Guía de trabajo del tercer corte

1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 4
UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD TEMÁTICA OPTIMIZACIÓN
COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Interpretar la noción de derivada
como razón de cambio y desarrollar
métodos para hallarla en las
relaciones y funciones, así como Resuelve problemas de optimización utilizando los criterios de
también, resolver situaciones primera y segunda derivada.
problémicas en diferentes áreas del
conocimiento usando el concepto de
derivación
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
R e a l i z a r l a s a c t i v i d a d e s q u e a c o nt i n u a c i ó n s e e n u n c i a n t e n i e n d o e n c ue n t a l a
c a r p e t a g uí a d e A pu n t e s d el P r of e s o r
ACTIVIDAD No 1
1. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p  72  0.04q , y la función de
costos es C = 500 +30q.
a. ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad?
b. ¿A qué precio ocurre este, y cuál es la utilidad correspondiente?
50
2. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p  ; y la función de costo
q
1000
promedio es C  0,50  .
q
a. Encuentre el precio y la producción que maximizan la utilidad.
b. A este nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal.
3. Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio C por unidad, está dado
200
por C  2q 2  36q  210  , donde 2  q  10 .
q
a) ¿A qué nivel dentro del intervalo [2; 10] debe fijarse la producción para minimizar el costo total?
b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [5; 10], ¿qué valor minimiza el costo
total?
4. La demanda de un mercado monopolizado sigue la ley p  100  3x , y el monopolista produce x
1 2
unidades a un costo total de C  x  3x  1500 . Determinar el precio del artículo y la cantidad que
2
debe producirse para obtener la máxima utilidad.
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5. Para un monopolista, el costo por unidad de producir un artículo es de $3.00, y la ecuación de
10
demanda es p  .
q
¿Cuál es el precio que dará la utilidad máxima?
6. Para el producto de un monopolista, la ecuación de demanda es: p  42  4q y la función de costo
80
promedio es C  2  . Encuentre el precio que maximiza la utilidad.
q
7. Un fabricante puede producir cuando mucho, 420 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación
de demanda para ese producto es: p  q 2  100q  3200 , y la función de costo promedio del fabricante
2 2 10000
es C  q  40q 
3 q
Determine la producción q que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima.
ACTIVIDAD No 2
1. Una pequeña compañía debe alquilar ayuda temporal que es más cara para complementar su
personal de tiempo completo. Se estima que los costos semanales C (m) de salarios y beneficios
se relacionan con el número m de empleados de tiempo completo por la función
16 , 000
C (m) = 250m+ +1000 , ( 0  m  30 ). ¿Cuántos empleados de tiempo completo deberían
m
tener la compañía para minimizar esos costos? Respuesta: m = 8 empleados
2. Suponga que la función costo para un producto es dada por C = 0.002x 3  9x + 4000 . Encuentre
el nivel de producción, es decir, el valor de x que dará el costo promedio mínimo por unidad C ( x) .
Respuesta: x= 100 unidades
3. Suponga que lafunción de costo total por la fabricación de cierto producto es
C = 0.2(0.01 x  121) dólares, donde x representa las unidades producidas. Encuentre el nivel de
2
producción que minimizará el costo promedio. Respuesta: x= 110 unidades
4. El costo total mensual, en dólares, por la fabricación de x unidades de la cámara modelo MI en la
corporación de instrumentos de precisión Cannon está dado por la función
C = 0.0025 x 2 + 80 x + 10, 000
a) Dé la función de costo promedio C.
b) Proporcione el nivel de producción que arroje el menor costo promedio de producción.
10000
Respuestas: a) C  0.0025x  80  b) x = 2000 unidades mensuales
x
5. El costo total diario, en dólares, por la producción de x cajas de cierta salsa picante, está dado por
la función C  0.000002x3  5x  4000
a) Dé la función de costo promedio C .
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b) Proporcione el nivel de producción que arroje el menor costo promedio de producción.
4000
Respuestas: a) C  0.000 002 x2  5  b) x = 1000 unidades diarias
x
80 ' 000,000 x
6. El costo de la producción anual de un artículo es C  5000   donde x es el
x 20
tamaño promedio del lote por serie de producción. Encuentre el valor de x que hace mínimo a C.
Respuesta: x = 40,000 unidades/lote
7. Una compañía descubrió que al incrementar su publicidad también se incrementan sus ventas,
hasta cierto punto. La compañía cree que el modelo matemático que relaciona la utilidad en miles
de dólares P(x) con los gastos en publicidad en miles de dólares x, es P = 80 + 108x  x 3 ,
(0  x  10)
a) Encuentre el gasto en publicidad que conduce a una utilidad máxima.
b) Encuentre la utilidad máxima.
Respuestas: a) x= 6 miles de dólares de gasto en publicidad b) P máx. = P (6) = $512 mil dólares.
8. La utilidad total P(x) (en miles de dólares) por la venta de x cientos de miles de neumáticos de auto
es aproximada por P =  x 3 + 9x 2 + 120x  400 , (3  x  15)
a) Encuentre el número de cientos de miles de neumáticos que deben venderse para maximizar la
utilidad.
b) Encuentre la utilidad máxima.
Respuestas: a) x= 10 cientos miles de neumáticos, 1 millón de neumáticos
b) P máx. = P (10) = $700 mil dólares.
9. La utilidad total P(x) (en miles de dólares) por la venta de x miles de unidades de un medicamento
está dada por P=  x 3 + 3x 2 +72x (0  x  10)
a) Encuentre el número de unidades que deben venderse para maximizar la utilidad total.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
Respuestas: a) x= 6 miles de unidades de medicamento
b) P máx. = P (6) = $324 mil dólares.
10. Cuando una compañía tiene que pagar grandes cantidades de tiempo extra, o construir una fábrica
de mayores dimensiones, sus utilidades pueden reducirse aún cuando las ventas se eleven. La
compañía Wizard Ltda. espera que sus utilidades (en cientos de miles de dólares) durante los
siguientes seis meses estén dadas por P=  x+200 x  2000 , ( 0  x  35000 ), donde x es el
número de unidades vendidas. Encuentre el número de unidades que producen la utilidad máxima.
Respuesta: x= 10,000 unidades vendidas en seis meses.
11. La gerencia de cierta empresa, productores de una famosa salsa picante, estiman que sus
utilidades en dólares por la producción y venta diaria de x cajas (cada caja contiene 24 botellas) de
la salsa picante están dadas por P =  0.000002 x3 + 6 x  400 (0  x  2000) . ¿Cuál es la máxima
utilidad posible de la empresa en un día?
Respuesta: P máx. =P(1000 cajas diarias) = $3,600 dólares diarios
12. Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es
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400
p = 400 – 2x, (0  x  200) y que la función de costo promedio es C = 0.2x + 4 
x
,donde x es el número de unidades, p precio y C se expresan en dólares por unidad.
a) Determinar el nivel de producción en el que se maximiza la utilidad.
b) Determinar el precio en que ocurre la utilidad máxima
c) Determinar la utilidad máxima.
Respuestas: a) x= 90 unidades b) p =p(90) = $220/unidad c) P máx. = P(90) = $17,400 dólares
13. La cantidad mensual demandada por el lanzamiento de un nuevo disco de se relaciona con el
precio por disco. La ecuación de la demanda está dada por p =  0.00042 x + 6 , (0  x  12000)
donde p denota el precio unitario en dólares y x es el número de discos demandados. El costo total
mensual en dólares por la impresión y empacado de x copias de este disco está dado por
C( x) = 600 + 2x  0.00002x2 (0  x  20000) . ¿Cuántas copias mensuales se deben producir para
maximizar sus utilidades?
Respuesta: x = 5000 copias del disco.
14. Un fabricante de raquetas de tenis ha determinado que el costo total C(x) (en dólares) por la
producción de x raquetas por día está dado por C( x) = 400 + 4x + 0.0001x2 . Cada raqueta debe
venderse a un precio de p dólares, donde p se relaciona con x mediante la ecuación de demanda
p = 10  0.0004 x con (0  x  20000) . Si es posible vender todas las raquetas fabricadas, ¿cuál es
el nivel diario de producción que rinde la utilidad máxima para el fabricante?
Respuesta: x = 6000 raquetas diarias.
15. La demanda semanal de un televisor a color de 25 pulgadas está dada por la ecuación de demanda
p =  0.05x  600 , (0  x  12000) donde p denota el precio unitario al mayoreo, en dólares, y x
denota la cantidad demandada. La función de costo total semanal relacionada con la fabricación de
estos televisores está dada por C( x) = 0.000002x3  0.03x2 + 400x + 80000 donde C(x) denota el
costo total por la producción de x televisores. Encuentre el nivel de producción que rinde la utilidad
máxima para el fabricante.
Respuesta: x = 3,333 televisores semanales
EVALUACIÓN
1. Dados los siguientes problemas resuélvalos presentando el procedimiento completo para obtener la
solución
a. Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada, abierta por arriba (véase la figura). ¿Cuál
es el volumen máximo que se puede obtener en la caja con 1.200 cm2 de material?
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b. Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 3 m. gira alrededor de uno de sus catetos (Véase la
figura) Encuentre el radio, la altura y el volumen del cono de mayor volumen que se pueda construir
de esta manera.
BIBLIOGRAFÍA
 APUNTES DEL DOCENTE
 STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson
 PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice Hall
 LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill
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