El documento presenta varios problemas de distribuciones de probabilidad como Bernoulli, binomial y resuelve ejercicios sobre ellas. En el primer problema, se calcula la probabilidad de que un jugador anote un tiro de basquetbol. En el segundo, se analizan las probabilidades de pedir diferentes tamaños de bebidas en un restaurante. En el tercero, se calculan probabilidades sobre defectos en un barniz.

1. Un jugador de basquetbolestá a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.
La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55
a) Sea X= 1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la
varianza de X.
Probabilidad de anotar: 0.55
X=1 SI ANOTA
X=0 SI FALLA
µ= ¿? EVENTOS PROBABILIDAD
ợ=? 1 0.55 (P)=1(0.55)=0.55
0 0.45 (1-P)=0(.45)=0
(0.55)=0.111375
(.45)=0.136125
0.2475
µ= .55
ợ=.2475
b) Si anota el tiro, el equipo obtiene dos puntos; si lo falla, el equipo no recibe
puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿tiene una distribución de
Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique
porque.
No es distribución Bernoulli porque los eventos son 2- 0 y solo puede ser 1-0
c) Determine la media y la varianza de Y.
ợ= (2-1.1) ^2(.55)=.4455
(0-1.1) ^2(.45)=.5445 se suman ambos resultados y resulta una
varianza de .99
En Bernoulli la media siempre va a ser la probabilidad de que ocurra tal evento
en éxito por tanto:µ=.55 ợ= p (rp)= .55 (1-.55)=.2475

2. PROBLEMA NUMERO 2 PAG 194 DISTRIBUCIÓN BERNOULLI
En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una
bebida pequeña, 35% de una mediana y 40% una grande. Sea X = 1 si se
escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X= 0 en cualquier
otro caso. Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y = 0 en cualquier
otro caso. Sea Z= 0 si la orden es una bebida grande y Z= 1 en cualquier otro
caso.
X=1 PEQUEÑA Y=1 MEDIANA Z=1 PEQUEÑA O
MEDIANA
X=0 GRANDE O MEDIANA Y=0 PEQUEÑA O GRANDE Z=0 GRANDE
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px.
25% PEQUEÑA
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py.
35% MEDIANA
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz.
40% GRANDE
EVENTO PROBABILIDAD RESPUESTA
X=1 .25 (P)=1(.25)=.25
X=0 .75 (1-P)=0(.75)=0
Y=1 .35 .35
Y=0 .65 0
Z=1 .60 .40
Z=0 .40 0
A) .25
B) .35
C) .40
d) ¿es posible que X y Y sean iguales?
No es posible porque en el ticket no pueden salir dos bebidas (pequeña o
mediana) y en el experimento no es posible ya que la distribución Bernoulli solo
puede lograrse con dos posibles resultados: 1 y 0.
e) ¿es Pz = Px + Py?
Si por que la suma de. 25 y .35 ( X y Y) es .60 (Z)

3. PROBLEMA NUMERO 3 BERNOULLI PAG. 195
Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es la probabilidad
de que se decolore, 20% de que se agriete y 23 % de que se decolore o no se
agriete, o ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro
caso; Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso; Z=1 si hay
decoloración o grieta, o ambas, y Z= 0 en cualquier otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px.
5% posibilidad de decoloración.
EVENTO: PROBABILIDAD
1 .05 (P)=1(.05)=.05 A).05
0 .95 (1-P)=0(.95)=0
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py.
20% posibilidad de que se agriete.
EVENTO: PROBABILIDAD
1 .20 (P)=1(.20)=.20 B).20
0 .80 (1-P)=0(.80)=0
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz.
23% de decoloración o agriete.
EVENTO: PROBABILIDAD
1 .23 (P)=1(.23)=.23
0 .72 (1-P)=0(.72)=0
C).23
d) ¿es posible que X y Y sean igual a 1?
Si porque el experimento Bernoulli si permite que tanto un evento pueda
salirme uno como otro también pueda salir.
e) ¿es Pz= Px+Py?
No porque la suma entre .20 y .05 es .25 y Pz = .23.

4. Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X=1 si sale “cara” en la
moneda de 1 centavo y X= 0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si sale “cara” en la
moneda de 5 centavos y Y =0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale “cara” en
ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso.
A) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px.
EVENTO PROBABILIDAD
1 .50 (1)=.50 A).50
0 .50 (0)=0
B) Sea Py la probabilidad de éxito de X. determine Py.
EVENTO PROBABILIDAD
1 .50 (1)=.50 B).50
0 .50 (0)=0
C) Sea Pz la probabilidad de éxito de X. determine Pz.
De que salgan ambas caras una en cada moneda.
EVENTO PROBABILIDAD
1 .25 (1)=.25 C).25
0 .50 (0)=0
D) ¿son X y E independientes?
Si, porque al efectuar el experimento no dependen ambos resultados. Esto quiere
decir que no porque haya sacado cara en la moneda de 1 centavo significa que
obtendré cara en la moneda de 5 centavos cuando la lance. Ambos tienen las
mismas posibilidades de ser lo contrario.
E) ¿Es Pz =PxPy?
No porque Pz= .50 y PxPy =.25. Por lo cual no son semejantes.
F) Es Z=XY? Explique. Si, si ambas monedas salen “caras”, entonces X=1,
Y=1 y Z=XY. Si no, entonces Z=0, y ya sea X, Y, o ambas, también son
iguales a 0, por lo que nuevamente Z= XY.

5. DISTRIBUCION BINOMIAL EJERCICIO 1 PAGINA 204
Bin (8,0.4). Determine.
8 ENSAYOS P=0.4 PROBABILIDAD
0 P(X=0)= (8nCr0).4ˆ0 (1-.4) ˆ8-0 0.016296
1 P(X=1)=(8nCr1).4ˆ1(1-.4)ˆ8-1 0.08957952
2 P(X=2)=(8nCr2).4ˆ2(1-.4)ˆ8-2 0.20901888
3 P(X=3)=(8nCr3).4ˆ3(1-.4)ˆ8-3 0.27869184
4 P(X=4)=(8nCr4).4ˆ4(1-.4)ˆ8-4 0.2322432
5 P(X=5)=(8nCr5).4ˆ5(1-.4)ˆ8-5 0.12386304
6 P(X=6)=(8nCr6).4ˆ6(1-.4)ˆ8-6 0.04128768
7 P(X=7)=(8nCr7).4ˆ7(1-.4)ˆ8-7 0.00786432
8 P(X=8)=(8nCr8).4ˆ8(1-.4)ˆ8-8 0.000011007
La suma entre los datos de la columna de probabilidad siempre debe responder a
1. En este caso la suma entre ellos es: 0.998855487, que es un aproximado a 1
por los valores decimales que tomamos. De acuerdo a los datos de la tabla ya
podemos obtener lo siguiente:
a) P(X=2) =.20901888
b) P(X=4)= .2322432
c) P(X˂2) la suma entre (X=0) y (X=1)= .10587552
=
d) P(X˂6) la suma entren (X=7) y (X=8)= .007875327
=
e) µX= 0.4(8)=np=3.2
f) ợ=np(1-p)=1.92

6. EJERCICIO 2 BINOMIAL. PAGINA 204
a) Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la
cual 10% de los elementos esta defectuoso.
ENSAYOS P=.10 PROBABILIDAD
0 P(X=0)=(5nCr0).10ˆ0(1-.10)ˆ5-0 0.59049
1 P(X=1)=(5nCr1).10ˆ1(1-.10)ˆ5-1 0.32805
2 P(X=2)=(5nCr2).10ˆ2(1-.10)ˆ5-2 0.0729
3 P(X=3)=(5nCr3).10ˆ3(1-.10)ˆ5-3 0.0081
4 P(X=4)=(5nCr4).10ˆ4(1-.10)ˆ5-4 0.00045
5 P(X=5)=(5nCr5).10ˆ5(1-.10)ˆ5-5 0.00001
∑=1
a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la
muestra este defectuoso. = 0.59049
b) Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectos. =
0.32805
c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la
muestra estén defectuosos. = restar a 1 la probabilidad de cero
defectos= 0.40951
d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la
muestra tenga defectos. = sumar X=0 Y X=1= 0.91854

7. PROBLEMA NUMERO 3 BINOMIAL PAG. 204
Se lanza al aire una moneda diez veces.
ENSAYOS P=.50 PROBABILIDAD
0 P(X=0)=(10nCr0)0.50ˆ0(1-.50)ˆ10-0 0.000976562
1 P(X=1)=(10nCr1)0.50ˆ1(1-.50)ˆ10-1 0.009765625
2 P(X=2)=(10nCr2)0.50ˆ2(1-.50)ˆ10-2 0.043945312
3 P(X=3)=(10nCr3)0.50ˆ3(1-.50)ˆ10-3 0.1171875
4 P(X=4)=(10nCr4)0.50ˆ4(1-.50)ˆ10-4 0.205078125
5 P(X=5)=(10nCr5)0.50ˆ5(1-.50)ˆ10-5 0.24609375
6 P(X=6)=(10nCr6)0.50ˆ6(1-.50)ˆ10-6 0.205078125
7 P(X=7)=(10nCr7)0.50ˆ7(1-.50)ˆ10-7 0.1171875
8 P(X=8)=(10nCr8)0.50ˆ8(1-.50)ˆ10-8 0.043945312
9 P(X=9)=(10nCr9)0.50ˆ9(1-.50)ˆ10-9 0.009765625
10 P(X=10)=(10nCr10)0.50ˆ10(1-.50)ˆ10-10 0.000976562
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?
=0.1171875
b) Determine la media del número de caras obtenidas.=µ=np=5
c) Determine la varianza del número de caras obtenidas. =ợ=np(1-
p)=(10)(.50)(1-.50)=5*.5=2.5
d) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas.=√ợ=
1.58113883

8. EJERCICIO NÚMERO 4 BINOMIAL PÁGINA 204
En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección.
Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil.
EVENTOS P=.05 PROBABILIDAD
0 P(X=0)=(4nCr0)0.05ˆ0(1-.05)ˆ4-0 0.81450625
1 P(X=1)=(4nCr1)0.05ˆ1(1-.05)ˆ4-1 0.171475
2 P(X=2)=(4nCr2)0.05ˆ2(1-.05)ˆ4-2 0.0135375
3 P(X=3)=(4nCr3)0.05ˆ3(1-.05)ˆ4-3 0.000475
4 P(X=4)=(4nCr4)0.05ˆ4(1-.05)ˆ4-4 0.00000625
∑= 1
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga
imperfección? = 0.81450625
b) ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las llantas tenga
imperfección?= 0.171475
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más llantas tenga imperfección?
= 0.18549375

9. EJERCICIO 5 BINOMIAL PÁGINA 204
En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit
tiene la misma posibilidad de ser 0 y 1. Suponga que los valores de los bits son
independientes.
ENSAYOS P=.50 PROBABILIDAD
0 P(X=0)= (8nCr0).50ˆ0 (1-.50) ˆ8-0 .00390625
1 P(X=1)=(8nCr1).50ˆ1(1-.50)ˆ8-1 .03125
2 P(X=2)=(8nCr2).50ˆ2(1-.50)ˆ8-2 .109375
3 P(X=3)=(8nCr3).50ˆ3(1-.50)ˆ8-3 .21875
4 P(X=4)=(8nCr4).50ˆ4(1-.50)ˆ8-4 .2734375
5 P(X=5)=(8nCr5).50ˆ5(1-.50)ˆ8-5 .21875
6 P(X=6)=(8nCr6).50ˆ6(1-.50)ˆ8-6 .109375
7 P(X=7)=(8nCr7).50ˆ7(1-.50)ˆ8-7 .03125
8 P(X=8)=(8nCr8).50ˆ8(1-.50)ˆ8-8 .00390625
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?= .00390625
b) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean
1?=.218755
c) ¿ cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1?=.1445
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?=.9648

10. EJERCICIO 1 POISSON PÁGINA 218
Poisson (4). Determine.
a) P(X=1)= p(x) =P(X=x)= eˆ-ƛ (ƛ ˂/x ) x=entero no negativo
˂
P(X=1)=℮ˆ-4(4ˆ1/1˂ )=0.073262555
b) P(X=0) =℮ˆ-4(4ˆ0/0˂ = 0.018315638
)
c) P (X˂2)= P (X˂2)=P(X=0)+P(X=1)=0.091578193
d) P (X˂1) P(X˂1)=1
= -P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-(eˆ-4(4ˆ0/0˂)+eˆ-
4(4ˆ1/1˂)=1-(0.018315638+0.073262555)=0.908421807
e) µ˂=4
f) ợ˂=2

11. EJERCICIO 2 PÁGINA 218 POISSON
La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por
completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de
partículas que son retiradas. Determine.
a) P(X=5)
Poisson (3)
P(X=5)= eˆ-3(3ˆ2/5˂ 0.00373403
)=
b) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= eˆ-3(3ˆ0/0˂ eˆ-3(3ˆ1/1˂ eˆ-
)+ )+
3(3ˆ2/5˂)=
0.049787068+0.149361205+0.224041807= 0.42319008
c) P(X˂1)=1 -P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-(eˆ-3(3ˆ0/0˂)+eˆ-3(3ˆ1/1˂)=1-
(0.049787068+0.149361205)=0.800851727
d) µ˂=3
e) σ˂=3

12. EJERCICIO 3 POISSON PÁGINA 218.
Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso
tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número de
contenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este defecto.
Determine.
0.03% DE 10000
Si 10000-100%
X-0.03% =3
a) P(X=3) = eˆ-3(3ˆ3/3˂)=0.224041807
b) P(X≤2) = P(X=0)+(PX=1)+P(X=2)= eˆ-3(3ˆ0/0˂)+eˆ-3(3ˆ1/1˂)+eˆ-
3(3ˆ2/2˂)=0.049787068+.149361205+.224041807=.42319008
c) P(1≤X˂4) P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=
=
P(X=0) =0.049787068+
P(X=1) = 0.149361205+
P(X=2) = 0.224041807+
P(X=3) = 0.224041807+
P(X=4) =eˆ-3(3ˆ4/4˂ = 0.168031355=
)
0.815263242
d) µ˂=3
e) σ˂ =1.73

13. EJERCICIO 4 POISSON PÁGINA 218
Uno de cada 5000 individuos en una población porta cierto gen defectuoso. Se
estudia una muestra aleatoria de 1000 individuos.
1 de cada 5000= 5 de cada 1000= muestra.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los individuos de la muestra
porte el gen?
Poisson (5) P=(X=1) =eˆ-5(5ˆ1/1˂ = 0.033689735
)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea portador?
P(X=0)= eˆ-5(5ˆ0/0˂ 0.006737946
)=
c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos individuos porte el gen?
P (X˂2)=1 (X≤2)=1[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]= 1-(eˆ-5(5ˆ0/0˂
-P )+eˆ-
5(5ˆ1/1˂)+eˆ-5(5ˆ2/2˂ 1-(0.033689735+0.006737946+0.084224337)= 1-
)=
0.124652018= 0.875347981.
d) ¿Cuál es la media del número de individuos de la muestra que porta el
gen?
µ= 5
e) ¿Cuál es la desviación estándar del número de individuos portadores de
gen?
√σ= 2.236067978

14. EJERCICIO 5 POISSON PÁGINA 218.
El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una
variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.
µ= poisson= 8
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciban cinco mensajes en una hora?
P(X=5) = eˆ-8(8ˆ5/5˂ 0.091603661
)=
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
Cambiar poisson = 8*1.5= (12) poisson
P(X=10)= eˆ-12(12ˆ10/10˂ 0.104837255
)=
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 1 ½
horas?
POISSON (12) P (X˂3)
P(X=0) +P(X=1) +P(X=2) = eˆ-12(12ˆ0/0˂ + eˆ-12(12ˆ1/1˂ + eˆ-12(12ˆ2/2˂ =
) ) )
0.000006144+.00007373+.000442383= 0.000522257

15. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA EJERCICIO 1 PÁGINA 230:
Quince automóviles son llevados a una concesionaria para validar su garantía.
Suponga que cinco presentan graves problemas de motor, mientras que diez
tienen problemas sin importancia. Se eligen aleatoriamente seis automóviles para
componerlos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan graves problemas?
P(X=2) =
(16 nCr 6)= 15¡/ 6¡ (15-6)¡ =5005
(5 nCr 2) = ( 5¡/ 2¡ (5-2)¡ = 10
(10 nCr 4) = (10¡/ 4¡( 10-4)¡) = 210
H (15, 5, 6)
P(X=2) = ((5 nCr 2) (10 nCr4))/ (15 nCr 6) = 2100/ 5005= 0.419580419

16. DISTRIBUCION MULTINOMIAL PÁGINA 230 EJERCICIO 10:
De los clientes que ordenan cierto tipo de computadora personal, 20% ordena una
tarjeta grafica actualizada, 30% memoria extra, 15% ordena tanto una tarjeta
grafica actualizada como una memoria extendida, y 35% no ordena ninguna. Se
eligen de forma aleatoria 15 órdenes. Sea X1, X2, X3, Y X4 los respectivos
números de órdenes de las cuatros categorías dadas.
X1= 20% T= .20
X2= 30% M = .30
X3= 15% TM = .15
X4= 35% N = .35
a) Determine P(X1=3, X2=4, X3=2 Y X4=6)
MN (15, .20, .30, .25, .35)
15¡ /(( 3¡ )(4¡)( 2¡ )(6¡ ))(.20)ˆ3(.30)ˆ4(.15)ˆ2(.35)ˆ6=
(6306300)(.008)(.0081)(.0225)(.001838265) = 0.016902084
b) Determine P(X1=3)
Bin (10, 0.33)
P(X=3)= 15¡ / ((3¡ )(12¡))(.33)ˆ3(.67)ˆ12= (455)(.35937)(.008182718)= .001337983

17. EJERCICIO 7 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA PÁGINA 230
Geom (p), ¿Cuál es el valor más probable de X?
i) 0
ii) 1/p
iii) P
iv) 1 ya que x es el número de experimentos hasta donde se incluye el
primer éxito el cual debe ser 1.
v) (1-p)pˆ2

18. EJERCICIO 12 PÁGINA 231 DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Un termopar localizado dentro de cierto medio produce lecturas con margen de 0.1
°C de la temperatura real 70% de las veces, lecturas mayores a 0.1 °C por encima
de la temperatura real 10% de las veces, y lecturas mayores a 0.1° C por debajo
de la temperatura real 20% de las veces.
a) En una serie de diez lecturas independientes, ¿Cuál es la probabilidad de
que cinco se encuentren dentro de 0.1 °C de la temperatura real, dos a más
de 0.1°C por encima de ella y tres más de 0.1° C debajo de dicho
parámetro?
X1= = 0.1 °C – 70% = .70
X2= ˂0.1°C– 10% = .10
X3= ˂ 0.1°C– 20% =.20
10 LECTURAS (X1=5) (X2=2) (X3=3)= X1, X2, X3 MN (10, .70, .10, .20)
P( X1=5, X2=2, X3=3)= 10¡ / ((5¡)(2¡)(3¡))(.70)ˆ5(.10)ˆ2(.20)ˆ3=
(2520)(.16807)(.01)(.008)= .033882912
b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de ocho lecturas se encuentren
dentro de 0.1°C de la temperatura real?
P(X=8)= 10¡ / ((8¡)(2¡)) (.80)ˆ8(.20)ˆ2= (45)(.16777216)(.04)= B.301989888

19. EJERCICIO 11 PÁG.230 MULTINOMIAL
Cierta marca de automóvil viene equipada con un motor en uno de cuatro tamaños
(en litros): 2.8, 3.0, 3.3, o 3.8. El 10 % de los clientes ordena el motor de 3.0, 30%
de 3.3 y 20% de 3.8. Se selecciona una muestra aleatoria de 20 órdenes para una
auditoria.
X1= 2.8- 10% = .10
X2= 3.0- 40% =.40
X3= 3.3 – 30% = .30
X4 = 3.8- 20% = .20
20 ORDENES (X1, X2, X3, X4)= (X1=3) (X2=7) (X3=6) (X4=4)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de órdenes para los motores de
2.8, 3.0, 3.3 y 3.8 litros sean 3, 7, 6 y 4 respectivamente?
X1, X2 MN (20, .10, .40, .30, .20)=
20¡ / ((3¡)(7¡)(6¡)(4¡)) (.10)ˆ3(.40)ˆ7(.30)ˆ6(.20)ˆ4=
(4655851200)(.001)(.0016384)(.000729)(.0016)= .00889747
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de diez ordenes de los motores
de 3.0 litros?
P(X=10) = 20¡ / ((10¡)(10¡)) (.40)ˆ10(.60)ˆ10=
(184.756)(.000104857)(.006046617)= 0.1275

20. EJERCICIO 1 PÁGINA 258 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ex (.45). Determine:
a) µt 1/ .45= 2.222222222
b) σ2t 1/ (.45)ˆ2= 4.938271605
c) P(T˂3)= 1-P(T≤3)= 1-(1-eˆ(-.45(3)) = .2592
d) La mediana de T. = 1.5403

21. EJERCICIO 1 NORMAL PÁGINA 241
Determine el área bajo la curva normal:
a) Ala derecha de z= -.85
Es de .1077 área a la derecha es : 1-.1977 = .8023
b) Entre z = .40 y z = 1.30
Z= .40 = .6554
Z= 1.30 = .9032
= .9032 - .6554 = .2478
c) Entre z = -.30 y z= .90.
Z= -.30 = .3821
Z= .90 = .8159
= .8159 - .3821 = .04338
d) Desde z= -1.50 hasta z = -.45
Z= -1.50 = .0668
Z= -.45 = .3264
= .2596

22. DISTRIBUCIÓN WEIBULL EJERCICIO 7 PÁGINA 265
La duración de un ventilador, en horas, que se usa en un sistema computacional
tiene una distribución de weibull con ά = 1.5 y ˂ = 0.0001.
A) ¿ cuál es la probabilidad de que un ventilador dure más de 10,000 horas?
P(T˂10000) = 1 P ( T ≤10000)
-
= 1- ( 1- e ˆ- [( 0.0001)(10000)] ˆ1.5
= 1- ( 1-(0.367879441)
= 1 – (0.632120558)
= 0.367879441
B) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas?
P( T ˂ 5000) = 1 T≥ 5000)
-P(
= 1 – (e ˆ-[( .0001)(5000)] ˆ1.5
= 1- 0.702188501
= 0.297811498
C) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure entre 3000 y 9000
horas?
P( 3000 ˂ T ˂9000) = P ( T ≤9000) P ( T ≤3000)
–
= ( 1- e ˆ-[(0.0001)(9000)]ˆ1.5) – ( 1 - eˆ -[(0.0001)(3000)] ˆ1.5)
= ( 1-( 0.425787463)-(1-0.84847321)
= 0.574212537-0.151526789
= 0.422685748

23. EJERCICIO 5 PÁGINA 264 WEIBULL
En el artículo “parameter estimation with only one complete failure observation” (
w.pang, p. loung y colaboradores, en international journal of rehability, quality, and
safety engineering, 2001: 109-122), se modela la duración, en horas, de cierto tipo
de cojinete con la distribución de weibull con parámetros
ά = 2.25
˂ = 4.474 * 10ˆ-4
a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure más de 1000 horas.
P( T˂1000) = 1-P(T≤1000)
= 1-(1-eˆ [(0.0004474)(1000)]ˆ2.25)
= 1-(1-0.848992154)
= 1-( 0.151008845)
= .848991154
b) P(T˂2000) = 1-P(T≥2000)
= 1-( eˆ -[(0.0004474)(2000)]ˆ2.25
= 1- 0.458991405
= .541008594

24. EJERCICIO 3 PÁGINA 264 WEIBULL
Sea T ˜ weibull (0.5, 3)
a) Determine µ
Como 1 / ά = 2 y es este es un entero, para calcular la media y varianza utilizamos
las fórmulas para casos como este.
µ= 1 / ˂[( 1 / ά )] ¡
= .33 [(2)] = .66666= .6667
b) Determine σ
σ= 1/ ˂ˆ2[( 2/ά )¡ - [( 1/ά )¡] ˆ2
σ= 1/ 3ˆ2[( 2/0.5)¡ - [( 1/.5)¡] ˆ2
σ= .111( 24-4)
σ= .111(20) = 2.222
c) Determine P(T˂1)
1- eˆ-(3t) ˆ 0.5
1-P(T≤5)
1-(1-e ˆ[(3)(5)]ˆ0.5
1-(1-0.020796234)
=0.979203765
= 0.020796234
d) P( T˂5) = 1 P( T≤5)
- e) P( 2˂T˂4) = P(T≤4)
–P(T≤2)
=1- (1-e ˆ[( 3) (5)] ˆ0.5 = (1-e ˆ[( 3) (4)] ˆ0.5) –(1-e ˆ[( 3) (2)] ˆ0.5
= 1-(1-0.020796234) = (1- 0.031301113)-(1-0.086337629)
= 1- 0.979203765 = 0.968698887 – 0.91366237
= 0.020796234 = 0.05503665

25. EJERCICIO 1 PAGINA 264 GAMMA
Sea T ˜ ˂ ( 4, 0.5).
a) Determine µt
Utilizar formulas: r / ƛ donde r=4 y ƛ = 0.5
4/0.5= 8
b) Determine σ
Utilizar formula: σ = r / ƛ ˆ2 = 4 / (0.5)ˆ 16
c) Determine P ( T ≤ 1)
Significa que el evento ocurrirá dentro de un minuto. El número de eventos que
ocurren dentro de 1 minuto es mayor o igual a 4. Sea X el número de eventos que
ocurren dentro de 1 minuto. Lo que se ha dicho es que: P( T ≤ 1) = P ( X ≥ 4).
Ahora la media de X es (1) (0.5) = 0.5 y X tiene una distribución poisson, por lo
que X ˜ poisson (0.5). De ahí que:
P(T≤1) = P(X≥4)
= 1-P(X≤3)4 (.05)
= 1- [(P (X=0) +P(X=1) +P(X=2) +P(X=3)
=1 – (eˆ-.5(0.5ˆ0 / 0¡) + (eˆ-.5(0.5ˆ1 / 1¡) + (eˆ-.5(0.5ˆ2 / 2¡) + (eˆ-.5(0.5ˆ2 / 2¡)
= 1 – (0.606530659 + 0.303265329 + .075816332 + -012636055
= 1- 0.998248375
= 0.001751624
d) Determine P( T ≥ 4)
T ≥ 4 significa que el 4° evento ocurrirá después de 4 minutos. Esto es lo mismo
que si dijera que el número de eventos que ocurren a los cuatro minutos es mayor
o igual a 4. Lo que se ha dicho es que P(T≥4) = P(X≥4).ahora la media de X es
(4)(.5) = 2 y X tiene una distribución de poisson, por lo que X ˜ poisson (2). De ahí
que:

26. P(T≥4) = P(X≤4)
=1-P( X≤3)
= 1-( eˆ-2 (2ˆ0 / 0¡) + eˆ-2 (2ˆ1 / 1¡) + eˆ-2 (2ˆ2 / 2¡) + eˆ-2 (2ˆ3 / 3¡)
= 1-(0.135335283 + .270670566 + .270670566 + 0.180447044)
= 1- ( 0.857123459)
= 0.14287654

27. EJERCICIO 6 BERNOULLI PÁGINA 195
Se lanzan dos dados. Sea X = 1 si sale el mismo número en ambos y X= 0 en
cualquier otro caso. Sea Y= 1 si la suma es 6 y Y= 0 en cualquier otro caso. Sea
Z= 0 si sale el mismo número en los dados y ambos suman 6 ( es decir, que salga
tres en los dos dados) y Z=1 en cualquier otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px.
X= 1 sale el mismo número en ambos 21-100
X= 0 en cualquier otro caso. 6-X
EVENTO PROBABILIDAD
1 28.571(1) = 28.5716
0 71.429 (0) =0
PROBABILIDAD DE Px = 28.571
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py.
EVENTO PROBABILIDAD 21 - 100
1 14.28 (1) = 14.28 3-X
0 85.715 (0) = 0
PROBABILIDAD = 14. 286
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz.
Z= 1 si sale el mismo número en ambos dados. Y ambos suman 6 ( que salga tres
en ambos).
Z= 0 en cualquier otro caso.
EVENTO PROBABILIDAD
1 4.762 (1)= 4.762
0 95.238 (0)= 0
PROBABILIDAD Pz = 4.762
d) ¿son X y Y independientes?

28. Si son independientes porque de acuerdo al espacio muestral puede salir el
mismo número en ambos dados sin depender de que el resultado de su suma sea
6, ya que no necesariamente tiene que salir 3+3 para poder sumar 6, sino que
existen otras posibilidades de obtener una sumatoria de 6, como es el caso de
sacar 5+1 y 2+4.
e) ¿es Pz= PxPy?
No, porque en la multiplicación entre 14.286 * 28.571 = 4065.253 y no iguala el
resultado de Z= 4.762. Es mucha la diferencia.
f) ¿ es Z= XY? Explique.
No por la misma explicación anterior.
ESPACIO MUESTRAL
1+1 2+2 3+6
1+2 2+3 4+4
1+3 2+5 4+5
1+4 2+6 4+6
1+5 3+4 5+5
1+6 3+5 5+6
6+6 4+2 3+3
5+1