matemáticas

1. Prof. Christopher Urbina C.Prof. Christopher Urbina C.

2. APRENDIZAJES ESPERADOS
• Describir los cambios que presentan puntos o
figuras planas, al aplicar una traslación, rotación o
simetría.
• Resolver ejercicios que involucren
transformaciones geométricas como: traslación,
rotación y simetría.

3. 2. Tipos de Tranf. Isométricas
Contenidos
1.1 Definición
1. Transformaciones Isométricas
2.2 Traslación
2.3 Rotación
3. Teselación
2.1 Simetría o reflexión
- Simetría Axial
- Simetría Central

4. 1. Transformaciones Isométricas
Definición
La palabra isometría, significa “igual medida”, por lo tanto,
en una transformación isométrica:
1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura
(figuras congruentes).
2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

5. 2.1 Simetría o Reflexión
Tipos de Simetrías:
Se puede considerar una simetría como aquel movimiento
que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto
de un espejo (refleja la figura).
Simetría Axial: Reflexión respecto de un eje.
Eje de Simetría
2. Tipos de Transformaciones Isométricas

6. En una simetría axial:
Cada punto y su imagen o simétrico equidistan
del eje de simetría.
El trazo que une un punto con su simétrico es
perpendicular al eje de simetría.
A’
A

7. 1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
A A’
Eje de Simetría: X=1
M
AM = MA’
La Simetría axial corresponde a una transformación geométrica
que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que
la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada
Eje de Simetría.
AA’ es perpendicular al eje de simetría

8. Simetría Central:
O
O : centro de simetría
A A´
AO = OA’
Reflexión respecto de un punto.

9. O
La Simetría central corresponde a una transformación
isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con
respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y
A`pertenece a la recta AO.
1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
Ejemplo:
A A´
B
B´
C
C´
OA = OA´
OC = OC´
OB = OB´

10. El centro de rotación es el punto medio del
trazo que une un punto con su simétrico.
OBS: Una simetría central equivale a una
rotación en torno al centro de simetría en un
ángulo de 180º.
O
A’
A
En una simetría central:

11. Resumiendo, las Simetrías en un sistema de
ejes coordenados:
En torno al eje X
El simétrico de
P(a,b) es P’(a,-b)
En torno al eje Y
El simétrico de
P(a,b) es P’(-a,b)
En torno al origen
El simétrico de
P(a,b) es P’(-a,-b)
P
P’
•
•
•• PP’
•
P
•
P’

12. 2.2 Traslación
Se puede considerar una traslación como el movimiento que
se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo
su forma y tamaño.
Una traslación en el plano,
corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto
P(x,y), en otro P´(x + a, y + b ).
P(x, y)
T(a, b)
P´( x + a, y + b )
Ejemplo 1:
P(2, 1)
T(3, -5)
P´(2 + 3, 1 + -5)
P´(5, -4)

13. -1 1 2 3
3
1
2
4
y
x
4 5
-3
-2
-4
-5
P(2, 1)
T(3, -5)
P´(5, -4)
P
P´
La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN”

14. Ejemplo 2:
El triángulo PQR, de vértices P(1,2), Q(3,1) y R(4,3) se
“traslada” al aplicar el vector traslación T(-4,2),
y las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´.
P(1,2)
T(-4,2)
P´(-3,4)
Q(3,1) Q´(-1,3)
R(4,3) R´(0,5)

15. Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la
izquierda y 2 unidades hacia arriba.
1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
P(1,2) P´(-3,4)
Q(3,1) Q´(-1,3)
R(4,3) R´(0,5)

16. En una traslación:
Al deslizar la figura todos los puntos
describen líneas rectas paralelas entre sí.

17. En una traslación se distinguen tres
elementos:
Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).
Magnitud del desplazamiento (distancia entre
la posición inicial y final de cualquier punto)
Dirección (horizontal, vertical u oblicua).

18. Traslaciones en un sistema de ejes coordenados
En este caso se debe señalar las
coordenadas del vector de traslación.
Estas son un par ordenado de números
(x,y), donde x representa el
desplazamiento horizontalhorizontal e y representa
el desplazamiento verticalvertical.

19. •
A(4,6)
•
A’ (2,3)
Traslación de A(4,6)
a través del vector v(-2,-3)
Traslación de B(-5,2)
a través del vector v(4,4)
•
B(-5,2)
•
B’(-1,6)
Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano.
Traslación de C(-4,-2)
a través del vector v(7,1)
•
C(-4,-2)
• C’(3,-1)

20. En la abscisa:
Signo positivo: desplazamiento hacia la
derecha.
Signo negativo: desplazamiento hacia la
izquierda.
En la ordenada:
Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.
Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

21. <
2.2 Rotación
Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de
rotación y un ángulo.
La rotación es positiva si es en sentido contrario a los
punteros del reloj.
0
0: centro de rotación
Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en
torno a un punto.
Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.

22. En una rotación se identifican tres elementos:
El punto de rotación (centro de rotación), punto en
torno al cual se efectúa la rotación.
La magnitud de rotación, que corresponde al
ángulo, éste está determinado por un punto
cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice
del ángulo) y el punto correspondiente de la figura
obtenida después de la rotación.
El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo
(horario)

23. 90° 180° 270° 360°
A(x,y)
Punto
Ángulo
Rotación en el plano cartesiano:
Si el punto A (x,y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270°
ó en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se
indican en la siguiente tabla:
(-y,x) (-x,-y) (y,-x) (x,y)
Ejemplo 1:
90° 180° 270° 360°
A(5,-8)
Punto
Ángulo
(8,5) (-5,8) (-8,-5) (5,-8)
En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.

24. 90° 180° 270° 360°
A(x,y)
Punto
Ángulo
Rotación en el plano cartesiano:
Si el punto A (x,y) gira con respecto a un punto P(h,k) en 90°,
180°, 270° ó en 360°; se transforma en otro punto, cuyas
coordenadas se indican en la siguiente tabla:
(h-y+k,x-h+k) (2h-x,2k-y) (h+y-k,k-x+h) (x,y)
Ejemplo 1: P(2,3)
90° 180° 270° 360°
A(5,-8)
Punto
Ángulo
(13,6) (-1,14) (-9,0) (5,-8)
En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.

25. A
1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
Ejemplo 2:
Si el punto A (2,3) gira con respecto al origen en 90°,
se transforma en el punto A´(-3,2).
A´

26. Importante:
Toda transformación isométrica,
mantiene la forma y tamaño de una
figura geométrica, por lo tanto el
perímetro y el área no sufren
variación.

27. 3. Teselaciones
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que
cubre completamente una superficie plana, de manera que
no queden espacios y no se superpongan las figuras.
Ejemplos:
M.C. Escher

28. Teselación del plano por polígonos regulares
Los tres polígonos regulares que recubren el plano son:
Triángulo equilátero
Cuadrado
Hexágono regular
Sólo estas tres figuras teselan regularmente el plano.

29. Las teselaciones se crean usando Transformaciones isométricas
sobre una figura inicial.
Simetría
+ Traslación

30. Actividad
*Aplica a la figura el siguiente
vector de traslación
V= (6,-5)
V= (-1,-7)
V= (1, 6)

31. Actividad
*En una hoja de papel
cuadriculada “cuaderno” dibuja
un plano cartesiano con sus
cuatro cuadrantes y ejes (x y),
de una graduación de 0 a 10 por
cada eje.
*Ubica las coordenadas A(-6,-2)
B(-9,-6) C (-2,-5) luego une sus
vértices ¿Qué figura se forma?
*Aplica el siguiente vector de
traslación V= (10,7)

32. Actividad
*Encuentra los
Vectores de traslación
V según las coordenadas
dadas