aplicaciones

1. Aplicaciones de la derivada

2. Aplicaciones de la derivada
Las aplicaciones de la derivada son muy amplias; entre las más importantes se encuentran:
Localización de extremos (máximos y mínimos) de una función
Un máximo es un punto de la función cuya imagen es mayor o igual que la imagen de cualquier punto
que se encuentre cercano a dicho punto. Un mínimo es un punto de la función cuya imagen es menor o
igual que la imagen de cualquier punto que se encuentre cercana a dicho punto:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≥ f(x)
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≤ f(x)
Existen dos maneras de hallar los máximos y mínimos de una función:
1. Hallando la primera y segunda derivadas:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si f’(x0) = 0 y f’’(x0) < 0
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si f’(x0) = 0 y f’’(x0) >0
2. Hallando la primera derivada y comprobando el crecimiento de la función:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si f’(x0) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser
positiva a negativa.
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si f’(x0) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser
negativa a positiva.
Problema de extremos: un problema que pretenda resolver una situación en la que cierta magnitud M
depende de otra magnitud x, de forma que M = f(x), y se debe encontrar el máximo o el mínimo de M.
1. En el caso de un problema de máximos, se tratará de hallar un máximo de f(x) y, por lo tanto, se
deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) < 0.
2. En el caso de un problema de mínimos, se tratará de hallar un mínimo de f(x) y, por lo tanto, se
deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) > 0.
Concavidad y convexidad de una función
Una función se dice que es convexa en un punto t cuando dicha función es menor que la tangente en un
entorno de dicho punto.
Una función se dice que es cóncava en el punto t cuando dicha función es mayor que la tangente en un
entorno de dicho punto.
La concavidad y la convexidad de una función pueden hallarse utilizando la derivación:
1. Una función f(x) es convexa en un punto x0 si f’’(x0) < 0.
2. Una función f(x) es cóncava en un punto x0 si f’’(x0) > 0.
Un punto de inflexión de una función es un punto en el que la función pasa de ser cóncava a convexa, o
viceversa. Un punto de inflexión de una función cumple que su 2.ª derivada es 0.
t t
Función convexa Función cóncava

3. Representación de la gráfica de una función
Para la representación de una función es necesario conocer esta información:
• Dominio de la función.
• Puntos de corte con los ejes.
Se trata de buscar los puntos de la gráfica del tipo:
(0,f(0)) o bien, (x,0)
• Simetrías.
Se dice que una función f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas, si se cumple:
f(–x) = f(x)
En cambio, una función es simétrica respecto al origen si:
f(–x) = –f(x)
Gráficamente se traduce en representaciones de este tipo:
• Zonas de crecimiento y decrecimiento.
Se pueden hallar estudiando el signo de la función derivada.
• Máximos y mínimos.
Se deben hallar estudiando cuándo se anula la función derivada.
• Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Para estudiar la concavidad y convexidad debemos conocer las 2.ª derivadas:
• Asíntotas.
Para descubrir las asíntotas de una función deben comprobarse los límites de dicha función en +∞, −∞ y
en los puntos que no pertenecen al dominio.
Ejemplo: Representar
3
2
( )
1
x
f x
x
=
−
• Dominio de la función:
Todos los puntos excepto por el –1 y el 1.
• Puntos de corte con los ejes:
El único punto de corte con los ejes es (0,0).
• Simetrías:
( )
3 3 3
2 2 2
( ) ( )
( ) 1 1 1
x x x
f x f x
x x x
− −
− = = =− =−
− − − −
Simétrica respecto al origen.
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
f(x) es creciente en (–∞,– 3 ) y ( 3 ,+∞)
f(x) es decreciente en (– 3 ,+ 3 )
• Máximos y mínimos:
En
3
3
3,
2
 −
 −
 
 
existe un máximo; en
3
3
3,
2
 
 
 
 
existe un mínimo.
• Concavidad, convexidad y puntos de inflexión:
En (–∞,–1) y (0,1) f(x) es cóncava.
En (–1,0) y (1,∞) f(x) es convexa.
X
Y
X
Y
Función simétrica respecto al eje de ordenadas Función simétrica respecto al origen

4. En x = 0, la función tiene un punto de inflexión porque pasa de convexa a cóncava.
• Asíntotas:
Asíntotas verticales:
Las rectas x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.
Asíntotas oblicuas:
La recta y = x es una asíntota oblicua.
Representación:
3−
−1
0
1 3
Y
X
–1 y 1 no
pertenecen al
dominio
Máximos y
mínimos
Punto de corte con
los ejes
Creciente
Dereciente
Convexidad
Concavidad
Asíntota
oblicua y = x
Asíntotas
verticales
x = –1, x = 1

5. ¿Cómo localizar máximos y mínimos de una función utilizando su derivada?
Una de las aplicaciones básicas de las derivadas se centra en la busca de máximos y mínimos.
Una función f(x) tiene un máximo en x0 si
f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) < 0; una función tiene un mínimo en x0 si
f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) > 0. También pueden encontrarse máximos y mínimos analizando
el signo de la derivada de f(x) en un entorno de x0.
La derivación tiene múltiples aplicaciones, desde el cálculo de ciertos elementos interesantes para el
trazado de la gráfica de una función, hasta problemas de maximización o minimización.
Una de las aplicaciones más importantes de las derivadas se centra en la busca de máximos y mínimos de
una función. Un máximo es un punto de la función cuya imagen es mayor o igual que la imagen de
cualquier punto que se encuentre cercano a dicho punto. Un mínimo es un punto de la función cuya
imagen es menor o igual que la imagen de cualquier punto que se encuentre cercano a dicho punto:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≥ f(x)
(x0,f(x0)) mínimo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≤ f(x)
Por ejemplo, en la gráfica de la función f(x) = 2x3
+ 3x2
– 36x
se han destacado dos puntos de la función que corresponden a un máximo local y a un mínimo local de la
misma (local porque son un máximo y un mínimo en un entorno del punto, pero no un máximo y un
mínimo globales); en el caso del máximo podemos observar que la función antes del máximo es creciente,
mientras que después del máximo es decreciente. Así pues, antes del máximo la derivada de la función
debe ser positiva (si la función es creciente, la derivada es negativa), mientras que después del máximo la
derivada de la función debe ser negativa (si la función es decreciente, la derivada es negativa). Por tanto,
la derivada pasa de ser positiva a ser negativa en el punto máximo; no queda otra posibilidad que la
derivada de la función en el máximo sea igual a 0, es decir, f'(x) = 0.
De la misma manera, la función antes del mínimo es decreciente, mientras que después del mínimo es
creciente; así pues, la derivada antes del mínimo debe ser negativa y
después del mínimo debe ser positiva. Por lo tanto, la derivada en el
mínimo debe ser igual a 0.
En definitiva, si un punto de la función es un mínimo o un máximo
local, su derivada debe ser cero en estos puntos. También puede
comprobarse visualmente, trazando las tangentes en el máximo y el
mínimo, como se observa en el margen.
Evidentemente, la recta tangente es horizontal en ambos casos, es
decir, su pendiente es igual a 0, que, como es sabido, corresponde a la
derivada de la función en el punto correspondiente al máximo y al
mínimo.
Podemos comprobar, en este caso, en qué puntos se anula la derivada:
f'(x) = 6x2
– 6x + 36 = 0
Se trata de los puntos x = 2 y x = –3, tal como se podía observar en la imagen.
Ahora bien, ¿se puede saber cuál de los dos es máximo o mínimo sin mirar la gráfica de la función? Sí
que puede saberse y, además, es muy sencillo; para ello sólo es necesario volver a derivar la función otra
vez, es decir, calcular la segunda derivada utilizando las mismas reglas de derivación. En el caso del
ejemplo:
f''(x) = 12x + 6

6. Después de derivar otra vez la función, la regla para saber si un punto es máximo o mínimo dice así:
Si f'(a) = 0 y f''(a) < 0, entonces el punto (a,f(a)) es un máximo.
Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, entonces el punto (a,f(a)) es un mínimo.
Si f''(a) es igual a 0, entonces no podemos decir nada sobre si se trata de un máximo o un mínimo.
Comprobémoslo con la función del ejemplo:
f''(–3) = 12 · (–3) + 6 < 0, así pues el punto (–3,f(–3)) es un máximo, como ya sabíamos;
f''(2) = 12 · 2 + 6 > 0, así pues el punto (2,f(2)) es un mínimo, como ya sabíamos.
Otra manera sencilla de saber si la función tiene un máximo o un mínimo en cierto punto es comprobar
cómo es el crecimiento en el entorno del punto. De este modo:
si f’(a) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser positiva a negativa, entonces en el punto a
debe encontrarse un máximo;
si f’(a) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser negativa a positiva, entonces en el punto a
debe encontrarse un mínimo.
Veámoslo en la función anterior, f(x) = 2x3
+ 3x2
– 36x: su derivada es
f’(x) = 6x2
+ 6x – 36. Los puntos en los que esta función se anula son –3 y 2, como sabíamos. Además:
f’(x) > 0 si x < –3, y f’(x) < 0 si x > –3, por lo tanto, en x = –3 tenemos un máximo;
f’(x) < 2 si x < 2, y f’(x) > 0 si x > 2, por lo tanto, en x = 2 tenemos un mínimo.
Esto puede observarse en este gráfico que contiene f(x) y f’(x):
f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0
f(x) creciente f(x) decreciente f(x) creciente
¿Cómo se resuelve un problema de máximos o mínimos utilizando la
derivación?
Un problema se dice que es de máximos o mínimos siempre que pretenda resolver una
situación en la que cierta magnitud M depende de otra magnitud x, de manera que M = f(x), y
encontrar el máximo o el mínimo de M. En el caso de un problema de máximos, se tratará de
hallar un máximo de f(x) y, por lo tanto, se deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además,
f’’(x0) < 0. En cambio, en el caso de un problema de mínimos, se tratará de hallar un máximo
de f(x) y, por lo tanto, se deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) > 0.
Un problema se dice que es de máximos o mínimos siempre que pretenda resolver una situación en la que
cierta magnitud M depende de otra magnitud x, de manera que
M = f(x)
y encontrar el máximo o el mínimo de M.
Veamos un ejemplo de cada caso:
• Ejemplo de máximos:
Con una pieza de cartulina de 10 dm de lado se pretende construir una caja recortando en cada vértice del
cuadrado piezas cuadradas de lado x, ¿qué valor debe darse a x para que el volumen de la caja sea
máximo?
x=–3 x=2
f(x)
f’(x)

7. El volumen de la caja, es decir, el volumen de un prisma rectangular, se puede hallar multiplicando
ancho, por largo y por alto:
V(x) = (10 – 2x)2
· x = 4x3
– 40x2
+ 100x
Así pues, el volumen de la caja dependerá del valor de x. Se debe encontrar un máximo de esta función en
el intervalo (0,5), ya que el corte en los extremos no puede superar los 5 dm. El volumen de la caja, tanto
en 0 como en 5 es igual a 0: V(0) = V(5) = 0. Veamos si podemos hallar el máximo en el interior de este
intervalo. Para ello, trataremos de encontrar un punto, x0, que cumpla las condiciones de un máximo:
V’(x0) = 0
V’’(x0) < 0
La función derivada es:
V'(x) = 12x2
– 80x + 100 = 4(3x2
– 20x +25)
que se anula en:
520 400 300 20 10
5/36 6
x
± − ±
= = = 〈
El primer valor no se encuentra dentro del intervalo considerado, por lo tanto, sólo podemos considerar x
= 5/3. Para saber si en este punto tenemos un máximo o un mínimo de la función debemos calcular la
segunda derivada:
V''(x) = 24x – 80
y V''(5/3) = 24 · 5/3 – 80 < 0
por lo tanto, para x = 5/3 obtenemos un máximo de la función. Así pues, para obtener el máximo volumen
en la caja, debemos recortar pequeños cuadrados de, aproximadamente, 1,66 dm, y el volumen máximo
que se obtendrá con este valor será de:
V(5/3) = (10 – 2 · 5/3)2
· 5/3 = (20/3)2
· 5/3 = 2000/27 ≈ 74,07 dm3
• Ejemplo de mínimos:
Se quieren construir botes cilíndricos (como los de las bebidas refrescantes) de 500 cm3
de volumen.
¿Qué dimensiones (altura y diámetro de la base) se debe dar a un bote de estas características para que
necesite la mínima cantidad de material?
La forma cilíndrica del bote tiene este desarrollo plano:
El material necesario para construirlo debe tener una superficie de S = 2πrh + πr2
.
h
r

8. La condición impone que el volumen sea de 500 cm3
, es decir:
πr2
h = 500
o sea, h = 500/πr2
Así, la función S que depende de r es S(r) = 2πr(500/πr2
) + πr2
= 1000/r + πr2
.
Debemos encontrar un valor para la r de manera que S(r) sea mínimo de la función. Para ello, sabemos
que si r0 es el valor mínimo de esta función, debe cumplirse que:
S’(r0) = 0
S’’(r0) > 0
Calculemos S’(r) e igualemos a 0:
S’(r) = –1000/r2
+ 2πr = 0
2πr2
= 1000/r2
2πr3
= 1000
r3
= 1000/2π
r = 3
1000
2π
por lo tanto, r ≈ 5,42 cm.
Veamos ahora el valor de S’’(r) = 3000/r3
+ 2π.
Es fácil comprobar que S’’(5,42) > 0, por lo tanto, este valor es un mínimo de la función S’(r) y el valor
mínimo es igual a S(5,42) ≈ 276,8 cm2
.
Si se interpretase que el bote debe tener dos tapas, como las latas de refrescos, y no sólo una, la superficie
debería incluir la superficie de la otra tapa:
S(r) = 2πrh + 2πr2
e imponiendo la condición de que el volumen sea 500 cm3
, entonces:
S(r) = 1000/r + 2πr2
En este caso:
S’(r) = –1000/r2
+ 4πr = 0
4πr2
= 1000/r2
4πr3
= 1000
r3
= 1000/4π
r = 3
1000
4π
es decir, r ≈ 4,3 cm.
El valor de S’’(r) = 3000/r3
+ 4π y es fácil comprobar que S’’(4,3) > 0, por lo tanto, este valor es un
mínimo de la función S’(r) y el valor mínimo es igual a:
S(4,3) ≈ 348,73 cm2
¿Qué es la concavidad y la convexidad de una función y qué relación tiene con
la derivación?
Cuando la función cerca de un punto es menor que la recta tangente en ese punto, se dice que
la función es convexa, mientras que cuando la función es mayor que la recta tangente, se dice
que la función es cóncava. Una función es convexa en aquellos puntos en los que su derivada
segunda es positiva, mientras que una función es cóncava en aquellos puntos en los que su
derivada segunda es negativa.
Observando atentamente estas funciones crecientes, con sus tangentes en un punto t:
t t

9. en el primer caso, la tangente en el punto t se encuentra por encima de la función, mientras que en el caso
de la derecha, la tangente en el punto t se encuentra por debajo de la función. Es decir, en el primer caso,
cerca del punto t, la función es menor que la tangente, mientras que en el segundo caso, la función es
mayor que la tangente. En el primer caso se dice que la función es convexa, mientras que en el segundo
caso se dice que es cóncava.
El estudio de segunda derivada de una función es esencial para conocer en qué puntos la función es
cóncava y en qué puntos la función es convexa. Veámoslo: junto a esta función cóncava se han trazado
distintas tangentes a la función:
Podemos observar cómo la pendiente de la recta tangente va creciendo a medida que la función va
tomando valores x mayores. Ahora bien, la pendiente de la recta tangente a una función no es otra cosa
que su derivada; es decir, si la función es cóncava, la derivada de la función derivada crece a medida que
aumenta la x, es decir, la función derivada es una función creciente. Ahora bien, si la función derivada es
creciente, entonces su derivada, esto es, la derivada segunda de la función original, debe ser positiva
(porque sabemos que si una función es creciente, su derivada debe ser positiva). En definitiva, una
función es cóncava en aquellos puntos en los que su derivada segunda es positiva.
De la misma manera, observemos una función convexa, algunas de las rectas tangentes a la función:
Podemos observar cómo la pendiente de la recta tangente va decreciendo a medida que la función va
tomando valores x mayores. Ahora bien, como se acaba de mencionar, la pendiente de la recta tangente a
una función no es otra cosa que su derivada; es decir, si la función es convexa, la derivada de la función
derivada decrece a medida que aumenta la x, o sea, la función derivada es una función decreciente. Así
pues, si la función derivada es decreciente, entonces su derivada, es decir, la derivada segunda de la
función original, debe ser negativa (porque sabemos que si una función es decreciente, su derivada debe
ser negativa). En definitiva, una función es convexa en aquellos puntos en los que su derivada segunda es
negativa.
Puede comprobarse este hecho con la función de un ejemplo anterior:
f(x) = 2x3
+ 3x2
– 36x
Su segunda derivada, como sabemos, es f''(x) = 12x + 6, por lo tanto:
es positiva cuando x > –1/2, es decir, debe ser cóncava;
es negativa cuando x < –1/2, es decir, debe ser convexa.

10. Observando la gráfica puede verse que, efectivamente, la función es cóncava en
(–¥,–1/2), y es convexa en el intervalo (–1/2,+¥), tal como muestra la gráfica de la función:
Ahora bien, ¿qué sucede en el punto –1/2? En este punto, la segunda derivada es igual a 0:
f’’(–1/2) = 12(–1/2) + 6 = 0
Por lo tanto, según las propiedades anteriores, la función en este punto no es ni cóncava ni convexa. Si
observamos la tangente en este punto:
A la izquierda de este punto, la función es convexa, mientras que a la derecha, la función es cóncava.
Dicho de otra manera, a la izquierda de x = –½ la tangente es mayor que la función, mientras que a la
derecha de este punto, la función es mayor que la tangente. Los puntos en los que sucede esto se
denominan puntos de inflexión, y una de sus características es que la segunda derivada en el punto es
igual a 0.
¿Qué información debe conocerse para representar aproximadamente la
gráfica de una función?
Para representar la gráfica una función una de las herramientas fundamentales es el cálculo de
derivadas. La información que debe buscarse para representar una función es: dominio,
puntos de corte con los ejes, simetrías, crecimiento, máximos y mínimos, concavidad y
convexidad, puntos de inflexión y comportamiento asintótico.
Para representar manualmente la gráfica de una función es necesario contar con información sobre
distintos aspectos de la función que resultarán de gran ayuda para el trazado aproximado de la gráfica.
Entre ellos encontramos los aspectos de crecimiento, máximos y mínimos, y concavidad y convexidad,
que requieren el cálculo de derivadas.
Utilizaremos la función
3
2
( )
1
x
f x
x
=
−
para mostrar cómo debe hacerse.
Los aspectos más importantes son:
• Dominio de la función

11. La función f(x) tiene por dominio todos los puntos que no anulan el denominador. En este caso, los puntos
del dominio deben cumplir que x2
– 1 ≠ 0. Por lo tanto, el dominio está formado por todos los puntos
excepto por el –1 y el 1.
• Puntos de corte con los ejes
Se trata de buscar los puntos de la gráfica del tipo:
(0,f(0)) o bien, (x,0)
En la función f(x)
f(x) = 0  x2
= 0  x = 0
Por lo tanto, el único punto de corte con los ejes es (0,0).
• Simetrías
Se dice que una función f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas, si se cumple
f(–x) = f(x)
En cambio, una función es simétrica respecto al origen si
f(–x) = –f(x)
Veamos en dos ejemplos qué significan estas propiedades de simetría gráficamente:
En el caso del ejemplo, la función es simétrica respecto al origen, ya que:
( )
3 3 3
2 2 2
( ) ( )
( ) 1 1 1
x x x
f x f x
x x x
− −
− = = =− =−
− − − −
Se debe tener en cuenta que una función puede que no sea ni simétrica respecto al eje de ordenadas, ni
simétrica respecto al origen.
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Se pueden hallar estudiando el signo de la función derivada, en este caso:
4 2
2 2
3
'( )
( 1)
x x
f x
x
−
=
−
Para ver en qué puntos dicha función es positiva o negativa, sólo debemos estudiar el numerador, ya que
el denominador es siempre positivo.
x4
– 3x2
= x2
(x2
– 3)
Así pues, sólo se debe estudiar la expresión x2
– 3, que, como sabemos, se corresponde a una parábola y
cuyas raíces, 3 y – 3 , separan los puntos positivos de los negativos. En definitiva:
f’(x) es positiva en (–∞,– 3 ) y ( 3 ,+∞)
f’(x) es negativa en (– 3 ,+ 3 )
Por lo tanto:
f(x) es creciente en (–∞,– 3 ) y ( 3 ,+∞)
f(x) es decreciente en (– 3 ,+ 3 )
• Máximos y mínimos
La función derivada se anula en 0, − 3 y 3 ; en 0, la función es creciente, por lo tanto, no tiene ni
máximo ni mínimo; en − 3 la función pasa de creciente a decreciente, por lo tanto, en – 3 existe un
máximo. En 3 , la función pasa de decreciente a creciente, por lo tanto, en 3 existe un mínimo.
X
Y
X
Y
Función simétrica respecto al eje de ordenadas Función simétrica respecto al origen

12. • Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Para estudiar la concavidad y convexidad debemos conocer la segunda derivada:
3
2 3
2 6
''( )
( 1)
x x
f x
x
+
=
−
La única raíz del numerador es 0. En el caso del denominador, las raíces son 1 y –1. Por tanto, el signo de
la 2.ª derivada es:
positivo en (–∞,–1) y (0,1)  en estos intervalos f(x) es cóncava;
negativo en (–1,0) y (1,∞)  en estos intervalos f(x) es convexa.
Se puede observar que en x = 0, la función tiene un punto de inflexión porque pasa de convexa a cóncava.
• Asíntotas
Para descubrir las asíntotas de una función deben comprobarse los límites de dicha función en +∞, −∞ y
en los puntos que no pertenecen al dominio. Además, debe comprobarse que sí tiene una asíntota oblicua.
En el ejemplo:
Asíntotas horizontales:
No tiene, ya que sus límites a +∞ y −∞ son infinitos.
Asíntotas verticales:
Deben estudiarse los límites en –1 y 1, que no pertenecen al dominio:
1
lim ( )
x
f x−
→−
= −∞
1
lim ( )
x
f x+
→−
= +∞
1
lim ( )
x
f x−
→
= −∞
1
lim ( )
x
f x+
→
= +∞
Por lo tanto, las rectas x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.
Asíntotas oblicuas:
Puede comprobarse que la recta y = x es una asíntota oblicua, ya que:
lim ( ) 0
x
f x x
→+∞
− =
lim ( ) 0
x
f x x
→−∞
− =
Con todos estos elementos, ya puede representarse la función manualmente:
En la actualidad, existen muchos programas de ordenador que permiten realizar la gráfica de la mayor
parte de las funciones tan sólo con escribir su expresión.
3−
−1
0
1 3
y = x
Y
X

13. Ejercicios
1. Dadas estas funciones:
2
2
4
8
)(
x
x
xf
−
=
)ln(
2
)(
x
x
xg = 23)( 3
+−= xxxh
a. ¿Cuál es su dominio?
b. Determina los puntos de corte con los ejes.
c. Calcula los máximos y los mínimos.
d. Calcula los puntos de inflexión.
e. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad.
g. Determina las asíntotas, si es que existen.
2. Al trasladar un espejo de 70 x 100 cm, se ha roto por uno de sus vértices, y se ha
hecho añicos un triángulo rectángulo de 6 x 9 cm. Calcula por dónde debe cortarse
este espejo para obtener otro espejo que también sea rectangular y que tenga la
mayor área posible.
100 cm 9 cm
x x
6 cm
70 cm
y

14. Soluciones
1.
2
2
4
8
)(
x
x
xf
−
=
a. El dominio contiene todos los puntos en que el denominador no es 0: 4 - x2
=
0. Por lo tanto, todos los reales excepto +2 i – 2.
b. (0,0)
c. Derivamos f(x):
f’(x) =
( ) ( )2222
22
4
64
4
)2(8)4(16
x
x
x
xxxx
−
=
−
−−−
y igualarla a 0. Solo cuando x = 0.
Se comprueba que f’’(0)>0. Por lo tanto, un mínimo. Un mínimo en (0,0)
d. No hay, porque no se cumple f’’(x) = 0.
e. Hay 4 zonas de crecimiento o decrecimiento:
Hasta –2: f’(x)<0,por lo tanto, decreciente.
de –2 a 0: f’(x)<0 por lo tanto, decreciente.
de 0 a 2: f’(x)>0, por lo tanto, creciente.
mayor que 2: f’(x)>0, por lo tanto creciente.
f. hasta –2: f’’(x)<0, función convexa
de –2 a +2: f’’(x)>0, función cóncava.
mayor que 2: f’’(x) < 0, función convexa.
g. 3 asíntotas: x =-2 , x = 2, y = -8

15. )ln(
2
)(
x
x
xg =
a. (0,1) U (1,+infinito)
b. No hay.
c. Derivamos la función:
g’(x) = (2ln(x) -2)/ln2
(x)
igualamos a 0.
Un mínimo en (e, 2e).
d. g’’(x) = 0 si x = e2
. Además, g’’’(x) no es 0. Por lo tanta, (e2
,e2
) punto de
inflexión.
e. de 0 a 1: g’(x)<0 función decreciente.
de 1 a e: g’(x)<0, función decreciente
mayor que e: f’(x)>0, función creciente.
f. de 0 a 1: g’’(x)<0 función convexa.
de 1 a e2
: g’’(x)>0, función cóncava.
mayor que e2
: g’’(x)<0, función convexa.
g. asíntota: x =1. Además, cuando x0, g(x) 0

16. 23)( 3
+−= xxxh
a. Todo R
b. (0,2),(-2,0),(1,0).
c. h’(x) = 3x2
- 3=0
En este caso x = +1 ó x = -1.
Calculamos la segunda derivada: h’’(x) = 6x.
Por lo tanto, un mínimo (1, 0) y un máximo en (-1,4).
d. h’’(x) = 6x = 0 si x = 0. Además, h’’’(x) no es 0. Por lo tanto, (0,2) es un
punto de inflexión.
e. hasta -1: h’(x)>0 función creciente.
de -1 a 1: h’(x)<0, función decreciente.
a partir de 1: h’(x)>0, función creciente.
f. hasta 0: h’’(x)<0 convexa.
a partir de 0: h’’(x)>0, cóncava.
g. La función no tiene asíntotas.
2.
100 cm 9 cm
x x
6 cm
70 cm
y

17. El área del nuevo espejo será (100 – y)(70 – x). Deberemos calcular el valor
de y en función de x, para eliminar una de las incógnitas. Si nos fijamos en
esta otra representación:
y
6-x
9
6
es evidente que
9
6 6
y
x
=
− , por lo tanto, y = 3/2 ·(6 – x)
Así pues, debemos maximizar
f(x) = (100 – y)(70 – x) = (100 – 3/2 · (6 – x))(70 – x)
es decir,
f(x)= 6370 + 14x – 3/2 x2
Buscamos ahora su derivada para hallar un máximo:
f’(x) = 14 – 3x
y buscamos f’(x) = 0

18. 14 – 3x = 0 → x = 14/3 cm
Ya que f’’(x) = -3 < 0 nos encontramos con un máximo. el valor de la y en
este punto es:
y = 3/2 ·(6 – x) = 3/2 (6 – 14/3) = 2 cm.
Así, pues, el espejo recortado de área máxima medirá 100 – 2 = 98 cm por
70 – 14/3 = 65,33 cm