1. MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA II TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

4. TRASLACIÓN 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Dado un vector v, se llama TRASLACIÓN DE VECTOR v a una transformación tal que a cada punto P le hace corresponder otro punto P' verificando que el vector PP' tiene la misma dirección, sentido y módulo que el vector v. Al punto P' se le llama homólogo de P.

5. ELEMENTOS INVARIANTES EN UNA TRASLACIÓN 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo PUNTOS: ningún punto es invariante RECTAS: rectas paralelas al vector de traslación

6. COMPOSICIÓN O PRODUCTO DE TRASLACIONES 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La composición de dos traslaciones (de vectores v , w ) sobre una figura F , consiste en obtener la figura F´´ al aplicar la traslación respecto a w sobre F y a la imagen obtenida, F‘, aplicarle la traslación respecto a v . El resultado de esta operación es una traslación de vector v+w .

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8. TEOREMA: Toda traslación es una isometría 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Pista: observa la figura P P’ Q Q’

9. GIRO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Dado un punto O y un ángulo  , se llama GIRO DE CENTRO O y ángulo  a una transformación tal que dado un punto P le corresponde otro punto P’ de forma que distancia(O,P)=distancia(0,P’) y el ángulo POP’= ángulo 

10. ELEMENTOS INVARIANTES EN UN GIRO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo PUNTOS: el ÚNICO punto invariante es el centro de giro RECTAS: no hay rectas invariantes CIRCUNFERENCIA: todas las circunferencias de centro el centro de giro son invariantes

11. COMPOSICIÓN O PRODUCTO DE GIROS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La composición de dos giros (de amplitudes a , b y centros O y O' ) sobre una figura F , consiste en obtener la figura F´´ al aplicar el giro ( O’ , b ) a la figura F y a la imagen obtenida F´ aplicarle el giro ( O , a ). Se distinguen dos casos: 1.COMPOSICIÓN DE GIROS DE MISMO CENTRO 2. COMPOSICIÓN DE GIROS DE DISTINTO CENTRO

12. COMPOSICIÓN DE GIROS DE MISMO CENTRO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La composición de dos GIROS (de amplitudes a  b ) y desde un mismo centro O , es otro giro del mismo centro y de amplitud la suma de sus amplitudes ( a+b ).

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14. COMPOSICIÓN DE GIROS DE DISTINTO CENTRO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La composición de dos giros de distinto centro (de amplitudes a , b y centros o y o' ) es otro giro: a. De amplitud la suma de las amplitudes. b. De centro el punto de corte de dos mediatrices de segmentos determinados por puntos homólogos.

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16. TEOREMA: Todo giro es una isometría 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Pistas: Aplicar la definición de giro. Observa la representación gráfica: O. P P’ Q Q’

17. SIMETRÍA 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Dada una recta r, se llama SIMETRÍA AXIAL DE EJE r a una transformación tal que dado un punto P se transforma en otro punto P’ de forma que la recta que determinada por los puntos P, P’ es perpendicular a r y distancia(r,P)=distancia(r,P’).

19. COMPOSICIÓN O PRODUCTO DE SIMETRÍAS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La composición de dos simetrías axiales (de ejes e y e' ) sobre una figura F , consiste en obtener la figura F´´ al aplicar la simetría axial de eje e’ a la figura F y a la imagen obtenida, F‘, aplicarle la simetría axial de eje e . Se distinguen dos casos: 1.COMPOSICIÓN DE SIMETRIAS DE EJES PARALELOS 2. COMPOSICIÓN DE SIMETRIAS DE EJES SECANTES

20. COMPOSICIÓN DE SIMETRIAS DE EJES PARALELOS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La composición de dos SIMETRÍAS AXIALES de ejes e  e' paralelos es una traslación , con las siguientes características: a. La dirección del vector de traslación es perpendicular a los ejes paralelos. b. El módulo del vector de traslación es el doble que la distancia entre los dos ejes.

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22. COMPOSICIÓN DE SIMETRIAS DE EJES SECANTES 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La composición de dos simetrías axiales de ejes secantes es un giro : a. De amplitud el doble del ángulo que definen los ejes. b. De centro el corte de los ejes.

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25. APLICACIONES DE LAS ISOMETRIAS CUBRIMIENTOS DEL PLANO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

28. TIPOS DE CUBRIMIENTOS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 2. MOSAICOS: cubrimiento de todo el plano 1. FRISOS: cubrimiento de la región del plano limitada por dos rectas paralelas

30. TIPOS DE FRISOS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Hay 7 tipos:

31. EJERCICIO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo A continuación se presentan una serie de frisos construidos a partir de un mismo elemento generador, hay que IDENTIFICAR A QUÉ TIPO PERTENECE CADA UNO y CUÁLES SON LAS ISOMETRIAS del plano que intervienen:

32. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 1 2 3 Simetría vertical y traslación de vector Giro de 180º más simetría horizontal y traslación. Traslación de vector

33. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 4 Simetría horizontal y traslación de vector 5 Simetría vertical + simetría horizontal con desplazamiento y traslación 6 Giro de 180º y traslación de vector

34. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 7 Simetría horizontal con desplazamiento y traslación

36. MOSAICOS REGULARES 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Se utiliza como motivo mínimo un único polígono regular. Sólo es posible construir 3 mosaicos utilizando como tesela un polígono regular.

37. MOSAICOS SEMI-REGULARES 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo El motivo mínimo son 2 o más polígonos regulares diferentes, siempre que sus lados coincidan. La condición a verificar es que los ángulos que confluyan en cada vértice sumen 360º.

38. MOSAICOS SEMI-REGULARES UNIFORMES 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo En todos los vértices concurren los mismos polígonos regulares, y además en el mismo orden. Suele decirse que los vértices son iguales o del mismo orden. Solamente existen 8 mosaicos con estas características.

39. TIPO 1 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo POLÍGONOS REGULARES 1 hexágono + 1 triángulo + 2 cuadrados ÁNGULOS 120º+60+2*90

40. TIPO 2 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo POLÍGONOS REGULARES 2 octógonos + 1 cuadrado ÁNGULOS 2*135º+90º

41. TIPO 3 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo POLÍGONOS REGULARES 1 dodecágono + 1 hexágono + 1 cuadrado ÁNGULOS 150º+120º+90º

42. TIPO 4 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo POLÍGONOS REGULARES 2 dodecágonos + 1 triángulo equilátero ÁNGULOS 2*150º+60º

43. TIPO 5 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo POLÍGONOS REGULARES 2 hexágonos + 2 triángulos ÁNGULOS 2*120º+2+60

44. TIPO 6 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo POLÍGONOS REGULARES 1 hexágono + 4 triángulos ÁNGULOS 120 + 4 *60

45. TIPO 7: 2 mosaicos 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo POLÍGONOS REGULARES 2 cuadrados + 3 triángulos ÁNGULOS 2*90 + 3*60

47. OTROS MOSAICOS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

48. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

49. MOSAICOS NAZARÍES: EL HUSO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

50. MOSAICOS NAZARÍES: EL HUESO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

51. MOSAICOS NAZARÍES: EL PÉTALO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

52. MOSAICOS NAZARÍES: EL AVIÓN 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

53. MOSAICOS NAZARÍES: LA PAJARITA 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

54. Mosaicos de Escher 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo El holandés Mauritis Cornelis Escher (1898-1972) es el artista contemporáneo de más éxito en el llamado "arte matemático".Dedicó una buena parte de su carrera a diseñar grabados que contenían recubrimientos con piezas en forma de criaturas vivientes. Su obra se encuentra en mosaicos que decoran edificios y en grabados, litografías y acuarelas cuyas imágenes se pueden encontrar en http://www.mcescher.com .

55. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Ver la Unidad Didáctica : http://descartes.cnice.mec.es/taller_de_matematicas/grabados_de_escher/indice.htm

56. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo En los cuadros y grabados de Escher, una de las características más relevantes es la utilización de la partición periódica del plano . Consiste en recubrir el plano con la misma pieza, que se repite de forma constante, sin dejar huecos. Para diseñar sus propias construcciones, estudió las pautas de regularidad creando un cuaderno de anotaciones entre 1941 y 42. El dibujo que aparece en la escena lleva el sobrenombre de " Pájaros "

57. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo El objetivo es encontrar la estructura de una pieza que tras una sucesión de movimientos geométricos rellene por completo el plano . El mosaico que aparece en la figura es la Partición regular de superficie nº 99, VIII, de 1954 .

58. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Escher llegó a dominar la técnica del cambio gradual y continuo que experimenta un polígono regular hasta obtener figuras animadas distintas. Un ejemplo es la figura contigua que pertenece a parte de la litografía titulada Reptiles (1943).

62. PASOS PARA CREAR LA PAJARITA 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo De esta manera se obtiene una nueva figura apta para cubrir todo el plano: genera el mosaico

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64. MÉTODOS PARA LA CREACIÓN MOSAICOS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 2. Sobre un polígono regular se determina el punto medio de cada uno de sus lados. Se realizan recortes en la figura y se les aplica un giro de 180º respecto al punto medio de su lado hasta que éstos queden situados sobre la parte externa de la figura. Ejemplo:

65. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 1. Partir de una figura que permita rellenar todo el plano sin superposiciones ni huecos. Un triangulo. 2. Determinar el punto medio de cada uno de sus lados

66. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 3. Sobre la figura realizamos el dibujo de la parte que queremos recortar

67. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 4. La figura dibujada se gira 180º respecto al punto medio del lado del triángulo hasta situarla sobre éste. Obtenemos el perfil de una figura diferente.

68. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 5. Se realiza la misma operación sobre los otros dos lados Así obtenemos una nueva figura con la que se puede rellenar el plano. Duplicando la figura y realizando giros y traslaciones se cubre el plano sin huecos ni superposiciones.

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70. PASOS PARA CREAR LOS PÁJAROS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

71. LOS PÁJAROS 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo 1. Partimos de un cuadrado. figura que permita rellenar todo el plano sin superposiciones ni huecos 2. Dibujamos una serie de trazos que compondrán la figura que deseamos recortar de ese cuadrado.

72. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo ya tenemos dibujada sobre el cuadrado la figura que hay que recortar

73. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo La extraemos del cuadrado la unimos a su lado contrario

74. 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo Realizamos otra figura en el interior del cuadrado La separamos del cuadrado y la unimos a su lado contrario Ya tenemos la figura que deseamos

75. PISTAS PARA CONSTRUIR EL AVION 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo

76. PISTAS PARA CONSTRUIR EL HUSO 31/03/2008 Mª Pilar Gistau Calvo