Con el desarrollo de esta actividad podrás identificar cómo se obtiene la antiderivada de una función, como también pudiste observar una de sus aplicaciones.

2. Módulo18. Cálculoenfenómenosnaturalesyprocesossociales
UnidadII. La derivadaenlaexplicaciónde losfenómenosnaturalesyprocesossociales
Semana3
Autor: María Guadalupe Serrano Briceño
Actividad Integradora. Malthus.
1.- Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la aplicación del modelo de Thomas
Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la antiderivada.
En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de
crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t), en
cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t,
habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:
Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de
proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y
emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero
predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación
diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de
animales pequeños durante cortos intervalos.
Como semencionó una de las aplicaciones principales de laantiderivada es lasolución de ecuaciones
diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de
diferencial, teniendo la ecuación:
dP = kP (t) dt
Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta
manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:
dy = kydt
Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables
pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:
En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está
en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos
diferenciales es necesario obtener su antiderivada.

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2. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial,
que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada
función tiene su propia constante de integración:
∫
𝟏
𝒚
𝒅𝒚 = ∫ 𝒌𝒅𝒕
Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea
una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu
proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:
Y = Cekt
Un clásico modelo de crecimiento de población es el modelo propuesto por Malthus alrededor del
1800, el postulado es el siguiente:
“...La razón de cambio de la población P de bacterias en el instante t es proporcional a la población
P en el instante t ...”
El modelo se rige por la siguiente ecuación diferencial en variable separable:
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
𝑃(0) = 𝑃0
La resolución analítica que nos permite hallar la solución general del modelo es la siguiente:
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
𝑑𝑦
𝑃
= 𝑘𝑑𝑡
∫
𝟏
𝒚
𝒅𝒚 = ∫ 𝒌𝒅𝒕
Resolviendo las integrales de las ecuaciones diferenciales nos queda como equivalentes:
ln| 𝑦| = 𝑘𝑥 + 𝐶 ⟺ | 𝑦| = 𝑒 𝑐
𝑒 𝑘𝑥
⟺ 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡
Teniendo en cuenta que la expresión de la derecha siempre tiene que ser positiva. Entonces, si
sacamos el valor absoluto, la expresión puede ser negativa. De esta forma, podemos reemplazar ec

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por c que es la constante de integración (nota: es una c diferente, pero aún sirve como una
constante), por lo tanto, nos queda:
y = C * ekt
Esta es la función de crecimiento exponencial genérico, donde la variable “y”, representa la tasa
de crecimiento de la población y es conocida como el modelo de Malthus para una población.
3. Desarrollo. Con la aplicación de la antiderivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y
resuelve lo que se indica:
Suponiendo que lapoblación inicialque seestáconsiderando es de 350 individuos determina el valor
de C. Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación seestima el tamaño de la población dentro de 12 años.
Bosqueja una gráfica a mano.
Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la
imagen de la gráfica.
Para resolver nuestro problema, necesitamos obtener el valor de “C”, conocemos que C es una
constante arbitraria y para determinarla, tenemos la condición inicial que en t = O. Para ello
aplicaremos la ecuación de Malthus con valor 0 en t y k : y = C * ekt
Como datos, tenemos que:
y = 350 (tamaño de la población.
t = tiempo = 0
k = crecimiento = 0
Sustituimos valores:
𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝑘𝑡
350 = 𝐶 ∙ 𝑒(0)(0)
350 = 𝐶 ∙ 𝑒0
Como e0 es igual a 1, tenemos: 350 = 𝐶 ∙ 1
350 = 𝐶
De los datos del cuestionamiento y del valor obtenido de C, tenemos:
k = 0.3

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t = 12
C = 350
Volvemos a utilizar la ecuación de Malthus:
𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝑘𝑡
Sustituimos valores, desarrollamos, quitamos paréntesis (nota: la e corresponde al denominado
número de Euler y es la base de los logaritmos naturales, su valor es 2.7 1828 1828):
𝑦 = 350 ∙ 𝑒(0.3)(12)
= 350 ∙ 𝑒0.3∙12
= 350 ∙ 2.718283.6
= 350 ∙ 36.5982 = 12809.3
Por lo tanto, si la población es de 350 individuos, al cabo de 12 años, la población estimada se
incrementará a 12,809.3 individuos.
De esta forma, tenemos que la función que determina el incremento es:
𝒚 = 𝟑𝟓𝟎𝒆 𝟎.𝟑𝒕
Para validar los datos, se muestra la gráfica de la función y tabulaciones de a aplicación Geogebra,
donde se muestra que en el punto 12 que correspondería al tiempo, se dan 12,809.38 que
corresponden a los individuos, que se encuentran coloreadas en amarillo.
Gráfica a mano:

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Semana3
Fuentes:
1.- SEP.s/f. La derivadaenlaexplicaciónde losfenómenosnaturalesyprocesossociales.UnidadII.Págs. 13-
35. (Contenido extenso. Módulo 18: Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Semana 3).
2. SEP. s/f. Ecuaciones diferenciales. Unidad II. Págs. 1-3. (Recurso. Módulo 18: Calculo en fenómenos
naturales y procesos sociales. Semana 3).
3. SEP. s/f. Modelos matemáticos con derivadas y antiderivadas.Unidad II. Págs. 1-3. (Recurso. Módulo 18:
Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Semana 3).
4. Ron, L. (2010). Cálculo de una variable. McGraw-Hill. Novena Edición. México. Págs. 247-255. PDF
recuperadoel 23 de enerode 2018 de https://es.slideshare.net/luisacevedonunez7/calculo-de-una-variable-
ron-larson-y-bruce-edwards-novena-edicion-44057854
5. HernándezS.,Elsie.(2013,febrero). CálculoDiferencial eIntegral, conAplicaciones.Escuelade Matemática,
InstitutoTecnológicode CostaRica. PrimeraEdición.Págs. 251-253. PDFrecuperadoel 23 de enero de 2018
de
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/Calculo_Diferencial_Integral/CALCULO_D_I_ELSIE.pdf