Un resumen de lo qué es la Topología, sus orígenes, sus primeros exponentes y una serie de biografías de estos pioneros.

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA DE
CAÑAVERAL
ORÍGENES E HISTORIA DE LA
TOPOLOGÍA
LA TOPOLOGÍA
CAÑAVERAL – TURBACO
Noviembre de 2011

2. PONENTE
Gustavo A. Sanabria De Arco
Ingeniero Civil
Docente Matemáticas y Física
Especialista en Pedagogía para la
Docencia Universitaria

3. ORÍGENES DE LA TOPOLOGÍA
La topología es probablemente la más joven
de las ramas clásicas de las matemáticas.
En contraste con el álgebra, la geometría
y la teoría de los números, cuyas
genealogías datan de tiempos antiguos, la
topología aparece en el siglo diecisiete
(XVII), con el nombre de Analysis Situs,
esto es, análisis de la posición.

4. Se suele decir que la topología es la “geometría
de los trozos de hule (goma elástica)”, puesto
que se puede dibujar en tales trozos, estirar,
deformar, apretar sin romperlos, manteniendo
las propiedades topológicas de tales dibujos.
Las distancias, los ángulos, el paralelismo no se
mantienen; pero sí se mantienen las ideas de
frontera, de corte entre curvas, de
encerramiento, de orden, etcétera.

5. HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA 1
Históricamente, las primeras ideas
topológicas conciernen al concepto de límite y
al de completitud de un espacio métrico, y se
manifestaron principalmente en la crisis de
los inconmesurables descubiertos por
Pitágoras ante la aparición de números reales
no racionales.
El primer acercamiento concreto al concepto
de límite y también al de integral aparece en
el método de exhaución de Arquímedes.

6. HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA 2
La aparición del Análisis Matemático en el
siglo XVII puso en evidencia la necesidad
de formalizar el concepto de proximidad y
continuidad, y la incapacidad de la
Geometría para tratar este tema.
Fue precisamente la fundamentación del
Cálculo Infinitesimal, así como los intentos
de formalizar el concepto de variedad en
Geometría lo que llevó a la aparición de la
Topología, a finales del siglo XIX y
principios del XX.

7. HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA 3
El término topología lo acuña por primera
vez Johan Bennedict Listing, en 1836 en
una carta a su antiguo profesor Müller, y
posteriormente en su libro Estudios previos
a la Topología (Vorstudien zur Topologie )
publicado en 1847.
Anteriormente se la denominaba analysis
situs. Maurice Frechet introdujo el
concepto de espacio métrico en 1906.

8. HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA 4
El origen de la Topología como disciplina
científica lo inaugura la resolución por parte
de Euler del problema de los Puentes de
Königsberg, en 1735. Ciertamente, la
resolución de Euler del problema utiliza un
planteamiento topológico.
La situación es exactamente análoga a la
del cálculo del área de la elipse por
Arquímedes.

9. Fue el matemático y físico suizo Leonard Euler
(1707-1783), que entonces trabajaba en la
corte rusa, quien dio presentación formal a
algunos aspectos de la topología tal como hoy se
la concibe.
Esto fue realizado en un famoso estudio sobre
los puentes de Königsberg, ciudad alemana-rusa
(también llamada Kaliningrado) en cuya
universidad trabajó, más o menos
contemporáneamente, el filósofo alemán
Emmanuel Kant (1721-1804).

10. ¿Cuál era el problema estudiado por Euler?
La ciudad de Königsberg era atravesada por un
río (Pregel), que luego de formar una isla se
dividía en dos ramas.
Siete puentes permitían ir de un lado a otro y
la gente se preguntaba si era posible caminar
por la ciudad pasando una sola vez por cada
puente.
El trabajo de Euler no sólo mostró que la
respuesta es negativa, sino que generalizó el
problema a otros tipos de recorridos.

11. ¿Qué es la Topología?
Rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de las figuras geométricas o los
espacios que no se ven alteradas por ninguna
clase de transformaciones.
Es decir, la topología es un tipo de geometría
donde está permitido doblar, estirar, encoger,
retorcer los objetos, pero siempre que se haga
sin romper ni separar lo que estaba unido (la
transformación debe ser continua), ni pegar lo
que estaba separado (la inversa también debe ser
continua).

12. Ramas de la Topología 1
Hay dos clases de topología bien diferenciadas
Topología primitiva:
Un ejemplo de topología primitiva es el problema
de los puentes de Konigsberg.

13. Ramas de la Topología 2
Topología actual:
La topología es un campo muy activo de las
matemáticas modernas.
Un problema famoso de la topología, que sólo ha
sido resuelto recientemente, es el de determinar
el número mínimo de colores distintos, necesarios
para colorear un mapa corriente, de manera que
no haya dos regiones limítrofes con el mismo
color.

14. Ramas de la Topología 3
En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken
demostraron, usando un ordenador, que es
suficiente con cuatro colores, sin depender del
tamaño o del número de regiones.
La teoría de nudos es una rama de la topología
que tiene todavía muchos problemas por resolver.
Un nudo se puede considerar como una curva
cerrada sencilla, hecha de goma y que se puede
retorcer, alargar o deformar de cualquier forma
en un espacio tridimensional (R3), aunque no se
puede romper.

15. Ramas de la Topología 4
Dos nudos son equivalentes si se puede deformar
uno de ellos para dar el otro (homeomorfismo); si
esto no es posible, los nudos son distintos.
Todavía no se ha podido encontrar un conjunto
completo de características suficiente para
distinguir los distintos tipos de nudos.

16. Ramas de la Topología 5
Se consideran actualmente tres ramas:
•Topología General o Topología Conjuntista.
•Topología Algebraica.
•Topología Diferencial o Geometría Diferencial.

17. Ramas de la Topología 6
Además de estas tres ramas propiamente
topológicas, la implicación en mayor o menor
medida en otras disciplinas matemáticas hacen
que muchos consideren parte de la Topología al:
Análisis Funcional
La Teoría de la Medida
La Teoría de Nudos (parte de la Topología de
dimensiones bajas)
La Teoría de Grupos Topológicos

18. Ramas de la Topología 7
Es fundamental su contribución en:
Teoría de Grafos
Análisis Matemático
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Funcionales
Variable Compleja
Geometría Diferencial

19. Ramas de la Topología 8
Geometría Algebraica
Álgebra Conmutativa
Estadística
Teoría del Caos
Geometría Fractal
Incluso tiene aplicaciones directas en Biología,
Sociología, Biosociología, etc.

20. ALGO DE TOPOLOGÍA
Por ejemplo, en topología un círculo es lo mismo
que un cuadrado, ya que podemos transformar
uno en otro de forma continua, sin romper ni
pegar.

21. Pero una circunferencia no es lo mismo que un
segmento (ya que habría que partirla por algún
punto).
Un chiste habitual entre los topólogos (los
matemáticos que se dedican a la topología) es
que «un topólogo es una persona incapaz de
distinguir una taza de una rosquilla»: Pero
distingue una taza de un balón.

22. El Cilindro
Topológicamente, un cilindro es equivalente a un
cuadrado en el que hemos pegado dos de los lados
opuestos.

23. El Toro (Torus o Toroide)
Es la superficie de una rosquilla.
Topológicamente es como un cuadrado en el que
hemos pegado los dos pares de lados opuestos.

24. La Banda de Möebius
Es una superficie no orientable.
Se construye pegando una tira de papel por sus
extremos, habiendo dado medio giro a uno de ellos.
¡Sólo tiene una cara!
¡Sólo tiene un lado!
¡Al cortarla por la mitad sigue siendo de una pieza!
¿Qué pasa al cortarla en tres partes?

25. La Botella de Klein 1
Dos lados están identificados como en un
cilindro.
Los otros como una banda de Möebius.
Son dos bandas de Möebius pegadas por su único
Lado.

26. La Botella de Klein 2
Es una superficie tan retorcida que no cabe en el
espacio.... ...
Aunque hay quien las fabrica.

27. ¿Servirá para algo?
Pocos de los conceptos habituales de la
geometría, como ángulo, línea recta, área,
etc.,tienen sentido en topología.
Entonces ¿para qué sirve la topología?
Observemos la siguiente imagen:

29. Es un trozo de plano del metro de Madrid.
Aquí están representadas las estaciones y las
líneas del metro que las unen.
Pero no es geométricamente exacto.
La curvatura de las líneas del metro no coincide,
ni su longitud a escala, ni la posición relativa de
las estaciones.

30. Pero aun así es un plano perfectamente útil
(de hecho, si fuera exacto sería bastante
más difícil de utilizar).
Sin embargo este plano es exacto en cierto
sentido; representa fielmente cierto tipo de
información, la única que necesitamos para
decidir nuestro camino por la red del metro:
Información topológica

32. BIOGRAFÍAS 1
Leonhard Euler (1707-1783)
Matemático suizo (Basilea, 1707 - San
Petersburgo, 1783). Creador del análisis
matemático moderno, trabajó mucho en
astronomía, mecánica y óptica. Reorganizó el
análisis matemático en torno al concepto de
función y puso las bases del cálculo infinitesimal
moderno.
Además de eso, determinó la base е de los
logaritmos neperianos y fue pionero en la
formulación de la trigonometría esférica y en el
cálculo de variaciones.
El artículo que escribió en 1736 sobre la solución
del problema de los puentes de Königsberg se
considera el punto de partida de la Topología.

33. BIOGRAFÍAS 2
Georg Cantor (1845-1918)
Matemático alemán (San Petersburgo, 1845 - Halle,
1918). Creó conjuntamente con Dedekind la
teoría de conjuntos. Partiendo de ella investigó la
topología de la recta.
Henri Poincaré (1854-1912)
Matemático francés (Nancy, 1854 - París, 1912).
Investigó las ecuaciones diferenciales y las aplicó a
la Física Matemática y a la Mecánica Celeste. Se le
considera fundador de la Topología Algebraica.

34. BIOGRAFÍAS 3
Maurice Fréchet (1878-1973)
Matemático francés (Maligny, 1878 - Paris, 1973).
Investigó el cálculo diferencial, el integral y el de
probabilidades; presentó propuestas referentes al
espacio topológico y métrico.
Jacques Solomon Hadamard (1865-1963)
Matemático francés (Versalles, 1865-París, 1963).
Demostró el teorema de los números primos. Se vio
involucrado en el asunto Dreyfus, a continuación de lo
cual participó en política en defensa de los judíos.
Introdujo el concepto de problema bien planteado en la
teoría de las ecuaciones diferenciales parciales.

35. BIOGRAFÍAS 4
Felix Hausdorff (1868-1942)
Matemático alemán (Breslau, 1868 - Bonn, 1942).
Basándose en el concepto de proximidad y
sintetizando planteamientos distintos sobre
espacios abstractos, creó la teoría de los espacios
topológicos y métricos.

36. BIOGRAFÍAS 5
Benoit Mandelbrot
Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia dentro de una familia judía
culta de origen lituano. Fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeño
gracias a sus dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936 su tío Szolem
Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de
Hadamardost en este puesto, toma responsabilidad de su educación. Después de
realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a la “École Polytechnique”, a
temprana edad, en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy quien también lo influyó
fuertemente. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952.
En 1967 publicó en Science ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?, donde se
exponen sus ideas tempranas sobre los fractales.
Fue profesor de economía en la Universidad Harvard, ingeniería en Yale, fisiología en el
Colegio Albert Einstein de Medicina, y matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958
trabajó en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York.

37. BIOGRAFÍAS 6
Gastón Maurice Julia (3 de febrero de 1893, Sidi Bel Abes, Argelia - 19 de marzo de
1978, París, Francia. Fue un matemático francés.
Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en
estudiar el tema, y explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede
fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera
es imposible de dibujar a pulso (por ser de longitud infinita, entre otras propiedades).
Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo informe sobre la iteración de las
funciones racionales (Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles) en la revista
francesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este artículo
de 199 páginas le permitió ser galardonado por la Academia de las Ciencias Francesa.

38. BIOGRAFÍAS 6
Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes que se volvieran
muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que sigue
vivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático también francés Benoit
Mandelbrot, quién tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo
aprovechar la invención del ordenador.
Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y
deducciones, con papel y lápiz, las podían observar en su pantalla Mandelbrot y los
millones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico.
A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y en
menor medida en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.
Tampoco tuvo mucha suerte Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpir
sus prometedores estudios a los 20 años a causa de la Primera Guerra Mundial, donde
perdió su nariz. Numerosas operaciones de cirugía no pudieron recomponerla, y tuvo
que llevar una pequeña máscara el resto de su vida.

39. BIOGRAFÍAS 7
August Ferdinand Möbius
(Schulpforta, actual Alemania, 1790-Leipzig, id., 1868)
Matemático y astrónomo alemán. Ayudante de Gauss, enseñó
astronomía desde 1816 en la Universidad de Leipzig y dirigió el
observatorio de cuya construcción se había encargado. Está
considerado como el pionero de la topología, ya que en sus
trabajos matemáticos anticipó muchos conceptos de la
moderna geometría proyectiva, en especial la algebraica.
En particular, en su obra El cálculo baricéntrico (1827), introdujo las coordenadas
proyectivas homogéneas y aportó una concepción general de las correspondencias
proyectivas, aplicada posteriormente al estudio de las secciones cónicas.
Describió una superficie de una sola cara, conocida como cinta de Möbius, y en su obra
Los elementos de la Mecánica Celeste (1843) ofreció una completa exposición de la
mecánica celeste sin necesidad de recurrir a las matemáticas superiores.

40. GLOSARIO 1
• Límite: El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo
infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor
al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado
o al infinito.
• Continuidad: En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente,
para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la
función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función
continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología.
• Homeomorfismo: Formalmente dos espacios son topológicamente equivalentes si hay
homeomorfismo entre ellos. Dicho de un modo más informal, dos espacios son
topológicamente equivalentes si uno de ellos se puede deformar hasta que coincida con la
forma del otro sin añadir ni quitar ningún trozo.

41. GLOSARIO 2
• Completitud: La propiedad de completitud de IR dice que los números reales ``rellenan la
recta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir, a cada punto de la recta le
corresponde un número real.
• Dimensión Topológica: La dimensión topológica de un conjunto del espacio topológico es el
mínimo valor de n para el que toda cubierta abierta admite una cubierta abierta más fina de
orden no superior a n+1. Si no existe valor mínimo de n, entonces se dice que el conjunto es
de dimensión infinita. El orden de una cubierta es el máximo número de subconjuntos de la
cubierta al que pertenece cualquier punto del conjunto. Una cubierta más fina es aquella en
la que cada subconjunto está incluido en algún subconjunto de otra cubierta, menos fina en
este caso.
La dimensión topológica es la que nos resulta más intuitiva y pragmática para comprender.
Esta establece la dimensión de un punto = 0, la de una curva = 1, la de una superficie = 2 etc.
Más formalmente escrito, un objeto tiene dimensión topológica m cuando cualquier
recubrimiento de ese objeto, tiene como mínimo una dimensión topológica = m+1
(estableciendo previamente que el punto tiene dimensión topológica = 0).

42. GLOSARIO 3
• Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch: Esta dimensión es comúnmente confundible
con la entropía de Kolmogórov o la dimensión de Minkowski Bouligand. La dimensión de
Hausdorff-Besicovitch se obtiene como un punto de inflexión del valor de la potencia elegida
en la longitud de Hausdorff cuando esta pasa de ser infinita a ser nula. La longitud de
Hausdorff es la suma del diámetro topológico elevado a una potencia "s" de un
recubrimiento entero del objeto a partir de entornos o cubrimientos de diámetro delta o
menor a este del propio objeto.
• Conjunto de Julia: Los conjuntos de Julia (así llamados por el matemático Gastón Julia) son
una familia de conjuntos fractales, que se obtienen al estudiar el comportamiento de los
números complejos al ser iterados por una función holomorfa.
Una familia muy notable de conjuntos de Julia se obtienen a partir de funciones cuadráticas
simples: fc(z) = z2 + c, donde c es un número complejo.
El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denota Jc.
Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia de fc(z) = z2 + c es el siguiente:
Para todo complejo z se construye por la siguiente sucesión:
z0 = z
z0 = z Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que z pertenece al conjunto de Julia de
parámetro c, denotado por Jc; de lo contrario, z queda excluido de éste.

43. WEBGRAFÍA 1
• es.wikipedia.org
• www.topología.org
• www.colombiaaprende.com
• www.superchicos.net/index.htm

44. WEBGRAFÍA 2
• http://www.astrocosmo.cl/anexos/p-
p_konigsberg.htm
• http://www.acanomas.com/DatoMuestra.php?Id=
477
• http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/geometr2.
htm
• http://ochoa.mat.ucm.es/~guzman/