Manual de topografia

Elaborado Por: ING. WILFREDO AVALOS LOZANO.
CHICLAYO - 2019

Índice
I.- MATEMÁTICAS BÁSICAS DE USO PRÁCTICO EN TOPOGRAFÍA. .................................................. 1
1.1. Geometría Topográfica. .................................................................................................................. 1
1.1.1.- Ángulo.-........................................................................................................................................ 1
1.2.- Razones Trigonométricas de Ángulos Notables. ............................................................................ 5
1.3.- Teorema de Pitágoras. ...................................................................................................................... 6
1.4.- Ley de Senos...................................................................................................................................... 7
1.5.- Ley de Cosenos.................................................................................................................................. 7
II.- TOPOGRAFÍA. ........................................................................................................................................ 10
2.1.- Levantamiento Topográfico............................................................................................................. 11
2.2.- Escalas.............................................................................................................................................. 12
2.3.- Planimetría Básica. .......................................................................................................................... 14
2.4.- Planimetría Con Equipos Topográficos.......................................................................................... 23
2.4.1.- Sistema De Coordenadas Rectangulares............................................................................... 23
2.4.2.- Coordenadas polares................................................................................................................ 25
2.4.3.- Rumbos...................................................................................................................................... 26
2.4.4.- Acimuts....................................................................................................................................... 27
2.4.4.1.- Ejercicios de levantamientos efectuados con Brújula y Teodolito.................................... 29
III.- Bibliografía y Separatas......................................................................................................................... 49
3.1.- Bibliografía........................................................................................................................................... 49
3.2.- Separatas............................................................................................................................................. 49

ING. WILFREDO AVALOS LOZANO 1
I.- MATEMÁTICAS BÁSICAS DE USO PRÁCTICO EN TOPOGRAFÍA.
1.1. Geometría Topográfica.
1.1.1.- Ángulo.- es la abertura formada por 2 rayos divergentes que tienen un extremo en
común. el cual se denomina vértice.
Elementos de un ángulo: A
Angulo cóncavo β α ángulo convexo
O
Vértice B
1.1.1.1.- Clasificación por su medida:
a) ángulo nulo:
B B ambas semirectas coinciden
A A
b) ángulo agudo:
B C
ángulo menor a 90°
O A

c) ángulo recto:
A
ángulo igual a 90°
B
d) ángulo obtuso:
C B
ángulo mayor a 90° < de 180°
O A
e) ángulo llano:
ángulo = 180°
C B A
1.1.1.2.- Clasificación según su suma.
a) ángulos complementarios:
A
C
α + β =90°
α
β B

b) ángulos suplementarios:
A
B
θ + β =180°
M θ β N
1.1.1.3.- Clasificación según su posición.
a) ángulos adyacentes: b) ángulos consecutivos:
A B
A C
θ β
C θ β B α D
comparten un lado en común pueden formar más ángulos
c) ángulos opuestos por el vértice:
A
θ β son congruentes
B

d) ángulos entre dos rectas paralelas y una recta secante:
P
M 1 2
3 4
Región interior
N 5 6
7 8
Región exterior
- M // N, se lee M es paralelo a N y viceversa además es transversal a P, de los 8 ángulos
que quedan formados:
4 son interiores: 3, 4, 5, 6
4 son interiores: 1, 2, 7, 8
Ángulos alternos internos (son congruentes).
P
<4 = <6; por ser alternos internos entre M // N
M y transversal a P.
4 3 <5 = <3; por ser alternos internos entre. M // N
y transversal a P.
Características de este par de ángulos.
- están en distintos semiplanos con
Respecto a la recta P.
N 5 6 - los dos ángulos son internos.
- los ángulos no son adyacentes.

Ángulos alternos externos (son congruentes).
P
<1 = <7; por ser alternos externos entre M // N
M 1 2 y transversal a P.
<2 = <8; por ser alternos externos entre. M // N
y transversal a P.
Características de este par de ángulos.
- están en distintos semiplanos con
Respecto a la recta P.
N - los dos ángulos son externos.
8 7 - los ángulos no son adyacentes.
1.2.- Razones Trigonométricas de Ángulos Notables.
Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos
se puede conocer la proporción existente entre sus lados.
1° Triángulo notable de 45°.-
45° Sen 45° =
√
x
√
√
=
√
= 0.7071
√ 1 Cos 45° =
√
x
√
√
=
√
= 0.7071
45° Tg30° = = 1
1
2° Triángulo notable de 30° y 60°.-
30° Sen 30° = = 0.5 ; Sen 60° =
√
= 0.866
2 √ Cos 30° =
√
= 0.866; Cos 60°= = 0.5
60° Tg30°
√
x
√
√
=
√
= 0.577
1

Tg60°
√
=1.73
2° Triángulo notable de 37° y 53°.-
53° Sen 37° = = 0.6 ; Sen 53° = = 0.8
5 3 Cos 37° = = 0.8 ; Cos 53°= = 0.6
37° Tg37°= = 0.75
4
Tg53°= = 1.33
1.3.- Teorema de Pitágoras.
Razones trigonométricas para el Angulo α:
Seno de alfa = Senα = =
C Coseno de alfa = Cosα = =
b a Tangente de alfa = Tgα = =
Cotangente de alfa = Ctgα = =
A c B Secante de alfa = Secα = =
= + Cosecante de alfa = Cscα = =
CA=cateto adyacente; CO=cateto opuesto; H= hipotenusa.
α

1.4.- Ley de Senos.
Quiere decir que si en un polígono triangular conozco 3 distancias y un ángulo. puedo
determinar otro ángulo y así todos los ángulos y distancias. Además que saber que la suma
de ángulos internos de un polígono responde a la siguiente formula.
Σ<s = 180 (n-2) o cumplirse: α+β+Ɵ = 180°
B
c a
A C
b
Se cumple:
= =
1.5.- Ley de Cosenos.
Necesariamente tendría que conocerse uno de los ángulos y 2 distancias, de esta manera se
pueden calcular la tercera distancia y los dos ángulos restantes.
debe cumplirse: α+β+Ɵ = 180°
B
c a
A C
b
Se cumple:
= + – 2bc.cosα
α
β
Ɵ
α
β
Ɵ

= + – 2ac.cosβ
= + – 2ab.cosθ
Problemas resueltos para ambos casos:
Ley de Senos:
Ejercicio 01. se desea conocer los ángulos α y θ a partir de los datos obtenidos en campo.
B
97m 58.86m
A C
85m
Solución: por la ley de senos realizamos las siguientes relaciones.
Calculo de α:
=
58.86 senα = 85 sen37°
α = arcsen
α = 60°21´8.47”
Calculo de θ:
=
85 senα = 97 sen60°21´8.47”
α = arcsen
α = 82°38´51.76”
37
°
α
Ɵ

se cumple:
α+37°+θ=180°
60°21´8.47”+37°+82°38´51.76” =180° (OK)
Ley de Cosenos:
Ejercicio 02. se desea conocer la distancia BC=a; a partir de los datos obtenidos en campo.
B
a=??
b=97m obstáculo
A C
c=85m
Solución: por la ley de cosenos realizamos las siguientes relaciones.
= + – 2bc.cosα
= + – (2*97*85).cos37°
= 3464.50044
a = √
a = 58.86m
37°

II.- TOPOGRAFÍA.
Proceso ordenado que haciendo uso de matemáticas básicas y el uso de instrumentos
mecánicos, automáticos y electrónicos, es posible representar gráficamente el relieve y forma
de la tierra en planos.
Practicado desde muchos siglos atrás por el hombre para dar solución práctica a muchos
problemas de ingeniería y los resultados hoy los vemos en las maravillas mundiales tales
como las pirámides de Egipto, Machupicchu, etc.
Orden en la realización de un trabajo topográfico.
 Conocimiento del área de estudio.
 Recopilación de información del área a levantar.
 Elección del método topográfico de medición.
 Trabajo de campo.
 Trabajo de gabinete.
 Elaboración de planos.
La topografía solo es usada para representar hasta un máximo de 625 , teniendo como
lado promedio 25km, más allá de esta cobertura se manifiesta el radio de curvatura terrestre
por lo que se debe emplear métodos que comprenden la aplicación de la geodesia.
Geodesia.
Estudia la forma, dimensiones y campo de gravedad de la tierra. Nos permite ubicar con
exactitud un punto (latitud y longitud) sobre una superficie matemática denominada elipsoide.
Ramas de la topografía.
Planimetría.- Método de medición y representación de una parte de la superficie de la tierra
sobre un plano.
Altimetría.- conjunto de operaciones que se realizan para definir y representar numérica y
gráficamente, las cotas de puntos de terreno.
Taquimetría.- realiza levantamientos de planos con equipos taquimétricos estudiando
distancia vertical y horizontal entre puntos.

2.1.- Levantamiento Topográfico.
Metodología por la cual se realiza mediciones con instrumentos topográficos y geodésicos;
mecánicos o electrónicos, y de esta manera graficar en un plano la forma precisa de un área
geográfica.
Tipos de levantamientos: por citar algunos.
1. Levantamiento Planímetros.- representa puntos medidos en el plano.
2. Levantamientos altimétricos.- determina las diferencia de altura en un relieve
a partir de un altura de referencia en este caso el nivel medio del mar.
3. Levantamientos taquimétricos.- se determinan mediante el uso de equipos
taquimétricos la determinación de un punto en los tres ejes ( X,Y,Z).
4. Levantamientos longitudinales.- se usan en carreteras, canales,etc.
5. Levantamientos catastrales.- se usan para medir predios urbanos o rurales.
Términos muy usados en topografía:
Nivel medio del mar.-
se llama así al nivel de referencia desde el cual se miden los desniveles este se encuentra en
el nivel quieto del mar el cual se a determinado mediante el uso del mareógrafo ensayos
realizados durante 20 años.
BM (Bench Mark).-
Punto conocido fijo con sus coordenadas y altura con respecto al nivel medio del mar.
Cota.-
Es la distancia vertical con referencia al nivel medio del mar.
Cota absoluta: es una cota de nivel con referencia al nivel medio del mar.
Cota relativa: es una cota asumida arbitrariamente.

Representación de planos.
Todo Trabajo de topografía tiene por finalidad plasmar lo medido en una determinada área
en un plano. El cual posteriormente tiene que ser de fácil lectura de medición y análisis para
los profesionales que tengan acceso a ellos.
Representar las dimensiones reales del área levantada resultaría imposible graficarla en un
papel de dimensiones muy inferiores a las del terreno, para eso existe un procedimiento por
el cual se encuentra un factor de reducción para poder graficar detalladamente lo medido en
terreno en un plano de dimensiones pequeñas a esto se le conoce como ESCALA.
2.2.- Escalas.
Es el factor de reducción que nos da la relación existente entre la medida real en el terreno y
la medida representada en el plano.
Las escalas pueden numéricas o gráficas.
Escala Numérica.- se expresan en forma de fracción, ejemplo.
= 1:100
Quiere decir que una unidad en el papel o plano equivale a 100 unidades del terreno, o el
dibujo es 100 veces más pequeño que en el terreno.
Escala gráfica.- consiste en dibujar una regla dividida en distancia o unidades en
correspondencias con la escala elegida.
Ejemplos de escala numérica:
Ejemplo 01. Representar en un plano a escala 1:320 una longitud en el terreno de 54.32m.
1 → 320
X → 54.32
E =
Pl o
Terre o

X = 54.32m/320 = 0.16975m este valor en escala 1:320 equivale a 0.16m
Ejemplo 02. Se desea conocer la escala numérica para representar 7.5km medidos en el
terreno y que en el papel ocupen una longitud de 15cm.
Esc = x = = =
Quiere decir que para representar 7500m medidos en el terreno. y en el papel mida 15cm,
debo usar una escala de 1:50000
Su relación con la escala 1:1 será:
1:50(0(0(0
1dm → 5000m
1cm → 500m
1mm → 50m
Conclusión: en función a las dimensiones de la hoja de impresión.
1. A menor denominador el dibujo es más grande en el papel, por lo tanto no muestra
mucho detalle y pueda que no represente la dimensión total de lo que medimos en el
terreno.
2. A mayor denominador el dibujo es más pequeño en el papel, por lo tanto nos
representa la totalidad del área medida es más demostrativo.
Si deseo cambiar el tamaño del dibujo:
3. Si quiero reducir un dibujo, tengo que dividir el menor denominador del mayor.
4. Si quiero ampliar un dibujo, tengo que dividir el mayor denominador del menor.

2.3.- Planimetría Básica.
Levantamiento topográfico mediante el método de arcos y cuerdas.
Este método se apoya en el uso de la ley de cosenos para que a partir de medir en un vértice
dos arcos y una cuerda determinar el ángulo de dicho vértice.
Arco = a Cuerda = c
α
C Arco = b
Por ley de cosenos. el ángulo
= + – 2ab.cosθ
Donde:
2ab.cosθ = + -
Cosθ = θ = arccos ……. fórmula a usar.
Caso 01: si los arcos son diferentes. Si a b:
θ = arccos
𝑎 𝑏 𝑐

Caso 02: si los arcos son iguales. Si a b:
2
Ejemplo 01: se mide en un trabajo de campo los siguientes datos del ángulo
representa al angulo θ.
a = 6.00m c = 7.00m
θ =??
C b = 6.50m
Solución.
Lo primero que observamos es que los arcos son diferentes a b; por lo tanto usaremos la
fórmula para el caso 01.
= arccos
Reemplazando datos:
= arccos = arccos
( )
= arccos = arccos 0.375 = 67°58´32.47”
θ = arccos
𝑎 𝑐
𝑎

Ejemplo 02: se mide en un trabajo de campo los siguientes datos del ángulo “C”.
representa al angulo θ.
a = 6.00m c = 5.70m
θ =??
C b = 6.00m
Solución.
Lo primero que observamos es que los arcos son iguales a b; por lo tanto usaremos la
fórmula para el caso 02.
= arccos
Reemplazando datos:
= arccos
( )
= arccos
( )
= arccos
= arccos
= 56°43´7.32”

Ejemplo 03: En la poligonal levantada por el método de arcos y cuerdas se pide compensar
los ángulos y graficar la poligonal corregida.
Solución.
Calculo del ángulo :
= arccos
Reemplazando datos:
= arccos = arccos
( )
= arccos
= arccos 0.186071 = 79°16´35.02”

= arccos
Reemplazando datos:
= arccos = arccos
( )
= arccos
= arccos -0.310228 = 108°4’22.75”
= arccos
Reemplazando datos:
= arccos = arccos
( )
= arccos
= arccos -0.209644 = 102°6’5.45”
= arccos
Reemplazando datos:
= arccos = arccos
( )
= arccos
= arccos 0.296469 = 72°45´15.6”

NOTA: se debe cumplir que la suma de todos los ángulos dede ser:
Σ = 180 (n-2) 180 (4-2) = 360°
Σ :
= 79°16´35.02” +
= 108°4’22.75”
= 102°6’5.45”
= 72°45´15.6”
__________________
Σ = 362°12´18.82”
Se observa que existe un exceso de. 2°12´18.82” esto nos da pie a un proceso de
compensación de ángulos hasta dibujar el plano con datos ajustados correctamente.
Calculo del error angular (Ea).
Ea = Σ - Σ = 180 (n-2)
Ea = 362°12´18.82” – 360°
Ea = 2°12´18.82”
Calculo de la corrección angular (Ca).
Ca = = = 0°33´4.7” error por Exceso se pasó de 360°
Corrección de ángulos internos. El exceso se restara de cada ángulo
= 79°16’35.02” - 0°33’4.71” = 78°43’30.31” +
= 108°4’22.75” - 0°33’4.71” = 107°31’18.05”
= 102°6’5.45” - 0°33’4.71” = 101°33’0.74”
= 72°45´15.6” - 0°33’4.71” = 72°12’10.9”
Σ = 360°00´00” (ok).

Ángulos corregidos: con estos ángulos se grafica la poligonal corregida la cual se ajustara
con el error de cierre lineal.
= 78°43’30.31”
= 107°31’18.05”
= 101°33’0.74”
= 72°12’10.9”
Calculo del error lineal de cierre (El).
Luego de calcular los ángulos corregidos se procede a dibujar con estos y las distancias
medidas en campo.
Cuando dibujemos es muy probable que la poligonal no cierre entonces se procederá de la
siguiente manera.
1.- al dibujar utilizaremos escuadras, escalímetro y un transportador.
2.- primero dibujamos una línea base AB con su distancia respectiva 65.50m.
3.- Luego con el transportador graficamos el ángulo = 107°31’18.05”, y graficamos la
distancia BC=62.80m.
4.- Luego con el transportador graficamos el ángulo = 101°33’0.74”, y graficamos la
distancia CD=75.00m.
5.- Finalmente graficamos el ángulo = 72°12’10.9”, y graficamos la distancia A= 97.40m.
Observamos que la poligonal no cierra existe una distancia entre el punto A de cierre y un A’,
a esta distancia se le conoce como error de cierre lineal.
Ec = se mide con escalímetro; según la escala en la que se está dibujando el plano.
Ec=0.67m
Para cerrar la poligonal debo calcular la corrección de cierre lineal. N= # de lados
Ccl= = = 0.1675m; a repartir en cada vértice.

Pasos para corregir el error lineal calculado la corrección.
1. Se obtuvo el error de cierre nos dio 0.67m, línea que fue trazada desde A’ hasta A.
2. Se dibujan paralelas a esta en cada uno de los vértices utilizando las escuadras de
60°,30° y la de 45°,45°. Pero en sentido contrario a como A’ encontró a “A”.
3. En cada una de estas paralelas empezando del vértice “B” se va compensando
acumulando el Ccl, hasta llegar al vértice “A”.
Ejemplo:
En “B”, será igual a 0.1675m
En “C”, será el doble del anterior 0.1675x2 = 0.335m
En “D”, será el triple de “B” 0.1675x3 = 0.5025m
Finalmente en “A” llega con el valor completo de 0.67m
4. Una vez culminado este proceso se unen las correcciones empezando de B, C, D y
finalmente llegando a “A”. esta nueva poligonal es la poligonal corregida y se acepta
para áreas pequeñas no mayores 4 Has. (recomendable).
5. A continuación presentamos el grafico de la poligonal donde se aprecia en el cirulo el
error de cierre de 0.67m, el cual falto para que esta cierre correctamente.

A continuación presentamos el plano corregido.

2.4.- Planimetría Con Equipos Topográficos.
Levantamiento de poligonales.
Poligonal es un trazo, bien puede ser cerrado originándose quiebres que se les denominan
vértices dando origen a un ángulo, como también puede ser abierto.
Se originan a partir de la medición de distancias y en los vértices ángulos. para nuestro
estudio utilizaremos teodolito y wincha como elementos de medición de poligonales.
Elementos de geometría:
2.4.1.- Sistema De Coordenadas Rectangulares.
Y 2 líneas que se cortan en un ángulo recto
Constituyen un sistema de ejes de coord-
P - enadas rectangulares. O cartesianas.
X X
Al eje XX se le llama eje de abscisas.
Al eje YY se le llama eje de ordenadas.
Y
Por lo tanto en el punto P se representa un par ordenado, P(X, Y).
En topografía, el eje de las ordenadas o meridianos se le conoce como el eje Norte – Sur. Y
al eje de las paralelas se le conoce como el eje Este – Oeste.
Para el punto P: P(Np , Ep)
Donde:
Np = coordenadas Norte del punto P.
MERIDIANOEJECERO
DELONGITUD
ECUADOR O EJE CERO
DE LA LATITUD

Ep = coordenadas Este del punto P.
Relación entre los cuadrantes utilizados en trigonometría y los cuadrantes topográficos.
Signos de los cuadrantes.
CUADRANTE NOMBRE SIGNO
I NORTE - ESTE + +
II SUR ESTE - +
III SUR – OESTE - -
IV NORTE - OESTE + -
Los signos determinaran la operación a realizar, adición o sustracción cuando veamos el
tema de proyecciones ortogonales.
I
IIIII
IV

2.4.2.- Coordenadas polares.
La posición de un punto P2 con respecto a un punto P1 también queda definida mediante el
ángulo Ɵ entre el eje de referencia y la alineación de P1,P2, y la distancia D, según se
observa en la figura.
P2
Ɵ
P1
El ángulo Ɵ y la distancia D, constituyen las coordenadas polares del punto p2.
Las coordenadas de un punto se indican de la siguiente manera:
La dirección de una alineación cualquiera se puede definir por el ángulo horizontal, (medido
en sentido horario), que dicha alineación forma con una alineación de referencia. Si la
alineación de referencia es el eje Norte, el ángulo Hz se le denomina Acimut Ɵ.
NORTE
ΔN1-2
ΔE1-2
ESTE

En la gráfica se indican los acimuts. Correspondientes a alineación ubicadas en diferentes
cuadrantes.
El ángulo que la dirección Norte – Sur, forma con la alineación dada se denomina (Rumbo).
2.4.3.- Rumbos.
Son un medio para establecer direcciones de línea el rumbo de una línea es el ángulo
horizontal comprendido entre un meridiano de referencia y la línea, esto nos da la orientación
de líneas, el ángulo se mide (según el cuadrante) ya sea desde el Norte o desde el Sur hacia
el Oeste y Este. Su valor no excede los 90°.
Rumbos:
N 50° E S 45°O
N 45° O S 45° E
45°
O
S
N
E
B
A
D
C
45° 45°
50°

2.4.4.- Acimuts.
Son ángulos horizontales medidos en el sentido del reloj desde cualquier meridiano. En
topografía plana el acimut se mide generalmente a partir del norte pero a veces desde el sur
como punto de referencia por ejemplo en algunos trabajos de astronomía.
Los acimuts varían de 0° a 360°. Se representan por letras acompañados del ángulo que
este describe.
Características fundamentales de los acimuts:
- siempre se mide del Norte.
- se miden en sentido horario.
- No pasan de 306°.
Pueden ser verdaderos, magnéticos, de cuadricula, o supuestos. Dependiendo del meridiano
que se use. También pueden denominarse directos e indirectos.
Los directos, o hacia adelante se convierten en inversos o hacia atrás y viceversa sumando
o restando de 180° “si el acimut directo es mayor de 180° para obtener el inverso se le resta
de 180° y por el contrario si es menor de 180° se le sumaran”.
Diferencias entre rumbos y acimuts.
NM
B
NM
ZAB= 62°
A
ZZAB = 62°
ZBC =128°
NM
C

Ejemplo:
RUMBOS ACIMUTS
Varían de 0° - 90° Varían de 0° a 360°
Se indican con la letra Z y un valor numérico. Se indican con un valor numérico
Se miden en el sentido horario y antihorario. Se miden en sentido horario.
Se miden desde el Norte o desde el Sur. Solo son medidos desde el Norte.
pueden ser verdaderos, magnéticos de cuadricula, arbitrarios, directos o indirectos.
NM
B
NM
ZAB= 62°
A
ZZAB = 62°
ZBC =128°
NM
C
Rumbo N 62° E
Rumbo S 52° E

2.4.4.1.- Ejercicios de levantamientos efectuados con Brújula y Teodolito.
LEVANTAMIENTO DE UNA POLIGONAL CON BRUJULA Y WINCHA.
PROBLEMA 01.- Calcular el área de la siguiente poligonal cerrada.
Solución:
Primer paso.- Realizamos la sumatoria de angulos internos medidos en campo.
<A= 110°00’00” + (Angulo Externo) ; <Aint= 360°-110° =250°00’00”
<B= 62°00’00”
<C=108°30’00”
<D=112°00’00”
<E= 85°00’00”
<F=104°30’00”
Σ =722°00’00”

Segundo paso.- Condicion Geométrica.
Σ =180(n-2) ; Donde n=#de lados, n=6.
Σ =180(6-2)=720°
Tercer paso.- Calculo del error angular.
Ea =(Σ <s internos teóricos - Σ <s internos medidos )
Ea = 720° - 722° (se toma en valor positivo).
Ea = 2°00’00” (error en exceso).
Cuarto paso.- Calculo de la correccion angular.
Ca = ; n=# de lados. n=6.
Ca = ; n=# de lados.
Ca = 0°20’00” a restar a cada uno de los angulos de campo.
Quinto paso.- Calculo de la correccion angular.
<A= 250°00’00” - 0°20’00” = 249°40’00” +
<B= 62°00’00” - 0°20’00” = 61°40’00”
<C=108°30’00” - 0°20’00” = 108°10’00”
<D=112°00’00” - 0°20’00” = 111°40’00”
<E= 85°00’00” - 0°20’00” = 84°40’00”
<F=104°30’00” - 0°20’00” = 104°10’00”
Σ =721°30’00” Σ =720°00’00”

Sexto paso.- Calculo de la propagacion del azimut.
Para el calculo de la propagación del azimut: se tomara en cuenta lo sgte.
 En cada ángulo se calculan dos azimuts (directo e indirecto).
 Primero se proyecta la linea del tramo a analizar.
 Para calcular el azimut indirecto se suma o se resta de 180°.
 Azimut directo; se suma o resta el ángulo interno o externo.
 El azimut de inicio debe ser el mismo al final de la propagación.

Gráfica de la propagación del
Azimut:

Listado:
ZAB = 226°
ZBA = ZAB -180°= 226° - 180° = 46°
ZBC = ZBA +(360°- <BINT.C)= 46° + (360°- 61°40’) = 341°20’
ZCB = ZBC -180°= 341°20’ - 180° = 164°20’
ZCD = ZCD - <BINT.C = 164°20’ – 108°10’ = 56°10’
ZDC = ZCD+180°= 56°10’+180° = 236°10’
ZDE = ZDC -<DINT.C = 236°10’ – 111°40’ = 124°15’
ZED= ZDE +180°= 124°15’ - 180° = 304°15”
ZEF = ZED -<EINT.C = 304°15” – 84°40’ = 219°30’
ZFE = ZEF -180°= 219°30’ - 180° = 39°50’
ZFA = ZFE +(360°- <FINT.C)= 39°50’+ (360°- 104°10’) = 295°40’
ZAF = ZFA -180°= 295°40’ - 180° = 115°40’
ZAB = ZAF +(360°- <AINT.C)= 115°40’ + (360°- 249°40’) = 226° <OK>
NOTA: los ángulos que intervienen son los ya corregidos.
 intervención del ángulo externo se restará, (360°- <int.c).
Septimo paso.- Calculo de los Rumbos.
Los rumbos guardan relación directa con el trazo del azimut, por tanto el rumbo se anota en el
cuadrante en donde culmina el arco de azimut.

 En el Primer Cuadrante el rumbo será : N - E.
 En el Segundo Cuadrante el rumbo será : S - E.
 En el Tercer Cuadrante el rumbo será : S - W.
 En el Cuarto Cuadrante el rumbo será : N - W.
Poligonal con los azimuts directos.

Calculo gráfico de los rumbos: se anota fórmula para cada cuadrante.

Octavo paso.- Calculo de las Proyecciones ortogonales.

Noveno paso.- Calculo de las correcciones de lasProyecciones ortogonales.
Una vez calculadas las proyecciones ortogonales según el cuadrane y el signo que toman
estas, son sumadas o restadas de la coordenada anterior. para finalmentre cerrar en la
coordenada de inicio manteniendo los mismos valores
De no ser asi deben ser sometidas a un proceso de correción tal como es el caso de este
problema.
EX =
( )
EY =
( )
 Para iniciar el proceso debemos de cambiar el signo del error de tal manera que al
realizar la sumatoria final este dé el mismo valor que el error calculado pero con signo
opuesto y asi cerrar a cero de error.
Datos: resultados se dan en metros lineales (m)
Distancia parcial : es la distancia de cada tramo individual.
Distancia total : es la sumatoria de todas distancia de cada tramo.
EAB(X) = = -0.2928 EAB(Y) = = 0.0220
EBC(X) = = -0.5856 EBC(Y) = = 0.0440
ECD(X) = = -0.6637 ECD(Y) = = 0.0499
EDE(X) = = -0.7320 EDE(Y) = = 0.0550
EEF(X) = = -0.6344 EEF(Y) = = 0.0477
EFA(X) = = -0.3904 EFA(Y) = = 0.0293
SUMATORIA = -3.299 m = +0.248m
Estos resultados son iguales a los calculados pero con signo diferente por lo tanto se hacen
cero y de esta manera la poligonal queda cerrada correctamente.
A continuación adjunto el cuadro de calculo excel para su análisis y comparación.

N-S G° M' S" E-W ΔX=D.SENR ΔX=D.COSR ESTE(X) NORTE(Y) Error(X) Error(Y) ΔX+E(X) ΔX+E(Y) ESTE(X) NORTE(Y)
A 1000.000 1000.000 1000.000 1000.000
AB 30.00 S 46 0 0.00 W III 46.00000000 -21.58019401 -20.83975111 -0.2927 0.0220 -21.8729 -20.8177
B 978.420 979.160 978.127 979.182
BC 60.00 N 15 40 0.00 W IV 15.66666667 -16.20241973 57.77094075 -0.5855 0.0441 -16.7879 57.8150
C 962.217 1036.931 961.339 1036.997
CD 68.00 S 56 10 0.00 E I 56.16666667 56.48492685 37.86096986 -0.6636 0.0500 55.8214 37.9109
D 1018.702 1074.792 1017.161 1074.908
DE 75.00 S 55 45 0.00 E III 55.75000000 61.99423118 -42.21036958 -0.7319 0.0551 61.2624 -42.1552
E 1080.697 1032.582 1078.423 1032.753
EF 65.00 S 39 30 0.00 W III 39.50000000 -41.34508432 -50.15559792 -0.6343 0.0478 -41.9794 -50.1078
F 1039.351 982.426 1036.443 982.645
FA 40.00 N 64 20 0.00 W IV 64.33333333 -36.05316646 17.32539143 -0.3903 0.0294 -36.4435 17.3548
A 1003.298 999.752 1000.000 1000.000
338.00 3.298 -0.248 -3.298 0.248 0.00 0.00
NOTA:
CUADRO CALCULO DE COORDENADAS
PROY.CORREGIDAS
SUMATORIAΣ=
CORRECCIONES COORD. CORREGIDAS
Una vez calculadas las correcciones estas afectan a las coordenadas sin corregir ,obteniendo de esta forma las coordenadas finales.
como vemos el itinerario inicio en la coordenada "A", ytermina en la misma con iguales valores para sus coordenadas por lo tanto el procedimiento es correcto.
VERTICE TRAMO
PROYECCIONES COORD. SINCORREGIRANGULO
SEXADECIMAL
RUMBO
CUADRANTE
DIST.
(m)

LEVANTAMIENTO DE UNA POLIGONAL CON TEODOLITO Y WINCHA.
PROBLEMA 01.- Calcular el área de la siguiente poligonal cerrada.
Los datos corresonden a los promedios por el metodo de repeticiones.
Solución:
Primer paso.- Realizamos la sumatoria de angulos internos medidos en campo.
<A= 86°56’20”
<B= 162°00’10”
<C= 119°25’14”
<D= 74°49’34”
<E= 96°48’32”
Σ =539°59’50”
Segundo paso.- Condición Geométrica.
Σ =180(n-3) ; Donde n=#de lados, n=5.
Σ =180(5-2)=540°

Tercer paso.- Calculo del error angular.
Ea =(Σ <s internos teóricos - Σ <s internos medidos )
Ea = 540° - 539°59’50”
Ea = 0°00’10” (error por defecto).
Cuarto paso.- Calculo de la corrección angular.
Ca = ; n=# de lados. n=5.
Ca =
Ca = 0°00’2” a sumar a cada uno de los angulos de campo.
Quinto paso.- Calculo de la corrección angular.
<A= 86”56’20” + 0°00’2” = 86°56’22” +
<B= 162°00’10” + 0°00’2” = 162°00’12”
<C= 119°25’14” + 0°00’2” = 119°25’16”
<D= 74°49’34” + 0°00’2” = 74°49’36”
<E= 96°48’32” + 0°00’2” = 96°48’34”
Σ =539°59’10” Σ = 540°00’00”
Sexto paso.- Calculo de la propagación del azimut.
Para el calculo de la propagación del azimut: se tomara en cuenta lo sgte.
 En cada ángulo se calculan dos azimuts (directo e indirecto).
 Primero se proyecta la linea del tramo a analizar.
 Para calcular el azimut indirecto se suma o se resta de 180°.
 Azimut directo; se suma o resta el ángulo interno o externo.
 El azimut de inicio debe ser el mismo al final de la propagación.

Gráfica de la propagación del Azimut:

Listado:
ZAB = 113°13’24”
ZBA = ZAB +180°= 113°13’24” + 180° = 293°13’24°
ZBC = ZBA - <BEXT.C = 293°13’24” - (360°- 162°00’12”) = 95°13’36”
ZCB = ZBC +180°= 95°13’36” + 180° = 275°13’36”
ZCD = ZCB - <CEXT.C 275°13’36” – (360°- 119°25’16”) = 34°38’52”
ZDC = ZCD+180°= 34°38’52”+180° = 214°38’52”
ZDE = ZDC + <DINT.C = 214°38’52” + 74°49’36” = 289°28’28”
ZED = ZDE – 180° = 289°28’28” – 180° = 109°28’28”
ZEA = ZED + <EINT.C = 109°28’28” – 96°48’34” = 206”17’2”
ZAE = ZEA – 180° = 206°17’2” -180° = 26°17’2”
ZAB = ZAE + <AINT.C = 26°17’2” + 86°56’22” = 113°13’24” <OK>
NOTA: los ángulos que intervienen son los ya corregidos.
 intervención del ángulo externo se restará, (360°- <int.c).
Septimo paso.- Calculo de los Rumbos.
Los rumbos guardan relación directa con el trazo del azimut, por tanto el rumbo se anota en el
cuadrante en donde culmina el arco de azimut.
 En el Primer Cuadrante el rumbo será : N - E. (+,+)
 En el Segundo Cuadrante el rumbo será : S - E. (+,- )
 En el Tercer Cuadrante el rumbo será : S - W. (-, -)
 En el Cuarto Cuadrante el rumbo será : N - W. (-,+)
Las coordenadas según el cuadrante topográfico en donde se encuentran tienen los

siguientes signos:
Poligonal con los azimuts directos.

Calculo gráfico de los rumbos: se anota fórmula para cada cuadrante.
Ahora es más fácil poder calcular las proyecciones ortogonales que es donde más se
equivocan los alumnos en el cálculo de las distancias, por el tema de pasar por alto el
cuadrante en el que se encuentran las proyecciones por tanto no tomando en cuenta los
signos que a este le corresponden, y el error es notorio en el valor de las coordenadas a
calcular tanto en “X” como en “Y”.

Noveno paso.- Calculo de las correcciones de lasProyecciones ortogonales.
Una vez calculadas las proyecciones ortogonales según el cuadrane y el signo que toman
estas, son sumadas o restadas de la coordenada anterior. para finalmentre cerrar en la
coordenada de inicio manteniendo los mismos valores
De no ser asi deben ser sometidas a un proceso de correción tal como es el caso de este
problema.
EX =
( )
EY =
( )
 Para iniciar el proceso debemos de cambiar el signo del error de tal manera que al
realizar la sumatoria final este dé el mismo valor que el error calculado pero con signo
opuesto y asi cerrar a cero de error.
Datos: resultados se dan en metros lineales (m)
Distancia parcial : es la distancia de cada tramo individual.
Distancia total : es la sumatoria de todas distancia de cada tramo.
EAB(X) = = +0.00368 EAB(Y) = = -0.00399
EBC(X) = = +0.00515 EBC(Y) = = -0.00559
ECD(X) = = +0.00928 ECD(Y) = = -0.01007
EDE(X) = = +0.00991 EDE(Y) = = -0.01076
EEA(X ) = = +0.01005 EEA(Y) = = -0.01091
SUMATORIA = +0.03807 m = -0.04132m
Estos resultados son iguales a los calculados pero con signo diferente por lo tanto se hacen
cero y de esta manera la poligonal queda cerrada correctamente.
A continuación adjunto el cuadro de calculo excel para su análisis y comparación.

Decimo paso.- consiste en calcular el área por el método del área doble
Ejercico Tomado del libro de Leonardo Casanova Topografia Plana,CAP 05. Pág.5-12

III.- Bibliografía y Separatas.
3.1.- Bibliografía.
1. Casanova Matera Leonardo, 2002, Topografía Plana; Mérida – Venezuela, Taller de
Publicaciones de Ingeniería ULA/Mérida 2002.
2. Mendoza Dueñas Jorge, 2010, Topografía Técnicas Modernas, Lima- Perú,
Universidad Nacional De Ingeniería UNI.
3.2.- Separatas.
1. Wilfredo Avalos Lozano, 2016/03/01, Levantamiento de una Poligonal con Brújula
y Wincha, pp.1-8.
2. Wilfredo Avalos Lozano, 2016/03/01, Levantamiento de una Poligonal con
Teodolito y Wincha, pp.1-9.

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