Algebra de baldor

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signos de agrupación y sistemas de ecuaciones de dos y tres incógnitas de primer grado

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  1. 1. AÏENAS .4, HT ,1)’ t». J‘, V K r‘ NIÍÓÏ-FJEAYlOÑ ‘ v‘ J‘ i ¿ff v-' v _“_. w . , ‘. - 1. v‘, ‘ ¿’JHÏ " "' j 1"‘; - gi « l J 1 i 1 l| v— i ' Thales de Mlleto (640-535 a. 6.). El primero y más lamoso el haber DIEÚLCHO el «; : ‘se de Sol ocurrido en el año 585. de los siete sabios de Grecia. Su vida esta envuerta en la Tambien se le atnhirve eli: ‘vr realizado la medición de las pi- bruma de la leyenda. Fue el primer filósofo jonico. Recorno ramtdes, mediante In“ sombras que proyectan. Fue el pnmero Egipto. donde hizo estudios. poniéndose en contacto de este en dar una exp! ' ación 21a los eclipses. modo con los misterios de Ia religion egipcia. se le atribuye ‘capítulo i SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los signos de agrupación o paréntesis son de cuatro clases: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete j t. las llaves { } y el vinculo o barra uso DE LOS sicrioc DEAGRUPACIÚN LOS SÍQHOS de auumssrtíón se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad. Así, a « lb cl, que equivale a a + (+0 — c), indica que la dilerencia b — c debe sumarse con a, y ya sabemos que para efectuar esta suma escribimos a continuacion de a las demás cantidades con su propio signo y tendremos: a + (b — c) = a + b — c La expresion x + (—2y + z) indica que a x hay que sumarle —2y + z; luego, a continuación de x, escribimos —2y +2 con sus propios signos y tendremos: x+(—2y+z)= x—2y+z Vemos. pues. que hemos suprimido el paréntesis precedido del signo +. dejando a cada una de las cantidades que estaban dentro de él con su propio signo. La expresion: a — (b +c) que equivale a a — (+b +c)
  2. 2. CAPÍTULO ÍÍI Signos de agrupación indica que de a hay que restar la suma b + c, y como para restar escribimos el sustraendo con los signos cambiados a continuación del mlnuendo. tendremos: a—(b+c)= a—b—c La expresión x — (—y + z) indica que de x hay que restar —y + z; luego, cambiando los signos al sustraendo. tendremos: x — (—y + z) = x + y — z Vemos, pues. que hemos suprimido el paréntesis precedido del signo —. cambiando el signo a cada una de las cantidades que estaban encerradas en el paréntesis. Ei paréntesis anguiar[ J, las llaves { } y el vinculo o barra tienen la misma significación que el paréntesis ordinario y se suprimen del mismo modo. Se usan estos signos, que tienen distinta forma pero igual significación. para mayor cia- ridad en los casos en que una expresion que ya tiene uno o más signos de agrupación se incluye en otro signo de agrupacion. I. SUPRESIÓN oe SIGNOS DE AGRUPACIÓN REGLA GENERAL PARA SUPRlítilR SIGNOS DE AGRUPAC. ‘Wi 1) Para suprimir signos de agrupacion precedidos del signo + se dela el mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 2) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo — se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de el. i) Suprimir los signos de agrupación en la expresión: a+mem+%-@+m Esta expresión equivale a: +a. +(+b-c)+2a—(+a+b) tendremos: a-»—(b-c)+2a—(a+b)= a+b—c+2a—a—b=2a c R. 2) Suprimir los signos de agrupación en 5x + (-x — y) - [-y + 4x] + {x - 6}. tendremos: 5x+(-x—y)—[-y+4x] +{x—6}=5x-x—y+y—4x+x—6=, i 6 B. 3) simplificar: m+4n-6 +3m—n+ 2111-1. El vínculo o barra equivale a un paréntesis que encierra a ias cantidades que se hallan de- bajo de el y su signo es el signo de la primera de las cantidades que están debajo de él. Como el primer paréntesis va precedido del signo + lo suprimimos dejando a las cantida- des que se hallan dentro con su propio signo y como el segundo paréntesis va precedido del signo — lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro y El paréntesis y las llaves están precedidas del signo +, luego los suprimimos dejando las cantidades que se hallan dentro con su propio signo y como el corchete va precedido del signo —. lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, y 59 I tii-anillos
  3. 3. 6o BALDOR ÁLGEBRA Asi, la expresión anterior equivale a: m + (4n — 6) + 3m — (n + 2m — 1) Suprimlendo ios vínculos. tendremos: m+Íñ—ZÉ+3m—n+2m-i = m + 4n—6+3m—n—2m+1 = 2m »= 3o — 5 H. simplificar. suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes: ; tx-(X-i‘) 9. x’+y’—(x’+2xy+y’)-[-x’+y'] 3-; 2.x’+(-3x-x'+5) 10. (—5m+6)+(-m+5)—6 í 3.a+b—(—2a+3) 11. x+y+x—y+z-rT-y*—z *’ 4. dm-i-Zm-n) 12.a-—(b+a)+(-a+b)——(—a+Zi) 5. 2x+3y—4x+3y 13. -(x2—y’)+xy+(—2x’+3xy)—[—y2+xy] 6. a+(a-b)+(-a+b) 14. 8x’+ [—2xy+y’]: — {-x’+xy-3y’} —(x’— 7. a’+[—b’+2a’]—[a'—b’] 3XY) a_ 2a_{_x+a. .1}_{a+x—3} 15. —(a i b) + (-a-b)—(-b+a)+(3a+b) 4) simplificar la expresión: 3a+{-5x—[-a+(9x «Ein. i cuando unos signos de agrupacion están incluidos dentro de otros, como en este ejem- plo. se suprime uno en cada paso empezando por el más interior. Asi. en este caso. ï suprimimos primero el vinculo y tendremos: 3a+ {-5x— [aa+(9x—a—x)]} Suprimlendo el paréntesis, tenemos: 3a + {—5x — [—a + 9x — a — x]} suprimiendo el corchete. tenemos: 3a + {—5x + a — 9x + a + x} Suprimlendo la llaves. tenemos: 3a — 5x + a — 9x + a + x Reduciendo términos semejantes, queda: 5a — 13x R. 5) simplificar la expresion: -[-3a—{b+ [-a+(2a—b)— (—a+b)] +3b}+4a] Empezando por los más interiores que son los paréntesis ordinarios, tenemos: —[—3a—{b+[—a+2a—b+a—b] +3b}+4a] -[-3a— {b—a+2a—b+a—b+3b}+4a] -[-3a—b+a—2a+b—a+b-3o+4a] =3a+b—a+2a—b+a—b+3b-4a = . L” _í_ íduñawhí ii simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes: É 1. za-iia-(afl 4. 4x‘+[-(x’—xy)+ (—3y'+ 2xy) — (-3x’+y’)] “g 2. 3x-[X+y-2x+y] s. a+{(—2a+b)-(-a+b—c)+a} i}? a. 2m—[(m-n)—(m+n)] e. 4m—[2m+iñ1+i—4n—2in+r1
  4. 4. CAPÍTULO III Signos de agrupación 7. 2x + [—5x — (—2y + {—x +y})] a. x‘ — {—7xy+ j-yz + (—x’ + 3xy - 2y’)]} —(a+b)+ [—3a+o— {—2a+b— (a-bi} +23] (—x+y)—{4x+2y+l— x-y-ïñl} -(-a +b) + [—(a+b) -— (—2a +3b) + (-b +a—b)] 7m’— {-[m'+3n— (5—n)— (—3+m’)]}- (2n+3) 23- (-4a +0) - H-fïr (li-a) — (-b+a)]} 3x-(5y+[—2x+{y—6+x}—(-x+y)]) sc-i-(za+c)+{—(a+c)-2a—m}+2c1 ¿amtunj-[zmq-mqzm-zïïï-(nere) 2a+{—[5b+(3a-c)+2-(-a+b—c+4)]-(—a+b)} -i-ax+i-x-fiiii+Hzx+yi+i-x-si+z—ñi -l-(-6)l - I+(-6)l + {+0 + Cl -_l+i-C)l} -{-Ha+bili-{H-i-b-aili-«Hb -{-[-(3 + b - 0)]}_-_i+[-(C - a + bil} + H-ü + (-0)}l -{3m+{—m-(n-m+4)}+{-(m+n)+(-Zi+3)}] -iX+ {-(X+Y) - i-X+ (V-I) s (-X+i')] -i’}l -{-a+{-a+(a-b)-—a—-b+c—[—(-a)+b]}] 9. 1D. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. II. INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN Sabemos que a+»’—b+cj -. a—b+c luego. recíprocamente: a — b + c = a + (—b + c) Hemos visto también que a ¿(o — c) = a - b + c a—b+c= a—(b-c) a+b—c—d—e= a+(b-c)—(d+e) luego. recíprocamente: Del propio modo. Lo anterior nos dice que los términos de una expresión pueden agruparse de cualquier modo. Esta es la ley asociativa de la suma y de la resta. Podemos. pues. enunciar Ia siguiente: REGLA GENERAL PARA INÏRODUCIR CANTIDADES EN SIGNOS DE AGRUPACION 1) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido dei signo más (+) se deja a cada una de las cantidades con el mismo signo que tengan. 2) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo me- nos (—) se cambia el signo a cada una de las cantidades que se incluyen en él. 61
  5. 5. 62 BALDOR ALGEBRA ‘g 1) introducir los tres úitimos términos de la expresion: x3 - 2x2 + 3x — 4 en un paréntesis g. precedido del signo +. 3': _ Dejamos a cada cantidad con ei signo que “' tiene y tendremos: x’ + t-zx’ + 3x — 4) it. 2) introducir los tres últimos términos de la expresion: x’ — a’ + 2ab — b’ en un parémesis precedido del signo -. Cambiamos el signo a cada una de las tres últimas cantidades y tendremos: x’ — (a2 — 2ab + b‘) B. :2‘ introducir ios tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis pre- ; cedido del signo +: j É; 1.a-b+c—d 4. a’—5a"o+3ab’-b° ¿‘E 2.x’-3xy—y2+6 5.x‘—x‘szr—2x+1 h" 3. x’ + 4x’ —3x+1 introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo —: 6.2a+b—c+d saz-xz-Zxy-y’ 7.x°+x’+3x-4 1o. a'+b’—2bc—c’ s. x‘ — 5x‘y + sxy’ —y° 3) introducir todos los términos menos ei primero, de la expresión 3a+2b—(a+b)-(—2a+3b) en un paréntesis precedido del signo —. cambiaremos el signo a 2o y pondremos -2b. y cambiaremos los signos de las cantida- des encerradas en ellas y tendremos: 3a—[-2b+(a+b)+(—2a+3b)] introducir todos los términos. menos el primero. de las expresiones siguientes. en un paréntesis _; precedido del signo —: É 1.x+2y+(x—y) 4.x‘—3x’+[-4x+2]-3x—(2x+3) 3 2.4m—2n+3—(—m+n)+(2ni—n) 5.2a+3b-{—2a+[a+(b-a)]} ‘IT A. ' 3- x’—3xy+l(x’—xy) +y’l introducir las expresiones siguientes en un paréntesis precedido del signo —: s. -2a+(-3a+b) s. x"—[—3x’+4x—2] 7. 2x’ + 3xy - (y‘ +xy) + (-x’ + y’) 9. [m‘ — (3m’ + 2m + 3)] + (—2m + 3)
  6. 6. ‘A: H/ Ï: p) . p, _ A n) t i. : e! ‘ l. ..” ‘I . _' Kif“); :J‘V" ‘ , - Jl‘; -A -¡ ‘¿Im l i , , , , 4 —': _, i Claudio Plolomeo (100-175 d. 6.). El mas sobresaliente de pémico. Aunque es nm conocido porestos trabajos, iue uno los astrónomos de la época hetenlstica. Nacido en Egipto. de los fundadores de la Tvn-nnometiia. Su obra principal. el confluencia de dos culturas. Oriente y Occidente, lntluyo Almagesto, en gc». - ¡abordan cuestiones cientificas. Dicha igualmente sobre ambas. Su sistema geocéritiico domino la obra se utilizo en las un versidades hasta el siglo XVlii. Astronomia durante catorce siglos hasta la aparicion de Co- Capítulo A ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA IGUALDAD es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. a= b+c 3x2=4x+15 ¡{jmilrlitir fl ECU)‘. “ ‘Oli es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas In- cógnilas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, u. Asi, 5x+2=i7 es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad sólo se verifica, o sea que solo es verdadera para el valor x = 3. En efecto. si sustituimos la x por 3, tenemos: 5(3) + 2:17 osea 17:17 Si damos ax un valor distinto de 3. la igualdad no se verifica o no es verdadera.
  7. 7. CAPÍTULO VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita La igualdad y’ — 5y = -6 es una ecuación porque es una igualdad que sólo se verifica para y = 2 y y = 3. En electo, sustituyendo la y por 2, tenemos: 2’—5(2)= —6 4- 10=—6 — 6=—6 Si hacemos y = 3, tenemos: 3’—5(3)= —6 9- 15=-6 — 6=—6 Si damos a y un valor distinto de 2 o 3. la igualdad no se verifica. IDENTIDAD es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. Asi. (a-b)’ = (a -b)(a —b) a’—nr’= (a+m)(a—m) son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b en el primer eiemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo. El signo de identidad es s. que se lee “idéntico a". Asl, la identidad de (x + y)’ con x’ + 2xy + y’ se escribe (x + y)’ a x’ + 2xy + y’ y se lee (x + y)’ idéntico a x’ + 2xy + y’. ¡MIEMBROS Se llama primer miembro de una ‘ecuación o de una identidad a ia expresión que está a ia izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro. a la expresion que está a la derecha. Asi, en la ecuación 3x — 5 = 2x — 3 el primer miembro es 3x — 5 y el segundo miembro 2x — 3. TÉRMINOS son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o —. o Ia cantidad que esta sola en un miembro. Asi, en ia ecuación 3x — 5 = 2x — 3 los términos son 3x, -5, 2x y -3. No deben confundirse los miembros de una ecuación con ios términos de la misma. error muy frecuente en los alumnos. Miembro y término son equivalentes sólo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad. Asi, en la ecuación 3x = 2x + 3 tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de Ia ecuación. 123
  8. 8. 124 E3)@ BALDOR ÁLGEBRA CLASES DE ECUACIONES Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas. como 4x — 5 = x + 4 donde la única letra es la incógnita x. Una ecuación literal es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras. que representan cantidades conocidas, como 3x+2a=5b—bx Una ecuación es entera cuando ninguno de sus terminos tiene denominador como en los ejemplos anteriores. y es iracclonaria cuando algunos o todos sus términos tienen de- nominador. como 3x Gx__ 2+ 5—5+ (¡Iii GRADO de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Asi, 4x—6=3x—1yax+b= b’x+c son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1. La ecuación x’—5X+6=0 es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales. RAÍCES D SOLUCIONES de una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican o satislacen la ecuación, es decir. que sustituidos en lugar de las incógnitas. convierten la ecuación en identidad. 5x — 6 = 3x + 8 la raiz es 7 porque haciendo x = 7 se tiene 5(7) - 6 = 3(7) + 8. o sea, 29 = 29 donde vemos que 7 satisface la ecuación. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raiz. Asi, en la ecuación RESOLVER UNA ECUACIÓN es hallar sus raices, o sea el valor o los valores de las incóg- nitas que satisfacen ia ecuación. AXIOWA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.
  9. 9. CAPÍTU LO VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita REGLAS OUE SE DERIVAN DE ESÏE AXiDMA 1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o ne- gativa. ia igualdad subsiste. 2) sr a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o nega- tiva, la igualdad subsiste. 3) sr los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, ia igualdad subsiste. 4) si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 5) si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raiz, la igualdad subsiste. LA TRANSPDSICIÓN oe TÉRMINOS consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro. REGLA Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo. En efecto: 1) Sea la ecuación 5x = 2a — b. sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste (Regla 1), y ten- dremos: - 5x + b = 2a — b + b y como -b + b = 0. queda 5X + b = 2a donde vemos que —b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada. ha pasado al primer miembro con signo +. 2) Sea la ecuación 3x +b = 2a. Restando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste (Regia 2), y ten- dremos: 3x+b—b=2a—b ycomob—b=0, queda 3x=2a—b donde vemos que +b, que estaba en el primer miembro de la ecuación dada. ha pasado al segundo miembro con signo —. 125
  10. 10. 126 BALDoR ÁLGEBRA m Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación, pueden su- primlrse. Asi. en la ecuación x+b=2a+b tenemos el término b con signo + en los dos miembros. Este término puede suprimirse, quedando: x = 2a porque equivale a restar b a los dos miembros. En Ia ecuación 5x — x’ = 4x — x’ + 5 tenemos el ténnino x’ con signo -x’ en los dos miembros. Podemos suprimirlo, y queda ü= M+5 porque equivale a sumar x’ a los dos miembros: CAMBIO DE SIGNOS Los signos de todos los terminos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe. porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por —1. con lo cual la igualdad no varía (Regla 3). —Zt—3=x—15 multiplicamos ambos miembros por —1. para lo cual hay que multiplicar por —1 todos los términos de cada miembro, tendremos: 2x + 3 = -x + 15 que es la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados. Asi, si en la ecuación RESOLUCIÓN os ECUACIONES ENTERAS oe PRIMER GRADO con UNA INCÓGNITA REGLA GENERAL 1) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. 2) se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 3) se reducen términos semejantes en cada miembro. 4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
  11. 11. CAPITULO VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita 1 27 1) Resolver la ecuación 3x — 5 = x + 3. Pasando x al primer miembro y -5 al segundo. cambiándoies los signos. tenemos 3x — X = 3 + 5. ZI Resolver las ecuaciones: 1 2 3 4 5 6 7 Reduciendo términos semejantes: zx Despejando x para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación entre 2, te- - . / nemos. 8 % = y simplificando x = ‘- MIG VERIFICACIÓN La verificación es la prueba de que el valor obtenido para Ia incógnita es correcto. La verificación se realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuación dada la in- cógnita por el valor obtenido. y si éste es conecto. la ecuación dada se convertirá en identidad. Asi, en el caso anterior. haciendo x = 4 en la ecua- ción dada tenemos: A m®—5=4+3 12—5=4+3 El valorx = 4 satisface ia ecuación. Resolver la ecuación 35 — 22x + 6 — 18x = 14 30x + 32. Pasando —30x al primer miembro y 35 y 6 al segundo: —22x—18xv30x= i4+32—35—6 —iDx=5 2x= —1 7 = 7 Reduciendo: Dividiendo por -5: Despejando x para io cual dividimos ambos miembros entre 2: - x = - B. VERIFICACIÓN Haciendo x = » Í, en la ecuación dada. se tiene: 35—22(— ; )+e—1e(— ¿‘¿)=14—3o(—g)+32 35+11+6+9=14+15+32 61:61 2 1T: t. .5x=8x—i5 .4x+i=2 . y-5=3y—25 .5x+6=1(lx+5 .9y-i1=—10+12y .21—6x=27—8x .11x+5x—1=65x—36 .8x—4+3x=7x+x+14 .8x+9—f2x=4x—13-5x .5y+6y—8l=7y+102+65y .16+7x—5+x=11x-3—x .3x+101—4x-33=iO8—16x-100 .14—12x+39x—18x=256—60x—657x .8x-15x—3l1x-51x=53x+31x—172 iii '-l rrll iiii
  12. 12. 128 BALDOR ALGEBRA RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPACION 1) Resolver 3x— (zx — 1) = 7x — (3 - 5x) + (—x+ 24). Suprimlendo los signos de agrupación: 3x—2x+1=7x—3+5x—x+24 Transponiendo: ax- 2x— 7x— 5x+x= —3 + 24-1 Reduciendo: —1Dx=20 = -2_0=_2 x ¡o R. maintain: 2) Resolversx + {-2x+ (—x+ 6 )} = 18 - {—(7x+ 6) - l3x— 24;}. Suprimlendo los paréntesis interiores: 5x+ {—Zt—X+6} = 18 — l—7x—6—3x+24} Suprimlendo las llaves: 5x—2x—x-= —6= i8+7x+6+3x—24 5X-2x-x-7X —3x=18+6—24-6 —8x = -6 Multiplicando por -1: 8x = 6 Dividiendo entre 2: 4x = 3 x = R. ‘s o " Resolver las siguientes ecuaciones: 1.x—(2r+i)=8-—(3x+3) 2.15» iO=6x—(x+2)+(-x+3) 3. (5—3x)—(—4x+6)= (8x+1i)—(3x—6) 4.3Dx—(—x+6)+(-5x+4)= —(5x+6)+(—8+3x) 5.15x+(—6x+5)—2—(—x+3)= -(7x+23)—x+(3-2x) 6.3x+(-5x—(x+3)]=8x+(—5x—9) 7.16x-[3x-(6—9x)]=30x+[—(3x+2)-(x+3)] 8.x—[5+3x—{5x—(6+x)}]= —3 9.9x—(5x+1)—{2+8x—(7x—5)}+9x=0 10. 71 + [-5x+ (—2x + 3)] = 25 — [—(3x + 4) — (4x+ 3)] 11.-{3x+8—[-15+6x—(—3x+2)—(5x+4)]—29}= —5 {ratillo-iii
  13. 13. CAPÍTULO VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita 129 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 117 CDN PRODUCTOS INDICADOS 1) Resolver la ecuacion g: 10(x-9)—9(5—6x)=2(4x—1)+5(1+2x) í Efectuando los productos indicados: 10x-90-45+54x=8x—2+5+10x Suprimlendo 10x en ambos miembros por ‘-90 — 45 + 54x: Bx- 2 1- 5 ser cantidades iguales con signos iguales en / ' 54x — 8x = -2 + 5 + 90 + 45 distintos miembros, queda: 46x = 138 x 48 3 B. VERIFICACIÓN Haciendo x = 3 en la ecuacion dada, se _.10(3-9) -9(5 e18)i=2(12—1)+5(1 + 6) tiene: —-—-———-—-—-——-/ 10(—6) — 9(-13) = 2(11) + 5(7) ‘z —60+117=22+35 _ 57 = 57 _ x = 3 satisface la ecuación. 2) Flesolver4x— (2x+ 3)(3X— 5): 49 - (GX —1), x'« 2). _ = 2 _ _ Etectuando los productos indicados: 2?: ¿EL ¿X El signo — delante de los productos indicados en cada miembro de la ecuación nos dice que hay que efectuar los productos y cambiar el signo a cada uno de sus términos; luego una vez efectuados los productos los introducimos en paréntesis precedidos del signo — y tendremos que la ecuación dada se convierte en: 4x —« (Gxz-x- 15) =49— (Gxz- 13x+2) suprimiendo los paréntesis: -———————: - 4x — 6x2 +x +15 = 49 — 6x’ + 13x — 2 4x+x— 13x=49—2— 15 -8x = 32 X = H4 H. 3) Resolver x —+ l}(x— 2) — (4x— 1)(3x+5) — 6=8x—11(x- 3)(x+ 7). Efectuando los productos indicados: x’—x—2— (12x2+17x—5)—6=8x— 11(x’+4x-21) suprimiendo los paréntesis: x’-x—2—12x’-17x+5—6=8x—11x‘—44x+231 En el primer miembro tenemos x’ y I-x- 2 -17x + 5 - 6 = ax- 44x + 231 —12x‘ que reducidos dan —11x’, y como ‘A -x—17x— 8x + 44x = 231 + 2 — 5 + 6 en el segundo miembro hay otro —11x*. / 18x = 234 los suprimimos y queda: X : g3_4 : 13 n 18 '
  14. 14. 13o BALDOR ÁLGEBRA 4) Resolver (ax- 1)’ — 3(2x+3)’ +42: 2x (—x— 5) - (x— 1)’. Desarrollando los cuadrados de los binomios; 9x‘-6x+1—3(4x’+12x+9)+42=2x(-x—5)— (x’—zr+1) Suprimlendo los paréntesis: 9x’—6x+1—12x’—36x—27+42=-2x'—10x-x'+2x—1 -6x—36x+10x-2x= -1—1+27—42 —34x= —17 q. .- Resolver las siguientes ecuaciones: .x+3(x—1)=6—4(2x+3) 5(x-1)+16(Zr+3)=3(2x—7)—x 2(3x+3)—4(5x—3)= x(x-3)-x(x+5) 184-7(zr+5)=301+6(x—1)—6 7(18-x)-6(3-5x)= —(7x+9)—3(2x+5)—12 3x(x—3)+5(x+7)—x(x+1)-2(x*+7)+4=0 . -3(2x+7)+(—5x+6)—8(1—2x)-(x-3)=0 a. (3x—4)(4x— 3) = (6x—4)(2x—5) 9. (4—5x)(4x—5)= (10x—3)(7—2x) 10.(x+1)(? )(+5)= (Z(+3)(X—4)+5 11.(x—2)’—(3—x)’=1 17.14—(5x—1)(zr+3)=17—(10x.1)(x-6) 13.(x—2)'+x(x—3)=3(x+4)(xe 3)-(x+2)(x—1)+2 14.(3x-1)’-5(x—2)-(? Jr+3)’—(5x+2)(x—1)=0 15. 2(x—3)’—3(x+1)’+(x-5)(x—3)+4(x’—5x+1)=4x’—12 16. 5(x-2)’—5(x+3)’+(2x—‘l)(5x+2)—10x’=0 17.x’—5x+15=x(x—3)— 14+5(x—2)+3(13-zr) 18.3(5x—6)(3x+2)—6(3x+4)(x—1)-3(9x+1)(x—2)=0 19.7(x—4) —3(x+5)ï— 4(x+1)(x—1)—2 2o. 5(1—x)‘—6(x’eax—7)= x(x—3)—zr(x+5)—2 ¿[inmune vwwewwd MISCELÁNEA Resolver las slgulemes ecuaciones: 1.14x—(3x—2)—[5x+2—(x—1))=0 2. (3x-7)2-5(2x+ 1) (x- 2): —x’ — [-(3x+1)] 3. fix- (2x+ 1) = —{—5x+ [—(—2x— 1)]} 4. s. s. 7. a. 9. ‘i? É 3: En zr+3(—x‘—1)= —{3x’+ 2(x—1)—3(x+2)} x'-{3x+ [x(x+ t)+4(x'—1)—4x’]}=0 3(br+1)(—x+ 3)—(2x+ 5)‘= -[—{-3(x+ 5)} +10x'] (x+ 1)(X+2)(x—3)= (x-2)(x+1)0+ 1) (x+2)(x+3)(x-1)= (x+4)(x+4)(x-4) +7 (x+1)°-(x—1)°=6x(x—3) 1o. 3(x—2)’(x+ 5)=3(x+ 1)’(x-t) +3
  15. 15. ‘¿U x í d í _: ll‘ 4 w MK E! l ‘ar ' é‘ ‘ . 5% " ‘l Jl“, r " E“ WI‘ l! !! '. - cui“? ! c: __, _, _r ¿‘ll e rw. | “f, _ ‘¡€47,92 l th! ‘ Ég iLa/ ¡l i. ‘fit ‘ , ‘r l _' ‘. _. __ 41.. ... . —_ ___Ñ_____ Brook Taylor (1685-1731). Matemático y hombre de ciencia los incremento. - . ‘actos e inversas. contiene los principios ingles. Cultivo la Fisica, la Música y la Pintura. Perlenecla a básicos r’ « “cun de las dllerencias tinitas. En el Álgebra un circulo de discípulos de Newton, y se dio a conocer en element conta emos el teorema de Taylor, cuya consecuen- 170B al presentar en la Royal Society un lrnbaio acerca de cia »' - el i w 4ra de Maclaurin. los centros de oscilación. Su obra iundamental, Metodo de gpnulof y; ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS ECUACIONES SiMULTÁiiEAo Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incoanitas. Asi, las ecuaciones x + y = 5 = 1 son simulzaneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones. ECUIKCJJFiES EQUiVALEllTES son las que se obtienen una de la otra ASÍ. x + y = 4 2x + 2y = 8 son equivalentes porque dividiendo entre 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
  16. 16. 320 BALDORÁLGEBRA Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son simul- táneas. Asl, las ecuaciones x + y = 5 y x — y = 1 son independientes porque no se obtienen una de la otra y simultáneas porque el único par de valores que satisface ambas ecuaciones es x = 3. y = 2. Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independientes que no tienen solución común. Asl, las ecuaciones: x + 2y = 10 2x + 4y = 5 son incompatibles porque no hay ningún par de valores dex y y que verifique ambas ecua- ciones. SISTEMA DE ECUACIONES es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incóg- nitas. Asl, 2x + ay s 13 4x —- y 5 es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satis- face todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es x = 2, y = 3. Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando notiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. SISTENAS oe nos ECUACIONES SIMULTÁNEAS ue PRIMER GRADO con nos INCÓGNITAS RESOLUCION Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama eliminación. meronos oe ELIlilllIACIÓN lilAS USUALES Son tres: método de igualación, de comparación y de reducción. también llamado este último de suma o resta.
  17. 17. CAPÍTU LO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 321 l. ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN . 7x + 4y = 13 (1) Resolver el sistema { 5x _ Zy = 19 (2) Despejemos una cualquiera de las incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones. Despejando x en (1): 7x = 13 - 4y x= 13;” Despejandox en (2): 5x = 19 + 2y x = 39:2’ Ahora se igualan entre sl los dos valores de x que hemos obtenido: 13-4y _19+2y 7 5 y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado laúx. Resolviendo esta ecuación: ' 5(13 — 4y) = 7(19 + 2y) 65-20)’: 133 +14y —20y—14y=133»— 65 —34y=68 y= —2 sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla). se tiene: VERIFICACIÓN Sustituyendox = 3, y —— —2 en las dos ecuaciones dadas. ambas se convierten en identidad. S -» Resolver por el metodo de ígualación: x+6y=27 7x—4y=5 15x—11y= —87 g 1'{7x—3y=9 4'{9x+ey=13 7' {—1z: —5y= —27 2. {3x—2y= -2 ü {9x+16y=7 a. {7x+9y=42 E“ 5x+8y= —60 4y-3x=0 12x+10y= —4 3x+5y=7 14x—11y= —29 6x—18y= -85 3' 2x. _y: —-4 s‘ 13y—8x=30 9'
  18. 18. 322 BALDOR ÁLGEBRA II. ELIMINACIÚN POR SUSTITUCIÓN Resolver el sistema { : f: Despejemos una de las incógnitas. por ejemplo x, en una de ias ecuaciones. Vamos a despejaria en la ecuación (1). Tendremos: a: = —24 — 5y x= ‘Z424’ Este valor de x se sustituye en la ecuación (2): e[-2“2-5V)—3y=19 y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminarlo ia x. Resolvemos esta ecuación. Simplificado 8 y 2. queda: 4(-24 —5y) —3y= 19 -96—20y—3y= 19 -20y-3y= 19 +96 —23y—115 y= -5 sustituyendo y = -5 en cualquiera de las ecuaciones dadas. por ejemplo en (1) se tiene: 2x+5(-5)= -24 a: —2s= —24 ¡:1 2x=1 n. 2 -1 X’2 VERIFICACIÓN Haciendo x: g . y = —5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad. ' ‘rs f” Resolver por sustitución: É 1_{x+3y=6 4.{x-5y=8 7‘{4x+5y=5 , ‘, 5x-2y=13 -7x+8y=25 —10y—4x= -7 f”: {5x+7y= —1 5 {15x+11y=32 a {32x—25y=13 -3x+4y= -24 7y—9x=8 16x+15y= l 4y+3x=8 10x+18y= —11 —13y+11x= -163 { 6'{1ex—9y= -5 9'{—ax+7y=94
  19. 19. CAPÍTU LO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 3 23 lIi. MÉTODO oe REDUCCIÓN 5x + Ey = 20 (1) Resolver el sistema { 4X _ 3y = _23 (2) En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo. El m. c. m. de los coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2 x 3 = 6, y tendremos: 5x + 6y = 20 8x — 6y = -46 Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen sig- 5x + By = 20 nos distintos. se suman estas ecuaciones porque con ello se ‘. ‘_ 8x; 6y= -46 elimina lay: 13x = _25 “En x- 13 2 sustituyendo x = -2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene: 5(-2)+6y=20 -10+6y=20 X92 6y;3O R. { y: 5 F5 _ 10x+9y= 8 (1) Resolver el sistema { 8x_15y; _1 (2) Vamos a igualar los coeficientesde x. EI m. c. m. de 10 y 8 es 40; multiplica la primera ecuación por 4 porque 4 x 10 = 40'31, ia segunda por 5 porque 5 x 8 = 40, y tendremos: 40x+36y=32 4ox— 75y= -5 como los coeiicientes que hemos igualado tienen signos 40x+ 36y= 32 iguales. se restan ambas ecuaciones y de ese modo se elimina —40x + 75y = 5 la x. Cambiando los signos a una cualquiera de ellas. por ejem- / 111 y = 37 pio a la segunda. tenemos: y= ï=l . « 111 a sustituyendo y= g en (2). tenemos: e ex—15[¿]= —i 8x-S= —1 x: 8x: n. Gia _¿ II 5.1|. ‘ "< II ¡Ai-A PS)I_A X
  20. 20. 324 BALDORÁLGEBRA El método expuesto, que es el más expedito, se llama también de suma o resta porque según se ha visto en los ejemplos anteriores. si los coeficientes que se igualan tienen signos distintos se suman las dos ecuaciones y si tienen signos iguales, se restan. Es inditerente igualar los coeficientes de x o de y. Generalmente se igualan aquellos en que la operacion es más sencilla. ¡{inicien lar-17y= 104 12. 1a+1w= —m RESOLUCIÓN DE SISTEMAS ilUMÉRlQDS oe nos ECUACIONES ENTERAS con nos INCOGNITAS Conocidos los métodos de eliminacion, resolveremcs sistemas en que antes de eliminar hay que simplificar las ecuaciones. 3x» (4y+6)=2y—(x+18) 1. Resolver el sistema { a_3=x_y+4 . 3x — 4 - 6 = 2 — — 18 Suprimlendo los signos de agrupación: { y y X 2x — 3 = x — y + 4 _ 3x—4y- 2y+x= —18+6 Transponiendc. { 2x _x w = 4 + 3 4x - 6 = -12 Reducíendo termino semejantes: { y x+y=7 — 3 = -6 Dividiendo la 1' ecuación entre 2: 2x y x + y = 7 (1) 2x - 3y = -6 Vamos a igualar los coeficientes de y. Multiplicamos la segunda 3x + 3y = 21 ecuación por 3 y sumamos: 5X = 15 x = 3 sustituyendo x = 3 en (1). se tiene: 3+y=7 X=3 y=4 R {y
  21. 21. 324 BALDOR ÁLGEBRA El método expuesto, que es el más expedito, se llama también de suma o resta porque según se ha visto en los ejemplos anteriores. si los coeficientes que se igualan tienen signos distintos se suman las dos ecuaciones y si tienen signos iguales, se restan. Es indiierente igualar los coeficientes de x o de y. Generalmente se igualan aquellos en que la operación es más sencilla. 1?Jr-17y=104 12. 15x+19y= -31 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS ilUMÉHiCDS DE nos ECUACIONES ENTERAS con nos INCOGNITAS Conocidos los métodos de eliminacion, resolveremcs sistemas en que antes de eliminar hay que simplificar las ecuaciones. _ 3x»(4y+6)=2y-(x+18) 1. Resolverei sistema { a_s= x_y+4 . 3x — 4 - 6 = 2 - - 18 Suprimlendo los signos de agrupación: € y y x 2x — 3 = x — y + 4 _ 3x—4y—2y+x= —18+6 Transponiendc. l 2x _ x + y = 4 + 3 4 — 6 = -12 Reduciendo termino semejantes: { x y x+y=7 _ 3 = Dividiendo la 1‘ ecuación entre 2: { 2x y 45 x + y = 7 (1) 2X — 3y = -6 Vamos a igualar los coeficientes de y. Multiplicamos la segunda 3x + 3y = 21 ecuación por 3 y sumamos: 5X sustituyendo x = 3 en (1), se tiene: 3+y=7 y=4 R {
  22. 22. CAPÍTU LO ¡Oil V Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 3 25 . na+n—2y—e=4o+n 2. Resolver el sistema ¿(zw 3x) __ 20 = _53 Eiectuando las operaciones indicadas: { 6X + ay _ Zy + 2x = 4}, _ 28 6y + 9x — 20 = -53 _ 6x+3y—2y+Zr+4y= -28 Transponiendo: 9x + sy = _53 + 20 d _ 8x + Sy = -28 Reducien o. 9x + sy = _33 . __ l 2‘ _ 8x+5y= —28 Dividiendo entre 3 a ecuación. 3x + ¿y = _11 m Multiplicando la 1‘ ecuación por 3 24X + 15V = -34 yla 2' por 8: 24x+16y= —88 Cambiando signos a la 1' ecuación: { ‘s; : i: y= —4 sustituyendo y = -4 en (1): 3X + 2(—4) = —11 3x — 8 = —11 ax. —3 R {X= '1 y = 4 x = -1 Resolver los siguientes sistemas: 1 8x—5=7y—9 ' a= w+e (x-y)—(6x+8y)= -(10x+5y+3) (x+y)-(9y-11x)=2y—2x 5(x+3y)—(7x+8y)= -6 7x—9y-2(x—18y)=0 l i 3U+2%= ü {2U+3=4W-Mi i l i {Munilla & 1og—n=1w—1a m—g—ma—n= o 5(x-1)-(2y-1)=0 12(x + 2y) — 8(2x +y) = 2(5x — 6y) 1D. 30—(8-x)=2y+30 5x-29=x—(5-4y) 3x-(9x+y)=5y—(2x+9y) 4x—(3y+7)=5y-47 5. 11. xg—m—yn—m= —M —m—xg+m= s4 6.
  23. 23. CAPÍTU LO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 325 . 3(2x+y)—2(y-x)= -4(y+7) 2. Resolver el sistema 3m + 3x) _ 20 = _53 Eiectuando las operaciones indicadas: { 6x + ay D Zy + 2x = .41’ - 28 sy + 9x — 20 = -53 Transponiendo- { 6x + ay - Zy + 2x + ¿‘y = .28 ‘ 9x + sy = —53 + 20 Reduciendo‘ { 8x + sy = ‘.28 ' 9x + sy = -33 Dividiendo entre 3 la 2‘ ecuación‘ { 8x + sy = 48 ' 3x+2y= —11 (1) Multiplicando la 1‘ ecuacion por 3 { 24X + 15? = -34 yIa 2' por 8: 24x+16y= —88 Cambiando signos a la 1‘ ecuación: i 1g; i: y = -4 sustituyendo y = -4 en (1): 3x + 2(-4) = —1 1 3x — 8 = —11 a: —a n ix= ’1 y = -4 x = —1 Resolver los siguientes sistemas: 1 8x—5=7y—9 ' 6x=3y+6 (x-y) — (6x+8y) = -(10x+5y+3) (x+y)-(9y-11x)=2y—2x 5(x+3y)—(7x+8y)= —6 7x—9y-2(x—18y)=0 i l i i l {lun-iran g’ 10(y—x)=11y-1Zr 3x—4y—2(Zr—7)=0 5(x-1)—(2y—1)=0 12(x + 2y) — 8(2x +y) = 2(5x — 6y) 1D.
  24. 24. 326 BALDoR ALGEBRA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS NUMÉRICDS DE DOS ECUACIONES FRACCIONARIAS CON DOS INCÓGNITAS 3x+4_ y+2 i‘ 7 “T 1. Resolver el sistema 5x+4_ x+ 2’ ‘ '11" ‘T _ , , _ 21x-3(3x+4)=7(y+2) supnmiendo denominadores. { My _ 26x + 4) = “(X + 24) _ _ 21x—9x-12=7y+ 14 Eiectuando operaciones. { My _ 10x _ 8 = HX f 264 , _ 21x—9x-7y=14+12 Transponiendc. { _1 0X _ 11x + “y = 264 + 8 12x— 7y = 26' (1) R°"“°'°"°° { -21x + 44y = 272 Multiplicando la 1' ecuación por 7 y 34X “ 49V = 132 la 2' por 4: —84x + 176y = 1,088 127y = 1,270 y = 10 sustituyendo y = 10 en (1): 12x - 70 = 26 X = a izi = 96 R. { z 10 x= 8 {:1 = _2 x-y 7 2. Resolver el sistema 8x+y-]____2 x-y- . . . _ 7(X+i')= —2(X-i') supnmiendo denominadores. { 8x +y _ 1 z w _y _ 2) _ 7x + 7y = a + 2y Etectuando operaciones. { 8x + y _ 1 : a _ zy _ 4 _ 7x+7y+2x—2y=0 Transponiendc. { 8X + y_ 2x+ gy: _4 + 1 . _ 9x + 5y = 0 (1) Reduciendo. { a“ 3y= _3 5 = Dividiendo entre 3 la 2‘ ecuacion: 9X + y o 2x + y = -1
  25. 25. CAPÍTULO HIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 327 9x + 5y = 0 Multiplicando por 4 la 2' ecuación: -1 0x - sy = 5 -x = 5 = -5 sustituyendo x = -5 en (1): 9(-5) + sy = 0 -45 + 5y = 0 _ 5y = 45 R { X " 5 y = 9 y = 9 ru n- . - c- Resolver los siguientes sistemas: a _ _z-_¿ ¿Luz É ïxflu" á 5' 11o 3 4 o 3 1 7. 13. a -'¡’; -y=9 x y 5;‘_Y_-‘= _E 2- "¡:0 14- . Ï. Ïi Ï x-ïzis 8' T'%: _ïi 4 ; x 3y= ? 1 l: ‘¿Lt-fi 7+3 5 2x+1 y 10 5 3. 9,l —5“= ¡ 15. 4 2 _L= ' ' x- _y- 3’ 14 26 zr-3y= —8 T-ïo‘ ¿= ¿ 12x+5y+6=0 x= _ay+a 19- 51 7x- “ 4! 16: 1:14 hfi a a 4 l: 9x_1y=2 5 m”) meu 5 4 11. fl e 12 5. Z 4 . 3:44- 2x= gy 5+‘ s 23544 Zx_! y=1 ¿_Z: _¿ y-3_ 6 a 4 12 s e ao 18 3X-T-5 ' 1,. _é, =2 ¿-L=11 37-? “ e e a ao 12
  26. 26. 32a BALDOR ÁLGEBRA 2X+5 17' ‘ (5"Y)= ‘6o ’Ï'ï‘3—(1—x)=40 Y(X-4)= X(Y-5) 5 fi SISTEMAS LIIERALES m: nos ECUACIONES con nos ¡ncocmnrs ax+by= a’+b’ (1) 1) Resolver el sistema “hay: 23D (2) ïlmuflln}: Vamos a igualar los coeficientes de la x. Multiplicando la primera ecuación porb y la segunda por a, tenemos: abx + D2)‘ = a°b + b° { abx + azy = 232D abx + b’y = azb + b° :4?! ‘,35’? i233! b’y-a"y= a’b +b°- 232D Reduciendo términos semejantes: b’y — azy = b“ - 32h Restando Ia 2‘ ecuación de la primera:
  27. 27. CAPÍTU LO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 2) a) Sacando el factor común y en el primer miembro y el factor común b en el segundo: Dividiendo entre (b? — a’) ambos miembros: - y = b sustituyendo y = b en (2). tenemos: . bx+ab=2ab Jï= a Transponiendc. bx = ab n. l y = b Dividiendo entre b: x = a _ o _ 2+; w Resolver el srstema x — y = a (2) b - = b’ Quitando denomínadores en (1). nos queda: XX j a Multiplicando por b la 2‘ ecuación y cam- Í DX - a)’ = D2 biándole el signo: —b)! + by = 13D by - ay = b’ — ab Sacando factor común y en el primer miembro y b en el segundo: yib - a) bib - a) Dividiendo entre (b — a): y = b sustituyendo en (2) este valor de y, tenemos: x __ b = a R Á = a r Ü x = a + b ' y = b x + y: Baza’ Resolver el sistema | u—w= % . . _ abx+aby= az+bz (1) OunanJo denominadores. { ax _ by : 2h (2) Multiplicando Ia 2‘ ecuación por a y abx + aby = a‘ + b’ sumando: ¿zx _ ¿by = 23D a’x+abx= a2+2abi4bï Factorizando ambos miembros: Dividiendo entre (a + b): ax(a+b)= (a+b)’ ax= a+b = fi a -. - y(b* - a’) = b(b2 - a’) 329
  28. 28. 33o BALDORÁLGEBRA Este valor de x puede sustituirse en cualquier ecuación para hallar y. pero no vamos a hacerlo asi, sino que vamos a hallar y eliminando la x. Para eso, tomamos otra vez el sistema (1) y (2): {abx+aby= a’+b’ (1) ax — by = 2D (2) Multiplicando (2) por b y cam- { abx + aby = a’ + b” biandole el signo: 4h, + D2), = _2b2 aby+b*y= a' —b’ Factorizando ambos miembros: by (a + b): (a +b) (a — b) by= a—b x= ag= b a -12 n. y _ 0 , a — b NOTA El sistema que hemos empleado de hallar la segunda incógnita eliminando la primera. es muchas veces más sencillo que el de sustituir. 18.
  29. 29. CAPÍTULO ¡Oil V Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 331 ECUACIONES SIMULTÁNEAS con rncocnrms EN LOS DENOMINADORES En ciertos casos. cuando las incógnitas están en los denominadores. el sistema puede re- solverse por un método especial, en que no se suprimen los denominadores. A continuación resolvemos dos eiemplos usando este método. Q+g=2 (1) 1) Resolver el sistema Z-E= H 2 x y 2 i) Vamos a eliminar la y. Multiplicando la primera ecuacion por 2 y la segunda por 3, tenemos: Ouitando denominadores: 82 = 41x Sustimyendo x : 2 en (1): N 22' 2+, ‘ 2 10y+18=4y 6y= -18 n. 2) Resolver el sistema
  30. 30. BALDOR ÁLGEBRA 1 u?
  31. 31. CAPÍTU LO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 333 DETERMINANTE r y Si del producto ab restamos el producto cd. tendremos Ia expresion ab — cd. Esta expresión puede escribirse con la siguiente natacion: ab-cd= a ¡ c i‘ a d es un determinante. c b La expresión Las columnas de un detenninante están constituidas por las cantidades que están en una misma linea vertical. En el ejemplo anterior a es la primera columna y ‘Á la segunda columna. ° Las filas están constituidas por las cantidades que se encuentran en una misma línea horizontal. En el ejemplo dado. a d es la primera fila y c b la segunda fila. Un detenninante es cuadrado cuando tiene el mismo número de columnas que de filas. a d c b EI orden de un determinante cuadrado es el número de elementos de cada fila o columna. Asiad12 cb 34 Así. es un determinante cuadrado porque tiene dos columnas y dos filas. son determinantes de segundo orden. ad XD C l y En el detenninante la linea que une a con b es la diagonal principal y Ia linea que une c con d es la diagonal secundaria. Los elementos de este determinante son los productos ab y cd. a cuya diferencia equi- vale este determinante.
  32. 32. 334 BALDORÁLGEBRA DESARROLLO or: uu DETERMINANTE DE SEGUNDO onoeu Un determinante de segundo orden equivale al producto de los términos que pertenecen a la diagonal principal. menos el producto de los ténninos que pertenecen a la diagonal secun- daria. ¡[iarrllliik a i -n / > 2 )mb = ab-m(—n)= ab+mn 32 54 3) =3x4—5x2=12—10=2 3 1 ‘: l=3(-2)—1(—5)= —6+5=—1 "2 5l= (—2)(—9)—(—s)(—3): =1e—15=3 5 ) 45 431 RESOLUCIÓN POR DETERMINANTESDE uu SISTEMA oe nos ECUACIONES con nos INCOGNITAS a, x+b, y = c, (1) SaeIs'stem e ' a {a, x+b, y=c, (2)
  33. 33. CAPÍTULO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas Resolviendo este sistema por el método general estudiado antes. se tiene: crbz “c201 3152 "azcr x = 3 = 4 aïbz-azb, ( ) y a¡b2 —a2b¡ ( ) Véase que ambas fracciones tienen el mismo denominador a‘ b‘ (5) a, b, — azb, y esta expresion es el desarrollo del detenninante í/ 3, b; formada con los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones (1) y (2). Este es el determinante del sistema. l _ b El numerador de x, cp, — cp, es el desarrollo del determinante —/ E‘ b‘ i 2 2 que se obtiene del determinante del sistema (5) con sólo sustituir enel Ia columna de los a, C1 coeficientes de x I por la columna de los términos independientes I de las ecuaciones (1) v l2i- “z ‘Z - al Ci El numerador de y. a, c, — a¡c, . es el desanollo del determinante —: - a c 2 2 que se obtiene del determinante del sistema (5) con sólo sustituir en él la columna de los e c, 1 coeficientes de y. | por la columna de los términos independientes I de las ecuaciones dadas. 02 °2 Por tanto. los valores de x y y, igualdades (3) y (4). pueden escribirse: c‘ h, . a, C, c: ‘ a2 C2 x = ——— ——— y = at by al bl a2 b; a2 b? wsto lo anterior, podemos decir que para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por determinantes: 1) El valor de x es una tracción cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de x y y (determinante del sistema) y cuyo numerador es el determi- nante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas. 2) El valor de y es una tracción cuyo denominador es el determinante del sistema y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos Indepen- dientes de las ecuaciones dadas. 335
  34. 34. 336 BALDOR ÁLGEBRA ‘á 5x+3y= 5 = ==_ 1) Resolverpordetenninantes J‘ 4x+7y=27 ¿%- É 9 x- 2’ ’ -9s; a1-:49__2 ' 5 3 ‘as-rías’ 4 7 5 si y= __í_21¿=135—2o=115=5 n li: ‘é 5 3 2° 23 ' u= 5 4 7 ‘ 9x 8 = 12 2) Resolver por determinantes 24; 60;: ¿g i 12 8 ¡V29 '50 420m2 48a 2 x‘ :9 8' ". 's4o: .rs‘2’; ia2“a 24 e60 9 12} ¡:2 y: 24 '29 = —261—288:——5:e_3 R 3 ‘ g 8] —732 c732 4 24 (eo! ¡ x l= y-2 5 7 3) Resolver por detemilnantes x 4 g a + _y- _ 3 e’3 7 7:5 —10 Ouitando denommadores: 2x _y + g _ 16 7 -5 = —17 Transponiendoyreduciendo: LJ __1 Tendremos: i'—i7 s‘ 1 1 1 17-5 12 x: _ É -7+1o=3 4 y 5 2 1 7 —17 2 -1 , X=4 l —7+34 27 = —— v _a= —=9 n y ¡7 Á a 3 “:9 ¡2 —1
  35. 35. CAPÍTULO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas Resolver por determinantes: h+w= N 3x-(y+2)=2y+1 7. 5y—(x+3)=3x+1 RESOLUCIÓN GRÁFICA DE uu srsrE. .., . DE nos ECUACIONES con nos INCOGNITAS Si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este punto satisfacen la ecuación de la recta. Asi. para saber si la recta zi +_5y = 19 pasa por el punto (2, 3). hacemos x = 2, y = 3 en la ecuación de la recta y tenemos: 2(2)+5(3)=19. o sea, 19 = 19 luego, la recta 2x + 5y : 19 pasa por el punto (2. 3). Reclprocamente. sl las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación de una recta. dicho punto pertenece a la recta. , 2x+3y= 18 Sea el sistema a“ ¿yz 25. Resolviendo este sistema se encuentra x = 3. y = 4. valores que satisfacen ambas ecua- ciones. Esta solución x = 3, y = 4 representa un punto del plano, el punto (3, 4). Ahora bien. x = 3, y = 4 satisfacen la ecuación 2x + 3y = 18; luego, el punto (3, 4) per- tenece a la recta que representa esta ecuación. y como x = 3, y = 4 satisfacen también la ecuación 3x + 4y = 25. el punto (3, 4) pertenece a ambas rectas; luego, necesariamente el puma (3. 4) es la intersección de las dos rectas.
  36. 36. 33a BALDORÁLGEBRA Por tanto, la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas representa las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas que representan las ecuaciones; luego, resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas. É t) Resolver gráficamente el sistema J x”: 6 5 | a—g= m. É‘ Hay que hallar la intersección de estas 4M“, _ dos rectas. Representemos ambas ecua- ciones (Fig. 55). En x + y = 6. tenemos: Para x = 0. y = 6 y = 0. x = 6 En 5x - 4y =12. tenemos: Para x = 0, y = —3 y = 0, x =2g La intersección es el punto (4, 2) luego Ia _ solución del sistema es x = 4, y — R. l 4X + = 2) Resolver gráficamente el sistema l 3x _ 5y_ 1 1 Hallemos la interseccitin CH estas rectas (Fig. 56). En 4x+5y= -32_setiene: Para xro. y= —6% y=0. x= -8 En 3x» 5y=11,setiene: mm x=0. y= —2¿ y=0. x=3% El punto de intersección es (—3, —4) luego la solución del sistema es x = 43, y= ——4. R. ‘l x — 2y = 6 la—g= s Representemos ambas ecuaciones mgwy 3) Resolver gráficamente
  37. 37. CAPÍTULO XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas 3 39 En x—2y=6setiene: nlflvtr=57tk*s Para x= o. y= -3 y= & x=6 En 2x-4y=5setiene: Para x= o. y= -1% y=0. x=2g no tiene solución; las ecuaciones son incompatibles. Las lineas son paralelas. no hay pun- / tos de intersección. luego el sistema fi | x - 2y = 5 l 2x— 4y = 1o. Representemos ambas ecuaciones (Fig. 58). En x — 2y= 5. se tiene: Para x= o. y= —2% y= Q x=5 En 2x— 4y= 10. se tiene: Para x= o. y= -2% y= Q x=5 4) Resolver gráficamente Vemos que ambas rectas coinciden. tienen infinitos puntos comunes. Las dos ecua- l ciones representan la misma linea, las ecuaciones son equivalentes. e Resolver gráficamente: {x-yzl {Sxz-«ty {x+8=y+2 x+3y=6 ; 1. .2: 7. 1o. 5 x+y=7 5x-6y=38 y—4=x+2 3x+9y=10 3 a r- : — Ïé 2 x—2y=10 5 3x+4y=15 ¿{ÉÜJ ¡, _{? “3" 13 *‘ - zxfiyha - 2x+y=5 x-5y=25 6x+9y= -39 1-23-1 - . . a {5x-3y= O 6 {5x+2y=16 9 2 3 6 %-2+’-3-°=4 . . . 12. 7x—}'= -16 4x+3y=10 ¿+¿= _l ¿; _¿+%s= _g Hallar gráficamente el par de valores de x y y que satisfacen cada uno de los grupos de ecuaciones siguientes: x+y=9 x+y=5 zv+y= —1 x-y: 13. x—y= -1 14. 3x+4y=18 15. x—2y= —13 16. 2y—x= —4 x-2y= -6 Zr+3y=13 3x-—2y= -19 4x
  38. 38. “EN” s. PETERSBURGO E, "33" É ‘ Ñ V", 28‘ _. . y É ‘Till ‘ . uo Ü -‘ ‘- Éer : e=: :e; ¿ if: l - Si ‘ ¡SE gg l 89's; i sf’ oa ii « g 3m a w, ‘¡El fr Ü I D‘ s’ " '22? É <'-“ x f: ÉL» ‘ te"; s E3‘ :2 50 "‘_’—1‘¿. _ c? ‘ ¿5 É 3 ‘i’: 8 l 71;. ‘ z t ' ’ . “- Leonard Euler (1707-1183). Matemático suizo. nacido en donde trabajó incesa: tamente, Porsu Tratado sobre Mecáni- Basilea. Fue alumno de Johannes Bemoulli, Durante doce ca puede consldewse es ridadorde la ciencia moderna Su años ganó oi premio que anualmente oireda la Academia de obra tue copie» sim. a pesar de que los últimos diecisiete Paris sobre diversos temas cientificos. Federico el Grande lo anos de su vió; 25mm totalmente ciego. llamó a Berlin; Catalina de Rusia io Itevó a San Petersburgo, «p v Capítulo _' ECUACIONES STÍVIULÏÁNEAS ne PRIMER GRADO con mes o mas INCOGNITAS RESOLUCIÓN DE Ull SIS; a . DE TRES ECUAClOllES CON TRES IlJCOGlJITAS Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se procede de este modo: 1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eiiminarla por suma o resta) y con ello se obtiene una ecuación con dos in- cógnitas. 2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes. obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas. 3) Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hailando de este modo dos de las incógnitas. 4) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
  39. 39. CAPÍTULO XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas 341 l x+4y— z= 6 (1) 1 1) Resolver el sistema 2x+5y—72=—9 (2) á l 3x—2y+ z= 2 (a) g E. Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación (1) por 2, se tiene: l &+W—&= ú Restando: ‘ 3y + 52 = 21 (4) Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos: _l 3x+12y——3z=18 i —ax + ¿y — z = -2 Restando: i4y - 42 = 1 ii Dividiendo entre 2: 7y — 22 = 8 (5) Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos inconnitas que hemos obtenido (4) y (5), y formamos un sistema: 3y + 52 = 21 (4) 7y — 22 e 8 (5) Resolvamos este sistema. Vamos a eliminar laz multiplicando (4) DOT 2 il (5) DOF 51 6y - l0z= 42 35 y — i_0_z = 40 41 y = 82 y = 2 sustituyendo y = 2 en (5) se tiene 7(2) — 22 = 8 14 — 22 = 8 ; —2z = —6 ï z = 3 sustituyendo y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por eiemplo en (1), se tiene: x+4(2)—3=6 (mi x+8—3=6 ti. v=2 X : 1 Z = VERIFICACIÓN Los valores x = 1, y = 2 z = 3 tienen que satisfacer las tres ecuaciones dadas. Hágase la sustitución y se verá que las tres ecuaciones dadas se convierten en iden- tidad.
  40. 40. 342 BALDOR ÁLGEBRA z_4+6X; -19=_y 2) Resolver el sistema 10_X-2I=2y_1 e 4z+3y=3x—y T5z-20+6x-i9=-5y Oultanrlo denominadores: 80- x+2z =16y—8 4z+3y= 3x-y l 6x+5y+5z= 39 (1) Transponiendo y reduciendo: - —x - 16y + 22 = -88 (2) i —3x + 4y + 42 = 0 (3) Vamos a eliminarx Combinamos (1) y (2) y multiplicamos (2) por 6: 6x+ 5y+ 52: .39 ïïit-Efiib‘ l? ! * -@ Sumando: -91y + l 72 = —489 (4) Combinamos (2) y (3). 3x - 48y — 6z = 264 Multiplicando (2) por 3 y cambián- -3x +_4y + 42 = O doie el signo: 52y _ zz = 254 Dividiendo entre 2: 26y — z = 132 (5) _ _ -91y+17z= -489 (4) Combinamos (4) y (5). ' 26y _ z z 132 (s) -182y + 342 = -978 Multiplicando (4) por 2 y (5) por 7: 182y — 7z = 924 . Sumando: 272 = —54 ' z = -2 sustituyendo z = -2 en (5): 26y - (-2) = 132 26y + 2 = 132 26y = 130 Y = 5 sustituyendo y = 5, z = —2 en (3): -3x + 4(5) + 4(—2) = 0 —3x+20-8=0 x= 4 —3x= -12 R. _v= 5 x=4 x=4 zx—5y=13 (1) 3) Resolver el sistema 4y+z= —8 (2) x-y-z= -2 (3)
  41. 41. CAPÍTU LO ¡Ofl/ Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas asi: YY- Reuniendo (2) y (3): Multiplicando esta última ecuación por 2 y restando: sustituyendo y = -3 en (1): Sustituyendox: —1,y= -3 en (3): 343 En algunos casos, no hay reglas fijas para resolver el sistema y depende de la habilidad del alumno encontrar el modo más expedita de resolverlo. Este ejemplo puede resolverse La ecuación (1) tiene x y y Entonces tengo que buscar otra ecuación de dos incógnitas g que tenga x y y para ionnar con (1) un sistema de dos ecuaciones que tengan ambas x ' I 4y+ z= -8 liar-r —2- Sumando: x+3y = —10 (4) Ya tengo la ecuación que buscaba. Ahora, formamos un sistema con (1) y (4): 2x—5y= 13 x+3y= -1O l a= w=13 l_4ü: EEï@ -11y= 33 = —3 2x-5(-3)=13 2x+15 z ¡3 2x= —2 x= —1 -1 ¿ (—3) —z= —2 --_1+3—z= —2 x 1 -z= -4 R. y-—3 Z: 4 Z 4 Resolver los sistemas: x+y+z:6 1. x—y+ 22 v 5 x-y- 3z= -10 5. 7. 8. HH ? x+3y+z= t 2x+4y+3z=3 _ 6x-2y—z= —14 9. 10x—8y-9z=0 3x+y—z= t 4x+4y-3z=2 É 5x—2y+z=24 31+! l= l 4;. 2x+5y_2¿. _._14 10. x+2y—z=1 x—g+&= m X+Y+Ü= -W 4x+2y+3¿=8 7x+3y—4z= —35 3x+4y+2¡= _1 11. 3x-2y+5z=38 2x_y+5¿=3 x+y-6z= —27 Gx+3y+2z=12 4"*>’*5‘= "6 {gx_y+4¿=37 12 3x+3y-4z=30 10x+5y+3z=21 6x+2y-3z=33
  42. 42. 344 BALDOR ÁLGEBRA 9x+4y-10z=6 x+2y= -1 Sz-Sx: 13. 6x-8y+5z= -1 16. 2y+z=0 19. 5x—3y= —7 12x+12y-15z=10 x+&=11 3y-5z= —13 5x+3y—z= -11 y+z= -8 x—2y=0 14. 1Gx-y+z=10 17. 2x+z=9 2o. y—2z=5 15x+2y—z= —7 3y+8r= -3 x+y+z=8 x+y=1 3x—2y=0 5x—3z=2 15. y+z= -1 1a. 3y-4z=25 21. 2z-y= -5 z+x= -6 z—5x= —14 x+2y—4z=8 ll th url»: win ‘QI— ¡ti-—- >- -n + + + + NINA wlrv 541.. Ni-s wI-n II ll Il I| mi. » Nit-a ro wi OI 3 x Z Y l x 3P + N la: || OI NICO ¡il-A + + un win wlo. + + en NIA NIN II ll 0° I O’! i! i N EMPLEO DE DETERMINANTES EN LA RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS DETERMINANTE oe rencen ORDEN Un determinante como bi a bz c, bil que consta de tres filas y tres columnas. es un detenninante de tercer orden.
  43. 43. CAPÍTULO XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas 345 HALLAR EL VALOR DE UN DETERMINANTE DE TERCER ORDEN El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de un de- terminante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus. Explicaremos esta sencilla regia práctica con dos ejemplos. 1 —2 -3 1) Resolver -4 2 1 por la regla de Sarrus. 5 —1 3 Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primerasfilas horizontalesytenemos: 1 —° / —3 1 -2 -3 —4_ 52- 1 _4 2 1 Ahora trazamos 3 diagonales de 5 _1 3 derecha a izquierda y 3 de izquier- ‘¡<3 _/ ’ z 2>< xx 1 _2 _3 da a derecha, como se indica a ’ /1 Ñ3 _4 2 1 continuación: /_= ¿ 2 ¡ C Ahora se multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal. Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a dere- cha se escriben con su pmplo signo y los productos de los números que hay en las diago- nales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Asi, en este caso. tenemos: 6-12-10+30+ i -24=—9 valor del determinante dado. DETALLE DE LOS PRODUCTOS De izquierda a derecha: 1x2x3=6 (—4)x (—1)x'(-3)= -12 5x (—2)x1 = —10 De derecha a izquierda: (—3) x 2 x 5 = -30 cambiándoie el signo +30 1 --: (-1) x1 = — 1 cambiándole el signo+ 1 3 x (-2) x (—4) = 24 cambiándole el signo —24 -3 -6 t 2) Resolver por Sarrus 4 1 —3 5 8 7 Aplicando el procedimiento explicado. tenemos: —3 —5 i 4l/ —3 /5><°><7 21+32+9o 5 72+168-l92 R —3><—6><l ‘ - /
  44. 44. 346 BALDORÁLGEBRA 2g n I» Hallar el valor de los siguientes determinantes: ; 121 25-1 52-8 12510 ;1.134 43-43 1-3-73 1o.8-69 5102 s24 40-1 74-2 "12-2 5-1-6 325 —9a—4 21-3 3 21-25 3 e. -1-34 11.7—5—3 —145 342 32s 4er —a41 415 5 e.32-6 s 1232 3 RESOLUCION POR DETERllillll-XNTES DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES lNCOGNlTAS Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, por determinantes. se aplica la regia de Kramer, que dice: El valor de cada incógnita es una tracción cuyo denominador es el determinante for- mado con los coeficientes de las incógnitas (detenninante del sistema) y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos indepen- dientes de las ecuaciones dadas. _ 3 ' x + y + z = 4 a t) Resolver por determinantes , Z! — 3y + sz = -5 É g 3x + 4y + 72 = 10 é? ‘- Para haliarx, aplicando la reo/ a de Kramer, tendremos: 4 l t -5 —3 5 iO 4 7 -59 = : -— : 3 x l l 1 -23 2 —3 5 3 4 7 Véase que el detenninante del denominador (detenninante del sistema) está formado con los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones dadas. El numerador de x se ha formado sustituyendo en el detenninante del sistema Ia colum- 1 4 na 2 de los coeficientes de x por la columna —5 de los términos independientes de las 3 ecuaciones dadas. Para hallar y, tendremos: | (¡DIO-A mr>_- , _. . Lcd- GUI-il‘- 10 i! si 7a —46 -—‘: -::2 i -23 5 7
  45. 45. CAPÍTULO XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas El denominador es el mismo de antes. el determinante del sistema. El numerador se ob- 1 4 tiene sustituyendo en éste la columna -3 de los coeficientes de y por la columna —s de los términos independientes. 4 1o Para hallar z, tendremos: l l l «il l 2 —3 —5 l 3 «Í 10 23 = ?————————= ——= —1 Z l l 1 —23 2 3 5 3 4 7 EI denominador es el determinante del sistema; el numerador se obtiene sustituyendo 1 independientes. 7 La solución del sistema es 2) Resolver por detennlnantes Tendremos: l X _ 4 en estela columna 5 de los coeficientes dez por la columna —5 de los terminos 1o = 3 = 2 = —1 2x+ y—3z=12 &»w+h= fl 10x-»—3y- 2:40 i l. 1 ——3 27 «i 7‘ 40 3 s1‘ _62o_5 2 1 m3‘ -124 5 —4 7 10 3 v1 2 12 -3 5 27 7 40 ’1l_19É -4 2 i —33 —124 5 —4 7 10 3 i l 2 l 12 1 5 4 27 1X: 5 ‘° ‘Í fu“! =—2“—8=—2 n. y= —4 2 1 —3 -124 ], =_2 5 4 7‘ 10 3 4 347
  46. 46. 34a BALDORÁLGEBRA Resolver por determinantes“: .% x+y+z=11 7x+10y+4z= —2 i? 1. x—y+3z=13 6. 5x—2y+6z=38 1_Z+¿=1 2x+2y-z=7 3x+y-z=21 3 4 4 x+y+z= -6 4x+7y+5z= -2 11. %+g—z=1 2. ? x+y—z= —1 1. 6x+3y+7z=6 x—2y+3z= -6 x—y+9z= —21 5-1-14) 0 2x+3y+4z=3 3x—5y+&= -22 2 3 " 3. Zr+6y+8z=5 e. a-y+6z=32 x _2 3 4x+9y—4z=4 ax+3y—sz= —33 ‘V “ 4x—y+z=4 x+y+z=3 12 ¡“ya 4. 2y—z+2x=2 9. x+2y=6 GX+3Z—2y=12 ? J(+3y=6 x+zzí+11 x+4y+5z=11 3x—2y= —1 5. 3x—2y+z=5 1o. 4x+z= —28 4x+y—3z= -26 x+2y+3z. —.—43 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE PUNTOS EN EL ESPACIO v PLANOS eres coonoErrAoos en EL Eïzïtlclü (Fig. 59) Si por un punto del espacio 0 trazamos tres ejes 0X, 0X OZ, de modo que cada eje sea perpendicular a los otros dos. tenemos un sistema de ejes coordenadas rectangulares en el espacio. Si los ejes no son perpendiculares —mgura s9r————— ___-e. entre sl. tenemos un sistema de ejes coorde- nados oblicuos. El punto 0 se llama origen. Cada dos de estos ejes determinan un plano. Los ejes 0X y OY determinan el plano XY; los ejes 0Yy OZ determinan el plano YZ, y los ejes OZ y 0X determinan el plano ZX Estos son los planos coordenadas. Estos tres planos. perpendicular cada uno de ellos a los otros dos, fonnan un triedro trirrectángulo. Cuando los ejes están dispuestos como se indica en la figura 59. se dice que el triedro trirrectángulo es inverso. Si el eje 0X ocupara la posición del eje OY y viceversa, el triedro seria directo. Nosotros trabajaremos con el triedro inverso. i” Ponga cero como coeficiente de las incógnitas que lanen en cada ecuación.
  47. 47. CAPÍTULO XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas Para que el alumno aclare los conceptos anteriores. iijese en el ángulo de la izquierda de su salon de clase. El suelo es el plano XY; la pared que está a la izquierda del alumno es el plano YZ; la pared que le queda enfrente es el plano Dt. EI eje 0X es la intersección de Ia pared de enfrente con el suelo; el eje OY es la intersección de la pared de la izquierda con el suelo; el eje OZ es Ia intersección de la pared de la izquierda con la pared del frente. El punto donde concurren los tres ejes (la esquina del suelo, a Ia izquierda) es el origen. COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO DEL ESPACIO La posición de un punto del espacio queda determinada por sus coordenadas en el espacio, que son sus distancias a los planos coordenadas. Sea el punto P (Fig. 60). Las coordenadas del punto P son: 1) La abscisa x. que es la distancia de P al plano 52 2) La ordenada y, que es Ia distancia de P al plano ZX. 3) La cota z, que es la distancia de P al plano XY. El punto P dado por sus coordenadas se expresa P(x, y z). Asl, el punto (2, 4, 5) es un punto del espacio tal que. para una unidad escogida, su abscisa es 2. su ordenada es 4 y su cota es 5. (Las coordenadas de un punto del espacio en su salón de clase son: abscisa, Ia distancia del punto a la pared de la izquierda; ordenada, la distancia del punto a la pared de enfrente; cota, la distancia del punto al suelo). } En la práctica, para representar un punto del espacio. se mide la abscisa sobre el eje 0X y se trazan lineas que representan la ordenada y la cota. En la figura 61 está representado el punto P(3. 2, 4). 349
  48. 48. 35o BALDOR ÁLGEBRA REPRESENTACIÓN DE UN PUNTO CUANDO UNA 0 ¡VIAS COORDENADAS SON CERO (0) cuando una de las coordenadas es 0 y las otras dos no, el punto está situado en uno de los planos coordenadas. (Hg. 62) Si x = D, el punto está situado en el plano YZ; en la figura. P, (0, 2, 3). Si y = 0. el punto está en el plano ZX; en la figura, P, (3, 0, 3). Si z = 0. el punto esta situado en el plano XX- en la figura, P43. 2. 0). cuando dos de las coordenadas son 0 y la otra no. el punto está situado en uno de los ejes. Six = 0. y = 0. et punto esta situado en el eje OZ; en Ia figura, P¿(0, 0. 3). Si x = 0.2: 0. el punto está en el eje 0Y; en la figura, P, (0. 2, 0). Si y = 0, z = 0. el punto está en el eje 0X; en —i Figura a2 t————í— Pt ‘(Z9¿Q. _3)_ _ _ _FÏ¿_(J3. 0. 3) s _________ _ _ A, ’ la figura, P5(3, 0, Oj. ¿((1.24) ¡'23 (3, 2, o) Si las tres coordenadas son 0, el punto es y el origen. m Representar gráficamente los puntos siguientes: ,1: 1. 0.1.3) 4. (3.515) 7. 0,5,4) 1o. (4.114) 13- (0.0.4) e; 2. (4. 2,3) s. (2. 4.1) a. (3.1.6) 11. (4, 2, o) 14. (5.0. 0) g s. (4. 3. 7) 9 (6,3. 4) 12. (5, s, o) 15. (o, s, o) Toda ecuación de primer grado con tres va- Hfiflufiüiïï-ï} riables representa un piano. “ Asi. toda ecuación de la forma Ax + By + Cz = D representa un plano. (Hg. 63.) Los segmentos 0A, 0B y 0C‘ son las trazas del plano sobre los ejes. En la figura la traza del plano sobre el eje 0X es 0A = a; la traza sobre el eje OY es 0B = b y Iatraza sobre el eje Oles 0C = c. Los puntos A, B y C, donde el piano interse- ca a los ejes por ser puntos de los ejes, tienen b dos coordenadas nulas. ¿B (o. b. 0) Y “Admltamos esto como un principio. ya que su demostración está fuera del alcance de este libro.
  49. 49. CAPÍTULO XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UiiA ECUACIÓN oe PRIMER GRADO con TRES VARIABLES 1) Representar la ecuación 4x+ 3y + 22 = 12. “mi” “E Para representar gráficamente esta ecua- ción vamos a hallar la traza del piano que ella representa sobre los ejes (Fig. 64). La traza sobre el eje 0X se halla ha- ciendo y = D, z = 0 en la ecuacion dada. Tendremos: Paray=0,z=0, queda4x= 12 x=3. Se representa el punto (3. 0, 0). La traza sobre el eje OYse halla haciendo x = 0, z = 0 en la ecuación dada. Tendre- MOS! Parax=0,z=0queda3y=12 y=4. Se representa el punto (0. 4. O). La traza sobre el eje OZ se halla haciendox = 0. y = 0 en la ecuación dada. Tendremos: Parax=0,y=0queda2z=12 . -.z=6. Se representa el punto (0. 0, 6). Uniendo entre sl ios tres puntos que hemos hallado, obtenemos un plano que es la representación gráfica de la ecuación 4x + ay + 22 = 12. 2) Representar gráficamente 4x + 5y +82 = 20 (Hg. 65). ——«l figura 65 i——— Tenemos: Para y=0,z=0, x= ?=5. Punto (5. o. o). Para x=0,z=0, y= %=4. Punto (o. 4, o). Para _2o_ x=0,y=0, Z-í-Zg. Punto (03,2%). Uniendo estos puntos entre si queda trazado un piano que es la representación gráfica de la ecuación 4x + 5y + 82 = 20. 351
  50. 50. 352 BALDORÁLGEBRA ‘Si! Representar gráficamente las ecuaciones: g 1.3x+6y+2z=6 6.15x+10y+6z=30 ¿’c 2.2x+y+4z=4 7.14x+10y+5Z=35 i‘ 3.4x+6y+3z=12 8.3x+y+2z=10 T’ .1. 15x+6y+5z=30 9.4x+2y+3z=18 5.2x+y+3z=6 1D.15x+20y+24z=120 QE] PLANO QUE PASA POR un PUNTO Si un plano pasa por un punto del espacio. las coordenadas de ese punto satisfacen la ecua- ción del plano. Así, para saber si el plano 2x +y+ 32 = 13 pasa por el punto (1. 2. 3), hacemos x= 1, y = 2, z = 3 en Ia ecuación del plano y tendremos: 2(1) + 2 + 3(3)=13, o sea, 13 = 13; luego, el plano pasa por el punto (1. 2, 3). o de otro modo. ei punto pertenece al plano. SlGiiIFlCACiÚN GRÁFICA DE LA soLuclort or i’? ! srsrErtrA oe mes ECUACIONES con TRES lNCOGHlTl e x + y + z = 12 Sea el sistema 2x—y+ 32:17 3x + 2y — 52 = -8 Resolviéndolo se halla x= &y= &z=5 Esta solución representa un punto del espacio. el punto (3. 4. 5). Ahora bien: x = 3. y = 4. z = 5 satisfacen las tres ecuaciones del sistema; luego. el punto (3. 4. 5) pertenece a los tres planos que representan las ecuaciones dadas; luego. el punto (3, 4. 5) es un punto por el que pasan los tres planos, el punto común a los tres planos. e17 RESOLUCIO. " REPRESENTACIÓN GRÁFICA oe un SISTEMA oe mas cctvtcrorres con TRES IiiCOGiiITAS Resolver gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es hallar el punto del espacio por el que pasan los tres planos. Para ello, dados los conocimientos que posee el alumno. el pmcedimiento a seguir es el siguiente: 1) Se representan gráficamente los tres planos que representan las tres ecuaciones del sis- tema, hailando sus trazas. 2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos. que será una línea recta. 3) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de los anteriores. que será otra linea recta. 4) Se busca el punto donde se cortan las dos rectas ontersecciones) halladas y ese será el pun- to común a los tres planos. Las coordenadas de este punto son ia solución del sistema.
  51. 51. CAPÍTU LO XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas 353 1) Resolver gráficamente el sistema‘ A " "pu" 66 A" 7 í j 2x+2y+ 2:12 i” x+ y+ z= 8 Ia+a+&= m Aplíquemos ei procedimiento anterior (Fin. 65). Representemos 2x + 2y + z = 12. Para y — 0. —— 0. x = 6 x—0 z: Q y=6 x —— " y —— O. z = 12 El plano que representa esta ecuación es el plano ABC. Representemos x + y +z = e Para -0, z-O. x=8 . . 0, z —- 0. y: 8 El piano que representa esta ecuación es el plano DEI-É Representantes 3x + 2y + 52 = 30. Para tuo. z—0. x=10 x: O. 2:0. y=15 x : 0. y : 0, z= 6 El piano que representa esta ecuación es el plano GHI. Trazamos la intersección del piano ABC con el plano DEF que es la linea recta MN: trazamos la intersección del plano DEF con el plano GHI que es la linea recta no. Ambas intersecciones se cortan en el punto F: el punto P pertenece a los 3 planos. Las coordenadas de P que en la figura se ve que son x = 2, y = 2, z = 4 son la solución del sistema
  52. 52. 354 BALDOR ÁLGEBRA Resolver y representar gráficamente los sistemas: 4% x+2y+z=8 2x+2y+3z=23 3x+4y+5z=35 í 1. ? x+2y+z=9 3. 2x+3y+2z=2O 5. ? x+5y+3z=27 g 3X+3y+5Z=24 4x+3y+2z=24 Zt+y+Z=13 w x+y+z=5 2x+2y+3z=24 4x+3y+5z=42 2. 3x+2y+z=8 4. 4x+5y+2z=35 6. 3x+4y+3z=33 Zr+3y+3z=14 3x+2y+z=19 318 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE CUATRO ECUACIONES CON CUATRO INCÓGNITAS ___ x+y+z+u=10 (1) 3- 2x— 32 - 4U = 9 2 i. t) Resolver el sistema 3x ¿L1 + su = 13 8 h” x-3y+2z——4u———-3. (4) combinando (1) y (2) elimlnamos lax multiplicando (t) por 2 y restando: Z: + 2y + 22 + 2u = 20 1831-11 + 4L e :9 3y— z+6u=11 (5) combinando (1) y (3) elimlnamos la x multiplicando (1) por 3 y restando: 3x+3y - 3z+3u= 30 ¿{ix-gw Z-5U= -13 y+4z—2u= 17 (6) combinando (1) y (4) elimlnamos tax, restando: x+ y+ 2+ u=10 -x+3y—2z+4u= 3 4y- z+5u=13 (7) Reuniendo las ecuaciones (5). (6) y (7) que hemos obtenido tenemos un sistema de 3 ecua- ciones con tres incógnitas: 3y - z + su = 11 (5) y + 42 - zu = 17 (6) 4y- z+5u=13 (7) Vamos a eliminar laz. combinando (5) y (6), multiplicamos (5) por 4 y sumamos: 12y - 42 + 24a = 44 y + 42 - 2u = 17 13y + 22a = 61 (8) combinando (5) y (7) elimlnamos la z restándoias: 3y-z+6u= 11 -4y+z—5u= -13 —y + u= -2 (9)
  53. 53. CAPÍTULO XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas 355 Reuniendo (8) y (9) tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 13y + 22u = 61 (8) — y+ u = — 2 (9) Resolvamos este sistema. Multiplicando (9) por 13 y sumando: 13y + 22u = 61 —13y+ 13a = —26 35a = 35 u = 1 Ahora. sustituimos u = 1 en una ecuación de dos incógnitas. por ejemplo en (9) y tenemos: -y + 1 = -2 y = 3 sustituimos u = 1. y = 3 en una ecuación de tres incógnitas, por ejemplo en (5) y tenemos: 3(3)—z+6(1)=11 9-z+6=11 z=4 Ahora. sustituimos u = t, y = 3, z = 4 en cualquiera de las ecuaciones dadas. por ejemplo en (1) y tenemos: Z QNK >< Il ll il ll 4.500% Resolver los sistemas: x+y+zri -4 x+y-z= —4 (; 1 x+2y-i-3z—u= —1 5 4x+3y+2z-u=9 ,5 ' 3xie4y»2z+u= -5 ' ? x—y—4z+u= -1 ; x»-4y+3z—u= -7 x+2y+3z+2u= —1 F‘ x+2y+z= —4 B+W+Q=4 3x+y+z+U=4 6x+3y—z+u=3 3x+2y= -2 x+y+u= -3 3x-2y-u= —7 4x+5y+6z+3u=11 2x-3z-u=2 x+y+z+u=10 2x—y-2z+2u=2 6 x—2y+3z—u=2 ' x+2y—4z+2u=1 x-2y+z+3u= -3 3x+y-4z-2u=7 1 2x+2y-z-u=1 ' x+4y+2z-5u=12 2x—3y+z+4u= D pasase ‘j 3x+y—5z—3u= -10 3 3y—2z—5u=3 ' 6x+2y-z+u= —3 ' 4y-3u=2 x+5y+4z-3u= -6 x—3y+3u=0

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