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<ul><li>Observe que se reciben aumentos sustanciales hasta los cálculos semanales (52)  o diarios (360) y después los aume...
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25/03/10 Ejemplo: despejar x de (a), (b) y (c)  solución:  (a)  (b) (c)
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<ul><li>Cuando elevamos al cuadrado un numero positivo c, se obtiene  . Si luego se extrae la raíz cuadrada de  se regresa...
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<ul><li>5.- Usted compro un anillo por $200, ¡Cuánto valdrá este anillo en 10 años si:  </li></ul><ul><li>a)El valor aumen...
<ul><li>9.- un temblor de tierra registro 8.7 en la escala de Richter, ¿Cuántas veces es mas fuerte este que uno de 5.5 en...
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    5. 5. 25/03/10
    6. 7. <ul><li>Para comprender esto podríamos responder la pregunta ¿Cuál es la potencia x de b?. Así evaluar y=37 equivale a determinar que y= 2187; lo cual se puede hacer mediante la calculador </li></ul>25/03/10
    7. 8. 25/03/10
    8. 9. <ul><li>Ejemplos de poblaciones que crecen de manera exponencial son las siguientes: </li></ul><ul><li>El crecimiento de una población de bacterias esta dado por: </li></ul><ul><li>B(t) = 2t </li></ul><ul><li>El crecimiento de la población del mundo (en billones) se puede expresar como: </li></ul><ul><li>P(t)= 4(2)t/35 </li></ul><ul><li>El crecimiento de los costos de los artículos, si se tiene una tasa anual del 12%, se expresa como, al considerar un costo inicial de algún articulo de 100 pesos; C(t)= 100 (1.2)t </li></ul>25/03/10
    9. 10. <ul><li>EJEMPLO </li></ul><ul><li>Algunas cuentas de ahorros pagan 5.5% de interés capitalizable trimestralmente, </li></ul><ul><li>¿Cuál será la tasa de porcentaje anual efectiva en tal cuenta? </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN </li></ul><ul><li>Si se depositan 100 pesos en una cuenta de ahorros de este tipo y calculamos el monto al final del año, se puede determinar la tasa de porcentaje anual. </li></ul><ul><li>P=100(1+0.055/4)4=105.61 </li></ul><ul><li>Por lo tanto, la tasa de porcentaje anual es 5.61% </li></ul>25/03/10
    10. 11. 25/03/10
    11. 12. <ul><li>¿Qué ocurre cuando n aumenta? </li></ul><ul><li>Esto es, si invertimos $1 durante un año al 100% </li></ul><ul><li>¿Cuánta diferencia hay en que tan a menudo se capitaliza el interés? </li></ul><ul><li>Se encontrara la cantidad redituada si el interés se compone anualmente, semestralmente, semanalmente, etc., hasta llegar a horas; esto se logra haciendo n=1,2,4,12,52,380,8640. En la siguiente tabla se encontrara la información . </li></ul>25/03/10
    12. 13. 25/03/10
    13. 14. <ul><li>Observe que se reciben aumentos sustanciales hasta los cálculos semanales (52) o diarios (360) y después los aumentos son insignificantes. De hecho no importa que tan a menudo se capitalice el interés, el monto acumulado no excede un numero que es aproximadamente 2.7182818 y se denota por el símbolo e </li></ul>25/03/10
    14. 15. <ul><li>La base natural tiene muchas aplicaciones ya que describe el crecimiento continuo. Si el interés se capitalizara continuamente, se podría escribir la formula de interés compuesto como la función: </li></ul><ul><li>At=Pelt </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>El municipio de Llera de Juárez en Tamaulipas tenia una población de 15000 habitantes en 1980 y crece de acuerdo a la función y=y0e0.04t donde t esta dado en años ¿cuál será su población en el año 2000? </li></ul><ul><li>Solución </li></ul><ul><li>Utilizando la función se tiene; </li></ul><ul><li>Y=15000 e0.04(20)= 33383 habitantes, t=20 </li></ul>25/03/10
    15. 16. <ul><li>Para cada b> 1 existe una función </li></ul><ul><li>llamada la función logaritmo en la base b. </li></ul><ul><li>La aseveración , es equivalente a la aseveración . Note que en el exponente es y, donde . </li></ul><ul><li>El echo de que el logaritmo, es un exponente. Es la potencia a la cual la base b debe ser elevada para obtener x . Analice los datos de la sig. Tabla: </li></ul>25/03/10
    16. 17. 25/03/10 Ejemplo: despejar x de (a), (b) y (c) solución: (a) (b) (c)
    17. 18. 25/03/10 Ejemplo: trazar la grafica de la función solución: para obtener los valores de esta grafica se elaborar a la tabla siguiente: X 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 -3 -2 -1 0 1 2 3
    18. 19. 25/03/10
    19. 20. 25/03/10
    20. 21. <ul><li>Cuando elevamos al cuadrado un numero positivo c, se obtiene . Si luego se extrae la raíz cuadrada de se regresa a c. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: si se considera b=3 y x=9, entonces se eleva el 3 a la novena potencia y se obtiene 19638. después, obteniéndose el logaritmo de 19638 en base 3, se regresa al 9. alternativamente si tomamos el logaritmo de 9 en la base 3 se tiene 2; si después se eleva 3 a la segunda potencia se regresa al 9. </li></ul>25/03/10
    21. 22. <ul><li>Para localizar los logaritmos de números pequeños y grandes que se pueden expresar en notación científica, se usan los principios algebraicos de los logaritmos que se derivan de las exponenciales y que a continuación se presentan . </li></ul><ul><li>Para cualquier base b>1 y cualesquiera números reales positivos r y s; </li></ul><ul><li>1 </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>3 </li></ul>25/03/10
    22. 23. <ul><li>Ejemplo: utilizando los principios anteriores despejar la variable x de: </li></ul><ul><li>Log (x+3) + log(x)=1 </li></ul><ul><li>Solución: log (x+3) + log (x) = 1 por el principio 1 se puede expresar como: </li></ul><ul><li>Log(x(x+3))=1 por la definición de logaritmo se tiene </li></ul><ul><li>factorizando se obtendrá: </li></ul><ul><li>toma solo el valor positivo ya </li></ul><ul><li>que no se puede obtener el log de </li></ul><ul><li>un valor negativo </li></ul><ul><li>X=2 </li></ul>25/03/10
    23. 24. <ul><li>Ejemplo: calcular el valor de </li></ul><ul><li>Solución: se toma entonces </li></ul><ul><li>Log </li></ul><ul><li>Log </li></ul><ul><li>Log </li></ul><ul><li>Log log10=1 </li></ul><ul><li>Log </li></ul><ul><li>Log </li></ul><ul><li>En general, si el numero real x se expresa en notación científica: </li></ul><ul><li>Entonces: </li></ul><ul><li>el entero c se llama la característica de x y log m se llama la mantisa de c </li></ul>25/03/10
    24. 25. 25/03/10
    25. 26. 25/03/10
    26. 27. <ul><li>ECUACIONES EXPONENCIALE S Y LOGARITMICAS </li></ul><ul><li>existen algunas aplicaciones que requieren la solución de una ecuación que incluye una función logarítmica o exponencial, como se muestra en el siguiente ejemplo. </li></ul><ul><li>Ejemplo: La población mundial en 1975 fue de cerca de 4 billones y se ha duplicado cada 35 años. Suponiendo que esta tasa de crecimiento continua, estimas el año en el cual la población mundial alcanzara: (a)32 billones, (b)37 billones. </li></ul>25/03/10
    27. 28. 25/03/10
    28. 29. 25/03/10
    29. 30. 25/03/10
    30. 31. <ul><li>5.- Usted compro un anillo por $200, ¡Cuánto valdrá este anillo en 10 años si: </li></ul><ul><li>a)El valor aumenta 12% cada año? </li></ul><ul><li>b)Su valor después de t años esta dado por ? </li></ul><ul><li>6.- despeje x sin calculadora: </li></ul><ul><li>(a) (b) (c) </li></ul><ul><li>7.-despeja x usando la calculadora: </li></ul><ul><li>(a) (b) (c) </li></ul><ul><li>8.-trace las graficas de las siguientes funciones: </li></ul><ul><li>(a)y=log x (b)y=Ln x (c)y=4+log x (d) </li></ul>25/03/10
    31. 32. <ul><li>9.- un temblor de tierra registro 8.7 en la escala de Richter, ¿Cuántas veces es mas fuerte este que uno de 5.5 en la misma escala? </li></ul><ul><li>10.-¿en que año la población mundial llegara a los 25 billones y en cual a los 50 billones de habitantes, de acuerdo con el ejemplo mostrado en paginas anteriores? </li></ul>25/03/10

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