Se presentan ejercicios en los que se explica la resolucion de un sistema de ecuaciones.

1. SISTEMAS DE
ECUACIONES
MÉTODOS: SUSTITUCIÓN,
IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN

2. LO QUE APRENDEREMOS
• Lo que vamos aprender en esta presentación es:
Lo que es un Sistema de Ecuaciones
Métodos de resolver un Sistema de dos
ecuaciones de primer grado con una sola incógnita:
• Sustitución
•
Igualación
• Reducción

3. SISTEMAS DE ECUACIONES
•En el caso de Ana y Víctor, ambos han comprado las
cosas en la misma tienda y el mismo día.
•Lo más normal es que el precio de cada cartulina sea el
mismo para las tres personas (X). Del mismo modo, la
barra de pegamento vale igual (Y) para cada una de ellas.
•La situación de Ana la podemos escribir: 5x + 2y = 2´90
•La situación de Víctor sería: 8x + y = 3´10
•Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas
dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas.

4. SISTEMAS DE ECUACIONES
Resumiendo:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto
de varias ecuaciones con varias incógnitas
comunes entre sí
Resolver un sistema de ecuaciones es
buscar el valor de cada una de las
incógnitas.

5. Sistemas de Ecuaciones
ax + by = c

a′x + b′y = c′

INCÓGNITA
INCÓGNITA
ECUACIÓN 1
ECUACIÓN 2
X
Y
DOS ECUACIONES
DOS INCÓGNITAS

6. Sistemas de Ecuaciones: RESOLUCIÓN
SUSTITUCIÓN
IGUALACIÓN
REDUCCIÓN

7. SUSTITUCIÓN
2 x + y = 5

4 x − 3 y = 5
y = 5 − 2x
1º Se despeja una incógnita
PISTA: Busca la que esté sola
¿CUÁL?
Y

8. SUSTITUCIÓN
2 x + y = 5

4 x − 3 y = 5
y = 5 − 2x
4x − 3y = 5
1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones
2º.- Sustituímos el valor de Y en la otra ecuación

9. SUSTITUCIÓN
3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos
2 x + y = 5

4 x − 3 y = 5
4 x − 15 + 6 x = 5
10 x = 20
y = 5 − 2x
4 ⋅ x − 3 ⋅ (5 − 2 x) = 5
4 x + 6 x = 5 + 15
20
x=
10
x=2
Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y

10. SUSTITUCIÓN
4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación
2 x + y = 5

4 x − 3 y = 5
2x + y = 5
4+ y =5
x=2
2⋅2 + y = 5
y = 5−4
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita
y =1

11. SUSTITUCIÓN
5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos
valores en las dos ecuaciones.
2 x + y = 5

4 x − 3 y = 5
2x + y = 5 2 ⋅ 2 +1 = 5 4 +1 = 5
4 x − 3 y = 5 4 ⋅ 2 − 3 ⋅1 = 5 8 − 3 = 5
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
SOLUCIÓN:
x=2
;
y =1

12. IGUALACIÓN
x + 2 y = 8

x + y = 5
x = 8 − 2y
x = 5− y
1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones
¿CUÁL?
PISTA: Busca la que esté sola
X

13. IGUALACIÓN
x + 2 y = 8

x + y = 5
x = 8 − 2y
x = 5− y
Se igualan los segundos miembros
8− 2y = 5− y
− y = −3
− 2y + y = 5 −8
−3
y=
−1
y=3
Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro

14. IGUALACIÓN
x + 2 y = 8

x + y = 5
y=3
x = 8 − 2y
x = 8 − 2y
x = 5− y
Cojemos cualquiera de las ecuaciones
Sustituimos en ella el valor que obtuvimos
x = 8 − 2⋅3
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita
x=2

15. IGUALACIÓN
Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior
x + 2 y = 8

x + y = 5
x + 2y = 8
2 + 2⋅3 = 8
x+ y =5
2+6 =8
2+3= 5
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
SOLUCIÓN:
x =2 y=3

16. REDUCCIÓN
Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una
de las incógnitas.
2 x + 4 y = 6

3 x + 5 y = 10
+
2x + 4 y = 6
3 x + 5 y = 10
5 x + 9 y = 16
¿Eliminamos alguna incógnita?
NO
Pues tendremos que hacer algunos cambios

17. REDUCCIÓN
Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de una
de las incógnitas de la otra ecuación.
2 x + 4 y = 6

3 x + 5 y = 10
6 x + 12 y = 18

6 x + 10 y = 20
E1⋅ 3
E 2⋅ 2
Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera
− 6 x − 12 y = −18

6 x + 10 y = 20

18. REDUCCIÓN
2 x + 4 y = 6

3 x + 5 y = 10
− 6 x − 12 y = −18

+ 6 x + 10 y = 20
− 2y = 2
Ahora sumamos
Eliminamos así
una incógnita
X
Resolvemos la ecuación obtenida
2
y=
−2
y = −1
Y ahora calculamos
x

19. REDUCCIÓN
2 x + 4 y = 6

3 x + 5 y = 10
Tomamos una de las ecuaciones
3 x + 5 y = 10
3 x + 5( − 1) = 10
15
3 x = 15 x =
x=5
3
Sustituimos en ella el valor
encontrado
3 x − 5 = 10
y = −1

20. REDUCCIÓN
Comprobamos los resultados
2 x + 4 y = 6

3 x + 5 y = 10
x=5
y = −1
Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones
2 ⋅ 5 + 4 ⋅ ( − 1) = 6
3 ⋅ 5 + 5 ⋅ (−1) = 10
10 − 4 = 6
15 − 5 = 10