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Despej a m os la incógnit a:     Agr upam os los t érm inos sem ej ant es y los independ ien t es, y sum am os:     Q uit ...
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Pm           Pr ecio de la m ezcla     C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm     Tam bién podem os poner los dat os en una t abla   ...
Tenem os que mezcl ar 30 kg de l a 1ª cl ase y ot ros 30 de l a 2ª cl ase .                               Probl emas de al...
Probl emas de gri f os     En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ t 1 del dep ósit o.     En una h or a el segundo gr ...
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2 o cas o     Los m óvi l es van en el mismo sent i do.     e   AC   − e      BC   = e   AB     Dos ciud ades A y B dist a...
1 El t iem po que t ar dar á en a lcanzar l o.     90t = 120 · ( t − 3)     90t = 120t − 360          −30t = −360         ...
Un r eloj m ar ca la s 2 en p unt o. ¿A qué h or a f or m arán sus a guj as po rpr im er a vez un ángulo r ect o?     Las ...
Ej em plo:    Si es a<0, es m ás pr ác t i co mul ti pli ca r l os dos mi embros por ( − 1).                Ecuaci o nes d...
ax 2 + bx = 0Ext r aem o s f act or com ún x:     ax 2 + c = 0Despej a m os:                                   18
Est udi o de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado             ax 2 +bx +c = 0      b 2 − 4ac se l lam a     DISC...
b 2 − 4ac < 0     La ecuac i ón no tiene sol uci ones real es.        Pr opi eda des de l as sol uci ones de l a ecuaci ón...
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Teoria ecuaciones (con ejemplos resueltos)

  1. 1. EcuacionesI gual dad Una IGUALDAD se com pone de dos expr esi on es unida s por el signo ig ua l. 2x + 3 = 5x − 2 Una i gua l dad puede ser : Fal sa: 2x + 1 = 2 · ( x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2. Ci er t a 2x + 2 = 2 · ( x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2I dent i dad Una i den t i dad es una i gua l dad que es ci ert a para c ual qui er val or de l as l et r as. 2x + 2 = 2 · ( x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2Ecuaci ó n Una e cu aci ón es una i gu al dad qu e se cu mpl e para al guno s val or e s de l as l et r as. x + 1 = 2 x = 1 Los MIEMBROS de una ecua ción son cada un a de l as expresi ones qu e apar ece n a ambos l ados del si gno i gual . Los TÉRMINOS son l os sumandos q ue f orman l os miembros. 1
  2. 2. Las INCÓGNITAS s on l as l et ras que aparece n en l a ecuaci ón. Las SOLUCIONES s on los v al ores que debe n t omar l as l et ras par a que l a i gual dad sea ci ert a. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 2 · (− 5) − 3 = 3 · (−5) + 2 − 10 − 3 = −15 + 2 −13 = −13 El gr a do de una e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i os que f or m an sus mi embros.Ti pos de ecuaci ones seg ún su grado 5x + 3 = 2x +1 Ecuaci ón de pri mer grado. 5x + 3 = 2x 2 + x Ecuaci ón de segu ndo grado. 5x 3 + 3 = 2x +x 2 Ecuaci ón de t ercer grado . 5x 3 + 3 = 2x 4 +1 Ecuaci ón de cuart o grado. Cl asi f i caci ón de ecuaci o nes1. Ecuac i ones pol i nómi cas ent eras Las ecua ciones p olin óm ic as son d e la f or m a P( x) = 0 , donde P( x) es un poli nom i o. 2
  3. 3. G r ado de una ecuaci ón El gr a do de u na e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i osque f or m an sus mi embros. Ti pos de ec uaci ones pol i nómi cas 1. 1 Ecua ci ones de pri mer grado o l i neal es Son de l t ipo a x + b = 0 , c on a ≠ 0, ó cual qu ier ot r a ecuación en la queal oper ar , tr asponer t érm inos y simplif icar a dopt an esa expr e sión. ( x + 1) 2 = x 2 - 2 x 2 + 2x + 1 = x 2 - 2 2x + 1 = - 2 2x + 3 = 0 1. 2 Ecua ci ones de segun do grado o cuadrát i cas Son ecua ciones d el t ipo ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0. Ecuaci o nes de segundo grado i ncompl et as ax 2 = 0 ax 2 + b = 0 ax 2 + bx = 0 1. 3 Ecua ci ones de t ercer grado Son ecua ciones d el t ipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , con a ≠ 0. 3
  4. 4. 1. 4 Ecua ci ones de cuart o grado Son ecua ciones d el t ipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0. Ecuaci o nes bi cuadradas Son ecua ciones d e cuar t o gr ado qu e no t iene t ér m inos de gr ado im par . ax 4 + bx 2 + c = 0 , con a ≠ 0. 1. 5 Ecua ci ones de gra do n En gener al, las ecuacion es de gr ado n son de la f or ma: a 1 x n + a 2 x n - 1 + a 3 x n - 2 + . . .+ a 0 = 0 2. Ecuac i ones pol i nómi cas raci onal es Las ecua ciones p olin óm ic as son de la f or ma , donde P( x) yQ ( x) son poli nom i os. Ecuaci o nes equi val ent es Dos ecu aci ones son equi val ent es si ti enen l a mi sma sol uci ón. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 x + 3 = −2 x = −5 Cri t eri os de equi val enci a de ecuaci ones 1. Si a l os dos mi embros de una e cuaci ón se l es s uma o s e l es r es t auna m i sm a cant idad, l a ecuaci ón es equi val ent e a l a dada. 4
  5. 5. x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5 2. Si a l os dos mi embros de una ecuaci ó n se l es mul t i pl i ca o se l e sdi vi de una mi sma cant i dad, l a ecuaci ón es equi val ent e a la dada. 5x + 10 = 15 ( 5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = 3 x + 2 −2= 3 −2 x = 1 Reso l uci ón de ecuaci one s de primer grado En gene r al par a resol ver una ecuaci ón de pri mer grado debe m o sseguir lo s siguien t es pasos: 1º Q ui t ar parént esi s. 2º Q ui t ar denomi nadores. 3º Agru par l os t érmi nos en x en u n mi embro y l os t érm i nosi ndepen di ent es en el ot ro. 4º Reduc i r l os t érmi nos semej ant es. 5º Despe j ar l a i ncógni t a. 5
  6. 6. Despej a m os la incógnit a: Agr upam os los t érm inos sem ej ant es y los independ ien t es, y sum am os: Q uit am os par ént esis: Agr upam os t ér m inos y sumam os: Despej a m os la incógnit a: Q uit am os denom in ador es, par a ell o en pr im er lugar hall am os el m í nim ocom ún múlt ipl o. Q uit am os par ént esis, agr upam os y sum am os los t ér m inos sem ej ant es: 6
  7. 7. Despej a m os la incógnit a: Q uit am os par ént esis y sim plif icam os: Q uit am os denom inador es, agr upa m os y sum am os los t ér m inossem ej antes: Q uit am os cor chet e: Q uit am os par ént esis: Q uit am os denom in ador es: Q uit am os par ént esis: 7
  8. 8. Agr upam os t ér m inos: Sum am os: Divi dim o s los dos m iem br os por : −9 Probl emas de ecuaci one s de primer gradoExpr esi ones al gebrai cas comunes El dobl e o dupl o de un núm er o: 2x El t r i pl e de un núm er o: 3x El cuádr upl o de un núm er o: 4x La m i t ad de un núm er o: x/2. Un t er ci o de un núm e r o: x/ 3. Un cuart o de un núm er o: x/ 4. Un núm er o es proporci onal a 2, 3, 4, .. . : 2x, 3x, 4x, .. Un núm er o al cuadrado : x 2 Un núm er o al cubo: x 3 Dos núm er os consecuti vos: x y x + 1. Dos núm er os consecuti vos pares : 2x y 2x + 2. Dos núm er os consecuti vos im pares : 2x + 1 y 2x + 3 . 8
  9. 9. Descom poner 24 en dos part es : x y 24 − x. La suma de dos núm er os es 24: x y 24 − x. La di f erenci a de dos núm er os es 24: x y 24 + x. El pr odu ct o de dos núm er os es 24: x y 24/ x. El coci e nt e de dos núm er os es 24; x y 24 · x. Pr obl emas geomét ri cos con ecua ci ones de pri mer grado Hal la e l valor de los t r es ángul os de un t r i ángul o s abien do que B m i de40° m ás que C y que A m ide 40° m ás que B. C x B x + 40 A x + 40 + 40 = x+ 80 x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80; 3X = 60; X= 20 C = 20º B = 20º + 40 º = 60º A = 60º + 40º = 100º Probl emas de mezcl as C1 1ª cant idad. C 1 = x C2 2ª cant idad. C 2 = C m - x Cm Cant idad de la m ezcla C m = C 1 + C 2 P1 Pr ecio de la 1ª cant idad P2 Pr ecio de la 2ª cant idad 9
  10. 10. Pm Pr ecio de la m ezcla C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm Tam bién podem os poner los dat os en una t abla Cant i dad Preci o Cost e1ª sust anci a C1 P1 C1 · P12ª sust anci a C2 P2 C2 · P2 M ezcl a C1 + C2 P C1 · P1+ C2 · P2 C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm Un com er ciant e t iene dos clases d e caf é, la pr im er a a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg. ¿Cuant o s kilogr a m os hay que pon e r de cad a clase d e caf é pa r a obt ener 60 kilos de m ezcla a 50 € el kg? 1ª cl ase 2ª cl ase Tot alNº de kg x 60 − x 60 Val or 40 · x 60 · ( 60 − x) 60 · 50 40x + 60 · ( 60 − x) = 60 · 50 40x + 36 00 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600 x = 30; 60 − 30 = 30 10
  11. 11. Tenem os que mezcl ar 30 kg de l a 1ª cl ase y ot ros 30 de l a 2ª cl ase . Probl emas de al eaci ones La l e y d e l a al ea ci ón es l a rel aci ón ent re el peso del m et al f i no , e sdecir , m ás valioso , y el pe so t ot al . Se r esue lven del m ism o modo que los pr obl em as de m ezclas, t eniendoen cuent a que la l e y de l a al eaci ón equi val e al preci o de l a mezcl a . C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La Se t iene n dos lin got es de plat a, uno de le y 0. 750 y ot r o de ley 0. 950.¿Q ué pe so hay q ue t om ar de cada ling ot e par a obt ener 180 0 g de pl at a d eley 0. 900 ? 1ª l e y 2ª l e y Tot alNº de g x 1800 − x 1800 Pl at a 0. 750 · x 0. 950 · (1800−x) 0. 900 · 1800 0. 750 · x + 0. 950 · ( 1 800−x) = 0. 9 · 1800 0. 750 x + 1 710 − 0. 950x = 1 620 0. 750x − 0. 950x = 1 620 − 1 710 − 0. 2x = − 90 x = 450 1ª ley 450 g 2ª ley 1350 g 11
  12. 12. Probl emas de gri f os En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ t 1 del dep ósit o. En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / t 2 del depósit o. Si e xist e un desag üe En una h or a el desagüe va cí a 1/ t 3 del depós i t o. En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado: Sin desa güe Con desa güe Un gr if o t ar da e n ll enar un dep ó sit o t r es hor as y ot r o gr if o t ar da enllen ar lo cuat r o hor as. ¿Cuánt o t ie m po t ar dar án en llenar l os dos gr if osj unt os el depósit o ? En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ 3 del depó sit o. En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / 4 del depó sit o. En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado: 7x = 12 x = 12/ 7 horas 12
  13. 13. Probl emas de móvi l es Par a pla nt ear pr oblem as sobr e m óviles que lleva n velocid ad const ant ese ut iliza n las f órm ulas del m ovim ient o r ect ilí neo unif or m e: espaci o = vel ocidad × t i empo 1 e r caso Los m óvi l es van en sent i do cont rari o. e AB + e BC = e AB Dos ciud ades A y B dist an 300 km ent r e sí . A las 9 d e la m añ ana par t ede la c iu dad A un coche h acia l a ci udad B c on una v eloci dad de 90 km / h, yde la ciu dad B pa r t e otr o hacia la ci udad A con una veloci dad de 60 km / h. Sepide: 1 El t iem po que t ar dar án en e ncont r ar se. 90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas 2 La hor a del enc uent r o. Se encon t r ar an a las 11 de l a mañana . 3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno. e AB = 90 · 2 = 180 km e BC = 60 · 2 = 120 km 13
  14. 14. 2 o cas o Los m óvi l es van en el mismo sent i do. e AC − e BC = e AB Dos ciud ades A y B dist an 180 km ent r e sí . A las 9 de la m añana s a l ede un coche de cada ciud ad y los dos coches van en el m ism o sent ido. Elque sale de A cir cula a 90 km / h, y el que sal e de B va a 60 km / h. Se pide: 1 El t iem po que t ar dar án en encont r ar se. 90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas 2 La hor a del enc uent r o. Se encon t r ar an a las 7 de la t arde . 3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno. e AB = 90 · 6 = 540 km e BC = 60 · 6 = 360 km 3 e r caso Los m óvi l es parten de l mi smo punt o y co n el mi smo sent ido. e 1 = e 2 Un coche sale de l a ciudad A a la ve locid ad d e 90 km /h. Tr es hor as m ást ar de sale de la m ism a ciudad ot r o coche en per secución d el pr im er o co nuna velo cidad de 120 km / h. Se pide: 14
  15. 15. 1 El t iem po que t ar dar á en a lcanzar l o. 90t = 120 · ( t − 3) 90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas 2 La dist ancia a l a que se pr oduce el encue nt r o. e 1 = 90 · 12 = 1080 km Probl emas de rel oj es El ángul o o arco descri t o que recorre el mi nut ero es si empr e 12veces m a yor que el arco que des cri be l a aguj a horari a. Un r eloj m ar ca las 3 en punt o. ¿A qué hor a ent r e las 3 y las 4 sesuper pon dr án las aguj as? x es el arco que descri be l a aguj a horari a. ( 15 + x) es el arco que descri be el mi nut ero. 15 + x = 12x x = 15/ 11 m in Las aguj as se super pondr án a la 3 h 16 mi n 21 s 15
  16. 16. Un r eloj m ar ca la s 2 en p unt o. ¿A qué h or a f or m arán sus a guj as po rpr im er a vez un ángulo r ect o? Las aguj as del r e loj f or m an un áng ulo r ect o a l as 2 h 25 m i n y un po com ás, que llam ar em os x. x es el arco que descri be l a aguj a horari a. 25 + x, es el arco que descri be el mi nut ero. 25 + x = 12x x = 25/ 11 m inLas aguj as del r eloj conf orm ar án un ángulo d e 90° a las 2h 27 mi n 16 s. Ecuaci o nes de 2º grado Resol uci ón de ecuaci one s de segundo grado Una ec ua ción de segundo g r ado es toda expr esión de la f or m a: ax 2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se r esuelve m edi ant e la siguient e f ór m ula: 16
  17. 17. Ej em plo: Si es a<0, es m ás pr ác t i co mul ti pli ca r l os dos mi embros por ( − 1). Ecuaci o nes de segundo grado i ncompl et as Se dic e que una ecu ació n de segu ndo gr ad o es i ncompl et a cuandoal guno de l os coef i ci ent es, b o c, o ambos, son i gual es a cero. Resol uci ón de ecuaci one s de segundo grado i ncompl et as ax 2 = 0 La sol uci ón es x = 0. 17
  18. 18. ax 2 + bx = 0Ext r aem o s f act or com ún x: ax 2 + c = 0Despej a m os: 18
  19. 19. Est udi o de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado ax 2 +bx +c = 0 b 2 − 4ac se l lam a DISCRIMINANTE de la ec uación y per m it e aver iguaren cada ecuació n el núm er o de solu ciones. P odem os dist ingu ir t r es casos: b 2 − 4 ac > 0 La ecua ci ón t i ene dos sol uciones, que son númer os r eal esdi st i nt os. b 2 − 4ac = 0 La ecuac i ón t i ene una sol uci ón dobl e. 19
  20. 20. b 2 − 4ac < 0 La ecuac i ón no tiene sol uci ones real es. Pr opi eda des de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado La suma de l as sol uci ones de un a ecuaci ón de segundo gr ado esigua l a: El produ ct o de l as sol uci ones de una ecua ción de s egundo g r ado esigua l a: Fact ori zaci ón de un t ri nomi o de segundo grado a x 2 + bx +c = 0 a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0 20

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