Teoria y propiedades basicas con ejemplos.

1. Profesor: Martín H. P. 1
COMPETENCIA: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
INDICADOR: Resuelve ecuaciones logarítmicas aplicando las diferentes propiedades de los logaritmos.
I. Definición de Logaritmo:
El logaritmo de un número real positivo “N” en base “b” positiva diferente de uno, es el exponente “x” al que hay que
elevar a la base “b” para obtener el número “N”.
x
b
PotenciaciónLogaritmación
Log N x b N  
 Donde:
 N = es el número. (N > 0)
 b = es la base. (b > 0  b  1)
 x = es el logaritmo de “N” en base “b”. (x  IR)
 Ejemplos:
a) 2
6log 36 2 6 36   c) 1
3
1
log 243 243
3
x
x
 
   
 
b) 3
2log 8 3 2 8   d) 4
3log 81 4 3 81  
II. Propiedades de los Logaritmos:
A. Identidad Fundamental del Logaritmo:
logb N
b N ∀ b > 0  b  1; N > 0
 Ejemplos:
a) 5log 9
5 9 b) 3log 5
3 5
B. Logaritmo de la Unidad:
log 1 0b  ∀ b  IR+  b  1
 Ejemplos:
a) 5log 1 0 b) 1
3
log 1 0
C. Logaritmo de la Base:
log 1b b  ∀ b  IR+  b  1
 Ejemplos:
a) 5log 5 1 b) 1
2
1
log 1
2

D. Logaritmo de un Producto:
 log . log logb b bM N M N 
∀ b > 0  b  1; ∀ M,N  IR+
 Ejemplo:
a)  3 3 3log 27.81 log 27 log 81 3 4 7    
ÁREA: MATEMÁTICA
GRADO: CUARTO GRADO

2. Profesor: Martín H. P. 2
E. Logaritmo de un Cociente:
log log logb b b
M
M N
N
 
  
 
∀ b > 0  b  1; ∀ M,N  IR+
 Ejemplo:
a) 2 2 2
32
log log 32 log 2 5 1 4
2
 
     
 
F. Logaritmo de una Potencia:
log loga
b bN a N
∀ b > 0  b  1; ∀ N  IR+ ; ∀ a  IR
 Ejemplo:
a) 5
4 4log 64 5log 64 5.3 15  
G. Logaritmo de una Raíz:
1
log loga
b bN N
a

∀ b > 0  b  1; ∀ N  IR+ ; ∀ a  IR - {0}
 Ejemplo:
a) 3
6 6
1 1 2
log 36 log 36 .2
3 3 3
  
III. Artificios de Cálculo:
A.
log log loga a
a a
b bb
N N N 
∀ b > 0  b  1; ∀ N  IR+ ; ∀ a  IR
 Ejemplos:
a) 25 825
log 64 log 64 log 5 
b) 32
3
2 8log 5 log 5 log 125 
B.
log a
b b a ∀ b > 0  b  1; ∀ a  IR
 Ejemplos:
a) 3
5 5log 5 3log 5 3 
b) 4
log10 4log10 4 
C.
log .logq
p
bb
p
N N
q

∀ b > 0  b  1; ∀ p,q  IR
 Ejemplos:
a) 2
3
36 66
3
log 125 log 5 log 5
2
 
b) 2
9
9 33
9
log 512 log 2 log 2
2
 
D.
log q
p
b
p
b
q

∀ b > 0  b  1; ∀ p,q  IR
 Ejemplo:
a) 2
4
6
4
log 6 2
2
 
b) 7
10
128 2
10
log 1024 log 2
7
 