powerpoint para octavo año

1. Geometría
Transformaciones Isométricas

2. 1. Transformaciones Isométricas
Definición
La palabra isometría, significa “igual medida”, por lo tanto,
en una transformación isométrica:
1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura
(figuras congruentes).
2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

3. 2.1 Traslación
Se puede considerar una traslación como el movimiento que
se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo
su forma y tamaño.
Una traslación en el plano,
corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto
P(x,y), en otro P´(x + a, y + b ).
P(x, y)
T(a, b)
P´( x + a, y + b )
Ejemplo 1:
P(2, 1)
T(3, -5)
P´(2 + 3, 1 + -5)
P´(5, -4)
2. Tipos de Transformaciones Isométricas

4. -1 1 2 3
3
1
2
4
y
x
4 5
-3
-2
-4
-5
P(2, 1)
T(3, -5)
P´(5, -4)
P
P´
La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN”

5. Ejemplo 2:
El triángulo PQR, de vértices P(1,2), Q(3,1) y R(4,3)
se “traslada” al aplicar el vector traslación T(-4,2),
y las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´.
P(1,2)
T(-4,2)
P´(-3,4)
Q(3,1) Q´(-1,3)
R(4,3) R´(0,5)

6. Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la
izquierda y 2 unidades hacia arriba.
1
2
3
4
2 3 4
-1
-2
-3
1
5
P(1,2) P´(-3,4)
Q(3,1) Q´(-1,3)
R(4,3) R´(0,5)

7. 2.2 Rotación
Corresponde a un movimiento circular con respecto a un
centro de rotación y un ángulo.
La rotación es positiva si es en sentido contrario a los
punteros del reloj.
0
0: centro de rotación

8. 90° 180° 270° 360°
A(x,y)
Punto
Ángulo
Rotación en el plano cartesiano:
Si el punto A (x,y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270°
ó en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se
indican en la siguiente tabla:
(-y,x) (-x,-y) (y,-x) (x,y)
Ejemplo 1:
90° 180° 270° 360°
A(5,-8)
Punto
Ángulo
(8,5) (-5,8) (-8,-5) (5,-8)
En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.

9. A
1
2
3
4
2 3 4
-1
-2
-3
1
5
Ejemplo 2:
Si el punto A (2,3) gira con respecto al origen en 90°,
se transforma en el punto A´(-3,2).
A´

10. 2.3 Simetría o Reflexión
Tipos de Simetrías:
Se puede considerar una simetría como aquel movimiento
que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto
de un espejo (refleja la figura).
Simetría Axial: Reflexión respecto de un eje.
Eje de Simetría

11. 1
2
3
4
2 3 4
-1
-2
-3
1
5
A A´
Eje de Simetría: X=1
M
AM = MA´
La Simetría axial corresponde a una transformación geométrica
que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que
la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada
Eje de Simetría.
AA´ es perpendicular al eje de simetría

12. Simetría Central: Reflexión respecto de un punto.
O
O : centro de rotación
A A´
AO = OA´

13. O
La Simetría central corresponde a una transformación
isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con
respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y
A`pertenece a la recta AO.
1
2
3
4
2 3 4
-1
-2
-3
1
5
Ejemplo:
A A´
B
B´
C
C´
OA = OA´
OC = OC´
OB = OB´
La simetría central equivale a una rotación
de 180º con respecto a un punto.

14. 3. Teselaciones
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que
cubre completamente una superficie plana, de manera que
no queden espacios y no se superpongan las figuras.
Ejemplos:
M.C. Escher
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15. Teselación del plano por polígonos regulares
Los tres polígonos regulares que recubren el plano son:
Triángulo equilátero
Cuadrado
Hexágono regular
Sólo estas tres figuras teselan regularmente el plano.
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16. Las teselaciones se crean usando Transformaciones isométricas
sobre una figura inicial.
Simetría
+ Traslación
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