1. Sistemas de ecuaciones
Dos ecu aci ones con dos i ncógni t as f orman un si st ema, cuando l o
que pr et endemos de el l as es encont rar una sol uci ón común a ambas .
La sol uci ón de un si st ema es un par de números x 1 , y 1 , tal es que
r eem pl azando x por x 1 e y p or y 1 , s e sat i sf acen a l a vez am bas
ecuaci o nes.
solución: x = 2, y = 3
Cri t eri os de equi val enci a de si st emas de ecuaci on es
1º Si a a mbos mi embros de una e cuación de un sis t em a se l es sum a o
se l es r est a una mi sma expresi ón , el si st ema r esult ant e es equi val ent e .
x = 2, y = 3
2º Si mu l t i pl i camos o di v i di mos ambos mi embros de las e cuacion e s
de un si st em a por un número di st i nt o de cero , el si st ema r esult ant e es
equi val ent e .
x = 2, y = 3
3º S i s umamos o rest amos a una ec uaci ón de un s ist em a o t r a
ecuació n del mi smo si st ema , el sist ema r esult ant e es equi val ent e al dado.
1

2. x = 2, y = 3
4º Si n en un si st ema se s ust i t u ye una ecu aci ón por ot ra que resul t e
de sum a r l as dos ecuaci ones del si st ema previ ament e mul t i pli cadas o
di vi di das por n úmeros no nul o s, resu l t a ot ro s i st ema equi val ent e al
pri m er o.
5º Si en un sist e m a s e ca mbi a el orden d e l as ecu aci ones o el or d e n
de l as i ncógni t as , r esult a ot r o si stema equi val ent e .
M ét odo de sust i tuci ón
Resol uci ón de si st emas de ecuac i ones por el mét odo de sust i t uci ón
1 Se despej a una incógn it a en una de las ecuaciones.
2 Se su st it uye l a e xpr es ión de e st a incó gnit a e n la ot r a ecuac ió n,
obt enien do un ecuación c on una sola incó g nit a.
3 Se r esuelve la ecuació n .
4 El valo r obt enido se sust it uye en la ecuación en l a que apar ecí a la
incógn it a despej ada.
5 Los dos valor es obt enido s const it uyen la soluci ón d el sist em a.
2

3. 1 Despe j amos una de la s incógn i t as en una de la s dos ecuacion es .
Eleg im os la incóg nit a que t enga el c oef icient e m ás baj o.
2 Sust i tui mos en la ot r a ecuació n la var iable x, por el valor ant er ior :
3 Resol v emos l a ecuaci ó n obt enid a:
4 Sust i tui mos el val or obt enido en la var iable despej ada.
5 Sol uci ón
M ét odo de i gual aci ón
Res ol uci ón de si st emas de ecuac i ones por el mét odo de i gual aci ón
1 Se despej a la mism a incógnit a en am bas ecuacion e s.
2 Se igu alan las expr es io nes, con lo qu e o bt enem os una ec uación c on
una incó gnit a.
3 Se r esuelve la ecuació n .
4 El val o r obt enid o se sust it uye en cualqu ier a de las dos expr esiones en
las que a par ecí a despej ada la ot r a incógnit a.
3

4. 5 Los dos valor es obt enido s const it uyen la soluci ón d el sist em a.
1 Desp e j amos , por ej em plo, la in cógnit a x de l a pr im er a y segund a
ecuació n :
2 I gual amos am bas expr e siones:
3 Resol v emos la ecuació n :
4 Sust i t ui mos el valor de y, en u n a de las dos expr esi ones en las qu e
t enem os despej a da l a x :
5 Sol uci ón :
4

5. M ét odo de reduc ci ón
Resol uci ón de si st emas de ecuac i ones por el mét odo de reducci ón
1 Se pr epar an las dos ecuaciones, m ult iplic ándol as por los núm er os qu e
conveng a.
2 La r estam os, y desapar e ce una de las inc ógnit as.
3 Se r esuelve la ecuació n r esult ant e.
4 El v alo r obt enid o se sust it uye en una de l as ecuac iones ini ciales y se
r esuelve.
5 Los dos valor es obt enido s const it uyen la soluci ón d el sist em a.
Lo m ás f ácil es s upr im ir la y, de est e m odo no t endr í am os que pr epar ar
las ec ua ciones; p er o vam o s a o pt ar por supr im ir la x, par a que ve am os m ej or
el pr oceso.
Rest am os y r esolvem os la ecuació n:
Sust it uim os el val or de y en la segu nda ecua ción in ici al.
Soluc ión:
5

6. Si st emas de ecuaci ones con den omi nadores
M ult iplic am os previa m ent e la pr im er a ecuación por el m . c.m. de t odo s
los deno m inador e s, que es 2, y hacem os lo m ism o en la seg unda ecu ación
en la que el m . c. m es t am bién 2. Result a pue s el sigui ent e sist em a:
Q ue or denado r esult a:
L o r es olvem o s por cualqui e r a de los m ét odos, en est e caso, sust it ución.
6

7. Cl asi f i caci ón de si st emas de ecuaci ones
Si st ema compat i bl e det ermi nado
Ti ene una sol a sol uci ón.
x = 2, y = 3
G r áf i cament e l a sol uci ón es el punt o de cort e de l as dos rect as.
Si st ema compat i bl e i ndetermi nado
El si st ema t i ene i nfi ni t as sol uci ones.
G r áf i cament e obt enemos dos re ct as coi nci dent es. Cual q ui er punt o
de l a r ect a es soluci ón .
7

8. Si st ema i ncompat i bl e
No t i ene sol uci ón
G r áf i cament e obt enemos dos rect as paral el as.
8

9. Problemas resueltos mediante sistemas de ecuaciones:
Juan co mpró un ordenador y un t el evi sor por 2000 € y l os vendi ó
por 2260 €.
¿Cuánt o le cos t ó cada obj et o, sabi en do que en la vent a del
ordenad or ganó el 10 % y en l a vent a del tel evi sor ganó el 15 %?
x pr ecio del or den ador .
y pr ecio del t elevi sor .
pr ecio de vent a del or denad or .
pr ecio de vent a del t eleviso r .
800 € pr ecio del or denador .
1200 € pr ecio del t elevis or .
¿Cuál es el área de un rect ángul o sabi end o que su perí met ro m i de
16 cm y que su base es el t ri pl e de su al t ura?
x base del r ect ángulo.
y alt ur a del r ect ángulo.
2x + 2y per í m etr o.
9

10. 6 cm base del r ect ángul o.
2 cm alt u r a del r ect ángulo.
Una gra nj a t i ene pavos y cerd os, en tot al ha y 58 cabezas y 168
pat as. ¿Cuánt os cerdos y pavos ha y?
x núm er o de pavos.
y núm er o de cer dos.
32 núm er o de pavos.
26 núm er o de cer dos.
Ant oni o di ce a Pedro: "el di nero que t engo es el dobl e del que
t i enes t ú" , y P edr o cont est a: "si t ú me das sei s euros t endremos l os dos
i gual cant i dad". ¿Cuánt o di nero tení a cada uno?
x diner o de Ant on io.
y diner o de Pedr o .
10

11. 24 € dine r o de Ant onio.
12 € dine r o de Pedr o.
En una empresa t rabaj an 60 p e rsonas. Usan ga f as el 1 6 % de l os
hom br es y el 20 % de l as muj eres. Si el número t ot al de persona s que
usan gaf as es 11. ¿Cuánt os hombres y mu j eres hay en l a empresa?
x núm er o de hom br es.
y núm er o de m uj eres.
hom br es con gaf as.
m uj er es con gaf as.
35 núm er o de hom br es.
25 núm er o de m ujer es.
La ci f r a de l as d ecenas d e un n ú mero de dos ci f ras es el d obl e de l a
ci f r a de l as uni dades, y si a di cho número l e rest amos 27 se obt i ene el
núm er o que res ul t a al invert i r el orden de sus ci f ras. ¿Cuál e s es e
núm er o?
11

12. x cif r a de las unid ades
y cif r a de las decenas
10x + y núm er o
10y + x núm er o inver t ido
y = 2x
( 10y + x) − 27 = 10x + y
10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x
20x + x − 12x = 27 x = 3 y = 6
Nùm er o 63
12