1. David Gómez Vilaxa Álgebra de Matrices
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GUÍA DE OPTIMIZACIÓN
Funcione Crecientes y Decrecientes
1. (Análisis de las funciones de costo, ingreso y utilidad) En el caso de la función de costo
xxC 20500)(  y la relación de demanda xp 100 , determine las regiones en que la
función de costo, la función de ingreso y la función de utilidad son funciones crecientes o
decrecientes de x .
2. Para las siguientes funciones de costo y relaciones de demanda, determine las regiones en
que a) la función de costo, b) la función de ingreso y c) la función de utilidad son crecientes
o decrecientes.
A. xpxxC
2
1
100;102000)( 
B. xpxxC 2300;4000)( 2

3. (Análisis del costo marginal) El costo de producir x miles de unidades de cierto producto
está dado por 32
2392500)( xxxxC  , ¿En qué nivel de producción el costo
marginal es
A. Creciente
B. Decreciente
4. Repita el ejercicio anterior si 32
6152000)( xxxxC  .
5. (Análisis del ingreso marginal) Dada la relación de demanda 2
600 xp  , donde x
unidades pueden venderse a un precio de p cada una. Encuentre cuándo el ingreso
marginal sea:
A. Creciente
B. Decreciente
6. Repita el ejercicio anterior para la relación de demanda 20
50 x
ep 

7. (Costo marginal y promedio) Para la función de costo
1
)4(2
6)(



x
xx
xC , pruebe que los
costos marginal y promedio siempre son decrecientes para 0x .

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8. (Ingreso marginal) para la relación de demanda )1ln(50  xp , pruebe que el ingreso
marginal siempre es decreciente para 0x .
Máximos y Mínimos
9. Examine la concavidad de la función de costo 342
1003,0102000)( xxxxC 

10. Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un
precio de $6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es
362
10003,061000)( xxxxC 
 . ¿Qué valor x debemos seleccionar con objeto de
maximizar las utilidades?
11. (Decisiones sobre fijación de precios) El costo de producir x artículos por semana es
362
10003,061000)( xxxxC 
 . En el caso del artículo en cuestión, el precio en que
x artículos pueden venderse por semana está dado por la ecuación de demanda
xp 0015,012  . Determine el precio y el volumen de ventas en que la utilidad es
máxima. (R: 9;2000  px )
12. (Publicidad y ganancia) Una compañía obtiene una utilidad de $5 por cada artículo de su
producto que vende. Si gasta A dólares por semana en publicidad, el número de artículos
que vende por semana está dado por )1(2000 kA
ex 
 en dónde 001,0k . Determine
el valor de A que maximiza la utilidad neta. (R: dólaresPA máx 6700;2300$  )
13. (Máxima utilidad e impuesto sobre la renta) Las funciones de costo y de demanda de una
empresa son xxC 5)(  y xp 225  , respectivamente.
A. Encuentre el nivel de producción que maximizará las utilidades de la empresa. ¿Cuál es
la máxima utilidad?
B. Si se impone un impuesto de t por cada unidad y la empresa lo carga en su costo,
encuentre el nivel de producción que maximiza las utilidades de la empresa. ¿Cuál es la
máxima utilidad?
C. Determine el impuesto por unidad t que debe imponerse para obtener un máximo
impuesto sobre la renta.
14. (Costos de cercas) Un granjero desea delimitar una parcela rectangular de área 900 metros
cuadrados. La cerca tiene un costo de $15 por metro. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones

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de la parcela de modo que se minimice el costo del cercado? ¿Cómo cambia su respuesta si
el costo de cercado sube a $20 por metro?
15. (Costos de cercas) Repita el ejercicio anterior en el caso de que uno de los lados de la
parcela es común a una cerca ya existente y sólo es necesario cercar tres lados.
16. (Diseño de un folleto impreso) Un folleto impreso debe contener 48 pulgadas cuadradas de
espacio impreso con márgenes de 3 pulgadas en la parte superior e inferior, y márgenes
laterales de 1 pulgada. ¿Qué dimensiones del folleto consumiría la mínima cantidad de
papel?
17. (Diseño de una cisterna) Se construirá una cisterna con capacidad de 324 pies cúbicos de
agua. Deberá tener una base cuadrada con cuatro lados verticales, todos fabricados con
concreto, y una tapa superior de acero. Si la unidad de área de acero cuesta el doble que la
correspondiente al concreto, determine las dimensiones de la cisterna que minimiza el
costo total de construcción.
18. (Diseño de una cisterna) Repita el ejercicio anterior si la forma de la cisterna es un cilindro
con base y tapas circulares.
19. (Costo promedio mínimo) El costo promedio de fabricar cierto artículo es
2
3
48
5 x
x
C  , en donde x es el número de artículos producidos. Encuentre el valor
mínimo de C .
20. (Modelo de control de inventarios) El costo de la producción anual de un artículo es
20
000.000.80
5000
x
x
C  , en donde x es el tamaño promedio del lote porserie de
producción. Encuentre el valor de x que hace mínimo a .C
21. (Costo promedio mínimo) El costo de producir x artículos de cierto producto es
23
1034000)( xxxC 
 (dólares). Determine el valor de x que hace del costo
promedio por artículo un mínimo.
22. (Costo promedio mínimo) Repita el ejercicio anterior en el caso de la función de costo
36
103000.16)( xxxC 
 (dólares)

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23. (Costo marginal y costo promedio mínimo) La función de costo para una empresa, está dada
por
3
10300)(
3
2 x
xxxC  . Calcule la producción x en la cual:
A. El costo marginal es mínimo.
B. El costo promedio es mínimo.
24. (Costo marginal mínimo) Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal
precioso con un costo total C dado por
3
57510)(
3
2 x
xxxC  dólares. Encuentre el
nivel de producción x donde el costo marginal alcanza su mínimo.
25. (Ingreso máximo) La función de demanda para cierto bien está dado por 3
15 x
ep 
 para
80  x , donde p es el precio por unidad y x el número de unidades pedidas.
Determine el precio p y la cantidad x para los cuales el ingreso es máximo.
26. (Ingreso máximo) Repita el ejercicio anterior para la ley de demanda 322
10 x
ep 
 para
60  x .
27. (Utilidad máxima) Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 cada una. El
costo total de la empresa C por producir x unidades está dado en dólares por
2
001,03,150 xxC 
A. Escriba la expresión para la utilidad total P como una función de x .
B. Determine el volumen de producción x de modo que la unidad P sea máxima.
C. ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?
28. (Utilidad máxima) Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto
producto que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima la función de costo del
producto como















2
502
1
1000
x
dólares por x unidades producidas:
A. Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x unidades.
B. Determine el número de unidades producidas que maximizarían la utilidad.
C. ¿Cuál es la cantidad de utilidad máxima?
D. ¿Cuál sería la utilidad si se produjeran 6000 unidades?
29. (Utilidad máxima) Para cierto artículo, la ecuación de demanda es xp 001,05 . ¿Qué
valor de x maximiza el ingreso? Si la función de costo es xC  2800 , encuentre el valor
de x que maximiza la utilidad. Calcule la utilidad máxima.

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30. (Efecto del impuesto en la producción) La función de costo total de una fábrica está dada
por
3
52810
3
2 x
xxC  y la demanda del producto está dado por xp 52750  ,
donde p y x denotan el precio en dólares y la cantidad respectiva se grava con $222 de
impuesto por cada unidad producida, que el fabricante añade a su costo. Determine el nivel
de producción (después de creado el impuesto) necesario para maximizar las utilidades.
Muestre que la producción después del impuesto es menor que la producción antes del
impuesto que maximiza las utilidades.
31. (Tamaño del lote económico) Un material se demanda a una tasa de 10.000 unidades por
año; el precio del material es de $2 por unidad; el costo de volver a surtir el almacén del
material por orden, sin importar el tamaño de la orden ( x ), es de $40 por orden; el costo de
almacenar el material por un año es del 10% del valor de las existencias promedio ( 2x ).C
es el costo anual de pedir y tener almacenado el material.
A. Demuestre que
10
000.400
000.20
x
x
C 
B. Encuentre el tamaño económico del lote.
32. (Modelo de control de inventario) Una fábrica tiene que producir 96.000 unidades de un
artículo al año. El costo del material es de $2 por unidad y el costo de volver a surtir la
existencia del material por orden sin importar el tamaño x de la orden es de $25 por orden.
El costo de tener almacenado es de 30 c por artículo por año sobre las existencias ( 2x ).
Pruebe que el costo total C está dado por
20
3000.400.2
000.192
x
x
C  . Determine
también el tamaño del lote económico (esto es, el valor de x para el que C es mínimo).