Muestreo y distrib muestrales de una media

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Matematicas: maestro corpus

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Muestreo y distrib muestrales de una media

  1. 1. Distribuciones Muestrales Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  2. 2. ¿Qué es muestrear? <ul><li>Muestrear es una forma de evaluar la calidad de un producto, la opinión de los consumidores, la eficacia de un medicamento o de un tratamiento. Muestra es una parte de la población. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  3. 3. ¿Qué es Inferir? <ul><li>Hacer una conclusión sobre el grupo entero ( población ) basados en información estadística obtenida de un pequeño grupo ( muestra ) es hacer una inferencia estadística . </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  4. 4. ¿Por qué muestrear? <ul><li>A menudo no es factible estudiar la población entera. Algunas de las razones por lo que es necesario muestrear son: </li></ul><ul><li>1.    La naturaleza destructiva de algunas pruebas </li></ul><ul><li>2.    La imposibilidad física de checar todos los </li></ul><ul><li>elementos de la población </li></ul><ul><li>3.    El costo de estudiar a toda la población es muy </li></ul><ul><li>alto </li></ul><ul><li>4.    El resultado de la muestra es muy similar al </li></ul><ul><li>resultado de la población </li></ul><ul><li>5.    El tiempo para contactar a toda la población es </li></ul><ul><li>no factible. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  5. 5. Tipos de Muestreo <ul><li>Muestreo Aleatorio Simple </li></ul><ul><li>Muestreo Aleatorio Sistemático </li></ul><ul><li>Muestreo Aleatorio Estratificado </li></ul><ul><li>Muestreo por bloque </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  6. 6. Muestreo Aleatorio Simple <ul><li>Es cuando una muestra es formulada de tal manera que cada elemento en la población tiene la misma oportunidad de ser incluido. </li></ul><ul><li>Una forma es usar un número de identificación para cada uno de los integrantes de la población y seleccionar la muestra mediante una tabla de números aleatorios. Como su nombre lo indica estos números han sido generados mediante un proceso aleatorio en una computadora. Para cada dígito de un número la probabilidad es la misma. Entonces la probabilidad de que el elemento 22 sea seleccionado es igual a la del elemento 382. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  7. 7. Ejemplo <ul><li>En una compañía con 750 trabajadores se quiere obtener una muestra aleatoria de 15 elementos para un chequeo médico. Los trabajadores fueron numerados del 1 al 750 y mediante una tabla de números aleatorios se procedió a seleccionarlos. El punto de arranque en la tabla se fijó mediante la hora en ese momento, 3:04, por lo tanto se inició en la columna 3, renglón 4. Como los números de los trabajadores van desde 1 hasta 750 sólo se toman en cuenta las primeras 3 cifras de cada número que se encuentren en ese rango. En seguida se muestra una parte de la tabla: </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  8. 8. Tabla de números aleatorios Lic. David Corpus Martínez, M.E.U. 18893 07211 23634 75296 86155 65832 27568 31727 90756 14268 65051 52438 69553 48743 06254 73002 34432 55737 88808 11755 42537 02294 68261 73891 74762 13168 32235 57554 35551 98909 65424 11892 20410 16332 82346 30389 86729 67167 240 91 671 55 178 80 316 59 028 68 625 63 531 44 174 94 79513 554 13 437 88 87547 166 48 88536 77678 377 39 95434 150 78 80473 718 44 027 65 93879 83382 59617 20074 22002 35536 98298 63522 31818 84784 39280 64191 39429
  9. 9. De tal forma fueron seleccionados que la muestra quedó integrada por los trabajadores con los números: Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  10. 10. Muestreo Aleatorio Sistemático <ul><li>Los elementos de la población están ordenados de alguna forma (alfabéticamente, fecha, o algún otro método). Un primer artículo es seleccionado en forma aleatoria y entonces cada n elementos de la población son tomados para la muestra. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  11. 11. Ejemplo <ul><li>Suponga que la población de interés consiste de 2000 expedientes en un archivo. </li></ul><ul><li>Para seleccionar una muestra de 100 con el método aleatorio simple primero se tendría que numerar todos los expedientes. En este método se selecciona el primer expediente de acuerdo al método aleatorio simple, luego como se quiere una muestra de 100, se divide 2000 / 100 = 20, y se selecciona un expediente cada 20. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  12. 12. Muestreo Aleatorio Estratificado <ul><li>Una población es primero dividida en subgrupos llamados estratos y una muestra es seleccionada aleatoriamente de cada estrato. </li></ul><ul><li>Puede haber dos tipos de muestreo estratificado, proporcional y no proporcional . Como su nombre lo indica, en un muestreo aleatorio estratificado proporcional, el número de elementos de la muestra de cada estrato tiene la misma proporción de lo encontrado en la población. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  13. 13. Ejemplo <ul><li>Suponga que se quiere obtener una muestra de 50 compañías para hacer un estudio sobre los gastos en publicidad de las 352 compañías más grandes del país. Se dividió a las compañías en 5 estratos de acuerdo a su rentabilidad, como se aprecia en la tabla siguiente: </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  14. 14. Lic. David Corpus Martínez, M.E.U. El muestro estratificado tiene la ventaja de reflejar con más exactitud las características de la población.
  15. 15. Muestreo por bloque <ul><li>Este método de muestro es empleado para reducir el costo de muestrear una población cuando está dispersa sobre una gran área geográfica. El muestreo por bloque consiste en dividir el área geográfica en sectores, seleccionar una muestra aleatoria de esos sectores, y finalmente obtener una muestra aleatoria de cada uno de los sectores seleccionados. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  16. 16. Error de Muestreo <ul><li>Es la diferencia entre un estadístico muestral y su correspondiente parámetro poblacional </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  17. 17. Distribución Muestral de las Medias <ul><li>Es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias muestrales, de un tamaño de muestra dado, seleccionadas de una población. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  18. 18. Ejemplo <ul><li>Tortas “Don Toto” tiene 5 parrilleros (población), a los cuales se les paga por hora según su trabajo. Las percepciones de los parrilleros son las siguientes : </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  19. 19. <ul><li>PREGUNTAS </li></ul><ul><li>1.    ¿Cuál es la media poblacional? </li></ul><ul><li>2.    ¿Cuál es la distribución muestral de las </li></ul><ul><li>medias para una muestra de tamaño 2? </li></ul><ul><li>3.    ¿Cuál es la media de la distribución </li></ul><ul><li>muestral? </li></ul><ul><li>4.    ¿Qué observaciones se pueden hacer con </li></ul><ul><li>respecto a la población y a la distribución </li></ul><ul><li>muestral? </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  20. 20. Solución <ul><li>1.    La media poblacional es: </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  21. 21. 2.    Para construir la distribución muestral de las medias, se calculan las medias de todas las posibles muestras de tamaño 2: Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  22. 22. Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  23. 23. 3.    La media de la distribución muestral de medias es: Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  24. 24. Los histogramas de la distribución de probabilidad de la población y de la distribución muestral de medias son: Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  25. 25. 4.   Se pueden hacer las siguientes observaciones: <ul><li>a.  La media de las medias muestrales es igual a </li></ul><ul><li>la media de la población. </li></ul><ul><li>b.  La dispersión de las medias muestrales es </li></ul><ul><li>menor que la dispersión en la población </li></ul><ul><li>c.   La forma de la distribución muestral presenta </li></ul><ul><li>un cambio respecto a la forma de la población. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  26. 26. Ejercicios <ul><li>1. Los tiempos de terminación, en minutos, de un examen final de mate II con el maestro Corpus, son los siguientes: </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  27. 27. Preguntas <ul><li>a)    ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño 2 se pueden </li></ul><ul><li>seleccionar de esta población? </li></ul><ul><li>b)    Construya la distribución muestral de las medias de </li></ul><ul><li>muestras tamaño 2 </li></ul><ul><li>c)    Compare la media de la población con la media de la </li></ul><ul><li>distribución muestral </li></ul><ul><li>d)    Compare la desviación estándar de la población con la </li></ul><ul><li>desviación estándar de la distribución muestral de las </li></ul><ul><li>medias </li></ul><ul><li>e)    Compare los histogramas de la población y de la </li></ul><ul><li>distribución muestral de las medias. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  28. 28. ¿Qué es una Distribución muestral de medias? <ul><li>Es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias de tamaño n de una población. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  29. 29. ¿Qué es el Valor Esperado? <ul><li>El Valor Esperado de la distribución muestral de medias, es igual al promedio de todas las medias de la distribución. </li></ul><ul><li>Se simboliza como E( ) </li></ul><ul><li>Y su fórmula es E( )= </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  30. 30. Desviación Estándar de las medias <ul><li>Es el error al calcular la desviación estándar de cada muestra de tamaño n. </li></ul><ul><li>Se simboliza como </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  31. 31. Fórmulas para Lic. David Corpus Martínez, M.E.U. <ul><li>Si la población es infinita: </li></ul><ul><li>También se utiliza para poblaciones finitas pero “muy grandes” </li></ul><ul><li>Si la población es finita: </li></ul><ul><li>Esta última fórmula se utiliza cuando: </li></ul><ul><li>La población es finita, pero además: n/N > 0.05 </li></ul><ul><li>El factor del paréntesis es conocido como “Factor finito de corrección”. </li></ul>
  32. 32. Notas <ul><li>Se entenderá lo siguiente: </li></ul><ul><li>Muestra pequeña es aquélla donde n<30 </li></ul><ul><li>Muestra grande, donde n>=30 </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  33. 33. Teorema del Límite Central <ul><li>Si la población es normal, entonces la distribución muestral de medias, también lo es, sin importar el tamaño de las muestras. </li></ul><ul><li>Si la población no es normal, pero las muestras de la distribución muestral son grandes, entonces la distribución muestral es aproximadamente normal. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  34. 34. Ejemplos ( pág. 263 ) <ul><li>1. Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar de 50. Se tomará una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y se usará la media muestral para estimar la media poblacional. </li></ul><ul><li>a) ¿Cuál es el valor esperado de xm? </li></ul><ul><li>b) ¿Cuál es la desviación estándar de xm? </li></ul><ul><li>2. Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar de 50. Suponga que se tomará una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y se usará la media muestral para estimar la media poblacional. </li></ul><ul><li>a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral quede dentro de 5 de la media de la población? </li></ul><ul><li>b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral quede dentro de 10 de la media de la población? </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  35. 35. Continuación de los ejemplos <ul><li>3. Suponga que la desviación estándar de la población es σ =25. Calcule el error estándar de la media para tamaños de muestra de 50, 100, 150 y 200. ¿Qué se puede decir acerca del tamaño del error estándar de la media cuando aumenta el tamaño de la muestra? </li></ul><ul><li>4. Una muestra aleatoria simple de tamaño 50 se selecciona de una población con σ =10. Calcule el valor del error estándar de la media en cada uno de los siguientes casos (si es necesario, aplique el factor finito de corrección): </li></ul><ul><li>a) El tamaño de la población es infinito </li></ul><ul><li>b) El tamaño de la población es 50,000 </li></ul><ul><li>c) El tamaño de la población es 5,000 </li></ul><ul><li>d) El tamaño de la población es 500 </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  36. 36. <ul><li>5. Una población tiene una media de 400 y una desviación estándar de 50. La distribución de probabilidad se desconoce. </li></ul><ul><li>Un investigador empleará muestras aleatorias simples de 10, 20 , 30 ó 40 artículos para reunir datos sobre la población. ¿Con cuál de estas alternativas de tamaño de muestra podrá usar una distribución normal para describir la distribución muestral de medias? Explique su respuesta. </li></ul><ul><li>Indique la diastribución muestral de medias para los casos en los que sea adecuada la distribución de probabilidad normal. </li></ul><ul><li>Una población tiene una media de 100 y una desviación estándar de 16. ¿Cuál es la probabilidad de que una media muestral quede a ±2 ó menos de la media poblacional en cada uno de los siguientes tamaños muestrales: </li></ul><ul><li>50 </li></ul><ul><li>100 </li></ul><ul><li>200 </li></ul><ul><li>400 </li></ul><ul><li>¿Cuál es la ventaja de un tamaño grande de muestra? </li></ul>Continuación de los ejemplos Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  37. 37. Ejercicios ( pág. 264 ) <ul><li>26. La media del precio por galón de gasolina regular vendida en EU es de 1.20 dólares (reporte del año 1997). Suponga que la media de la población del precio por galón de gasolina es 1.20 dólares, y que la desviación estándar de la población es de 0.10 dólares. Además suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 50 gasolinerías y que se calcula un precio de la media muestral con los datos allí reunidos. </li></ul><ul><li>Exprese la distribución de muestreo de la media para las 50 gasolinerías </li></ul><ul><li>¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media muestral a menos de 0.02 dólares de la media poblacional? </li></ul><ul><li>¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media muestral a menos de 0.01 dólares de la media poblacional? </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  38. 38. Continuación de los ejercicios <ul><li>27. El Programa de Pruebas Universitario de la oficina universitaria estadounidense reportó una calificación SAT de la media de la población de µ=1017. Suponga que la desviación estándar de la población es σ =100. </li></ul><ul><li>¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 75 estudiantes produzca una media muestral de calificación SAT que quede a menos de 10 de la media de la población? </li></ul><ul><li>¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 75 estudiantes produzca una media muestral de calificación SAT que quede a menos de 20 de la media de la población? </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  39. 39. <ul><li>28. El salario inicial promedio anual para expertos en comercialización es de 34,000 dólares (Time, 8 de mayo del 2000). Suponga que para una población de graduados con especialidad en comercialización el salario inicial promedio anual es 34,000 y que la desviación estándar es 2,000. </li></ul><ul><li>a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de expertos en comercialización tenga una media muestral dentro de ±250 dólares de la media poblacional para cada uno de los siguientes tamaños de muestra: 30, 50, 100, 200 y 400? </li></ul><ul><li>b) ¿Cuál es la ventaja de un tamaño de muestra más grande al intentar estimar la media poblacional? </li></ul>Continuación de los ejercicios Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  40. 40. Tarea <ul><li>Problemas 28 al 32 de la página 264 y 265 del libro: </li></ul><ul><li>Estadística para Administración y Economía </li></ul><ul><li>Autores: Anderson, Sweeney y Williams </li></ul><ul><li>Editorial: Thomson </li></ul><ul><li>NOTA: Anexo las páginas escaneadas. </li></ul>Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  41. 41. Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.
  42. 42. Lic. David Corpus Martínez, M.E.U. Tabla de la Normal Estándar Tabla de la Normal Estándar
  43. 43. Lic. David Corpus Martínez, M.E.U. Tabla t de Student t de Student

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