12

1. MATEMÁTICA II
SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA E INTEGRACIÓN
POR PARTES

2. Costo Marginal
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica
zapatos está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si
los costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la
función costo?, ¿cómo lo harías?
2500
100
)
(
' 2

 x
x
x
C

3. Juegos de video
Un fabricante de juegos de video determina que
su nuevo juego se vende en el mercado a una
tasa de
Donde “x” es el número de semanas desde el
lanzamiento del juego. El fabricante está
interesado en determinar el nivel de ventas
totales, S, como una función del número de
semanas, x, para lo cual contrata sus servicios,
¿qué harías para determinar las ventas totales
S?
0,2
'( ) 4000 x
S x xe
 juegos por semana

4. Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión de aprendizaje, deberás ser capaz de:
1) Calcular la integral indefinida usando el método de sustitución algebraica e
integración por partes.
2) Resolver problemas de ingeniería y administración usando ambos métodos.

5. • Fórmulas de integración básicas
• Diferencial de una función
Recordar

6. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
I. Cambio de variable
Esta técnica se usa cuando se tiene una función que no se puede integrar de forma
inmediata y es de la forma:
 dx
x
g
x
g
f )
(
'
))
(
(
La elección de la nueva variable depende muchas veces de la habilidad del estudiante
para transformar la integral dada en una simple e inmediata. ES decir,
dx
x
g
du
x
g
u )
(
'
)
( 



  du
u
f
dx
x
g
x
g
f )
(
)
(
'
))
(
(

7. Ejemplo 1
Calcular
Solución

 dx
x
e
I x2

 dx
x
e
I x2
En este caso se debe elegir la nueva variable
2
x
u  dx
x
du 2

 dx
x
du 

2
1

 du
eu
2
1

 du
eu
2
1
c
eu


2
Regresando a la variable inicial se tiene:
c
e
dx
x
e
x
x


  2
2
2
dx
x
du )'
( 2



8. Ejemplo 2
Calcular
Solución

 dx
x
x
I cos
sin
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
x
u sin
 dx
x
du )'
(sin

 dx
x
du cos



 
 du
u
dx
x
x
I cos
sin c
u


2
2
c
x
dx
x
x 

  2
sin
cos
sin
2

9. Ejemplo 3
Calcular
Solución

 dx
x
x
I 3
ln
1
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
x
u ln
 dx
x
du )'
(ln

 dx
x
du
1



 
 du
u
dx
x
x
I 3
3
1
ln
1


 du
u 3
c
x
dx
x
x



  2
3
ln
2
1
ln
1
c
u


 2
2
1

10. Ejemplo 4
Calcular
Solución
 
 dx
x
x
I )
2
sin( 6
5
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
2
6

 x
u dx
x
du )'
2
( 6


 dx
x
du 5
6



 

 du
u
dx
x
x
I sin
6
1
)
2
sin( 6
5
c
x
dx
x
x 




  6
)
2
cos(
)
2
sin(
6
6
5
c
u



6
cos

11. Ejemplo 7
Calcular
Solución
 

 dx
x
x
x
x
I
)
ln
(ln
1
ln
2
2

12. Integración por partes
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más
sencilla y se procede de la siguiente forma:
)
(x
f
u 
dx
x
g
dv )
(


 

 vdu
uv
udv


 x
d
x
g
x
f
I
dv
u



)
(
)
(
dx
x
f
du )
(
'




 dx
x
g
v )
(

13. TÉCNICA PARA ELEGIR “u”
Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:
I = Funciones Inversas.
L = Funciones Logarítmicas.
A = Funciones Algebraicas
T = Funciones Trigonométricas.
E = Funciones Exponenciales.
I LA T E

14. I xlnxdx
 
Ejemplo 1
Calcular
Solución
I LA T E
x
u ln

dx
x
du )'
(ln

dx
x
du
1

xdx
dv 

 xdx
v
2
2
x
v 

 
 vdu
uv
udv
dx
x
x
x
x
xdx
x 
 


1
2
ln
2
ln
2
2
dx
x
x
x
xdx
x 
 

2
1
ln
2
ln
2
c
x
x
x
xdx
x 


 4
ln
2
ln
2
2

15. Ejemplo 2
Calcular
Solución
I LA T E
x
u 2

dx
x
du )'
2
(

dx
du 2

dx
e
dv x 2
3 



 dx
e
v x 2
3
3
2
3 

x
e
v

 
 vdu
uv
udv
dx
e
e
x
dx
xe
x
x
x







3
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
3x 2
I 2xe dx

 
c
e
e
x
dx
xe
x
x
x







 3
3
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
c
e
e
x
dx
xe
x
x
x






 9
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3

16. Ejemplo 3
Calcular
Solución
)
ln(sin x
u 
dx
x
du )]'
[ln(sin

dx
x
x
du
sin
cos

xdx
dv cos


 xdx
v cos
x
v sin


 
 vdu
uv
udv
dx
x
x
x
x
x
dx
x
x 
 

sin
cos
)
(sin
)
ln(sin
sin
cos
)
ln(sin
I ln(sin x )cos xdx
 
I LA T E
dx
x
x
x
dx
x
x 
 
 cos
)
ln(sin
sin
cos
)
ln(sin
c
x
x
x
dx
x
x 


 sin
)
ln(sin
sin
cos
)
ln(sin

17. EJERCICIO 1
Usando el método de integración por partes halle las siguientes integrales halle
 dx
xex

18. EJERCICIO 2
Usando el método de integración por partes halle las siguientes integrales halle
 dx
x
x sin
2

19. EJERCICIO 3
Usando el método de integración por partes halle las siguientes integrales halle
 dx
x
ex
sin

20. EJERCICIO 4
Usando el método de integración por partes halle las siguientes integrales halle
  dx
x
x cos
)
1
3
(

21. Costo Marginal
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son de
$100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?, ¿cómo lo harías?
Solución
2500
100
)
(
' 2

 x
x
x
C

 

 dx
x
x
dx
x
C
x
C 2500
100
)
(
'
)
( 2
El costo se obtiene integrando la función costo marginal, es decir:

22. 
 

 du
u
dx
x
x
x
C
2
1
100
1
2500
100
)
( 2

 du
u 2
/
1
200
1
c
u 
 2
/
3
3
2
200
1
c
x
dx
x
x
x
C 



  300
)
2500
(
2500
100
)
(
3
2
2
En este caso se debe elegir la nueva variable
2500
2

 x
u dx
x
du 2

 dx
x
du 

2
1
La integral con la nueva variable es:
Regresando a la variable inicial tenemos:
Pero por dato se tiene que los costos fijos es de $100, entonces:
100
)
0
( 
C 100
300
25003


 c
3
950


 c
Por lo tanto, la función costo es:
3
950
300
2500
2500
100
2
2





x
dx
x
x

23. Juegos de video
Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo
juego se vende en el mercado a una tasa de
Donde “x” es el número de semanas desde el lanzamiento del
juego. El fabricante está interesado en determinar el nivel de
ventas totales, S, como una función del número de semanas, x,
para lo cual contrata sus servicios, ¿qué harías para determinar las
ventas totales S?
0,2
'( ) 4000 x
S x xe

Solución


 dx
e
x
x
S x
2
,
0
000
4
)
(
x
u  dx
du 

dx
e
dv x
2
,
0


2
,
0
2
,
0
2
,
0
x
x e
dx
e
v





 
juegos por semana

24. 

 dx
e
x
x
S x
2
,
0
000
4
)
(
 


 vdu
uv
x
S 000
4
)
(





 


 


dx
e
e
x
x
S x
x 2
,
0
2
,
0
2
,
0
1
2
,
0
000
4
)
(
 





 dx
e
xe
x
S x
x 2
,
0
2
,
0
5
5
000
4
)
(
c
e
xe
x
S x
x









 
 2
,
0
2
,
0
2
,
0
5
5
000
4
)
(
  c
e
xe
x
S x
x



 
 2
,
0
2
,
0
25
5
000
4
)
(

25. Se sabe en el momento que se inicia la venta, no hay ventas. Es
decir, S(0)=0
  c
e
e
S 


 
 )
0
(
2
,
0
)
0
(
2
,
0
25
)
0
(
5
000
4
)
0
(
  c


 25
000
4
0
000
100

c
Por lo tanto, la función ventas es:
  000
100
25
5
000
4
)
( 2
,
0
2
,
0



 
 x
x
e
xe
x
S