Este documento describe diferentes tipos de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas y continuas. Para variables discretas, describe las distribuciones de Bernoulli, binomial y Poisson. Para variables continuas, describe las distribuciones uniforme, normal y chi-cuadrado, incluyendo sus funciones de densidad de probabilidad y parámetros clave. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada tipo de distribución.

2. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS Y
CONTINUAS

3. I.- DISTRIBUCIONES DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS:
Las distribuciones discretas son aquellas en las que la
variable puede tomar un número determinado de
valores:
Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir
cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número
de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un
valor del 1 al 32.

4. A.- BERNOUILLI
Es aquel modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede
tener dos soluciones: acierto o fracaso.
Cuando es acierto la variable toma el valor 1
Cuando es fracaso la variable toma el valor 0
p + q = 1
*EJEMPLO 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:
Probabilidad de que salga cara: p = 0,5
Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5
p + q = 0,5 + 0,5 = 1
Donde:

5. B.- BINOMIAL:
La distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:
Se basa en los ensayos de Bernoulli, es decir en el éxito y en el fracaso.
La función de probabilidad de la variable aleatoria binomial con parámetros P y n; esta dado de la siguiente
manera:
Dónde: E[x]=np
V[x]=npq
EJEMPLO 1:
1.-si x tiene una distribución binomial con parámetros p,n talque su esperanza matemática es de 3 y su
varianza 2.4.
-B (n,p)
-E[x] = 3
-V[x] = 2.4
¿Calcular cuando la probabilidad de P [x=2] , P[x>2] , P[3<x≤5]?

6. Solución :
a) V[x]=2.4 b) q=1-p c) E(x)= np
V[x]=npq p+q=1 3=n(0.2)
V[x]=E[x]q p+0,8=1 15=n
2.4 = 3q p=0,2
q = 0.8
 P[x=2] =
15!
2! 15−2 !
(0.2)2
(0.8)13
= 0.23
 P[x>2] = 1- p[x≤2]
=1-[ p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) ]
=1- [
15!
0! 15−0 !
(0.2)0 (0.8)15 +
15!
1! 15−1 !
(0.2)1(0.8)14+ 0.23
= 1- [0.035 + 0.1319 + 0.23] = 0.6031
 P[3<x≤5] = p[x=4] + p[x=5]
=
15!
4! 15−4 !
(0.2)4 (0.8)11+
15!
5! 15−5 !
(0.2)5 (0.8)10
= 0.1876 +0.1032 = 0.2908

7. C.- POISSON:
Se dice que la variable aleatoria discreta X cuyos valores posibles son: de 0,
1,2…etc, tienen distribución de Poisson con parámetros λ (λ>0) y se
escribe que x~p(λ) su función de probabilidad está dada de la siguiente
manera:
Dónde: X = 0, 1,2…
E[x] = λ
V[X] = λ
λ = np

8. *EJEMPLO 1:
1.- un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 3 bacterias. Calcular la probabilidad de que en
una muestra:
a) de 1/3 cm3 no contenga bacteria alguna.
b) de 2 cm3 contenga por lo menos una bacteria.
Solución: n=3
 P[x≥1]=1- P[x<1]
= 1-[p(x=0)]
=1 -
𝑒−6 ∗ 60
0!
= 0.9975

9. II.-DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS:
Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de
posibles soluciones:
Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos
valores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42,376541kg, etc); la
esperanza media de vida de una población (72,5 años, 72,513 años, 72,51234
años).
A.- UNIFORME O RECTANGULAR:
Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo,
todos ellos con la misma probabilidad.

10.  Se dice que la variable aleatoria continua X tiene una distribución
uniforme en el intervalo de números reales[a,b], a<b y se describe
por X~ U[a,b], si su función de densidad de probabilidad es:

11.  La gráfica de la función de densidad:
 La gráfica de distribución acumulativa
uniforme:

12. TEOREMA:
Si l variable aleatoria X tiene distribución uniforme en el intervalo [a,b] entonces:
a) Su media es: 𝐸 𝑋 =
𝑎+𝑏
2
b) Su varianza es , Var(X) =
(𝑏−𝑎)2
12
EJEMPLO 1:
El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre
400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media
esperada:
b: es el extremo superior (en el ejemplo, 500 litros)
a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 400 litros)

13. Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y 401 litros tiene un 1% de
probabilidades; que esté entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.
El valor medio esperado es:
Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el próximo año
es de 450 litros.

14. B.- NORMAL:
Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una
campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio
de la distribución:
Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda
Esta distribución viene definida por dos parámetros: 𝜇 𝑦 𝜎2
y se denota por : X ~ N (𝜇 , 𝜎2
)
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
∗ 𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
FÓRMULA
Donde:
* 𝝁 : Es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).
* 𝝈 𝟐: es la varianza. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están
próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy dispersos.

15. C.- CHI-CUADRADO:
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución chi-cuadrado
con r grados de libertad y se denota por X ~ 𝑋2 (r), si su función de
densidad es:

16. Donde r es un número positivo. Su gráfica, para distintos valores de los grados de libertad
se muestran en la siguiente figura:
Gráfica de la distribución Chi-cuadrado
NOTA:
Si X~𝑋2( r ), esto es, si X ~ r (r/2 , ½), entonces,
a) Su media es µ=r
b) Su varianza es 𝜎2
= 2𝑟

17. EJEMPLO 1:
Si X~𝑋2( 26 ), obtenga:
a) P[X≤17.29]
b)P[X≥38.89]
c) P[13.84≤X≤45.64]
d)P[X≤40]
Solución:
 Aplicando la tabla del chi-cuadrado se tiene que
a) P[X≤17.29] = 0,10
b)P[X≥38.89] = 1-0.95 = 0,05
c) P[13.84≤X≤45.64] = 0,99 – 0,025 = 0,965
d)P[X≤40] ≅ 0.950 que corresponde al valor 38.89 , el más cercano a 40.