La potenciación es una operación matemática que involucra una base y un exponente. Se define como an, donde a es la base y n es el exponente. Para exponentes enteros, significa multiplicar la base por sí misma n veces. La potenciación se puede extender a exponentes racionales, reales y complejos. Tiene importantes propiedades como la multiplicación y división de potencias de la misma base.

1. Potenciación
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Gráfica de varias funciones potencia.
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y
exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y
el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales,
como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la
potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo
totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número
natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un
número entero o cero.
Índice
[ocultar]
• 1 Definición
o 1.1 Exponente entero
 1.1.1 Multiplicación de potencias de igual base
 1.1.2 Potencia de una potencia
 1.1.3 Potencia de un producto
 1.1.4 División de potencias de igual base
 1.1.4.1 Potencia de exponente 0
 1.1.5 Potencia de un cociente

2. o 1.2 Exponente racional
 1.2.1 Propiedades
o 1.3 Exponente real
 1.3.1 Propiedades
o 1.4 Exponente complejo
• 2 Resultados de potenciación
o 2.1 Propiedades que no cumple la potenciación
o 2.2 Potencia de base 10
• 3 Representación gráfica
• 4 Límites
o 4.1 Indeterminación 00
• 5 Generalizaciones
o 5.1 Extensión a estructuras abstractas
o 5.2 Potencia de números complejos
• 6 Véase también
• 7 Referencias
o 7.1 Bibliografía
• 8 Enlaces externos
[editar] Definición
Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente.
Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.
[editar] Exponente entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a
multiplicando, siendo a un número cualquiera:

3. (1)
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras
estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
[editar] Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha
base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Mostrar]
Ejemplos:
[editar] Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es
el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
[Mostrar]
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir
sencillamente como .
[editar] Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al
mismo exponente, es decir:
[Mostrar]
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la
regla:
[Mostrar] si n es par.

4. si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se
denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2)
Observación
[editar] División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base
que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo,
es decir:
[Mostrar]
Ejemplo:
[editar] Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto
que:1 2
El caso particular de , en principio, no está definido (ver cero).
[editar] Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al
mismo exponente.

5. [Mostrar]
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se
presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2)
como valor numérico:
[editar] Exponente racional
Artículo principal: Radicación.
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del
tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un
número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real
positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:
(3)
Observación
En general para las fracciones se define que:
(4)
Relación
[Mostrar]
[editar] Propiedades

6. [editar] Exponente real
Artículo principal: Exponenciación.
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se
recoje en el siguiente teorema:
Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales que tiene
límite b, entonces existe el límite de la sucesión que se escribe como:
Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales,
con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real
positivo.
Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función
exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina
exponenciación. Así, se define
.
De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto
de los números reales positivos R+, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la
función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no
está definido para números negativos.
[editar] Propiedades
[editar] Exponente complejo
Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así
donde det-exp es la determinación de la exponencial y
det-log la determinación del logaritmo.

7. [editar] Resultados de potenciación
[editar] Propiedades que no cumple la potenciación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir
cuando dentro del paréntesis es suma o resta:
No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente
tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:
Tampoco cumple la propiedad asociativa:
[editar] Potencia de base 10
Artículo principal: Notación científica.
Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal
tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo,
o hacia la derecha si el exponente es positivo.
Ejemplos:

8. [editar] Representación gráfica
La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n par
tiene la forma de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y la curva es
decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.
La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n impar
es una curva con dos ramas unidas en el punto (0, 0), que posee simetría rotacional
alrededor de este. El punto de inflexión precisamente se encuentra en el punto (0, 0), la
curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.
Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definición.

9. Gráfico de .
Gráfico de .
[editar] Límites
[editar] Indeterminación 00
El caso especial se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser
asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran
mantener.
Por ejemplo, puede argumentarse que es el igual al valor del límite
y como para , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede
considerarse dicha expresión como el valor del límite

10. y como para , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma
puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.
El debate sobre el valor de la forma tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los
primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había
establecido, era común aceptar que =1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el
Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento
riguroso del análisis, dicha lista forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras
como 0/0. En los años 1830, Libri3 4 publicó un argumento para asignar 1 como valor de
y August Möbius5 lo apoyó afirmando erróneamente que
siempre que
Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un
contraejemplo
cuyo límite cuando es , lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del
incidente que debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth
(1992).6
En la actualidad, suele considerarse la forma como indefinida y no se le asigna valor si
no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. 7 8 9
Para calcular límites cuyo valor aparente es suele usarse la Regla de l'Hôpital.
[editar] Generalizaciones
[editar] Extensión a estructuras abstractas
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso
matriciales. Dado un anillo la operación de potenciación se define como:
Esto difiere de la exponenciación que es definible sobre un cuerpo que contenga a los
racionales o ciertas álgebras sobre los reales o complejos:

11. Obviamente la exponenciación sólo se puede definir sobre un conjunto en el que sea
posible definir la potenciación, aunque un anillo admitirá siempre la operación de
potenciación (con exponente natural) aunque no admita la exponenciación.
[editar] Potencia de números complejos
Artículo principal: Fórmula de De Moivre.
Para cualquiera de los números reales se tiene la identidad:
[editar] Véase también
• Raíz cuadrada
• Radicación
• Fórmula de De Moivre (para potencias de números complejos)
[editar] Referencias
1. ↑ Soler, Francisco; Nuñez, Reinaldo; Aranda, Moises (2004). «1. Álgebra básica»
(en castellano). Fundamentos de Cálculo. Con aplicaciones a ciencias económicas y
administrativas (2ª edición). ECOE EDICIONES. pp. 14. ISBN 9586482901.
2. ↑ Weisstein, Eric W. «Exponent Laws» (en inglés). MathWorld. Wolfram
Research.
3. ↑ Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und
angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
4. ↑ Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine
und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
5. ↑ A. F. Möbius, Beweis der Gleichung = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die
reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.
6. ↑ Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May
1992), 403–422.
7. ↑ Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah.
Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by
zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions.
Thus 0 to the power 0 is undefined!».

12. 8. ↑ Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?»
(en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate
forms are 0^0, 1^infinity.».
9. ↑ Gentile, Enzo R. (1976) (en español). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial
Universitaria de Buenos Aires. pp. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. (
queda indefinido).»
[editar] Bibliografía
• Joaquím M. Ortega, Introducción al análisis matemático, Ed. Labor, 1993.
[editar] Enlaces externos
• Actividades de potenciación
• Potenciación en escolar.com
• Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español
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