2. Transformaciones geométricas.
Transformaciones isométricas: giro, traslación, simetría axial y central.
Trasformaciones isomórficas: homotecia y semejanza.
Trasformaciones anamórficas: homología, afinidad e inversión.
Potencia, eje radical y centro radical.
Circunferencias coaxiales, polo y polar.
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3. Transformaciones geométricas.
Transformaciones isométricas. Giro o rotación.
Traslación.
El giro es una transformación en el plano, tal que a un punto A le
La traslación es una transformación en el plano, tal que a un punto corresponde uno A´, que está girado en un sentido y una magnitud
A le corresponde uno A´, que está desplazado en una dirección y una angular concreta. (Fig. 2).
magnitud dada. (Fig. 1). La traslación queda determinada por un
punto A y su homólogo A´o por el vector correspondiente d.
d
A A´
(Fig. 2).
C
C´
(Fig. 1)
B B´
En todo giro se cunplen unas propiedades:
En toda traslación se cunplen unas propiedades: · La figura transformada de una recta es otra recta.
· La figura transformada de una recta es otra recta paralela a la · La figura transformada de una circunferencia es otra de igual
original. radio cuyo centro surge de girar el centro original el angulo dado
· La figura transformada de un ángulo es otro ángulo igual a igual. en el sentido de la transformación.
· Cualquier figura poligonal se transforma en otra igual
· La figura transformada de un círculo es otro círculo igual cuyo
centro es el transformado de la traslación, en su dirección y su
magnitud concreta.
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4. Transformaciones geométricas.
Transformaciones isométricas. Trasformaciones isomórfica.
Simetría: axial y central. Homotecia.
Dos figuras son simétricas respecto de un eje (axial) o un centro de La homotecia se define como la correspondencia de puntos sobre
simetría O (central) cuando al girar una de ellas respecto del centro o un plano de manera que dos figuras son homotéticas cuando se
eje son coincidentes. corresponden punto a punto y recta a recta, de forma que las parejas
de puntos homólogos están en línea recta con un punto fijo llamado
En la simetría central se dice que dos puntos A y A´ son simetricos centro de homotecia, y cumpliendose que las parejas de rectas homó-
recpecto de O (centro de simetría), cuando están alineados con él y logas sean paralelas.
equidistan de tal centro O, luego OA=OA´. (Fig. 1).
Es muy importante observar que, para que un par de puntos, A
En la simetría central se cumple que: y A´ formen parte de la homotecia deberán estar necesariamente
- los segmentos simétricos son paralelos. alineados con O.
(Fig. 1).
(Fig. 1)
En la simetría axial se cumple la misma característica que en la
central solamente que la línea que une los puntos homólogos A y
A´es perpendicular al eje de simetría, e. (Fig. 2).
En la simetría axial se cumple que:
- las parejas de rectas simétricas se cortán en un punto que pertenece al eje.
La relacción constante entre las figuras homotéticas se llama K, o
razón de homotecia:
OA/OA´=OB/OB´=OC/OC´=K
(Fig. 2).
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5. Transformaciones geométricas.
Homotecia directa o inversa. Áreas.
Se establece de esta forma una relación entre sus magnitudes de la La razón de homotecia entre áreas es la K2
que se deriva una constante de forma que: (Fig. 1)
-Si K>0, los puntos A y A ´están situados a un mismo lado de O.
Se dice que la homotecia es directa y los puntos tienen un mismo
sentido.
- Si K=1 la homotecia es la identidad.
- Si K<0, O se sitúa entre A y A´, la homotecia es inversa y tiene
sentido contrario.
* Si K= -1 la homotecia se transforma en una simetría central.
Poligonos y circunferencias.
(Fig. 1)
Dos circunferencias son siempre homotéticas, siendo los centros de
homotecia O1 directa y O2 inversa, los puntos de intersección de las
Homotecia entre figuras. tangentes exteriores e interiores con la línea que une los centros de
las circunferencias. (Fig. 3)
Segmentos.
(Fig. 3)
Dos segmentos AB y A´B´ paralelos
son homotéticos respecto de una
O1 directa y O2 inversa. (Fig. 2)
(Fig. 2)
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6. Transformaciones geométricas.
Trasformaciones anamórficas.
Inversión.
¿Como trazamos la circunferencia de puntos dobles o de auto-
La inversión es una transformación geométrica en la que a todo inversion? Dados el centro C, A y A’ para hallar puntos dobles en
punto A del plano se le hace corresponder otro punto A’ alineado una inversión dada, basta con trazar una circunferencia que pase
con el primero y con un punto fijo C llamado centro de inversión, por A y A’ y trazar desde C, centro de inversión, las tangentes a
de tal forma que el producto de sus distancias al centro es un valor dicha circunferencia. Los puntos de tangencia T1 y T2 serán puntos
constante y distinto de cero, llamado potencia de inversión, o razón dobles, ya que aplicando la potencia de un punto respecto de una
de inversión. Es decir: circunferencia se tiene que:
CA.CA’= K
K>0; Inversión positiva: Se llama así cuando los puntos homólo-
gos A y A’ están a un mismo lado del centro C. Asi pues teniendo la circunferencia de los puntos dobles respecto
de el centro de inversion tendremos la circunferencia de inversion
K<0; Inversión negativa: Se llama así cuando el centro C está o CPD circunferncia de puntos dobles:
entre los puntos A y A’. Es decir, tienen diferente sentido. La razón
de inversión es negativa lo que no significa que CA.CA’ de un
resultado negativo, sino que CA y CA’ tiene diferente sentido, por
lo que a uno de ellos se le asigna un valor negativo.
K
Puntos dobles.
K
Se produce un punto doble, también
llamado invariante, cuando en una CPD
transformación de un punto A en otro
A’, los dos puntos coinciden; es decir,
cuando A.A’.
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7. Transformaciones geométricas.
Inversiones básicas. Teoremas de la iversion. Teorema 2. Recta que no pasa por C.
Inverso de un punto: Suponiendo que la potencia de inversión es La figura inversa de una s A
positiva, la circunferencia de puntos dobles (o de autoinversión) recta que no pasa por el
sirve para obtener fácilmente los puntos inversos de otros. centro de inversion es una
circunferencia que si para r T=T´
Se traza la cpd, que, como se ha dicho antes, tiene de centro C y radio . Si el punto está y que pasa tambien por sus
en ella, su inverso es él mismo (si k<0, el A’ sería el simétrico del hallado respecto de C). Si A´
el punto es exterior a esa circunferencia, para hallar A’ unimos A con C. Desde A trazamos la puntos dobles. Estudiaremos s´
tangente a la cpd, y por el punto de tangencia T trazamos una perpendicular a CA que la corta en los casos en que la recta es r´
A’, inverso de A. En efecto el punto A’ cumple la definición de inverso de A, ya que:
secante, tangente o exterior.
t C=C´ D=D´
Teorema 3. t´
CA . CA’ = K Circunferencia que
CT . CT = K pasa por C.
CT=
La figura inversa de una circunferencia que pasa por C, es una recta
que no pasa y que será perpendicular a la linea que une C con el
centro de la circunferencia. Bastará con invertir algun punto notable
Teorema 1. Recta que pasa por C. de la circunferencia para obtenerla.
A´
s´
La figura inversa de una recta que para por el centro de inversion
en una circunferencia que tiene tres puntos los dos dobles de corte
con la circunferencia CPD y el C, centro de inversion que esta en el
infinito. Una circunferencia de radio infinito es una recta, luego es r´ T=T´
ella misma.
A
r
s
r=r` t´ C=C´ D=D´
B´=B A´=A
t
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8. Transformaciones geométricas.
Teorema 4. Circunferencia que no pasa por C.
La figura inversa de una circunferencia que no pasa por C, es otra
circunferencia que tampoco pasa y que es homotetica a esta tomando
como centro de homotecia el centro de inversion C. Sin embargo los
puntos y sus inversos no se conservaran como en la homotecia y el
centro tampoco. Deberemos invertir el diametro o los puntos T.
Teorema 5. Circunferencia ortogonal a CPD.
La figura inversa de una
circunferencia ortogonal a
la CPD es ella misma. C2
Ortogonal significa que las circun-
ferencias se cortan ortogonalmente,
en angulos de 90º. El angulo que
forman las circunferencias es el que
forman sus tangentes, luego si son
ortogonales el centro de c1 estará an
la tangente de c2 y biceversa. =90º
L.Centros Cl =tg C2
L.Centros C2=tg C1
=90º
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