Ejercicios detallados del obj 11 mat i (177) Universidad Nacianal Abierta

1. Capitulo I
Matemática I (177)
Objetivo 11. Efectuar problemas de física, ingeniería o economía, donde
se utilicen procedimientos matemáticos relacionados con los conjuntos
numéricos o las funciones o que involucren modelos matemáticos.
Ejercicio 1
¿Qué condiciones debe satisfacer un modelo para ser útil?
Solución
Justificación: Para que un modelo sea útil debe:
• De explicar por qué ciertas causas generan ciertos efectos.
• Debe ser capaz de predecir para saber lo que ocurrirá y así tomar las
medidas necesarias y suficientes ante tales situaciones.
Respuesta: Condiciones:
• De explicar por qué ciertas causas generan ciertos efectos.
• Debe ser capaz de predecir para saber lo que ocurrirá y así tomar las
medidas necesarias y suficientes ante tales situaciones.
Ejercicio 2
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
a. El Modelo de Ondulatorio de la Luz es un modelo de Ingeniería ____.
b. El Modelo Exponencial o de Malthus es un modelo de Economía _____.
c. El Modelo de la Evolución de las Especies (Darwin) es un modelo de
Dinámica de Poblaciones ____.
Solución
Justificación:
a) El modelo undulatorio de la luz es un modelo de Física, por lo tanto
esta afirmación es FALSA.
b) El Modelo Exponencial o de Malthus es un modelo de la dinámica
poblacional, por lo tanto esta afirmación también es FALSA.
c) El Modelo de la Evolución de las Especies es un modelo de Biología,
por lo tanto también esta afirmación es FALSA.
Respuesta:
a) F
b) F

2. c) F
Ejercicio 3
Dada la siguiente tabla:
AÑO POBLACIÓN (N) Ln(N)
1961 7578266 2,014903
1971 10631166 2,360854
1981 14913926 2,701361
1990 18225635 2,901422
2000 22735507 3,122365
Has una gráfica con los datos de la columna Ln(N) de la tabla y únelos con una
curva continua.
Solución
Justificación: Para hacer esta representación gráfica, utilizaremos el
plano, representando en el eje horizontal los años y en el eje vertical Ln(N), así
obtendremos los siguientes puntos en el plano:

3. Gráfico 1
Respuesta: Ver gráfico 1.
Ejercicio 4
Indica con una V ó F según que la afirmación hecha se verdadera o falsa
respectivamente.
Dada la siguiente tabla:
AÑO POBLACIÓN (N) Ln(N)
1961 7578266 2,014903
1971 10631166 2,360854
1981 14913926 2,701361
1990 18225635 2,901422
Y considere la función exponencial: 0,2768655
0 7578266 , 0,1,2,3,4an n
n e e n= = =
Entonces podemos afirmar que:

4. a. El valor que se obtiene de 3 es 17389749 (para el año 1990) _____
b. El porcentaje de error que se obtiene al comparar 3 con el valor de la
población mostrado en la tabla para el año 1990 es 4,58 %. _____
c. Si se considera que los porcentajes de error para los años 1961, 1971 y
1981 son respectivamente 0%, 5,97% y 11,59 %, estos errores nos indican que
la fórmula no es aplicable para calcular la población en el año 1981(donde el
error es grande). ____
Solución
Justificación:
a) En este caso debemos calcular 3 , de la manera siguiente
(utilizando una calculadora científica):
( )0,2768655 30,2768655
0 37578266 7578266 17389749an n
n e e e= = → = ≈
Y este valor ciertamente es para 1990 ya que tomamos 3n = .
Por lo tanto la afirmación dada es VERDADERA.
b) En este caso debemos calcular el error de comparar 3 con el valor
dado en la tabla para 1990, que es 18225635, para poder establecer
la veracidad de la afirmación, entonces:
3 18225635 17389749
% 100 100
18225635
835886
% 100 0,0458 100 4,58%
18225635
Valor tabla
error
Valor tabla
error
− −
= × = ×
= × = × =
Por lo tanto esta afirmación también es VERDADERA.
c) El error de 11,59 % para el año 1981 no es grade (esta por debajo
del 25%), de hecho es ligeramente bajo. Además, el error calculado
para año 1990 disminuye (4,58%). Por lo tanto, no hay suficientes
evidencias para pensar que la formula no sea aplicable al caso de
estudio, por ende, esta afirmación es FALSA.
Respuesta:
a) V
b) V
c) F
Ejercicio 5

5. Considera los siguientes datos sobre la población de Venezuela:
Año 1961 1971 1981 1990 2000
Población 7578266 10631166 14913926 18225635 22735507
Haz un histograma con estos datos.
Solución
Justificación: Para hacer un histograma, debemos establecer que para el
eje horizontal representaremos los años y para el eje vertical, la cantidad de
personas. Dado que los valores para el eje vertical son grandes, dividiremos
todos los valores por un millón, y escalaremos este eje con dichos valores
redondeados, claro al lado de la variable población N, colocaremos la palabra
millones, para que la persona sepa que dichos valores deben multiplicarlos por
un millón para obtener los datos reales de la tabla dada.
Una vez representados los ejes, procederemos a levantar los
rectángulos hasta la altura correspondiente según la población dada para cada
año.
División de los valores de la población para escalar el eje vertical
AÑO POBLACIÓN (N) 1.000.000÷ Valor
redondeado
1961 7578266 7,578266 7,5
1971 10631166 10,631166 10,6
1981 14913926 14,913926 14,9
1990 18225635 18,225635 18,2
2000 22735507 22,735507 22,7
Ahora haremos el histograma:

6. Gráfico 2
Respuesta: Ver gráfico 2.
Ejercicio 6
Cita, al menos, dos de las causas en las diferencias o discrepancias obtenidas
entre los modelos teóricos (modelos matemáticos) y los resultados reales que
dan los censos de población.
Solución
Justificación: A continuación se citarán las causas en las diferencias o
discrepancias obtenidas entre los modelos teóricos (modelos matemáticos) y
los resultados reales que dan los censos de población:
• Cuando construimos los modelos teóricos hacemos algunas
suposiciones.
• Cuando efectuamos cálculos, se redondea, perdiendo así cierta
exactitud con respecto a la realidad.

7. • Cuando construimos los modelos teóricos no tomamos todas las
variables que intervienen en la realidad, es por ello, que surgen
diferentes modelos, y unos serán mejores que otros, en la medida que
consideren más variables.
Respuesta: Las causas de dicha discrepancia son:
• Cuando construimos los modelos teóricos hacemos algunas
suposiciones.
• Cuando efectuamos cálculos, se redondea, perdiendo así cierta
exactitud con respecto a la realidad.
• Cuando construimos los modelos teóricos no tomamos todas las
variables que intervienen en la realidad, es por ello, que surgen
diferentes modelos, y unos serán mejores que otros, en la medida que
consideren más variables.
Ejercicio 7
A continuación se plantean de manera desordenada 7 de los pasos para la
construcción de un Modelo Matemático:
1. Simplificar el problema.
2. Identificar la situación real que conduce a formular un problema.
3. Aplicar procedimientos y técnicas matemáticas para resolver el problema
matemático.
4. Seleccionar las variables que intervienen y la información disponible
necesaria.
5. Aplicar la solución encontrada a la situación de partida.
6. Expresar matemáticamente el problema utilizando símbolos, ecuaciones,
inecuaciones y gráficos.
7. Comparar con la realidad, esto es, validar con la situación de partida:
¿los resultados son válidos?
Ordené estos 7 pasos para la construcción de un Modelo Matemático, según lo
estudiado en el Módulo IV.

8. Solución
Justificación: Recordando lo estudiado acerca de la construcción de un
modelo matemático, se tiene que el orden correcto es:
Respuesta: Al Ordenar los pasos para la construcción de un Modelo
Matemático se obtiene que el orden correcto es:
2, 4, 1, 6, 3, 5, 7
Ejercicio 8
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
a. Modelo es todo lo que se emplea para describir la estructura o el
comportamiento de una contraparte de la vida real ____.
b. Los Modelos Matemáticos son aquellos modelos que establecen
relaciones entre un conjunto de variables _____.

9. c. El Modelo Exponencial es un modelo matemático usual y se refiere al
crecimiento o decrecimiento de una cierta cantidad inicial, en forma de
progresión geométrica ____.
Solución
Justificación:
a) Ciertamente, el concepto general de modelo es el de describir la
estructura o el comportamiento de una contraparte de la vida real, por
lo tanto esta afirmación es VERDADERA.
b) Los modelos matemáticos toman la variables y las relacionan para
lograr obtener igualdades, por lo tanto a afirmación dada también es
VERDADERA.
c) Cuando se construye un modelo lineal tomamos progresiones
aritméticas, mientras que los modelos exponenciales se apoyan en
progresiones geométricas, por lo tanto la afirmación dada es
VERDADERA.
Respuesta:
a) V
b) V
c) V
Ejercicio 9
Si el costo fijo (costo que se genera así no exista producción) por la producción
de cierto bien es de Bs. 65600 y el costo por la producción de 1000 unidades
del bien es de Bs. 855000. Determina una función lineal que modele esta
situación y calcula el costo para producir 1500 unidades del bien.
Solución
Justificación: Como la función a determinar es lineal, la expresión para
determinar el costo puede ser de la forma:
( )C x a bx= +
donde x son las unidades producidas y ( )C x el costo dado en bolívares
Observa que nos proporcionan el costo fijo de Bs.65600, este valor es el que
resulta así no se genere producción, es decir:
( )(0) 0 65600C a b= + =

10. Por lo tanto: 65600a = .
Por otro lado, el costo de producción de 1000 unidades del bien es de
Bs.855000, por lo tanto:
(1000) 65600 1000 855000C b= + =
De donde se obtiene al despejar b:
65600 1000 855000
1000 855000 65600
1000 789400
789400
1000
789,4
b
b
b
b
b
+ =
= −
=
=
=
Luego la función que modela la situación planteada es:
( ) 65600 789,4C x x= +
Finalmente, el costo para producir 1500 unidades del bien es:
( )
( ) 65600 789,4
(1500) 65600 789,4 1500
(1500) 65600 1184100
(1500) 1249700 bolivares
C x x
C
C
C
= +
= +
= +
=
Respuesta:
a) El modelo lineal que modela la situación es: ( ) 65600 789,4C x x= +
b) El costo de producción de 1500 unidades es: 1249700 bolivares
Ejercicio 10
Modela las siguientes situaciones a través de ecuaciones: (No resolver, se trata
solo de plantear las ecuaciones respectivas).
a. La suma de tres números impares consecutivos es igual a 35.
b. Hace quince años la edad de Pedro era el triple de la edad de María.
c. Un número de dos cifras excede en quince a siete veces la suma de sus
dígitos
Solución
Justificación:
a. Si denominamos I al primer número impar, entonces el enunciado equivale
a:
( 2) ( 4) 35I I I+ + + + =

11. Se le suma a I el numero par 2 y luego 4, porque la suma de un número
impar con uno par es impar.
También puedes resolver el ejercicio así:
Si denotamos por 2n+1 al primer número, resulta la ecuación:
2 1 2 3 2 5 35n n n+ + + + + =
Que también equivale al enunciado dado.
b. Si P y M son las edades actuales de Pedro y María se tiene que hace 15
años:
( )15 3 15P M− = −
c. Si el número de dos dígitos se escribe ab (con a distinto de cero) entonces
( )7 15ab a b= + +
O lo que es lo mismo
( )10 7 15a b a b+ = + +
Esto último porque porque b es la cifras de las unidades del número ab, y a es
la cifra de las decenas.
Respuesta:
a) ( 2) ( 4) 35I I I+ + + + = ó 2 1 2 3 2 5 35n n n+ + + + + =
b) ( )15 3 15P M− = −
c) ( )10 7 15a b a b+ = + +
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás

12. justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Un bien cuyo valor inicial es de Bs.800000 sufre una depreciación de manera
tal que su función de valor tiene la forma:
( ) bt
V t ae=
Si después de 2 años el valor del bien es de Bs. 400000, calcule el valor del
bien cuando hayan transcurridos 4 años.
Ejercicio 2
Explica mediante un ejemplo en que consiste un modelo lineal decreciente,
escribe la ecuación del modelo y el significado de las variables y parámetros
que aparecen
Ejercicio 3
Dar una ecuación que simbolice el modelo lineal y otra que simbolice el modelo
exponencial. Haga una representación gráfica aproximada en cada caso. (No
se requiere valores particulares)
Ejercicio 4
Dado el modelo exponencial de crecimiento de una población de bacterias
0( ) t
t eα
= , donde 0 es la población inicial y t (el tiempo) se mide en horas.
Calcula 1.- el valor de α si al cabo de 20 minutos la población aumenta un
10% y 2.- El tiempo en que la población se quintuplica.
Ejercicio 5
Para construir un estadio se utiliza una extensión x de terreno en metros
cuadrados para la cancha, más un 50% de ese valor para la pista de atletismo,
más el triple de x para las gradas, más el doble de x para estacionamientos y
servicios. Modela el valor total del área que ocupa el estadio en función de x.
Ejercicio 6
Un vagón de un tren puede transportar al máximo 58 recipientes y una carga
máxima de 200 toneladas. Los recipientes de una cierta mercancía A pesan 5
toneladas cada uno y los recipientes de otra mercancía B pesan 2 toneladas
cada uno. Se quiere enviar al menos 15 recipientes de la mercancía A y 12 de

13. la mercancía B. Construya un modelo matemático que represente la situación
planteada.
Ejercicio 7
Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien está
dadas respectivamente por:
3 9 364200Q P− = y 203S P=
Calcule las coordenadas del punto de equilibrio.
Ejercicio 8
El interés es la ganancia obtenida sobre el capital invertido.
El interés compuesto al cabo de m años, es el que se va obteniendo cuando
sumamos al capital de un cierto año el interés obtenido en ese año y
calculamos el interés sobre ese nuevo capital y así procedemos hasta el m
ésimo año.
El capital al cabo de m años se denomina monto compuesto y la diferencia
entre ese monto compuesto y el capital es el interés compuesto.
Has un modelo del interés compuesto considerando un capital inicial de
2000000 de bolívares colocado a una tasa de interés del 25 % anual.
Ejercicio 9
Un comerciante hace un descuento del 25% al PVP de productos pero debe
cobra el IVA, el cual corresponde a un 16% del precio del producto después
hacer el descuento.
Haz un modelo que le permita al comerciante calcular el precio que debe
pagar el cliente por un determinado producto.
Ejercicio 10
Elabora un algoritmo que modele la determinación del dominio de la función
real f definida por:
2
1
( )
1
x
f x
x
−
=
+
.