1. PROGRAMACION LINEAL

2. Un problema de Programación lineal , busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales. La Programación lineal tiene amplias aplicaciones prácticas en áreas tan diversas como la asignación de recursos escasos, la compra y fabricación, la administración de agencias, la combinación y planeación de producción.

3. PROGRAMACION LINEAL El Enfoque Gráfico

4. Método para resolver problemas de Programación Lineal con solo dos variables, utilizando gráficas. Para entender como se aplica este método, veamos un ejemplo

5. El laboratorio LAVAL, produce dos solventes, A y B, en su planta de Valparaíso. La planta opera 40 horas a la semana y emplea a 5 trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana para operar las 7 máquinas que mezclan ciertos químicos para producir cada solvente. Esta fuerza de trabajo proporciona hasta 230 hrs de trabajo disponible en el departamento de mezclado. Los productos, una vez mezclados, son refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene 7 purificadores y emplea a 6 trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana. Este trabajo proporciona hasta 250 hrs de trabajo disponible en el departamento de purificación. Las horas requeridas en los departamentos de mezclado y purificación para producir mil galones de cada uno de los solventes se enumeran en la siguiente tabla. Requerimiento de mezclado y purificación (hr/1000 gal) A B Mezclado Purificación 2 1 1 2 2X1 + X2 < 230 (mezclado) X1 + 2X2 < 250 (purificación)

6. LAVAL, tiene una provisión casi limitada de la materia prima que necesita para producir los dos solventes. Puede vender cualquier cantidad de A, pero la demanda del producto más especializado, B, está limitada a un máximo de 120.000 galones por semana. El departamento de contabilidad estima un margen de ganancia de US$3 (miles de dólares) por galón de A y US$5 por galón de B. Como todos los empleados son asalariados y por tanto, se les paga la misma cantidad sin importar cuantas horas trabajen, estos salarios y los costos de las máquinas se consideran fijos y no se incluyen en los cálculos del margen de ganancia. Como gerente de operaciones, usted desea determinar el plan de fabricación semanal óptimo para LAVAL. Función Objetivo a maximizar 3 X1 + 5 X2 X2 < 120 ( Límite sobre B) Aquí, X1 es el número de miles de galones de A por producir, y X2 el número de miles de galones de B por producir.

7. Mediante el proceso de formulación del problema, puede desarrollar el siguiente modelo matemático. La función Objetivo se expresa en miles de dólares Función Objetivo a maximizar 3 X1 + 5 X2 2X1 + X2 < 230 (mezclado) X1 + 2X2 < 250 (purificación) X2 < 120 ( Límite sobre B) X1 > 0 X2 > 0 Como Gerente de Operaciones su objetivo es resolver este problema, esto es, encontrar valores para las variables X1 y X2 que satisfagan las cinco restricciones y produzcan el mayor margen de ganancia para la función objetivo. Ahora aprenderá a resolver este problema gráficamente. Dependiendo de: Restricciones

8. Función Objetivo a maximizar 3 X1 + 5 X2 2X1 + X2 < 230 (mezclado) X1 + 2X2 < 250 (purificación) X2 < 120 ( Límite sobre B) X1 > 0 X2 > 0 Dependiendo de: Dado el siguiente modelo de maximización debemos determinar la solución factible óptima que cumpla con las restricciones que acompañan la función objetivo Incluyendo las restricciones de no negatividad de X1 y X2 siendo estas las dos últimas dentro del modelo

9. 2X1 + X2 < 230 (mezclado) X1 + 2X2 < 250 (purificación) X2 < 120 ( Límite sobre B) X1 > 0 X2 > 0 Dependiendo de: El primer paso es la determinación del espacio de la solución factible , para ello reemplazamos las desigualdades por ecuaciones y después trazamos las líneas rectas resultantes en el gráfico 2X1 + X2 = 230 X1 + 2X2 = 250 X2 = 120 X1 = 0 X2 = 0 Función Objetivo a maximizar 3 X1 + 5 X2 (1) (2) (3) (4) (5)

10. 2X1 + X2 = 230 X1 + 2X2 = 250 X2 = 120 X1 = 0 X2 = 0 (1) (2) (3) (4) (5) Por ejemplo para la primera ecuación se pueden obtener estos puntos demostrando primero X1 = 0 , para obtener X2 = 230 y después determinando X2 = 0 para obtener X1 = 115 Por consiguiente la línea recta pasará a través de los puntos (0,230) y (115,0) X1 X2 0 230 115 0 (1) X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) Después consideramos el efecto de la desigualdad, todo lo que hace la desigualdad es dividir el plano X1 y X2 en dos espacios o mitades que ocurre al momento de trazar la línea recta, por lo que un lado satisface la desigualdad y el otro no Esto se puede ver en la primera restricción asignándole a X1 y X2 el valor del origen, es decir (0,0) cuyo resultado va a ser menos a 230, queriendo decir esto que el lado factible de esta restricción incluye al mismo origen Punto Origen en caso contrario, entonces la flecha direccional apuntaría al lado opuesto del origen. En caso a que la línea atravesara al origen, entonces podemos elegir otro punto de referencia para efectuar el resultado deseado. Flecha direccional

11. X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) Sea X1= 0 y X2=0 , si satisface por que 2X1 + X2 = 2 (0) + 0 = 0, que es < 230, por lo tanto los valores factibles van hacia abajo como muestra la flecha direccional. Ahora veremos las demás rectas resultantes de las siguientes ecuaciones X1 X2 0 125 250 0 (2) (2)

12. X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) X1 X2 0 125 250 0 (2) (2) (3) X2 = 120 (3) (4) (5) Región Factible : El conjunto de valores para las variables de decisión en un programa lineal que satisface todas las restricciones.

13. X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) (2) (3) (4) (5) A B C D E Cualquier punto en ese espacio es un punto factible que satisface todas las restricciones. (4) y (5) permiten sólo valores no negativos, es decir a la derecha del eje X2 y encima del eje X1

14. Para obtener la solución óptima.. podemos usar los puntos extremos como referencia El punto en la región factible que tiene el mejor valor de la función objetivo X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) (2) (3) (4) (5) A B C D E En uno de esos puntos extremos puede estar el punto que maximice la función objetivo Punto extremo X1 X2 Función Objetivo 3X1+5X2 A B C D E 0 115 70 10 0 0 0 90 120 120 0 345 660 630 600 Punto C , se obtiene interceptando (1) y (2) 2X1 + X2 = 230 (1) X1 + 2X2 = 250 (2) Sistema de ecuaciones X1=70 X2=90 Solución óptima

15. Otra manera de encontrar la solución óptima es usando la función objetivo 1.- Trazar la línea de la función objetivo, eligiendo cualquier punto de la región factible y calcular el valor de la función objetivo en ese punto. 2.- Localizar su mejor lado (puntos que maximice la función objetivo en este caso). 3.- Mover la línea de la función objetivo de manera paralela así misma en la dirección de mejora.

16. X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) (2) (3) (4) (5) A B C D E 30 20 Función Objetivo = 3X1 + 5X2 = 210 50 50 Función Objetivo = 3X1 + 5X2 = 400 Mejor lado

17. Los resultados para LAVAL en la forma de un plan de producción semanal son los siguientes: Cantidad de “A” por producir = 70 (miles de galones) Cantidad de “B” por producir = 90 (miles de galones) Margen de ganancia semanal = U$ 660 (miles de dólares)

18. La Apex Televisión debe decidir el número de televisores de 27” y 20” producidos en una de sus fábricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más de 40 televisores de 27” y 10 de 20” cada mes. El número máximo de horas hombre disponible es de 500 por mes, un televisor de 27” requiere 20 horas-hombre y uno de 20” requiere 10 Horas-hombre, cada televisor de 27” produce una ganancia de $120 y cada uno de 20” da una ganancia de $80. Un distribuidor esta de acuerdo en comprar todos los televisores producidos siempre y cuando no exceda el máximo indicado por el estudio de mercado. a) Formule el modelo de programación lineal b) Use el método gráfico para resolver el modelo. Televisor de 27” = X1 Televisor de 20” = X2 Ventas Horas-Hombre Ganancias X1 X2 40 20 10 10 120 80 500 120X1 + 80X2

19. Función Objetivo. Máx (Z) = 120X1 + 80X2 Restricciones: X1 < 40 X2 < 10 20 X1 + 10 X2 < 500 X1 > 0 , X2 > 0 Igualando las Restricciones: X1 = 40 (1) X2 = 10 (2) 20X1 + 10X2 = 500 (3) Solución a)

20. Solución b) Tabulando X1 X2 40 0 0 0 X1 X2 0 10 0 0 X1 X2 0 50 25 0 R1: R2: R3: X1 X2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 10 40 R1 R2 25 R3 Región Factible Función Objetivo X2 = 10 (2) 20X1 + 10X2 = 500 (3) Obtener este punto a través de un sistema de ecuaciones. 20X1 + 10(10) = 500 X1 = 400/20 X1=20

21. Reemplazando en Z ó Función Objetivo Máx (Z) = 120X1 + 80X2 Máx (Z) = 120 (20) + 80 (10) Máx (Z) = $3.200 Se tienen que vender 20 televisores de 27” y 10 televisores de 20” para obtener la máxima ganancia de $3.200.

22. http:// www.scribd.com / doc /21066515/Ejercicios-Resueltos-de- Programacion -Lineal Resolver los ejercicios que aparecen en esta dirección En el ejercicio Nº6 sólo planteamiento, ya que es de 3 variables y se resuelve por computadora. El ejercicio Nº22 no deben resolver.

23. La empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas: con marco de madera y con marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día, Linda hace 4 marcos de aluminio al día, Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día, cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La Compañía desea determinar cuantas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total. a) Formule el modelo de programación lineal. Marco de Madera = X1 Marco de Aluminio = X2 Empleado 1 Empleado 2 Vidrio Ganancia X1 X2 6 6 60 0 0 4 8 30 48 60X1 + 30X2 Requerimiento de material por cada tipo de ventana

24. Función Objetivo = Máx (Z) = 60X1 + 30X2 Restricciones: X1 < 6 X2 < 4 6 X1 + 8 X2 < 48 X1 > 0 , X2 > 0 Igualando las Restricciones: X1 = 6 (1) X2 = 4 (2) 6X1 + 8X2 = 48 (3)

25. Tabulando X1 X2 0 0 6 0 X1 X2 0 4 0 0 X1 X2 0 6 8 0 R1: R2: R3: X1 X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 R1 R2 R3 3 4 5 6 7 8 A B C D E Solución óptima Punto C : X1= 6 (1) 6X1 + 8X2 = 48 (3) X2= 3/2 b) Use el método gráfico para resolver el modelo

26. Reemplazando en: Máx (Z) = 60 X1 + 30 X2 Max (Z) = 60 (6) + 30 (3/2) Máx ( Z) = 405 Por lo tanto, se necesitan 6 marcos de madera y un marco y medio de aluminio, para maximizar la ganancia y obtener $405.

27. c) Un nuevo competidor en la ciudad, también produce ventanas de madera, esto puede forzar a la compañía a bajar sus precios y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas )¿Cómo cambiará la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40 y de $60 a $20? Cuando la función objetivo es: Máx (Z) = 60X1 + 30 X2 = 60 (6) + 30 (3/2) = 405 Si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40: Máx (Z) = 40X1 + 30X2 = 40 (6) + 30 (3/2) = 285. Si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $20: Máx (Z) = 20X1 + 30X2 = 20 (6) + 30 (3/2) = 165

28. d) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reducirá el número de ventanas de madera por día ¿Cómo cambiará la solución óptima si hace solo 5 marcos diarios? Empleado 1 Empleado 2 Vidrio Ganancia X1 X2 5 6 60 0 0 4 8 30 48 60X1 + 30X2 Cambio de 6 horas a 5 horas Función Objetivo = Máx (Z) = 60X1 + 30X2 Restricciones: X1 < 5 X2 < 4 6 X1 + 8 X2 < 48 X1 > 0 , X2 > 0

29. Igualando las Restricciones: X1 = 5 (1) X2 = 4 (2) 6X1 + 8X2 = 48 (3) Tabulando X1 X2 0 0 5 0 X1 X2 0 4 0 0 X1 X2 0 6 8 0 R1: R2: R3: X1 X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 R1 R2 R3 3 4 5 6 7 8 A B C D E Función Objetivo Punto C : X1 = 5 (1) 6X1 + 8X2 = 48 (2) X2 = 9/4

30. Reemplazando en: Máx (Z) = 60 X1 + 30 X2 Max (Z) = 60 (5) + 30 (9/4) Máx ( Z) = 367,5 Por lo tanto, se necesitan 5 marcos de madera y 2 más 1/4 marco de aluminio, para maximizar la ganancia y obtener $367,5.

31. CASOS ESPECIALES EN PROGRAMACION LINEAL

32. 1.- Programas lineales infactibles. 2.- Programas lineales ilimitados. 3.- Programas lineales con soluciones optimas alternativas. CASOS ESPECIALES EN PL

33. Siguiendo con el ejercicio anterior del laboratorio LAVAL: Supongamos que usted es el gerente del departamento de planeación de producción de LAVAL, y que su gerente de ventas le informa que desea firmar un contrato a largo plazo para proveer 150.000 galones del solvente “A” cada semana. Para deducir un plan de producción semanal que satisfaga este requerimiento de ventas, usted ha modificado la formulación del programa lineal que se planteo en un principio añadiendo la siguiente restricción- X1 > 150 Función Objetivo a maximizar 3 X1 + 5 X2 2X1 + X2 < 230 (mezclado) X1 + 2X2 < 250 (purificación) X2 < 120 ( Límite sobre B) X1 > 0 X2 > 0 Dependiendo de: X1 > 150 (1) (2) (3) (4) (5) (6) Nueva restricción

34. X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) (2) (3) (4) (5) A B C D E (6) 150 Como se puede apreciar, no existen valores de X1 y X2 que satisfagan la nueva restricción (6) y todas las anteriores restricciones. Esto significa que, con sus actuales recursos, LAVAL no puede satisfacer un acuerdo contractual para proveer 150.000 galones del solvente “A” por semana. Si se firma el contrato propuesto, LAVAL necesitará obtener recursos adicionales para incrementar las capacidades de producción. La gerencia ejecutiva, por tanto, tendrá que tomar una decisión estratégica sobre el valor de esta inversión. Este tipo de programa lineal se denomina programa lineal infactible Programa lineal Infactible : Significa que ningún valor de las variables satisface todas las restricciones simultáneamente, es decir , que no existe ninguna región factible. Para tales problemas, no tiene caso tratar de obtener una solución óptima por que ni siquiera podrá encontrar una solución factible.

35. Siguiendo con el ejemplo. Supongamos que los signos de desigualdades de las restricciones 1 y 2 del ejemplo se revierten accidentalmente durante la formulación del problema. El programa resultante sería el siguiente: Función Objetivo a maximizar 3 X1 + 5 X2 2X1 + X2 > 230 (mezclado) X1 + 2X2 > 250 (purificación) X2 < 120 ( Límite sobre B) X1 > 0 X2 > 0 Dependiendo de: (1) (2) (3) (4) (5)

36. X2 X1 100 200 100 200 (1) (2) (3) (4) (5) 150 Función objetivo Si movemos la línea de la función objetivo paralelamente a sí misma en la dirección de mejora o mejor lado, o sea hacia la derecha, hasta que la línea esté apunto de dejar la región factible. En este ejemplo la línea de la función objetivo nunca se alejará por que el extremo derecho de la región factible no tiene límite. Teóricamente esto significa que LAVAL puede obtener una ganancia infinita, lo que es claramente imposible. Se dice que tal problema es un programa lineal ilimitado . Programa lineal ilimitado : Significa que la función objetivo puede mejorarse indefinidamente, esto es, que existen valores factibles de las variables que pueden hacer el valor de la función objetivo tan grande como se desee en el Caso de maximización (o tan chico como se desee en el caso de minimización ). Un programa lineal ilimitado se identifica gráficamente cuando la línea de la función objetivo puede moverse paralelamente así misma en la dirección de mejora sin abandonar nunca la región factible.

37. Función Objetivo a maximizar 2 X1 + 4 X2 2X1 + X2 < 230 (mezclado) X1 + 2X2 < 250 (purificación) X2 < 120 ( Límite sobre B) X1 > 0 X2 > 0 Dependiendo de: Supongamos ahora que en el ejercicio de LAVAL, cambiaran los márgenes de ganancia por US$ 2 (en miles de dólares) para el solvente “A” y US$4 para el solvente “B”. El nuevo programa lineal sería: (1) (2) (3) (4) (5)

38. X2 X1 100 200 300 100 200 300 (1) (2) (3) (4) (5) A B C D E Punto extremo X1 X2 Función Objetivo 2X1+4X2 A B C D E 0 115 70 10 0 0 0 90 120 120 0 230 500 500 480 Solución óptima Este tipo de problema, se denomina Programas lineales con soluciones optimas alternativas.