El documento explica conceptos fundamentales relacionados con curvas como la recta tangente, recta normal, máximos y mínimos relativos, monotonía, puntos de inflexión, curvatura y puntos críticos. Proporciona procedimientos para calcular cada uno de estos conceptos derivando funciones de una o más variables. También presenta un procedimiento general para resolver problemas de optimización que involucran funciones sujetas a ciertas condiciones.

1. RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es
igual a f '(a).
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta
y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3
f'(a) = 2a – 5 2a − 5 = −3 a = 1
El punto de tangencia es P(1, 2) La recta tangente es y − 2= -3 (x − 1)
RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es
igual a la inversa de la opuesta de f '(a).
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 y paralela a la
bisectriz del primer cuadrante (recta y = x ).
La pendiente de la recta dada es m = 1
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente: y − 1 = x y = x +1
Recta normal: y − 1 = −x y = −x + 1
ACTIVIDADES
Recta tangente y normal.
1.-Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.
2.-Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2).
Hallar el punto de tangencia.
3.-Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2,
1)., y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.
4.-La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la
misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a,
b y c.
5.-Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los
puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de
abscisas.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
Un máximo relativo de una función es un punto en que la función es mayor que en los puntos que están
muy cercanos, es decir, antes del máximo relativo, la función es creciente y, después, decreciente.
Un mínimo relativo de una función es un punto en que la función es menor que en los puntos que están
muy cercanos, es decir, antes del mínimo relativo, la función es decreciente y, después, creciente.
Procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos
1. Se calcula la primera derivada, f’(x)
2. Se resuelve la ecuación, f’(x) = 0
3. Se sustituyen las raíces de f’(x) = 0 en la función inicial y = f(x) y se obtienen los posibles
máximos y mínimos relativos.
4. Se halla la segunda derivada, f’’ (x) = 0
5. Se sustituyen las abscisas de los posible máximos y mínimos relativos en la segunda derivada,
f’’ (x)
a. Si f’’(x) < 0 Máximo Relativo
b. Si f’’(x) > 0 Mínimo Relativo
MONOTONÍA

2. Estudiar la monotonía de una función consiste en estudiar en qué intervalos la función es creciente y en
cuales decreciente.
Procedimiento para hallar la monotonía
1. Se calculan los candidatos a máximos y mínimos relativos, las soluciones de f´(x)=0.
2. Se hallan las discontinuidades
3. Se representa en la recta real ℜ las abscisas de los máximos y mínimos relativos, y las
discontinuidades.
4. Se prueba un punto de cada uno de los intervalos en la primera derivada; solamente se considera
el signo. Es decir vamos a estudiar el signo de f´(x).
5. Se escriben los intervalos de crecimiento () que son los correspondientes a f’(x)>0 (+)
6. Se escriben los intervalos de decrecimiento () que son los correspondientes a f’(x)<0 (-)
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Un punto de inflexión de una función es un punto en el que la función cambia de cóncava (U) a convexa
(∩) o viceversa.
Procedimiento para hallar los puntos de inflexión
1. Se calcula la segunda derivada, f’’(x)
2. Se resuelve la ecuación, f’’(x) = 0
3. Se sustituyen las raíces de f’’(x) = 0 en la función inicial y = f(x) y se obtienen los posibles
puntos de inflexión.
4. Se halla la tercera derivada, f’’’ (x) = 0
5. Se sustituyen las abscisas de los posibles puntos de inflexión en la tercera derivada, f’’’ (x). Si
f’’’(x)≠0, son puntos de inflexión.
CURVATURA
Estudiar la curvatura de una función consiste en estudiar en qué intervalos es cóncava y en cuales es
convexa.
Procedimiento para hallar la curvatura
1. Se calculan los candidatos puntos de inflexión, las soluciones de f´´(x)=0.
2. Se hallan las discontinuidades
3. Se representa en la recta real ℜlas abscisas de los puntos de inflexión, y las discontinuidades.
4. Se prueba un punto de cada uno de los intervalos en la segunda derivada; solamente se considera
el signo. Es decir, vamos a estudiar el signo de f´´(x).
5. Se escriben los intervalos de convexidad (U) que son los correspondientes a f’’(x)>0 (+)
6. Se escriben los intervalos de concavidad (∩) que son los correspondientes a f’’(x)<0 (-)
PUNTOS CRITICOS O SINGULARES
Un punto crítico o singular es un punto en el que la primera derivada se anula.
Procedimiento para hallar y clasificar los puntos críticos
1. 1. Se calcula la primera derivada, f’(x)
2. Se resuelve la ecuación, f’(x) = 0
3. Se sustituyen las raíces de f’(x) = 0 en la función inicial y = f(x) y se obtienen los puntos
críticos.
4. Para cada punto crítico se hallan las derivadas sucesivas hasta encontrar una que no se anule en
dicho punto crítico.
5. Si la primera derivada que no se anula es de orden impar, es un punto crítico
6. Si es de orden par:
a. Es un máximo si el valor obtenido es negativo
b. Es un mínimo si el valor obtenido es positivo.
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

3. Procedimiento:
1. Se escriben los datos, las incógnitas y se hace un dibujo si es posible.
2. Se escribe la función que se desea maximizar o minimizar y las condiciones del problema, que
serán ecuaciones que relacionan las variables y los datos.
3. Se escribe la función con una sola variable, mediante las ecuaciones utilizadas.
4. Se calculas los máximos y mínimos de esa función derivando.
5. Se comprueban los valores en la segunda derivada
6. Se interpretan los resultados rechazando aquellos que no sean posibles por las condiciones o la
naturaleza del problema.