2. Probabilidad Binomial
Se extrae varios
componentes de una
población y contar el
numero de elementos
defectuosos, esto implica
que se deben hacer varios
ensayos Bernoulli,
depende del núm. de
éxitos que tenga sabremos
si es una variable aleatoria FORMULA
X Bin(n, p)
P= Cada ensayo tiene la
misma probabilidad de éxito
X es el número de éxitos en los
n ensayos
3. Ejemplo binomial
Una gran compañía industrial hace un
descuento en cualquier factura que se pague
en un lapso de 30 días. De todas las facturas,
10% recibió el descuento. En una auditoría de la
compañía se seleccionó aleatoriamente 12
facturas. ¿Cuál es la probabilidad de que menos
de cuatro de las 12 facturas de la muestra
tengan descuento?
4. Ejemplo binomial
Se lanza al aire diez veces una
moneda. Sea X el número de
caras que aparecen. ¿Cuál es la
distribución de X?
5. Ejemplo binomial
Un lote contiene varios miles de componentes, de
éstos 10% están defectuosos. Se extraen siete
componentes de la población. Sea X el número de
componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál es
la distribución de X?
6. Problema binomial
La última novela de un autor ha tenido un
gran éxito, hasta el punto de que el 80%
de los lectores ya la han leído. Un grupo
de 4 amigos son aficionados a la lectura
¿Cuál es la probabilidad de que en el
grupo hayan leído la novela 2 personas?
Solución
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
P(x=2) = 4
2
0.082
.0.22
=
4.3
2
.0.64. 0.04=0.1536
Se lanza una moneda cuatro veces.
Calcular la probabilidad de que salgan
más caras que cruce
Solución
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)
= 4
3
0.53-0.5+0.54=0.3125
7. Problema binomial
Un agente de seguros vende pólizas a
cinco personas de la misma edad y que
disfrutan de buena salud. Según las tablas
actuales, la probabilidad de que una
persona en estas condiciones viva 30 años
o más es 2/3. Hállese la probabilidad de
que, transcurridos 30 años, vivan ¿Las cinco
personas?}
Solucion:
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
P= 𝑥 = 5 = 5
5
2
3
=0.132
Si de seis a siete de la tarde se admite que
un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de
que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen
dos?
solución
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
P(x=2)= 10
2
12
5
. 4
5
8=0.3020
8. Problema binomial
La probabilidad de que un hombre acierte
en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces
¿cuál es la probabilidad de que acierte
exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es
la probabilidad de que acierte por lo
menos en una ocasión?
Solución
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
P(x=3)= 10
3
1
4
3. 3
4
7 = 0.25
P(al menos uno)=1- 10
0
1
4
0. 3
4
10 = 0.9437
9. Probabilidad Bernoulli
Es un experimento al cual se le llama
‘éxito’ o ‘fracaso’ y la probabilidad
del ‘éxito’ se denota con P, la
probabilidad del fracaso se denota 1-
P
Formula
X Bernoulli(p).
P 𝑥 = 0 =
10. Ejemplo Bernoulli
Cuando se lanza al aire una
moneda hay una probabilidad de
0.5 de que caiga en “cara”. Sea X
1 si la moneda cae en “cara” y X 0
si cae en “cruz”. ¿Cuál es la
distribución de X?
11. Cuando se lanza un dado hay una
probabilidad de 1/6 de que salga 6.
Sea X 1 si el dado seis y X 0 en
cualquier otro caso. ¿Cuál es la
distribución de X?
Ejemplo Bernoulli
12. Ejemplo Bernoulli
Diez por ciento de los componentes
fabricados mediante determinado
proceso está defectuoso. Se
selecciona un componente
aleatoriamente. Sea X 1 si el
componente está defectuoso y X 0
en cualquier otro caso. ¿Cuál es la
distribución de X?
13. Problema Bernoulli
Un jugador de basquetbol esta a punto de
tirar hacia la parte superior del tablero. La
probabilidad de que anote el tiro es de
0.55. Si anota el tiro, su equipo obtiene 2
puntos . Si lo falla su equipo no recibe
puntos. Sea Y el número de puntos
anotados ¿tiene una probabilidad de
Bernoulli? Si es así, encuentre la
probabilidad de éxito. Si no explique.
Determine la media y varianza de Y
Solución
Media Px=(0)(1-0.55)+(1)(0.55)= PX=0.55
Varianza V2M=(0-0.55)2 (0.55)(0-0.55)2
(0.45)=
V2X =0.2475
No, una variable aleatoria de Bernoulli
tiene valores positivos de 0 y 1 mientras
que los valores de Y son 0 y 2.
X P XP
1 0.55 1.1 0 0.45 0
(Y-M) 2 *P (2-1.1) 2 (0.55)(0-1.1) 2 (0.45)= 0.99
14. Problema Bernoulli
En un restaurante de comida rápida.25%de las
órdenes para beber es una bebida pequeña, 35%una
mediana y 40% una grande. Sea X=1 si escoge
aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y
sea X=0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si la orden
de la bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso
sea Z =1 si la orden es una bebida pequeña o media y
Z =0 para cualquier otro caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X.
Determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y. Determine
PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. Determine
PZ
¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
¿Es Z=X+Y? explique
Solución
PX=(0)(1-0.25)+(1)(0.25)= 0.25
PY=(0)(1-0.35)+(1)(0.35)= 0.35
PZ=(0)(1-0.40)+(1)(0.40)= 0.40
Si
No
No porque los valores son totalmente distintos
15. Problema Bernoulli
Cuando se aplica cierto barniz a una
superficie de cerámica 5%es la probabilidad
de que se decolore a no agriete, o ambas.
Sean X= 1 si se produce una decoloración y X
=0 en cualquier otro caso Y=1 si hay alguna
grieta y Y=0 en cualquier otro caso Z=1 si hay
decoloración o grieta o ambas y Z =0 en
cualquier otro caso
Sea PX la probabilidad de éxito de X.
Determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y.
Determine PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z.
Determine PZ
Solución
PX=(0)(1-0.05)+(1)(0.05)= 0.05
PY=(0)(1-0.20)+(1)(0.20)= 0.20
PZ=(0)(1-0.23)+(1)(0.23)= 0.23
16. Problema Bernoulli
Se lanzan al aire una moneda de 1 y 5
centavos. Sea X=1 si sale “cara “en la
moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier
otro caso. Sea Y=1 si sale “cara” en la
moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier
caso. Sea Z =1 si sale “cara” en ambas
monedas y Z = 0 en cualquier otro caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X.
Determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y.
Determine PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z.
Determine PZ
Solución
PX= ½
PY= ½
PZ = ¼
17. Se lanzan dos dodos. Sea X=1 si sale el
mismo número en ambos y X=0 en cualquier
otro caso. Sea Y=1 si la suma es 6 y Y=0 en
cualquier caso. Sea Z =1 si sale el mismo
número en los dados y ambos sumen 6 y Z =
0 en cualquier otro caso.
Sea PX la probabilidad de éxito de X.
Determine PX
Sea PY la probabilidad de éxito de Y.
Determine PY
Sea PZ la probabilidad de éxito de Z.
Determine PZ
Solución
PX= 2/12
PY= 3/12
PZ= 1/12
18. Probabilidad Poisson
Esta distribución es una de las más importantes
distribuciones de variable discreta. Sus principales
aplicaciones hacen referencia a la modelización de
situaciones en las que nos interesa determinar el
número de hechos de cierto tipo que se pueden producir
en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo
presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias
restrictivas.
Es una distribución continua Formula
𝒑 𝒙, 𝝀 =
𝝀 𝒙 𝜺−𝝀
𝒙!
19. Ejemplo Poisson
En una maquila hay de defectos de una tela
por m2
de aviones que aterrizan en un aeropuerto
por día, hora, minuto, etc. etc.
de llamadas telefónicas a un conmutador por
hora, minuto, etc.
20. Problema de poisson
Si un banco recibe en promedio 6 cheques
sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro
cheques sin fondo en un día dado? Solución:
a) 𝑥= variable que nos define el número de
cheques sin fondo que llegan al banco en
un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.
𝜆 = 6 cheques sin fondo por día
𝜀 = 2.718
𝑝 𝑥 = 4, 𝜆 = 6 =
𝟔 𝟒 𝟐.𝟕𝟏𝟖 −𝟔
𝟒!
=
𝟏𝟐𝟗𝟔 𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟒𝟖
𝟐𝟒
=
0.13392
21. Problema de poisson
En la inspección de hojalata producida por un
proceso electrolítico continuo, se identifican
0.2 imperfecciones en promedio por minuto.
Determine las probabilidades de identificar a)
una imperfección en 3 minutos
Solución:
a) 𝑥= variable que nos define el número de
imperfecciones en la hojalata por cada 3
minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
𝜆= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por
cada 3 minutos en la hojalata
𝑝 𝑥 = 1𝜆 = 0.6 =
𝟎.𝟔 𝟏 𝟐.𝟕𝟏𝟖 −𝟎.𝟔
𝟏!
=
𝟎.𝟔 𝟎.𝟓𝟒𝟖𝟖𝟒𝟓
𝟏
= 0.329307
22. Problema de poisson
Sea X una variable aleatoria que tiene
distribución de Poisson con promedio 2 (l=2).
Calcular:
P(x = 4) b) P≥(x4) c) P(x<4)
a) Utilizando las propiedades de la función
de distribución acumulada podemos
establecer que:
P(x = 4) = P(3< x £≤4) = F(4, 2) - F(3, 2) = 0.9473 -
0.8571 = 0.0902
b) P(x≥4) = 1 – P(x≤3) = 1 - F(3, 2) = 1 -
0.8571 = 0.1429
c) P(x<4) = P(x≤3) = F(3, 2) = 0.8571
23. Problema de poisson
Un entomólogo examina una planta de
algodón y cuenta el número de huevecillos
de un insecto por planta. De estudios
anteriores se sabe que bajo las condiciones
del experimento el número de huevecillos
por planta puede representarse por una
distribución de Poisson con l = 0.9. Si se
selecciona una planta al azar, calcular la
probabilidad de que se encuentren cuando
mucho 3 huevecillos.
Solución.
Las probabilidades de que el entomólogo
encuentre 0, 1, 2, 3, huevecillos por planta son
24. DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Es una distribución continua que algunas
veces se utiliza para modelar el tiempo que
transcurre antes de que ocurra un evento. A
menudo, aquel se le llama tiempo de espera.
En algunas ocasiones la distribución
exponencial se utiliza para modelar el tiempo
de vida de un componente. A si mismo, hay
una relación cercana entre la distribución
exponencial y la distribución de Poisson
La función de densidad de la probabilidad
de la distribución exponencial con parámetro
𝜆 > 0 𝑒𝑠
𝑓 𝑥 = 𝜆𝑒−𝜆𝑒
0
𝑥 > 0
𝑥 ≤ 0
25. Ejemplo Exponencial
El tiempo durante el cual cierta marca de
batería trabaja en forma efectiva hasta
que falle (tiempo de falla) se distribuye
según el modelo exponencial con un
tiempo promedio de fallas igual a 360 días.
a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de
falla sea mayor que 400 días?.
Suponga que el tiempo que necesita un
cajero de un banco para atender a un cliente
tiene un distribución exponencial con una
media de 40 segundos.
a) Hallar la probabilidad que el tiempo
necesario para atender un cliente dado sea
mayor que 20 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo
necesario para atender a un cliente esté
comprendido entre 1 y 2 minutos.
26. Ejemplo Exponencial
en la tienda departamental el tiempo
promedio de espera para ser atenido en
cajas al pagar la mercancía es de 7 minutos
determina la probabilidad de que:
a) un cliente espere menos de 4 minutos
b) un cliente espera mas de 9 minutos
27. Problemas Exponenciales
Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de atención al publico
para ser atenidos por un asesor es una variable aleatoria exponencial con 𝜇 = 5 minutos.
Encuentre que la probabilidad de la persona que llama al azar en un momento dado tenga
que esperar
𝑓 𝑥 =
1
5
𝑒−
𝑥
5 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒−
𝑥
5
A) a lo sumo 5 minutos 𝑝 𝑥 ≤ 5 = 𝑓 5 = 1 − 𝑒−1
= 1 − 0.3679 = 0.6321
B) al menos 10 minutos 𝑝 𝑥 ≥ 10 = 1 − 𝑓 10 = 1 − 1 − 𝑒−2 = 𝑒−2 = 0.1353
C) entre 3 y 10 minutos 𝑝 3 < 𝑥 < 10 − 𝑓 10 − 𝑓 3 = 1 − 𝑒−2
− 1 − 𝑒−0.6
= 𝑒−0.6
− 𝑒−2
=
0.4135
28. Problemas Exponenciales
Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene un
distribución exponencial con una media de 40 segundos.
a) Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que
20 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un cliente esté
comprendido entre 1 y 2 minutos.
Solución
Sea X la variable aleatoria definida por X(w))=intervalo necesario para atender a un cliente
𝜇 =
1
𝛽
= 40 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 =
40
60
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 =
2
3
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
De donde 𝛽 =
3
2
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑢𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠:
29. Problemas Exponenciales
en la tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser atenido en cajas al pagar
la mercancía es de 7 minutos determina la probabilidad de que:
a) un cliente espere menos de 4 minutos
b) un cliente espera mas de 9 minutos
𝜆 = 0.142857142 𝜆 = 1/7 =0.142857142 k=4
𝑝 𝑥 ≤ 4 = 1 − 2.71823−0.571428571
= 0.435275724
𝜆 = 0.142857142 𝑘 = 9
𝑝 𝑥 ≥ 9 = 2.71823−1.285714278 = 0.276459825 = 27.64%
30. Problemas Exponenciales
.- El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle
(tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas
igual a 360 días.
a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 días?.
Solución
Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360
días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su función de densidad es:
𝑓 𝑥 =
1
360
𝑒
−
𝑥
360 , 0 ≤ 𝑥 < ∞
𝑝 𝑥 > 400 = 𝑒−400/360
= 0.329
31. Problemas Exponenciales
supongamos que el tiempo de respuesta X en cierta terminal de computadoras en línea ( el tiempo
transcurrido entre el fin dela consulta del usuario y el principio de la respuesta del sistema a esa
consulta) tiene una distribución exponencial con tiempo esperado de respuesta igual de 5 seg cual
es el tiempo de probabilidad de que el tiempo de respuesta sea a lo sumo de 10 seg?
E(x)=
1
5
𝜆 = 0.2 su medida
Distribución acumulada
𝑓 𝑥 = 1𝑒−
0.2 ∗ 10 = 0.865
𝑝 𝑥 ≤ 10 = 𝑓 10 = 0.86
𝑝 5 ≤ 𝑥 ≤ 10 = 𝑓 10 − 𝑓 5 = 81 − 𝑒−1
(1-𝑒−1
= 0.233
Probabilidad y respuesta entre 5 y 10 seg
