se tiene
entonces que el acero a tensión fluye pero no el acero a compresión. El esfuerzo en el
acero a compresión puede calcularse con base en el diagrama de deformaciones, de la
siguiente manera:
f’s=Es´s=
0.003(c - d´)
c
Es (16)
resistente de la viga para esta condición del
refuerzo:
Mu ≤ [0.85f’c ab (d-a/2) + A’sf ’s (d-d’)] (18)
Del equilibrio de fuerzas C=T se puede escribir:
Asfy = 0.85f’c( 1 c)b+A’sf’s o
6000(c - d´)
Asfy = 0.85f’c( 1 c)b+A’s
c
(17).
Esta es una ecuación cuadrática en c. Calculado
c de dicha ecuación se obtiene f’s de (16) y con

3. VIGAS DOBLEMENTEREFORZADAS EMEL MULETTRODRIGUEZ 3
a= 1 c se calcula finalmente el momento

4. VIGAS DOBLEMENTEREFORZADAS EMEL MULETTRODRIGUEZ 4
m
2.4.2. REVISION DE VIGAS DOBLEMENTE EFORZADAS
Dada la sección de una viga, materiales y refuerzo se desea conocer el momento
resistente.
DATOS: b, h, d f’c, fy As,A’s
INCOGNITA:  Mn
Debe revisarse cuáles aceros alcanzan la .
fluencia
1. Cálculo de cuantías
´
 
As
bd
´
A s
bd
N    '
f' 1.4
 
c

4fy f y
b =
0.851 f'c 6000
,
fy 6000  fy
 Max = 0.75b.
2. Acero a Tensión.
Si N 

 min  f’s < fy, en este caso debe
Si N
   ' < b  fs =fy. Sin embargo, determinarse f’s
si M < N < b la sección no es aceptable por
no poderse garantizar la falla por fluencia. Ideal
es que N <M
Asfy = 0.85f’c( 1 c)b+A’s
(17).
6000(c - d´)
c
Si N    ' > b  La sección está
sobrerreforzada y fs < fy
Del diagrama de deformaciones:
s = cu (d-c)/c fs = Es cu (d-c)/c =6000 (d-c)/c
Pero no se conoce c.
C=T,
La ecuación (19) es la ecuación general para el
caso en que tanto el acero a tensión como a
compresión no fluyen (fs < fy y f’s < fy ).
Otra manera de calcular f’s cuando fs=fy es
usando un valor inicial aproximado para f’s
dado por la ecuación (11):
0.85 f' d'Asfs = 0.85f’c( 1 c)b+A’sf’s o f’s=6000 (1 1 c
( - ')f y d
 fy .
6000 As (d-c)/c = Con este valor aproximado se calcula
6000(c - d´) A f - A´sf
0.85f’c( 1 c)b+A’s
c
(19) a  s s s
0.85f´c b
c=a/  1
y se resuelve la ecuación cuadrática resultante.
Si se ha comprobado previamente que f’s = fy
se remplaza directamente para simplificar la
´s=
0.003(c - d´)
c
f’s=Es´s  fy
ecuación anterior.
3. Acero a compresión
Si f’s  fy Calcule un nuevo a, c, ´s y f’s.
4. Momento resistente
 0.85f' d' 6000 Mu ≤ [(As-A’s) f (d-a/2) + A’sf’s (d-d’)]

5. VIGAS DOBLEMENTEREFORZADAS EMEL MULETTRODRIGUEZ 5
 min = c 1
fy d
*
6000  fy
Cuantía
s
mínima para que el refuerzo fluya.

Si N   min  f’s = fy

6. VIGAS DOBLEMENTEREFORZADAS EMEL MULETTRODRIGUEZ 6

m
N
2.4.3. DISEÑO DE VIGAS CON REFUERZO A COMPRESION
DATOS: Mu, b,h,d, f’c, fy
INCOGNITAS As, A’ s.
1. Calcule las cuantías máximas y
mínimas para refuerzo a tensión
solamente.
Mn2 = Mu – MMAX.
3. Acero A tensión.Mu ≤ [(AsMAX fy
(d-a/2) + A’sf’s (d-d’)]
As = ASMAX + A’s o =MAX +’
ASMAX = MAX bd
f' 1.4
 
c

4fy f y A’ s =
Mn 2
 ’=
As
b =
0.851 f'c 6000
,
fy(d  d') bd
fy
 Max = 0.75b
6000  fy 4. Revisión de cuantías
  MAX +’
2. Calcule el Momento máximo que la
viga puede resistir a tensión: Si
    '
0.85f'c 1d'
*
6000
 Mmax = Ru bd2
Ru = ФMAXfy(1-0.59MAX fy / f’c )
fy d 6000  fy
min
Si Mu < Mmax No se requiere refuerzo a
compresión y se diseña la viga como viga con
refuerzo solamente a tensión.
Si Mu > Mmax se requiere refuerzo a
Compresión. En este caso se calcula el
momento adicional Mn2 que debe resistir la
viga:
el acero a compresión fluye, sino debe revisase
el esfuerzo f’ s.
CUESTIONARIO Y EJERCICIO
a) Conteste V o F
1. Si una viga tiene refuerzo longitudinal tanto
en la parte superior como inferior se puede
considerar que su comportamiento es el de una
viga doblemente reforzada. ( )
2. Una viga doblemente reforzada se presenta
cuando debe resistir simultáneamente M+
o M-.
3. Una viga puede tener al mismo tiempo
secciones reforzadas solamente a tensión y
secciones doblemente reforzadas.
4. Una viga con refuerzo As+
= As-
no puede
comportarse como doblemente reforzada.
b) Calcular el momento resistente de una viga
de sección 40x60 reforzada 6#8 en su parte
inferior colocadas en dos capas con los
espaciamientos y separaciones de acuerdo a las
NSR’98, tiene además 4#7 en una sola capa en
la parte superior. f’c = 35 fy=420 MPa.
c ) Una viga de 20x30 cmsxcms debe resistir un
momento de flexión Mu= 110 kN-m usando
fy=42 MPa y f’c=21MPa. Calcule el refuerzo
necesario para resistir el momento dado.Las
dimensiones no pueden cambiarse.