Series de Taylor, Series de Maclaurin.

1. FACULTAD DE INGENIERIA ELÉCTRICA
Autor: Francisco Arias Zambrano

2.  La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemático más
importante para comprender, manejar y formular métodos numéricos
que se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios.
 Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos
numéricos se basan en la aproximación de funciones por medio de
polinomios.
 La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de
potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la
función en la vecindad de un punto dado.

3.  Es una representación o una aproximación de una función
como suma de términos calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto.
 La serie de Taylor es una función real infinitamente
diferenciable.
EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
Donde 𝑋𝑜 es el centro.

4.  Derivar la función f(x) varias veces y evaluar las derivadas en c
f(a),f’(a),f’’(a)… fn’(a).
 Usar esa secuencia para formar los polinomios de Taylor.
𝒂 𝒏 =
𝒇 𝒏(𝒄)
𝒏!
; determinar el intervalo de convergencia sobre la serie
resultante.
𝒇 𝒏 = 𝒇 𝒄 + 𝒇′
𝒄 𝒙 − 𝒄 +
𝒇′′(𝒄)
𝟐!
𝒙 − 𝒄 ²+ …. +
𝒇 𝒏(𝒄)
𝒏!
𝒙 − 𝒄 𝒏
 Comprobar si en ese intervalo la serie converge.

5. Si la función f(x) tiene derivadas de todos los
ordenes x=c, donde está centrada en un punto c
de conoce como serie de Taylor.
Si el punto c=0 por simplificación, esta se
denomina como serie Mc’laurin de f(x).

6. Dado: 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 1
 Se diferencia n veces. (de esto depende su aproximación).
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
= 𝑥−1
𝑓′′(𝑥) = −𝑥−2
𝑓′′′(𝑥) = 2𝑥−3
𝑓′4
= −6𝑥−4
 Evaluamos cada diferencial respecto al centro.
𝑓′(𝑥) = 0
𝑓′′
𝑥 = −1
𝑓′′′(𝑥) = 2
𝑓′4(𝑥) = −6
 Se arma el polinomio resultante:
𝑳𝒏 𝟏 ~𝟎 +
𝟏
𝟏!
𝒙 − 𝟏 +
−𝟏
𝟐!
𝒙 − 𝟏 𝟐 +
𝟐
𝟑!
(𝒙 − 𝟏) 𝟑−
𝟔
𝟒!
𝒙 − 𝟏
𝟒
…